UNIVERSIDAD DE CASTILLA – LA MANCHA
Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales
Departamento de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Automática
PREDICCIÓN A CORTO PLAZO DE LOS PRECIOS
DE LA ENERGÍA ELÉCTRICA
TESIS DOCTORAL
Autora:
Rosario Espínola Vílchez
Directores:
Antonio Jesús Conejo Navarro
Javier Contreras Sanz
Ciudad Real, Octubre de 2004
A mis padres y hermana por todo su apoyo, cariño y comprensión
Agradecimientos
Deseo expresar mi agradecimiento a todas aquellas personas e instituciones que han ayudado y contribuido a la realización de esta tesis:
Al profesor Dr. Antonio J. Conejo por su gran labor de dirección, por su paciencia y compresión durante la realización de esta tesis. Muy especialmente quiero agradecerle la dedicación prestada a la revisión de este documento.
Al profesor Dr. Javier Contreras por toda su ayuda, consejos y por el gran interés prestado a este trabajo.
Al Ministerio de Educación, Cultura y Deporte, que ha financiado gran parte de esta tesis a través de una beca de Formación de Profesorado Universitario (FPU).
Al Ministerio de Ciencia y Tecnología por su contribución económica prestada durante la realización de esta tesis a través del proyecto CICYT DPI 2000-0654 y el proyecto CICYT DPI 2003-01362. Al Ministerio de Ciencia y Tecnología junto con la Unión Europea por la ayuda económica prestada a través del proyecto FEDER-CICYT 1FD97-1598.
A la Universidad de Castilla-La Mancha por su contribución económica a través de las ayudas a tesis. Así como, al área de Ingeniería Eléctrica, en la que he trabajado durante estos últimos años, por poner a mi disposición todas sus instalaciones y ofrecerme todo el material necesario para una mejor realización del trabajo.
Al profesor Dr. Javier Nogales por su ayuda incondicional, su disponibilidad y sus valiosos consejos. Al profesor Dr. Diego Pedregal por su ayuda y todos sus consejos.
Al profesor Dr. Tak Niimura, de la Universidad de British Columbia en Vancouver, por su amabilidad y su atención durante mi estancia en el verano de 2002. A Hee-Sang Ko por su ayuda prestada en el entendimiento de la metodología de Redes Neuronales.
A José Manuel y Natalia por su gran ayuda tanto profesional como personal, sus ánimos y consejos los cuales me han ayudado a seguir para adelante.
A mis compañeros del área de ingeniería eléctrica: Poli, Raquel y Sebastián por brindarme su ayuda.
A mi gran amigo y compañero Fernando Castillo por su ayuda incondicional prestada desde mi llegada a esta Universidad, no importándole el momento, dándome siempre prioridad y dejando sus trabajos para otro momento.
A mis compañeros y amigos: José Carlos e Isabel, Pedro y Mayte, Luis y Arantxa, José Antonio Mora, Ernesto, Clara, Juanjo y María, Antonio, Jesús, Federico, Alberto, Carlos, José Antonio y Arantxa, Tiberio, Oscar, Julián, por estar siempre ahí, escucharme y hacer mi estancia en esta ciudad más agradable.
A Patricia por su amistad, por estar ahí en los buenos y malos momentos y soportarme durante todos estos años.
A mis abuelos por la preocupación e interés mostrado hacia mí y mi trabajo.
A mis padres y hermana por todo su cariño, comprensión y apoyo prestado durante la realización de este trabajo. Por sus constantes ánimos y miles de cosas más que sería difícil describir en pocas palabras.
ÍNDICE GENERAL
Índice General ... i
Índice de Figuras ... v
Índice de Tablas ... xix
Notación ... xxiii
1 Introducción ... 1
1.1 Antecedentes ... 1
1.2 Descripción del problema ... 4
1.3 Predicción mediante series temporales ... 6
1.4 Predicción mediante redes neuronales ... 8
1.5 Motivación y justificación ... 9
1.6 Revisión bibliográfica ... 10
1.6.1 Predicción de precios de la energía eléctrica ... 10
1.6.2 Predicción de precios de la energía eléctrica mediante redes neuronales .. 13
1.6.3 Predicciones no relacionadas directamente con los precios de la energía eléctrica ... 15
1.6.4 Otros: Estudio de volatilidad, comportamiento de los precios relación precio-demanda ... 16
1.6.5 Publicaciones fruto del trabajo realizado ... 17
1.7 Estructura del documento ... 17
2 Predicción mediante series temporales. Modelos ARIMA ... 21
2.1 Introducción ... 21
2.2 Paso 0. Formulación del modelo ... 21
2.3 Paso 1. Identificación de los términos de modelo ... 23
2.3.1 Análisis inicial de la serie ... 23
2.3.2 Estudio de la función de autocorrelación (FAC) y la función de autocorrelación parcial (FACP) ... 26
2.4 Paso 2. Estimación de los parámetros del modelo ... 28
2.4.1 Minimización de la suma de residuos al cuadrado ... 29
2.4.2 Maximización de la función de verosimilitud ... 30
2.5 Paso 3. Validación del modelo ... 32
2.5.1 Representación de la FAC y la FACP para los residuos ... 32
2.5.2 Test de Ljung-Box ... 32
2.6 Paso 4. Predicción ... 33
2.7 Ejemplo ilustrativo ... 34
2.7.1 Identificación de los términos de modelo ... 34
Índice general
2.7.3 Predicción ... 42
3 Predicción mediante series temporales. Modelos de Regresión Dinámica ... 45
3.1 Introducción ... 45
3.2 Paso 0. Formulación del modelo ... 45
3.3 Paso 1. Identificación de los términos de modelo ... 48
3.3.1 Análisis inicial de la serie ... 48
3.3.2 Estudio de la FAC y la FACP ... 49
3.4 Paso 2. Estimación de los parámetros del modelo ... 54
3.4.1 Minimización de la suma de residuos al cuadrado ... 54
3.4.2 Maximización de la función de verosimilitud ... 55
3.5 Paso 3. Validación del modelo ... 57
3.5.1 Representación de la FAC y la FACP para los residuos ... 58
3.5.2 Test de Ljung-Box ... 58
3.6 Paso 4. Predicción ... 58
3.7 Ejemplo ilustrativo ... 60
3.7.1 Identificación de los términos de modelo ... 60
3.7.2 Estimación de parámetros y validación del modelo ... 72
3.7.3 Predicción ... 74
4 Predicción mediante redes neuronales ... 77
4.1 La red ... 78 4.2 Arquitectura de la red ... 78 4.3 Algoritmo de optimización ... 82 4.3.1 Entrenamiento ... 83 4.3.2 Predicción ... 87
4.4 Características del algoritmo de optimización ... 89
4.5 Ejemplo ilustrativo ... 89
4.5.1 Arquitectura de la red ... 89
4.5.2 Entrenamiento ... 90
4.5.3 Predicción ... 92
5 Caso de estudio. Modelos de series temporales. Mercado peninsular español ... 95
5.1 Análisis de datos ... 95
5.2 Mercado peninsular español. Modelo ARIMA ... 100
5.2.1 Determinación del modelo ARIMA ... 101
5.2.2 Comparación entre valor real y predicho. Error horario ... 106
5.2.3 Error diario. Varianza del error. Error cuadrático medio ... 113
5.2.4 Error semanal. Varianza del error. Error cuadrático medio ... 119
5.2.5 Tiempos de cálculo ... 121
5.3 Mercado peninsular español. Modelo de Regresión Dinámica ... 121
5.3.1 Determinación del modelo de Regresión Dinámica ... 122
5.3.2 Comparación entre valor real y predicho. Error horario ... 129
5.3.3 Error diario. Varianza del error. Error cuadrático medio ... 134
5.3.4 Error semanal. Varianza del error. Error cuadrático medio ... 139
5.3.5 Tiempos de cálculo ... 140
Índice general
5.4 Comparación entre modelo ARIMA, modelo de Regresión Dinámica y
modelo naive ... 140
5.4.1 Comparación entre valor real y predicho. Modelo naive ... 141
5.4.2 Error horario ... 144
5.4.3 Error diario. Varianza del error. Error cuadrático medio ... 150
5.4.4 Error semanal. Varianza del error. Error cuadrático medio ... 155
6 Caso de estudio. Interconexión PJM ... 157
6.1 Análisis de datos ... 157
6.2 Interconexión PJM. Modelo ARIMA ... 162
6.2.1 Determinación del modelo ARIMA ... 162
6.2.2 Comparación entre valor real y predicho. Error horario ... 176
6.2.3 Error diario. Varianza del error. Error cuadrático medio ... 183
6.2.4 Error semanal. Varianza del error. Error cuadrático medio ... 188
6.2.5 Tiempos de cálculo ... 189
6.3 Interconexión PJM. Modelo de Regresión Dinámica ... 190
6.3.1 Determinación del modelo de Regresión Dinámica ... 190
6.3.2 Comparación entre valor real y predicho. Error horario ... 196
6.3.3 Error diario. Varianza del error. Error cuadrático medio ... 201
6.3.4 Error semanal. Varianza del error. Error cuadrático medio ... 205
6.3.5 Tiempos de cálculo ... 207
6.4 Interconexión PJM. Modelo de redes neuronales ... 207
6.4.1 Análisis de datos ... 207
6.4.2 Arquitectura de la red ... 209
6.4.3 Entrenamiento ... 209
6.4.4 Comparación entre valor real y predicho. Error horario ... 211
6.4.5 Error diario. Varianza del error. Error cuadrático medio ... 217
6.4.6 Error semanal. Varianza del error. Error cuadrático medio ... 222
6.4.7 Tiempos de cálculo ...…...…... 223
6.5 Comparación de los modelo ARIMA, Regresión Dinámica, Redes Neuronales y naive ... 224
6.5.1 Comparación entre valor real y predicho. Modelo naive ... 224
6.5.2 Error horario ... 228
6.5.3 Error diario. Varianza del error. Error cuadrático medio ... 234
6.5.4 Error semanal. Varianza del error. Error cuadrático medio ... 240
7 Conclusiones ... 243
7.1 Resumen ... 243
7.2 Conclusiones ... 244
7.3 Aportaciones ... 245
7.4 Líneas de trabajo futuras ... 246
A Conceptos y definiciones ... 247
A.1 Serie estacionaria ... 247
A.2 Ruido blanco ... 247
Índice general
A.4 Función de autocorrelación (FAC) y función de autocorrelación
parcial (FACP) ... 249
A.5 Patrones típicos de la FAC y la FACP ... 253
B Datos ... 261
B.1 Modelo ARIMA ... 261
B.2 Modelo de Regresión Dinámica ... 265
B.3 Modelo de Redes Neuronales ... 269
B.4 Parámetros estimados para el modelo ARIMA y el modelo de Regresión Dinámica ... 276
Bibliografía ... 281
Índice de figuras
Figura 2.1. Representación de la serie de datos xt ... 35 Figura 2.2. Representación de la serie de datos x con diferenciación 1 ... 36 t Figura 2.3. FAC para x ...t 36 Figura 2.4. FAC con diferenciación de orden 1 para x ...t 37 Figura 2.5. FACP con diferenciación de orden 1 para x ...t 38 Figura 2.6. FAC de los residuos estimados para el ejemplo ARIMA ... 41 Figura 2.7. FACP de los residuos estimados para el ejemplo ARIMA ... 41 Figura 3.1. Representación de la serie de datos p para el ejemplo de t
Regresión Dinámica ... 61 Figura 3.2. Representación de la serie de datos d para el ejemplo det
Regresión Dinámica ... 61 Figura 3.3. FAC ded para el ejemplo de Regresión Dinámica ...t 63 Figura 3.4. FACP de d para el ejemplo de Regresión Dinámica ... 63 t Figura 3.5. Serie d . FAC de los residuos estimados para el ejemplo de t
Regresión Dinámica ... 66 Figura 3.6. Serie d . FACP de los residuos estimados para el ejemplo de t
Regresión Dinámica ... 66 Figura 3.7. FAC de p para el ejemplo de Regresión Dinámica ... 67 t Figura 3.8. FACP de p para el ejemplo de Regresión Dinámica ... 68 t Figura 3.9. Serie p . FAC de los residuos estimados para el ejemplo de t
Regresión Dinámica ... 70 Figura 3.10. Serie p . FACP de los residuos estimados para el ejemplo de t
Regresión Dinámica ... 71 Figura 3.11. FAC de los residuos estimados para el ejemplo de
Índice de figuras
vi Figura 3.12. FACP de los residuos estimados para el ejemplo de
Regresión Dinámica ... 74
Figura 4.1. Arquitectura de una red de tres capas ... 80
Figura 4.2. Diagrama para la obtención de la arquitectura de red adecuada ... 81
Figura 4.3. Entrenamiento y predicción utilizando redes neuronales ... 88
Figura 5.1. Marco temporal de predicción de precios de la energía eléctrica para el día d ... 96
Figura 5.2. Precios horarios: 1 de septiembre de 1999 - 31 de diciembre de 2000. Mercado diario peninsular español ... 97
Figura 5.3. Datos estimación y semana a predecir. Febrero 2000. Mercado diario peninsular español ... 99
Figura 5.4. Datos estimación y semana a predecir. Mayo 2000. Mercado diario peninsular español ... 99
Figura 5.5. Datos estimación y semana a predecir. Agosto 2000. Mercado diario peninsular español ... 100
Figura 5.6. Datos estimación y semana a predecir. Noviembre 2000. Mercado diario peninsular español ... 100
Figura 5.7. Precios horarios con transformación logarítmica. Periodo del 1 de septiembre de 1999 al 31 de diciembre de 2000. Mercado diario peninsular español ... 102
Figura 5.8. FAC de la serie de precios transformada logarítmicamente. Modelo ARIMA. Mercado diario peninsular español ... 103
Figura 5.9. FACP de la serie de precios transformada logarítmicamente. Modelo ARIMA. Mercado diario peninsular español ... 103
Figura 5.10. FAC de los residuos estimados para el modelo ARIMA del mercado peninsular español ... 105
Figura 5.11. FACP de los residuos estimados para el modelo ARIMA del mercado peninsular español ... 105
Figura 5.12. Precios predichos y reales en la semana de febrero de 2000. Modelo ARIMA. Mercado diario peninsular español ... 107
Figura 5.13. Precios predichos y reales en la semana de mayo de 2000. Modelo ARIMA. Mercado diario peninsular español ... 108
Índice de figuras
Figura 5.14. Precios predichos y reales en la semana de agosto de 2000.
Modelo ARIMA. Mercado diario peninsular español ... 109 Figura 5.15. Precios predichos y reales en la semana de noviembre de 2000.
Modelo ARIMA. Mercado diario peninsular español ... 110 Figura 5.16. Errores horarios. Jueves de febrero de 2000. Modelo ARIMA.
Mercado diario peninsular español ... 111 Figura 5.17. Errores horarios. Sábado de febrero de 2000. Modelo ARIMA.
Mercado diario peninsular español ... 111 Figura 5.18. Errores horarios. Jueves de mayo de 2000. Modelo ARIMA.
Mercado diario peninsular español ... 111 Figura 5.19. Errores horarios. Sábado de mayo de 2000. Modelo ARIMA.
Mercado diario peninsular español ... 111 Figura 5.20. Errores horarios. Jueves de agosto de 2000. Modelo ARIMA.
Mercado diario peninsular español ... 112 Figura 5.21. Errores horarios. Sábado de agosto de 2000. Modelo ARIMA.
Mercado diario peninsular español ... 112 Figura 5.22. Errores horarios. Jueves de noviembre de 2000. Modelo ARIMA.
Mercado diario peninsular español ... 113 Figura 5.23. Errores horarios. Sábado de noviembre de 2000. Modelo ARIMA.
Mercado diario peninsular español ... 113 Figura 5.24. Error Diario. Semana de febrero de 2000. Modelo ARIMA.
Mercado diario peninsular español ... 115 Figura 5.25. Error Cuadrático Medio Diario. Semana de febrero de 2000. Modelo
ARIMA. Mercado diario peninsular español ... 115 Figura 5.26. Error Diario. Semana de mayo de 2000. Modelo ARIMA.
Mercado diario peninsular español ... 116 Figura 5.27. Error Cuadrático Medio Diario. Semana de mayo de 2000. Modelo
ARIMA. Mercado diario peninsular español ... 116 Figura 5.28. Error Diario. Semana de agosto de 2000. Modelo ARIMA.
Mercado diario peninsular español ... 117 Figura 5.29. Error Cuadrático Medio Diario. Semana de agosto de 2000. Modelo
Índice de figuras
viii Figura 5.30. Error Diario. Semana de noviembre de 2000. Modelo ARIMA.
Mercado diario peninsular español ... 118 Figura 5.31. Error Cuadrático Medio Diario. Semana de noviembre de 2000.
Modelo ARIMA. Mercado diario peninsular español ... 118 Figura 5.32. Error Semanal. Modelo ARIMA. Mercado diario peninsular
español ... 121 Figura 5.33. Error Cuadrático Medio Semanal. Modelo ARIMA. Mercado
diario peninsular español ... 121 Figura 5.34. Demanda de energía: 1 de septiembre de 1999-31 de diciembre
de 2000. Mercado diario peninsular español ... 123 Figura 5.35. Demanda de energía con transformaciones. 1 de septiembre de
1999-31 de diciembre de 2000. Mercado diario peninsular español ... 124 Figura 5.36. FAC de la serie de demandas con las transformaciones.
Mercado peninsular español ... 125 Figura 5.37. FACP de la serie de demandas con las transformaciones.
Mercado peninsular español ... 125 Figura 5.38. FAC de los residuos estimados. Modelo de Regresión Dinámica.
Mercado diario peninsular español ... 128 Figura 5.39. FACP de los residuos estimados. Modelo de Regresión Dinámica.
Mercado diario peninsular español ... 128 Figura 5.40. Precios predichos y reales en la semana de febrero de 2000.
Modelo de Regresión Dinámica. Mercado diario peninsular español ... 130 Figura 5.41. Precios predichos y reales en la semana de mayo de 2000.
Modelo de Regresión Dinámica. Mercado diario peninsular español ... 130 Figura 5.42. Precios predichos y reales en la semana de agosto de 2000.
Modelo de Regresión Dinámica. Mercado diario peninsular español ... 131 Figura 5.43. Precios predichos y reales en la semana de noviembre de 2000.
Modelo de Regresión Dinámica. Mercado diario peninsular español ... 131 Figura 5.44. Errores horarios. Jueves de febrero de 2000. Modelo de Regresión
Dinámica. Mercado diario peninsular español ... 132 Figura 5.45. Errores horarios. Sábado de febrero de 2000. Modelo de Regresión
Índice de figuras
Figura 5.46. Errores horarios. Jueves de mayo de 2000. Modelo de Regresión
Dinámica. Mercado diario peninsular español ... 133 Figura 5.47. Errores horarios. Sábado de mayo de 2000. Modelo de Regresión
Dinámica. Mercado diario peninsular español ... 133 Figura 5.48. Errores horarios. Jueves de agosto de 2000. Modelo de Regresión
Dinámica. Mercado diario peninsular español ... 133 Figura 5.49. Errores horarios. Sábado de agosto de 2000. Modelo de Regresión
Dinámica. Mercado diario peninsular español ... 133 Figura 5.50. Errores horarios. Jueves de noviembre de 2000. Modelo de
Regresión Dinámica. Mercado diario peninsular español ... 134 Figura 5.51. Errores horarios. Sábado de noviembre de 2000. Modelo de
Regresión Dinámica. Mercado diario peninsular español ... 134 Figura 5.52. Error Diario. Semana de febrero de 2000. Modelo de Regresión
Dinámica. Mercado diario peninsular español ... 135 Figura 5.53. Error Cuadrático Medio Diario. Semana de febrero de 2000. Modelo
de Regresión Dinámica. Mercado diario peninsular español ... 135 Figura 5.54. Error Diario. Semana de mayo de 2000. Modelo de Regresión
Dinámica. Mercado diario peninsular español ... 136 Figura 5.55. Error Cuadrático Medio Diario. Semana de mayo de 2000. Modelo de
Regresión Dinámica. Mercado diario peninsular español ... 136 Figura 5.56. Error Diario. Semana de agosto de 2000. Modelo de Regresión
Dinámica. Mercado diario peninsular español ... 137 Figura 5.57. Error Cuadrático Medio Diario. Semana de agosto de 2000. Modelo de
Regresión Dinámica. Mercado diario peninsular español ... 137 Figura 5.58. Error Diario. Semana de noviembre de 2000. Modelo de
Regresión Dinámica. Mercado diario peninsular español ... 138 Figura 5.59. Error Cuadrático Medio Diario. Semana de noviembre de 2000. Modelo
de Regresión Dinámica. Mercado diario peninsular español ... 138 Figura 5.60. Error Semanal. Modelo de Regresión Dinámica. Mercado diario
peninsular español ... 140 Figura 5.61. Error Cuadrático Medio Semanal. Modelo de Regresión Dinámica.
Índice de figuras
x Figura 5.62. Precios predichos y reales en la semana de febrero de 2000.
Modelo naive. Mercado diario peninsular español ... 141 Figura 5.63. Precios predichos y reales en la semana de mayo de 2000.
Modelo naive. Mercado diario peninsular español ... 142 Figura 5.64. Precios predichos y reales en la semana de agosto de 2000.
Modelo naive. Mercado diario peninsular español ... 143 Figura 5.65. Precios predichos y reales en la semana de noviembre de 2000.
Modelo naive. Mercado diario peninsular español ... 144 Figura 5.66. Errores horarios. Jueves de febrero de 2000. Modelos NAIVE, ARIMA
y RD. Mercado diario peninsular español ... 145 Figura 5.67. Errores horarios. Sábado de febrero de 2000. Modelos NAIVE ,ARIMA
y RD. Mercado diario peninsular español ... 145 Figura 5.68. Errores horarios. Jueves de mayo de 2000. Modelos NAIVE, ARIMA
y RD. Mercado diario peninsular español ... 146 Figura 5.69. Errores horarios. Sábado de mayo de 2000. Modelos NAIVE, ARIMA
y RD. Mercado diario peninsular español ... 147 Figura 5.70. Errores horarios. Jueves de agosto de 2000. Modelos NAIVE, ARIMA
y RD. Mercado diario peninsular español ... 148 Figura 5.71. Errores horarios. Sábado de agosto de 2000. Modelos NAIVE, ARIMA
y RD. Mercado diario peninsular español ... 148 Figura 5.72. Errores horarios. Jueves de noviembre de 2000. Modelos NAIVE,
ARIMA y RD. Mercado diario peninsular español ... 149 Figura 5.73. Errores horarios. Sábado de noviembre de 2000. Modelos NAIVE,
ARIMA y RD. Mercado diario peninsular español ... 150 Figura 5.74. Error Diario. Semana de febrero de 2000. Modelos NAIVE, ARIMA
y RD. Mercado diario peninsular español ... 151 Figura 5.75. Error Cuadrático Medio Diario. Semana de febrero de 2000. Modelos
NAIVE, ARIMA y RD. Mercado diario peninsular español ... 151 Figura 5.76. Error Diario. Semana de mayo de 2000. Modelos NAIVE, ARIMA y
RD. Mercado diario peninsular español ... 152 Figura 5.77. Error Cuadrático Medio Diario. Semana de mayo de 2000. Modelos
Índice de figuras
Figura 5.78. Error Diario. Semana de agosto de 2000. Modelos NAIVE, ARIMA
y RD. Mercado diario peninsular español ... 153 Figura 5.79. Error Cuadrático Medio Diario. Semana de agosto de 2000. Modelos
NAIVE, ARIMA y RD. Mercado diario peninsular español ... 153 Figura 5.80. Error Diario. Semana de noviembre de 2000. Modelos NAIVE,
ARIMA y RD. Mercado diario peninsular español ... 154 Figura 5.81. Error Cuadrático Medio Diario. Semana de noviembre de 2000.
Modelos NAIVE, ARIMA y RD. Mercado diario peninsular español ... 154 Figura 5.82. Error Semanal. Modelos NAIVE, ARIMA y RD. Mercado diario
peninsular español. Año 2000 ... 156 Figura 5.83. Error Cuadrático Medio Semanal. Modelos NAIVE, ARIMA y
RD. Mercado diario peninsular español. Año 2000 ... 156 Figura 6.1. Precios horarios: 1 de enero de 2002 - 31 de diciembre de 2002.
Interconexión PJM ... 158 Figura 6.2. Datos de estimación y semana a predecir. Febrero 2002.
Interconexión PJM ... 160 Figura 6.3. Datos de estimación y semana a predecir. Mayo 2002.
Interconexión PJM ... 161 Figura 6.4. Datos de estimación y semana a predecir. Agosto 2002.
Interconexión PJM ... 161 Figura 6.5. Datos de estimación y semana a predecir. Noviembre 2002.
Interconexión PJM ... 162 Figura 6.6. Precios horarios con transformación logarítmica. 1 de enero de 2002 -
31 de diciembre de 2002. Interconexión PJM ... 163 Figura 6.7. FAC de la serie de precios transformada logarítmicamente.
1 de enero de 2002 a 17 de febrero de 2002. Modelo ARIMA.
Interconexión PJM ... 164 Figura 6.8. FACP de la serie de precios transformada logarítmicamente. 1 de
enero de 2002 a 17 de febrero de 2002. Modelo ARIMA.
Interconexión PJM ... 165 Figura 6.9. FAC de los residuos estimados para el modelo ARIMA. Interconexión
Índice de figuras
xii Figura 6.10. FACP de los residuos estimados para el modelo ARIMA.
Interconexión PJM. Predicción de la semana de febrero de 2002 ... 166 Figura 6.11. FAC de la serie de precios transformada logarítmicamente. 22 de
marzo de 2002 a 19 de mayo de 2002. Modelo ARIMA.
Interconexión PJM ... 167 Figura 6.12. FACP de la serie de precios transformada logarítmicamente. 22 de
marzo de 2002 a 19 de mayo de 2002. Modelo ARIMA.
Interconexión PJM ... 168 Figura 6.13. FAC de los residuos estimados para el modelo ARIMA. Interconexión
PJM. Predicción de la semana de mayo de 2002 ... 169 Figura 6.14. FACP de los residuos estimados para el modelo ARIMA.
Interconexión PJM. Predicción de la semana de mayo de 2002 ... 170 Figura 6.15. FAC de la serie de precios transformada logarítmicamente. 22 de
junio de 2002 a 18 de agosto de 2002. Modelo ARIMA.
Interconexión PJM ... 171 Figura 6.16. FACP de la serie de precios transformada logarítmicamente. 22 de
junio de 2002 a 18 de agosto de 2002. Modelo ARIMA.
Interconexión PJM ... 171 Figura 6.17. FAC de los residuos estimados para el modelo ARIMA. Interconexión
PJM. Predicción de la semana de agosto 2002 ... 172 Figura 6.18. FACP de los residuos estimados para el modelo ARIMA.
Interconexión PJM. Predicción de la semana de agosto 2002 ... 173 Figura 6.19. FAC de la serie de precios transformada logarítmicamente. 22 de
septiembre de 2002 a 17 de noviembre de 2002. Modelo ARIMA.
Interconexión PJM ... 173 Figura 6.20. FACP de la serie de precios transformada logarítmicamente. 22 de
septiembre de 2002 a 17 de noviembre de 2002. Modelo ARIMA.
Interconexión PJM ... 174 Figura 6.21. FAC de los residuos estimados para el modelo ARIMA. Interconexión
PJM. Predicción de la semana de noviembre 2002 ... 175 Figura 6.22. FACP de los residuos estimados para el modelo ARIMA.
Índice de figuras
Figura 6.23. Precios predichos y reales en la semana de febrero de 2002.
Modelo ARIMA. Interconexión PJM ... 177 Figura 6.24. Precios predichos y reales en la semana de mayo de 2002.
Modelo ARIMA. Interconexión PJM ... 178 Figura 6.25. Precios predichos y reales en la semana de agosto de 2002.
Modelo ARIMA. Interconexión PJM ... 179 Figura 6.26. Precios predichos y reales en la semana de noviembre de 2002.
Modelo ARIMA. Interconexión PJM ... 180 Figura 6.27. Errores horarios. Jueves de febrero de 2002. Modelo ARIMA.
Interconexión PJM ... 180 Figura 6.28. Errores horarios. Sábado de febrero de 2002. Modelo ARIMA.
Interconexión PJM ... 180 Figura 6.29. Errores horarios. Jueves de mayo de 2002. Modelo ARIMA.
Interconexión PJM ... 181 Figura 6.30. Errores horarios. Sábado de mayo de 2002. Modelo ARIMA.
Interconexión PJM ... 181 Figura 6.31. Errores horarios. Jueves de agosto de 2002. Modelo ARIMA.
Interconexión PJM ... 182 Figura 6.32. Errores horarios. Sábado de agosto de 2002. Modelo ARIMA.
Interconexión PJM ... 182 Figura 6.33. Errores horarios. Jueves de noviembre de 2002. Modelo ARIMA.
Interconexión PJM ... 182 Figura 6.34. Errores horarios. Sábado de noviembre de 2002. Modelo ARIMA
Interconexión PJM ... 182 Figura 6.35. Error diario. Semana de febrero de 2002. Modelo ARIMA.
Interconexión PJM ... 184 Figura 6.36. Error cuadrático medio diario. Semana de febrero de 2002. Modelo
ARIMA. Interconexión PJM ... 184 Figura 6.37. Error diario. Semana de mayo de 2002. Modelo ARIMA.
Interconexión PJM ... 185 Figura 6.38. Error cuadrático medio diario. Semana de mayo de 2002. Modelo
Índice de figuras
xiv Figura 6.39. Error diario. Semana de agosto de 2002. Modelo ARIMA.
Interconexión PJM ... 186 Figura 6.40. Error cuadrático medio diario. Semana de agosto de 2002. Modelo
ARIMA. Interconexión PJM ... 186 Figura 6.41. Error diario. Semana de noviembre de 2002. Modelo ARIMA.
Interconexión PJM ... 187 Figura 6.42. Error cuadrático medio diario. Semana de noviembre de 2002. Modelo
ARIMA. Interconexión PJM ... 187 Figura 6.43. Error semanal. Modelo ARIMA. Interconexión PJM. Año 2002 ... 189 Figura 6.44. Error cuadrático medio semanal. Modelo ARIMA. Interconexión
PJM. Año 2002 ... 189 Figura 6.45. Demanda de energía. 1 de enero de 2002-31 de diciembre de 2002.
Interconexión PJM ... 191 Figura 6.46. Demanda de energía con transformaciones. 1 de enero de 2002-31 de
diciembre de 2002. Interconexión PJM ... 192 Figura 6.47. FAC de la serie de demandas con transformaciones. Semana de
mayo de 2002. Interconexión PJM ... 193 Figura 6.48. FACP de la serie de demandas con transformaciones. Semana de
mayo de 2002. Interconexión PJM ... 193 Figura 6.49. FAC de los residuos estimados para el modelo de Regresión
Dinámica. Semana de mayo de 2002. Interconexión PJM ... 194 Figura 6.50. FACP de los residuos estimados para el modelo de Regresión
Dinámica. Semana de mayo de 2002. Interconexión PJM ... 195 Figura 6.51. Precios predichos y reales en la semana de febrero de 2002. Modelo
de Regresión Dinámica. Interconexión PJM ... 196 Figura 6.52. Precios predichos y reales en la semana de mayo de 2002. Modelo
de Regresión Dinámica. Interconexión PJM ... 197 Figura 6.53. Precios predichos y reales en la semana de agosto de 2002. Modelo
de Regresión Dinámica. Interconexión PJM ... 197 Figura 6.54. Precios predichos y reales en la semana de noviembre de 2002.
Modelo de Regresión Dinámica. Interconexión PJM ... 198 Figura 6.55. Errores horarios. Jueves de febrero de 2002. Modelo de Regresión
Índice de figuras
Figura 6.56. Errores horarios. Sábado de febrero de 2002. Modelo de Regresión
Dinámica. Interconexión PJM ... 199 Figura 6.57. Errores horarios. Jueves de mayo de 2002. Modelo de Regresión
Dinámica. Interconexión PJM ... 199 Figura 6.58. Errores horarios. Sábado de mayo de 2002. Modelo de Regresión
Dinámica. Interconexión PJM ... 199 Figura 6.59. Errores horarios. Jueves de agosto de 2002. Modelo de Regresión
Dinámica. Interconexión PJM ... 200 Figura 6.60. Errores horarios. Sábado de agosto de 2002. Modelo de Regresión
Dinámica. Interconexión PJM ... 200 Figura 6.61. Errores horarios. Jueves de noviembre de 2002. Modelo de Regresión
Dinámica. Interconexión PJM ... 200 Figura 6.62. Errores horarios. Sábado de noviembre de 2002. Modelo de Regresión
Dinámica. Interconexión PJM ... 200 Figura 6.63. Error diario. Semana de febrero de 2002. Modelo de Regresión
Dinámica. Interconexión PJM ... 202 Figura 6.64. Error cuadrático medio diario. Semana de febrero de 2002. Modelo de
Regresión Dinámica. Interconexión PJM ... 202 Figura 6.65. Error diario. Semana de mayo de 2002. Modelo de Regresión
Dinámica. Interconexión PJM ... 203 Figura 6.66. Error cuadrático medio diario. Semana de mayo de 2002. Modelo de
Regresión Dinámica. Interconexión PJM ... 203 Figura 6.67. Error diario. Semana de agosto de 2002. Modelo de Regresión
Dinámica. Interconexión PJM ... 204 Figura 6.68. Error cuadrático medio diario. Semana de agosto de 2002. Modelo de
Regresión Dinámica. Interconexión PJM ... 204 Figura 6.69. Error diario. Semana de noviembre de 2002. Modelo de Regresión
Dinámica. Interconexión PJM ... 205 Figura 6.70. Error cuadrático medio diario. Semana de noviembre de 2002.
Modelo de Regresión Dinámica. Interconexión PJM ... 205 Figura 6.71. Error semanal. Modelo de Regresión Dinámica.
Índice de figuras
xvi Figura 6.72. Error cuadrático medio semanal. Modelo de Regresión Dinámica.
Interconexión PJM. Año 2002 ... 206 Figura 6.73. Precios predichos y reales en la semana de febrero de 2002. Modelo
de Redes Neuronales. Interconexión PJM ... 212 Figura 6.74. Precios predichos y reales en la semana de mayo de 2002. Modelo
de Redes Neuronales. Interconexión PJM ... 213 Figura 6.75. Precios predichos y reales en la semana de agosto de 2002. Modelo
de Redes Neuronales. Interconexión PJM ... 213 Figura 6.76. Precios predichos y reales en la semana de noviembre de 2002.
Modelo de Redes Neuronales. Interconexión PJM ... 214 Figura 6.77. Errores horarios. Jueves de febrero de 2002. Modelo de Redes
Neuronales. Interconexión PJM ... 215 Figura 6.78. Errores horarios. Sábado de febrero de 2002. Modelo de Redes
Neuronales. Interconexión PJM ... 215 Figura 6.79. Errores horarios. Jueves de mayo de 2002. Modelo de Redes
Neuronales. Interconexión PJM ... 216 Figura 6.80. Errores horarios. Sábado de mayo de 2002. Modelo de Redes
Neuronales. Interconexión PJM ... 216 Figura 6.81. Errores horarios. Jueves de agosto de 2002. Modelo de Redes
Neuronales. Interconexión PJM ... 216 Figura 6.82. Errores horarios. Sábado de agosto de 2002. Modelo de Redes
Neuronales. Interconexión PJM ... 216 Figura 6.83. Errores horarios. Jueves de noviembre de 2002. Modelo de Redes
Neuronales. Interconexión PJM ... 217 Figura 6.84. Errores horarios. Sábado de noviembre de 2002. Modelo de Redes
Neuronales. Interconexión PJM ... 217 Figura 6.85. Error diario. Semana de febrero de 2002. Modelo de Redes
Neuronales. Interconexión PJM ... 218 Figura 6.86. Error cuadrático medio diario. Semana de febrero de 2002. Modelo de
Redes Neuronales. Interconexión PJM ... 218 Figura 6.87. Error diario. Semana de mayo de 2002. Modelo de Redes Neuronales.
Índice de figuras
Figura 6.88. Error cuadrático medio diario. Semana de mayo de 2002. Modelo de
Redes Neuronales. Interconexión PJM ... 219 Figura 6.89. Error diario. Semana de agosto de 2002. Modelo de Redes
Neuronales. Interconexión PJM ... 220 Figura 6.90. Error cuadrático medio diario. Semana de agosto de 2002. Modelo de
Redes Neuronales. Interconexión PJM ... 220 Figura 6.91. Error diario. Semana de noviembre de 2002. Modelo de Redes
Neuronales. Interconexión PJM ... 221 Figura 6.92. Error cuadrático medio diario. Semana de noviembre de 2002.
Modelo de Redes Neuronales. Interconexión PJM ... 221 Figura 6.93. Error semanal. Modelo de Redes Neuronales. Interconexión PJM.
Año 2002 ... 223 Figura 6.94. Error cuadrático medio semanal. Modelo de Redes Neuronales.
Interconexión PJM. Año 2002 ... 223 Figura 6.95. Precios predichos y reales en la semana de febrero de 2002. Modelo
naive. Interconexión PJM ... 225 Figura 6.96. Precios predichos y reales en la semana de mayo de 2002. Modelo
naive. Interconexión PJM ... 226 Figura 6.97. Precios predichos y reales en la semana de agosto de 2002. Modelo
naive. Interconexión PJM ... 227 Figura 6.98. Precios predichos y reales en la semana de noviembre de 2002.
Modelo naive. Interconexión PJM ... 228 Figura 6.99. Errores horarios. Jueves de febrero de 2002. Modelos NAIVE,
ARIMA, RD y RN. Interconexión PJM ... 229 Figura 6.100. Errores horarios. Sábado de febrero de 2002. Modelos NAIVE,
ARIMA, RD y RN. Interconexión PJM ... 229 Figura 6.101. Errores horarios. Jueves de mayo de 2002. Modelos NAIVE,
ARIMA, RD y RN. Interconexión PJM ... 230 Figura 6.102. Errores horarios. Sábado de mayo de 2002. Modelos NAIVE,
ARIMA, RD y RN. Interconexión PJM ... 231 Figura 6.103. Errores horarios. Jueves de agosto de 2002. Modelos NAIVE,
Índice de figuras
xviii Figura 6.104. Errores horarios. Sábado de agosto de 2002. Modelos NAIVE,
ARIMA, RD y RN. Interconexión PJM ... 232 Figura 6.105. Errores horarios. Jueves de noviembre de 2002. Modelos NAIVE,
ARIMA, RD y RN. Interconexión PJM ... 233 Figura 6.106. Errores horarios. Sábado de noviembre de 2002. Modelos NAIVE,
ARIMA, RD y RN. Interconexión PJM ... 234 Figura 6.107. Error diario. Semana de febrero de 2002. Modelos NAIVE,
ARIMA, RD y RN. Interconexión PJM ... 235 Figura 6.108. Error cuadrático medio diario. Semana de febrero de 2002.
Modelos ARIMA, RD y RN. Interconexión PJM ... 235 Figura 6.109. Error diario. Semana de mayo de 2002. Modelos NAIVE, ARIMA,
RD y RN. Interconexión PJM ... 237 Figura 6.110. Error cuadrático medio diario. Semana de mayo de 2002. Modelos
NAIVE, ARIMA, RD y RN. Interconexión PJM ... 237 Figura 6.111. Error diario. Semana de agosto de 2002. Modelos NAIVE,
ARIMA, RD y RN. Interconexión PJM ... 238 Figura 6.112. Error cuadrático medio diario. Semana de agosto de 2002. Modelos
NAIVE, ARIMA, RD y RN. Interconexión PJM ... 238 Figura 6.113. Error diario. Semana de noviembre de 2002. Modelos NAIVE,
ARIMA, RD y RN. Interconexión PJM ... 239 Figura 6.114. Error cuadrático medio diario. Semana de noviembre de 2002.
Modelos NAIVE, ARIMA, RD y RN. Interconexión PJM ... 239 Figura 6.115. Error semanal. Modelos NAIVE, ARIMA, RD y RN. Interconexión
PJM. Año 2002 ... 241 Figura 6.116. Error cuadrático medio semanal. Modelos NAIVE, ARIMA, RD y
RN. Interconexión PJM. Año 2002 ... 241 Figura A.1. Patrones típicos para un modelo AR(1) ... 254 Figura A.2. Patrones típicos para un modelo AR(2) ... 255 Figura A.3. Patrones típicos para un modelo MA(1) ... 256 Figura A.4. Patrones típicos para un modelo MA(2) ... 257 Figura A.5. Patrones típicos para un modelo ARMA(1,1) ... 258 Figura A.6. Patrones típicos para un modelo ARMA(1,1) ... 259
Índice de tablas
Tabla 2.1. Errores de Predicción. Ejemplo Ilustrativo. Modelo ARIMA ... 43 Tabla 3.1. Errores de Predicción. Ejemplo Ilustrativo. Modelo de Regresión
Dinámica ... 76 Tabla 4.1. Estimación de los parámetros de la red para el ejemplo ... 92 Tabla 4.2. Errores de Predicción. Ejemplo ilustrativo. Redes Neuronales ... 93 Tabla 5.1. Datos de estimación y semana a predecir para los meses del año 2000.
Mercado diario peninsular español ... 98 Tabla 5.2. Modelo ARIMA. Medidas estadísticas para la semana de febrero de 2000.
Mercado diario peninsular español ... 115 Tabla 5.3. Modelo ARIMA. Medidas estadísticas para la semana de mayo de 2000.
Mercado diario peninsular español ... 116 Tabla 5.4. Modelo ARIMA. Medidas estadísticas para la semana de agosto de 2000.
Mercado diario peninsular español ... 117 Tabla 5.5. Modelo ARIMA. Medidas estadísticas para la semana de noviembre de
2000. Mercado diario peninsular español ... 118 Tabla 5.6. Modelo ARIMA. Medidas estadísticas para cada uno de los meses del
año 2000. Mercado diario peninsular español ... 120 Tabla 5.7. Modelo de Regresión Dinámica. Medidas estadísticas para la semana
de febrero de 2000. Mercado diario peninsular español ... 135 Tabla 5.8. Modelo de Regresión Dinámica. Medidas estadísticas para la semana
de mayo de 2000. Mercado diario peninsular español ... 136 Tabla 5.9. Modelo de Regresión Dinámica. Medidas estadísticas para la semana
de agosto de 2000. Mercado diario peninsular español ... 137 Tabla 5.10. Modelo de Regresión Dinámica. Medidas estadísticas para la semana
de noviembre de 2000. Mercado diario peninsular español ... 138 Tabla 5.11. Modelo de Regresión Dinámica. Medidas estadísticas para cada uno
Índice de tablas
xx Tabla 5.12. Medidas estadísticas para la semana de febrero de 2000. Mercado
diario peninsular español ... 151 Tabla 5.13. Medidas estadísticas para la semana de mayo de 2000. Mercado
diario peninsular español ... 152 Tabla 5.14. Medidas estadísticas para la semana de agosto de 2000. Mercado
diario peninsular español ... 153 Tabla 5.15. Medidas estadísticas para la semana de noviembre de 2000. Mercado
diario peninsular español ... 154 Tabla 5.16. Medidas estadísticas para cada uno de los meses del año 2000.
Mercado diario peninsular español ... 155 Tabla 6.1. Datos para la estimación y semana a predecir para los meses del año
2002. Interconexión PJM ... 159 Tabla 6.2. Modelo ARIMA. Medidas estadísticas para la semana de febrero de 2002.
Interconexión PJM ... 184 Tabla 6.3. Modelo ARIMA. Medidas estadísticas para la semana de mayo de 2002.
Interconexión PJM ... 185 Tabla 6.4. Modelo ARIMA. Medidas estadísticas para la semana de agosto de 2002.
Interconexión PJM ... 186 Tabla 6.5. Modelo ARIMA. Medidas estadísticas para la semana de noviembre de
2002. Interconexión PJM ... 187 Tabla 6.6. Modelo ARIMA. Medidas estadísticas para cada uno de los meses del
año 2002. Interconexión PJM ... 188 Tabla 6.7. Modelo de Regresión Dinámica. Medidas estadísticas para la semana
de febrero de 2002. Interconexión PJM ... 201 Tabla 6.8. Modelo de Regresión Dinámica. Medidas estadísticas para la semana
de mayo de 2002. Interconexión PJM ... 202 Tabla 6.9. Modelo de Regresión Dinámica. Medidas estadísticas para la semana
de agosto de 2002. Interconexión PJM ... 203 Tabla 6.10. Modelo de Regresión Dinámica. Medidas estadísticas para la semana
de noviembre de 2002. Interconexión PJM ... 204 Tabla 6.11 Modelo de Regresión Dinámica. Medidas estadísticas para cada uno
Índice de tablas
Tabla 6.12. Estimación de los parámetros de la red. Febrero 2002 ... 211 Tabla 6.13. Modelo de Redes Neuronales. Medidas estadísticas para la semana
de febrero de 2002. Interconexión PJM ... 218 Tabla 6.14. Modelo de Redes Neuronales. Medidas estadísticas para la semana
de mayo de 2002. Interconexión PJM ... 219 Tabla 6.15. Modelo de Redes Neuronales. Medidas estadísticas para la semana
de agosto de 2002. Interconexión PJM ... 220 Tabla 6.16. Modelo de Redes Neuronales. Medidas estadísticas para la semana
de noviembre de 2002. Interconexión PJM ... 221 Tabla 6.17. Modelo de Redes Neuronales. Medidas estadísticas para cada uno de
los meses del año 2002. Interconexión PJM ... 222 Tabla 6.18. Tiempos de cálculo. Modelo de Redes Neuronales. Interconexión
PJM ... 224 Tabla 6.19. Medidas estadísticas para la semana de febrero de 2002.
Interconexión PJM ... 235 Tabla 6.20. Medidas estadísticas para la semana de mayo de 2002.
Interconexión PJM ... 236 Tabla 6.21. Medidas estadísticas para la semana de agosto de 2002.
Interconexión PJM ... 237 Tabla 6.22. Medidas estadísticas para la semana de noviembre de 2002.
Interconexión PJM ... 239 Tabla 6.23. Medidas estadísticas para cada uno de los meses del año 2002.
Interconexión PJM ... 240 Tabla B.1. Datos ejemplo ARIMA ... 261 Tabla B.2. Datos ejemplo Regresión Dinámica ... 266 Tabla B.3. Datos utilizados en el entrenamiento con Redes Neuronales ... 270 Tabla B.4. Datos para la obtención de las predicciones con Redes Neuronales ... 275 Tabla B.5. Parámetros estimados. Modelo ARIMA. Interconexión PJM y
mercado diario peninsular español ... 277 Tabla B.6. Parámetros estimados. Modelo Regresión Dinámica. Interconexión
Notación
kj
a Peso que conecta la neurona j de la capa oculta con la neurona k de la capa de salida
inf kj
a Cota inferior del peso que conecta la neurona j de la capa oculta con la neurona k de la capa de salida
sup kj
a Cota superior del peso que conecta la neurona j de la capa oculta con la neurona k de la capa de salida
B Operador de retardo
θ
i
B Raíces del polinomio θ(B)
φ
i
B Raíces del polinomio φ(B)
d
w i
B Raíces del polinomio ωd(B)
p
w i
B Raíces del polinomio ωp(B)
ji
b Peso que conecta la neurona i de la capa de entrada con la neurona j de la capa oculta
inf ji
b Cota inferior del peso que conecta la neurona i de la capa de entrada con la neurona j de la capa oculta
sup ji
b Cota superior del peso que conecta la neurona i de la capa de entrada con la neurona j de la capa oculta
c Constante utilizada en el modelo ARIMA y modelo de Regresión Dinámica
cˆ Valor estimado de la constante )
, u (
Cov t νt Covarianza entre las series u y t νt d Orden de la parte I del modelo ARIMA
D Orden de la parte I estacional del modelo ARIMA
t
d Demanda de energía eléctrica en la hora t
t
Notación
xxiv )
k (
dˆT Predicción de la demanda de energía eléctrica en la hora T+k
diario
e Error diario
diario FMSE
e Error cuadrático medio diario
semanal FMSE
e Error cuadrático medio semanal
horario e Error horario semanal e Error semanal k T
e + Error cometido al calcular cada una de las predicciones. Este error se usa en los ejemplos ilustrativos
total
e Error cometido al calcular todas las predicciones. Este error se usa en los ejemplos ilustrativos
j
f Función de transferencia asociada a la neurona j de la capa oculta.
k
g Función de transferencia asociada a la neurona k de la capa de salida.
d
n orden del polinomio ωd(B)
F
n Orden de la parte AR del modelo ARIMA
F
N Orden de la parte AR estacional del modelo ARIMA
H
n Número de neuronas en la capa oculta
I
n Número de neuronas en la capa de entrada
p
n orden del polinomio ωp(B)
S
n Número de neuronas en la capa de salida
T
n Orden de la parte MA del modelo ARIMA y orden del polinomio θ(B) en el modelo de Regresión Dinámica. Número total de conjuntos de entrenamiento que se presentan a la red
T
N Orden de la parte MA estacional del modelo ARIMA )
h (
pi Precio real dado como entrada a la red para el conjunto de entrenamiento h-ésimo
) h ( p†
i Precio i-ésimo del vector de entrada para el conjunto de datos h-ésimo
utilizado para obtener las predicciones Estos precios pueden ser reales o predichos
Notación ) h ( pest
k Precio obtenido como salida de la red para la neurona k de la capa de
salida y el conjunto de datos h. Salida de la red tanto en el proceso de entrenamiento como en el de predicción
) h ( preal
k Valor de salida real para el conjunto de entrenamiento h-ésimo t
p Precio de la energía eléctrica en la hora t [€/MWh] [$/MWh]
t
p Media de la serie p t
t
pˆ Valor estimado del precio en la hora t
diario t
p Media de los precios reales para un día
est t
p Precio predicho para la hora t
real t
p Precio real para la hora t
semanal t
p Media de los precios reales para una semana )
k (
pˆT Predicción del precio de la energía eléctrica en la hora T+k Q Estadístico de Ljung-Box
r Número de parámetros estimados en cada modelo s Tipo de estacionalidad presente en la serie de datos
t
s Serie de datos una vez aplicada la transformación
k
S Autocovarianza entre la serie p y la serie t pt+k T Número de componentes de la serie p , t d , t u y t νt
t
u Serie que recoge la parte de p no explicada por cada una de las series t
1 k t 2 k t 2 t 1 t ,p , ,p ,p p − − K − + − + t u Media de la serie u t ) h (
vj Entrada neta a la neurona j de la capa oculta debido a la presencia de un conjunto de datos de entrada h
) h (
vk Entrada neta a la neurona k de la capa de salida
X Matriz que contiene los valores correspondientes a cada una de las series
1 k t 2 k t 2 t 1 t ,p , ,p ,p
p − − K − + − + para el cálculo del coeficiente de autocorrelación parcial
t
x Serie de datos utilizada en el ejemplo ilustrativo del modelo ARIMA )
k (
Notación
xxvi Y Vector columna que contiene los valores correspondientes a la serie p t por un lado y los correspondientes a la serie pt−k por otro para el cálculo del coeficiente de autocorrelación parcial
Z Vector de parámetros a estimar en el modelo ARIMA y en el modelo de Regresión Dinámica
k
β Parámetro k-ésimo que compone el modelo de regresión entre la serie p t y cada una de las series pt−1,pt−2,K,pt−k+2,pt−k+1
k
ˆ
β Valor estimado del parámetro k-ésimo que compone el modelo de regresión entre la serie p y cada una de las t series pt−1,pt−2,K,pt−k+2,pt−k+1
k
γ Parámetro k-ésimo que compone el modelo de regresión entre la serie
k t
p − y cada una de las series pt−1,pt−2,K,pt−k+2,pt−k+1
k
ˆ
γ Valor estimado del parámetro k-esimo que componen el modelo de regresión entre la serie pt−k y cada una de las series pt−1,pt−2,K,pt−k+2,pt−k+1
t
ε Término de error o residuo en la hora t
t
ˆ
ε Residuo estimado para la hora t
d t
ε Residuos para el modelo de la serie d t
d t
ˆ
ε Residuos estimados para el modelo de la serie d t
p t
ε Residuos para el modelo de la serie p t
p t
ˆ
ε Residuos estimados para el modelo de la serie p t )
B (
θ Polinomio de orden nT perteneciente a la parte MA del modelo ARIMA. Polinomio que acompaña al error en el modelo de Regresión Dinámica
j
θ Coeficiente j-ésimo del polinomio θ(B)
j
ˆ
θ Valor estimado del coeficiente θj
t
ν Serie que recoge la parte de pt−k no explicada por cada una de las series
1 k t 2 k t 2 t 1 t ,p , ,p ,p p − − K − + − + t ν Media de la serie νt
Notación
k
ρ Coeficiente de autocorrelación de orden k
t t,d
p
ρ Coeficiente de correlación entre las series p y t d t
2 diaria
σ Varianza diaria del error
2 p
σ Varianza de la serie p t
2 semanal
σ Varianza semanal del error
u
σ Desviación típica de la serie u t
2
ε
σ Varianza del error o residuo
ν
σ Desviación típica de la serie νt
ν
τu, Coeficiente de autocorrelación parcial
) B (
φ Polinomio de orden nF perteneciente a la parte AR del modelo ARIMA
i
φ Coeficiente i-ésimo del polinomio φ(B)
i
ˆ
φ Valor estimado del coeficiente φi )
B ( S
ψ Polinomio de orden NF perteneciente a la parte AR estacional del modelo ARIMA
k
ψ Coeficiente k-ésimo del polinomio ψ(BS) )
B (
d
ω Polinomio de orden n que relaciona los precios a predecir con las d demandas pasadas en el modelo de Regresión Dinámica
d i
ω Coeficiente i-ésimo del polinomio ωd(B)
d i
ˆ
ω Valor estimado del coeficiente d i ω ) B ( p
ω Polinomio de orden n que relaciona los precios a predecir con los p precios pasados en el modelo de Regresión Dinámica
p i
ω Coeficiente i-ésimo del polinomio ωp(B)
p i
ˆ
ω Valor estimado del coeficiente p i ω
) B ( S
ϕ Polinomio de orden NT perteneciente a la parte MA estacional del modelo ARIMA
k
ϕ Coeficiente k-ésimo del polinomio ϕ(BS)
s
Capítulo 1
Introducción
1.1 ANTECEDENTES
El sector eléctrico en distintos países ha experimentado importantes cambios en la última década. Se ha pasado de un sistema regulado, intervenido fuertemente por los poderes públicos, a un sistema liberalizado con la entrada en operación de los mercados eléctricos.
Entre los principios fundamentales del nuevo marco eléctrico se pueden encontrar los siguientes:
1. Mayor liberalización de las actividades eléctricas.
2. Competencia entre empresas eléctricas en beneficio de los consumidores. 3. Seguridad en el suministro de electricidad.
4. Conservación del medio ambiente.
El objetivo de este nuevo marco eléctrico es aumentar la competitividad y posiblemente bajar los precios de la electricidad. La liberalización y la competencia pueden permitir conseguir tal objetivo. Por tanto, un mercado competitivo puede ser apropiado para suministrar energía a los consumidores con una adecuada fiabilidad y a más bajo coste.
Los agentes participantes en el nuevo marco eléctrico son los siguientes:
GENERADORES: su función es producir electricidad, así como construir, operar y mantener las centrales de generación. Operan en libre competencia. PRODUCTORES EN RÉGIMEN ESPECIAL: son empresas productoras que
Capítulo 1 Introducción
2 reducir el impacto medioambiental, debido a la utilización de fuentes de energía renovables, de residuos y de cogeneración.
RED DE TRANSPORTE: lleva la electricidad desde los centros de producción hasta las redes de distribución, y además, construyen, mantienen y operan las instalaciones de la red de transporte.
DISTRIBUIDORES: su función es situar la energía en los puntos de consumo, así como desarrollar, mantener y operar las instalaciones necesarias para tal fin. COMERCIALIZADORES: empresas que teniendo acceso a las redes de
transporte y distribución, venden energía eléctrica a los consumidores o a otros comercializadores.
REGULADOR: ente público que vela por el cumplimiento de la regulación básica de la generación, el transporte, la distribución y la comercialización de energía eléctrica y determina los requisitos mínimos de calidad y seguridad en el suministro eléctrico.
OPERADOR DEL SISTEMA: es el responsable de la gestión técnica del sistema. Tiene por objeto garantizar la continuidad y seguridad del suministro de energía y la correcta coordinación del sistema de producción y transporte.
OPERADOR DEL MERCADO: es el responsable de la gestión económica del sistema. Gestiona el sistema de ofertas de compra y venta de energía que los diferentes agentes efectúan en el mercado eléctrico.
Dos estructuras de mercado se presentan en este nuevo marco para facilitar el intercambio de energía entre productores y consumidores: la bolsa de energía o “pool” y los contratos bilaterales.
En la bolsa de energía los productores presentan al Operador de Mercado las ofertas de producción, compuestas de un conjunto de bloques de energía y el precio mínimo de venta de cada bloque, para cada una de las veinticuatro horas del día siguiente [28]. Análogamente, los comercializadores y grandes consumidores presentan al Operador del Mercado sus ofertas de compra de energía, compuestas de un conjunto de bloques de energía y el precio máximo de compra de cada bloque, para el mismo horizonte temporal [28].
Capítulo 1 Introducción Mediante un algoritmo de cierre del mercado se establece el precio horario de la energía así como la energía que producirá cada productor y comprará cada comercializador o gran consumidor.
Las ofertas de venta con precio inferior al precio de cierre del mercado son aceptadas, así como las ofertas de compra con un precio superior al precio de cierre del mercado. Las ofertas con un precio igual al precio de cierre del mercado serán aceptadas proporcionalmente en función de la energía ofertada. Las ofertas restantes son rechazadas. El encargado de realizar estas tareas es el Operador del Mercado.
En un contexto de competencia clara, se reducirá el precio de la electricidad, ya que los generadores trataran de ofertar su energía al menor precio posible, para así poder asegurar que sus centrales son seleccionadas para producir. El precio de cierre de mercado es el precio a pagar por los consumidores y el recibido por los productores.
También son posibles los contratos bilaterales. Éstos se realizan entre consumidores, comercializadores y productores de energía, sin necesidad de pasar por el sistema de ofertas competitivas de la bolsa de energía. Estos contratos se comunican al Operador del Mercado para ser tenidos en cuenta en la realización del algoritmo de cierre del mercado.
Finalmente, el Operador del Mercado informa al Operador del Sistema acerca del programa diario de producción, y éste último tiene que asegurar la seguridad del sistema, y si es necesario introducir nuevos cambios hasta conseguir que el sistema funcione correctamente.
A nivel mundial, entre los mercados más relevantes se encuentran: la Interconexión PJM [37], el mercado de Nueva Inglaterra [48], el mercado de los países nórdicos [50], el mercado australiano [45], el mercado de Nueva Zelanda [49], el mercado de California [46] y el mercado peninsular español [18].
La entrada en operación de los mercados competitivos hace necesaria la predicción de los precios de la energía eléctrica. Esta predicción es imprescindible para que los productores y comercializadores elaboren sus ofertas diarias. Desde el punto de vista de
Capítulo 1 Introducción
4 la generación eficiente de energía eléctrica [25], [66], el conocimiento de los precios con anterioridad a la elaboración de las ofertas diarias tiene gran interés.
1.2 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
El objetivo básico de esta tesis es el desarrollo de modelos que permitan la predicción de los precios horarios de la electricidad de un mercado de energía eléctrica con un día de antelación.
Los modelos utilizados se basan en series temporales y la aplicación de redes neuronales. Dentro de los modelos basados en series temporales se distinguen dos modelos: modelo de Regresión Dinámica y modelo ARIMA.
Los modelos de series temporales se aplican para obtener las predicciones de los precios para cada una de las semanas seleccionadas del año 2000 en el mercado peninsular español y también en la Interconexión PJM [37] para el año 2002. Los modelos de redes neuronales sólo se aplican en la Interconexión PJM. Se estudian estos dos mercados para comparar la eficacia de cada uno estos modelos en dos mercados diferentes.
Con el objetivo de comparar las predicciones obtenidas con los diferentes modelos se define un modelo naive.
En este modelo naive la predicción para cada una de las 24 horas de un día corresponde al precio real del día anterior o la semana anterior, según corresponda. Los valores para la predicción de un lunes corresponden a los precios reales del lunes anterior. Análogamente sucede con los sábados y domingos; los valores predichos son los precios reales de sábados y domingos anteriores. En cambio, para martes, miércoles, jueves y viernes, la predicción para cada uno de estos días es la correspondiente al precio real del día anterior al que se quiere predecir.
Con este método naive se obtienen buenas predicciones en zonas donde el precio es estable y también cuando existe un comportamiento similar de una semana a la siguiente y de un día al siguiente.
Capítulo 1 Introducción Las tareas llevadas a cabo en esta tesis son las siguientes:
1. Desarrollo de varios modelos de series temporales para la predicción de los precios de la electricidad. Utilización de varios modelos de series temporales, como son el modelo ARIMA y el modelo de Regresión Dinámica para la predicción de precios. Estudio de las características y la fiabilidad de cada uno de los modelos en la predicción de precios y comparación de los resultados obtenidos con cada uno de ellos.
2. Desarrollo de modelos de series temporales con inclusión de series explicativas para la predicción de los precios de la electricidad. Con el fin de mejorar los resultados obtenidos con los modelos descritos en el apartado anterior se utilizan modelos de series temporales con inclusión de series explicativas. Algunas de las series explicativas son la demanda, el producible hidráulico, la reserva hidráulica, y una variable binaria para identificar los fines de semana. Se estudia la relación entre dichas variables con objeto de conocer cuándo es conveniente introducirlas en el modelo.
3. Desarrollo de modelos basados en redes neuronales para la predicción de los precios de la electricidad. Se comparan los resultados obtenidos con estos modelos con los ya obtenidos al utilizar los modelos basados en series temporales.
4. Aplicación de cada uno de los modelos anteriormente descritos tanto al mercado diario peninsular español [18], como a la Interconexión PJM [37]. Se estudian las características de cada mercado y se determina el método más adecuado para cada uno de ellos.
5. Se lleva a cabo un análisis comparativo de los distintos modelos, incluyendo el modelo naive, empleando datos del mercado diario peninsular español [18] y de la Interconexión PJM [37].
6. Se estudia la precisión y robustez de cada uno de los modelos al realizar la predicción.
Capítulo 1 Introducción
6 1.3 PREDICCIÓN MEDIANTE SERIES TEMPORALES
Las herramientas de predicción basadas en series temporales pueden ser de gran ayuda para la predicción a corto plazo de precios en un mercado eléctrico. Esto es, la predicción hoy de los 24 precios horarios de mañana.
Para predecir con precisión el precio es necesario seleccionar una metodología que logre capturar los patrones dinámicos de los valores pasados de la serie de precios, y para este propósito se han elegido el modelo ARIMA y el modelo de Regresión Dinámica. El modelo de Regresión Dinámica es más robusto que el modelo ARIMA, y con él se obtienen mejores resultados. El modelo ARIMA está muy influenciado por la volatilidad de la serie; sin embargo, en tramos estables de la serie, este modelo predice bien. Las series de precios de los mercados estudiados son muy volátiles, y por tanto el modelo ARIMA puede no proporcionar buenos resultados. La obtención de los modelos ARIMA y de Regresión Dinámica se realiza a través de un estudio detallado de las principales características de la serie de precios horaria, y de la serie de demandas, para el caso del modelo de Regresión Dinámica.
En la mayoría de los mercados eléctricos las características más relevantes de la serie de precios son las siguientes:
1. Alta frecuencia.
2. Media y varianza no constantes. 3. Estacionalidad diaria y semanal.
4. Influencia de los fines de semana y días festivos. 5. Alta volatilidad.
6. Alto porcentaje de precios atípicos (“outliers”), especialmente en periodos de alta demanda.
Es relevante notar que la serie de demandas ayuda a explicar el comportamiento de la serie de precios.
Capítulo 1 Introducción Se trabaja con series de precios desde septiembre del año 1999 a diciembre del año 2000 para el mercado peninsular español [18], y desde enero del año 2002 a diciembre de 2002 para la Interconexión PJM [37]. De estas series se seleccionan las horas que se utilizan para estimar el modelo; una vez estimado se calculan las predicciones para cada una de las semanas en estudio.
Una vez elegida la serie que se considera en cada una de las semanas en estudio, se busca el mejor modelo para obtener una buena predicción. Se utiliza un software comercial para la estimación del modelo. La estimación de los parámetros se hace mediante la minimización de la suma de los residuos al cuadrado o la maximización de la función de verosimilitud para los datos disponibles. Se obtiene la predicción para las 24 horas siguientes.
Los pasos a seguir para obtener las predicciones con los modelos de series temporales son los siguientes:
1. Análisis de la serie. Para ello, se representa ésta y se observa si es estacionaria, es decir, si presenta media y varianza constantes. Si la serie no es estacionaria hay que transformarla tomando logaritmos para estabilizar la varianza, y/o diferenciaciones para estabilizar la media. A continuación se representa la función de autocorrelación y la función de autocorrelación parcial, que son los elementos que ayudan a identificar el tipo de modelo al que se ajusta la serie, además de ayudar a identificar si la serie tiene algún comportamiento estacional, que habría que considerar a la hora de especificar el modelo a emplear.
2. Elección del modelo a emplear. Se trata de identificar el modelo que mejor se ajusta a la serie. Se utiliza el análisis hecho anteriormente.
3. Estimación de los parámetros del modelo. La estimación de los parámetros se realiza minimizando la suma de errores al cuadrado o maximizando la función de verosimilitud.
4. Validación del modelo. Se comprueba si los parámetros del modelo son significativos para lo que se realiza un estudio de los residuos obtenidos al estimar el modelo, comprobando si éstos se comportan como un ruido blanco, que es un requisito de partida del modelo. Si esto es así, el modelo es adecuado y se está en condiciones de realizar la predicción.
Capítulo 1 Introducción
8 5. Predicción. Se realizan las predicciones para el modelo obtenido.
Se analizan asimismo otras series relacionadas con la serie de precios, que puedan ser útiles en la predicción de los mismos. A estas series se las denomina series explicativas, como son la demanda eléctrica y las reservas hidráulicas de los embalses, por ejemplo.
1.4 PREDICCIÓN MEDIANTE REDES NEURONALES
Los modelos de series temporales se complementan con procedimientos basados en redes neuronales.
En el procedimiento desarrollado se utiliza el método de “backpropagation”, creado para redes multicapa y funciones de transferencia no lineales. En general, en las redes neuronales los vectores de entrada y los correspondientes vectores de salida se usan para “entrenar” la red hasta que ésta se aproxima al modelo requerido. Normalmente se obtienen buenas respuestas cuando los vectores de entrada usados en el entrenamiento son similares a las nuevas entradas. Con el método de “backpropagation” pueden obtenerse buenas respuestas cuando se presentan entradas que no se han empleado en el entrenamiento.
Los pasos a seguir para obtener las predicciones con un modelo de redes neuronales son los siguientes:
1. Selección de los datos de entrenamiento y predicción. Se seleccionan los datos de entrada y salida que se usan para el entrenamiento y los datos de entrada utilizados para obtener las predicciones. Estos datos se normalizan para obtener mejores predicciones.
2. Selección de la arquitectura de la red. Se decide el número de capas que componen la red, el número de neuronas que componen cada capa y las funciones de transferencia correspondientes a cada una de las neuronas de las capas ocultas y de la capa de salida.
3. Entrenamiento. Con la arquitectura de la red y los datos de entrenamiento seleccionados se inicia el entrenamiento, que consiste en minimizar la diferencia
Capítulo 1 Introducción entre la salida obtenida por la red al introducir los datos de entrenamiento y la verdadera salida para así obtener los valores de los parámetros que componen la red. Este proceso se repite hasta que esa diferencia es suficientemente pequeña. En caso de no conseguir una diferencia suficientemente pequeña, se procede a cambiar la estructura de la red o a cambiar el valor inicial dado a los parámetros que componen la red.
4. Predicción. Los valores de los parámetros que componen la red, obtenidos en el entrenamiento, se utilizan para calcular las predicciones. Los datos utilizados como entrada son los seleccionados para predicción.
5. Validación. Se calcula el error entre el valor obtenido por la red y el valor real. Si el error es pequeño, la red y los datos seleccionados se pueden considerar adecuados, en caso contrario se vuelven a seleccionar de nuevo los datos de entrenamiento y se repite el proceso.
1.5 MOTIVACIÓN Y JUSTIFICACIÓN
Los nuevos mercados eléctricos competitivos hacen imprescindible que las empresas de producción y comercialización cuenten con herramientas de ayuda para la elaboración de sus ofertas diarias. La predicción de los precios resulta crítica a la hora de realizar ofertas a mercados diversos. Debe notarse que la predicción de precios es sensiblemente más compleja que la predicción de la demanda ya que el nivel de incertidumbre es mayor.
Conocer los precios con anterioridad hace posible que los generadores determinen su estrategia de producción óptima y oferten a precios adecuados, de tal forma que se maximice su beneficio [3], [19]. Análogamente, si los consumidores y las comercializadoras conocen los precios pueden planificar su consumo y ofertar en consecuencia, lo que revierte en maximizar su utilidad.
Por tanto las predicciones de precios son fundamentales tanto para los productores como para los consumidores, ya que dichas predicciones les permiten maximizar sus beneficios y sus utilidades, respectivamente.
