O bras afines:
VALOR EN RIESGO
El nuevo paradigma para el control de riesgos con derivados Jorion
i s un hecho que el entorno regulatorlo para la administración de riesgos fi nancieros, en este siglo, se basará en el concepto de Valor en Riesgo. Cual quier banco, casa de bolsa, empresa privada o entidad gubernamental, tendrá que establecer la exposición al nesgo en sus hojas de balance en términos del Valor en Riesgo, lo cual exigiré un conocimiento elemental sobre proba bilidades y ganancias, que típicamente es ignorado en los sistemas contables anacrónicos. El libro Valor en Riesgo de Philippe Jorion proporciona un Inte resante panorama de esta apasionante área de las finanzas aplicadas.
FUTUROS Y OPCIONES FINANCIERAS Ofaz Tinoco
Trata de los profundos cambios que ha experimentado el mercado, en especial ei de futuros financieros que pronto se ampliarán a la operación de opciones. Este mercado permitirá a los Inversionistas mayores oportunidades de inversión, a la vez de reducir la incertidumbre en los mercados financieros, tan característica de nuestros países en los últimos meses.
9 mérito de este libro es que presenta de manera senciia, ciara e Intuitiva, las características básicas de los futuros y las opciones financieras, su eva luación y las estrategias básicas del negociador.
MEDICIÓN INTEGRAL DEL RIESGO DE CRÉDITO Elizondo
En los últimos artos las quiebras y pérdidas relacionadas con los mercados emergentes y otros que no k> son. motivaron la elaboración de múltiples tra bajes. Medición integral del riesgo de crédito presenta los primeros ensayos sobre las herramientas desarrolladas para la administración de este riesgo y de técnicas integradas para valuar, ya sea aspectos Individuales o portafolios de crédito corporativo. Algunos délos temas que trata la obra son: • Técnicas de valuación Individual.
- Bases de datos comprensivas y relevantes.
• Intentos por resolver el problema de riesgo de crédito de portafolio. - Estructuración y negociación de derivados de crédito y otros tipos da
seguro de crédito y garantías.
La obra es una magnifica recopilación de ensayos, que sin duda ayudará al profesional del crédito a mejorar la administración de! riesgo crediticio.
El mercado al que está dirigida comprende a estudiantes de Economía y Finanzas, profesionales del crédito y cobranzas, administradores de riesgos, compañías de seguros y profesionales de> corretaje.
EL MANEJO DEL RIESGO CAMBIARIO Las opcionee sobre divisas
Chesney
Obra que surge de la necesidad de contar con una referencia de fácil acceso a uno de los instrumentos de cobertura de riesgo cambiano más eficientes: la opción sobre la divisa. Esta versión, publicada originalmente en francés, ha Bido actualizada y adaptada al caso latinoamericano, en especial al mexicano.
E! libro expone gradualmente, yendo de lo simple a lo complicado, las herramientas relacionadas con el riesgo cambiarlo, expuestas a manera de hacerlas más accesibles al lector, quien además podrá remitirse directamente a los anexos que contienen los aspectos técnicos y métodos de valuación de las opciones más recientes.
Medición y control
de riesgos
financieros
Te r c e r a e d i c i ó n
Alfonso de Lara Haro
LIM U S A _________
j üvj'nut u o n o íy t í i n r w n a e r o s ' w ion so
De Lara. - 3a. ed. - M é x ic o: Umuaa, 2008.
220 p .: II. : 15.5x23 cm. ISBN-13: 978-968-10-5444-8 Rústica. 1. A d m in i s t r a c ió n d e r ie s g o s 2 . A d m in is t r a c ió n d e C r é d it o s Deway: 658.155 ] 22 / L3l8m LC: HD61 La P R E S E N TA C IO N Y D S P O S C t O N E N C O N JU N T O O E MEDICIÓNY CONTROL DE RIESGOS FINANCIEROS
SO N PR O PIEDA D D a E D ITO R . N IN G U N A P A R TE D E E S T A OBRA P UED E S E R R EPR O DUCID A O TR AN S M ITID A, M E D IAN TE NINGUN S IS T E M A O M E T O D O , E L E C TR Ó N IC O O N E C A M C O (INCLU YENDO a FOTO CO PIAD O , L A GRABACIÓN 0 C UALQUIER SISTEMA OE R E C U P E R A C IÓ N Y A L M A C E N A M IE N T O D E IN FORM AC IÓN), SIN C O N SE N TIM IE N TO POR E S C R ITO D a E D ITO R .
De r e c h o s r e s e r v a d o s:
0 2 0 0 8 . EDITORIAL LIMUSA, SA. d e C.V. GRUPO MORIEGA EDITORES B a l o e r a s 9 5 , M é x i c o . D.F. C.P. 06040 5130 0700 | R 5512 2903 w ilmusa0noiiega.conn.iTix r www.nonega.com.mx CANIEM N u m . 1 2 1 H e c h o e n M é x i c o ISBN-13: 978-968-18-0444-6 5.3
P re fa cio a la
te rc e ra e d ic ió n
Ninguna técnica a n a lítica p o r m ás so fistica d a que sea. p o d rá reem plazar a la experiencia y e l buen ju ic io p ro fe sio n a l en e l m anejo de riesgos.
JP M organ
Las dos ed icio n es a n terio res d e este lib ro fu ero n rec ib id a s c o n b e n e p lá c ito en el m edio financiero m ex ican o , en a lg u n as escu elas d e ed u c a c ió n su p e rio r e n el p aís y en algunos p aíses latin o am erican o s. Esta situ ació n , q u e se h a reflejad o en varios miles de ejem p lares v e n d id o s e n tan só lo u n a ñ o d e v id a d e e sta o b ra , m e o b lig a a actualizarla y p erfeccio n arla.
Los co m e n ta rio s q u e lleg aro n a m í d u ra n te l a d istrib u c ió n d e las p rim e ra s dos ediciones del libro han sid o m u y a fo rtu n ad o s, p u e s refieren q u e esta o b ra h a sid o un instrum ento ad ecu ad o p a ra im p a rtir cu rso s de ad m in istra c ió n d e rie sg o s d e m e rc a do. lo cual ag ra d e z co p ro fu n d a m e n te . Sin em b a rg o , m e h a n se ñ a la d o , c o n ju s ta razón, q ue un so lo c a p ítu lo referen te a la m e d ic ió n d e riesg o s d e c ré d ito es in su fi ciente.
Por ello, d ad o q u e el o b je tiv o p lan tead o d esd e la p rim e ra e d ic ió n fue c o n ta r con un instrum ento d id á c tic o p a ra c o n o c e r las té c n ic a s g en e ra lm e n te ace p ta d as en m ateria d e m ed ició n y co n tro l d e riesg o s fin an ciero s, y p re te n d ien d o h a c e r én fasis en las técnicas cu a n tita tiv a s d e m ed ició n d e rie sg o s, se a n ésto s d e m e rc a d o o d e crédito, se ha d iseñ ad o esta te rc e ra edición q ue p re te n d e m a n te n e r u n san o eq u ili brio entre los co n cep to s de m e d ic ió n d e riesgos d e m e rc a d o y de c ré d ito , sin m en o s cabo de lo s riesg o s o p e ra c io n a les. E sto perm itirá que lo s cu rso s de a d m in istració n
c riesgos q ue se apoyen en e ste tex to sean m ás co m p leto s.
M edición y c o n tro l d e riesg o s fin a n c ie ro s e s un esfu erzo p a ra c o n trib u ir a cu rire l hueco q ue a c tu a lm e n te h a y en tre la re a lid a d del m e rc a d o y la a c ad em ia. El s i o de este libro e s p ra g m á tic o . A u n si el lecto r n o tien e c o n o c im ie n to s d e m a- ü b r'1111'1^ c o m p re n d e r lo s co n cep to s y m a n ejarlo s d e m a n e ra intuitiva. E l contem pla ejem p lo s n u m érico s p a ra ay u d ar a e n te n d e r e l m an ejo y la aplica- n & l«s conceptos.
5 Prefacio
L os lectores objetivo de este libro son:
• Estudiantes d e finanzas a nivel de licenciatura y maestría.
• E jecutivos que se encuentren en el sector financiero, ya sea bancos, casas
de bolsa, casas de cam bio, afores o e n fondos de inversión.
• E jecutivos que se encuentren en áreas de finanzas en em presas no finan
cieras.
• R eguladores del sector financiero.
Esta tercera edición contiene las siguientes adiciones y mejoras:
• U n n uevo capitulo relativo al riesgo de crédito, en eí que se explican con detalle las tres m etodologías m ás conocidas para la m edición y control de este tipo de riesgo: el m odelo de KM V, C reditm etrics y C redit R isk Plus.
• E l m a terial d e la seg u n d a edición se ha actu alizad o y se ha h e ch o m ás a c c e s ib le el len g u aje m a te m á tic o p a ra q ue p u e d a ser en te n d id o p o r m á s personas.
• Se añadió un Índice tem ático al final del libro y una tabla con ios valores d e la curva norm al estandarizada.
Este lib ro está diseñado para se r leído desde el principio hasta el final, o bien, p a ra ser utilizado com o referencia en secciones especificas.
El prim er capitulo consiste fundam entalm ente en u na introducción a la fu n ción de adm inistración de riesgos, en la q ue se intenta proporcionar al lector ele m entos para entender las diferentes naturalezas de riesgos qu e existen y explicar la evolución y ía im portancia d e esta ram a de las finanzas.
El segundo capitulo se refiere a los fundam entos y principios m atem áticos y estadísticos q ue son necesarios para com prender los capítulos relacionados con la m edición cuantitativa de riesgos. El capitulo tercero se refiere al concepto d e la vola tilidad y pretende profundizar en el cálculo d e los diferentes tipos de volatilidad que existen, así com o resaltar la im portancia qu e tiene este concepto en la m edición del “ valor en riesgo”.
En el capítulo cuarto se establecen los conceptos básicos de valor en riesgo ( VaR) y las técnicas m ás com unes para su cálculo. Se parte de un activo individual
y se ex tiende la explicación a un portafolios d e activos. T am bién se explican las bases d e la m anipulación de m atrices para aquellos lectores q ue desconocen estos conceptos o que si bien los estudiaron hace algún tiem po, probablem ente requie ran de un breve recordatorio.
En el capítulo quinto se exam ina el tem a d e las tasas de interés en sus diferen tes m odalidades, conceptos tales com o duración y convexidad, asi com o el cálculo
Prefacio 7
de valor mi riesgo p a ra un instrum ento de m ercado de dinero y un portafolios de instrumentos de deuda. E s necesario señalar que este capítulo reviste u n a im portan cia lündam ental, ya que el cálculo de valor en riesgo para instrum entos que tienen un plazo de vencim iento, e s enteram ente sem ejante para productos derivados. Asi mismo- se hace especial énfasis en los procedim ientos d e m ap eo o descom posición de posiciones para el cálculo del valor en riesgo.
En el capitulo sex to se aplican las técnicas de valuación y m edición de riesgos en algunos productos derivados, básicam ente futuros de acciones o de tipos de cambio, futuros de tasas de interés, opciones, sw aps d e tasas de interés y d e divisas. En el capitulo séptim o se ex am ina el m odelo de Mcrntecarlo p a ra m ed ir los riesgos en instrumentos no-lineales, com o es el caso de las opciones financieras.
El capítulo octavo se enfoca básicam ente a! tem a de calibración de m odelos mediante pruebas de “backtesting" y exam ina el uso d e pruebas de valores extre mos o de “yiress". E ste capitulo com plem enta al capítulo cuarto.
En el capitulo noveno se intenta establecer una introducción a la m edición de riesgos de crédito. S e señala u na síntesis del análisis d e crédito tradicional, el riesgo de crédito en los m ercados financieros y un an álisis d e las técnicas para d eterm i nar las probabilidades de incum plim iento y las m atrices d e probabilidades d e tra n sición.
En el capítulo décim o se explican las m etodologías de m edición de riesgos de mercado, principalm ente el m odelo KMV, C redilm etrícs y C redit R isk Plus. N o obstante q ue hoy n o existe un paradigm a en este sentido, estos m odelos obedecen a prácticas generalm ente aceptadas.
En d capítulo undécimo se presentan algunos indicadores para m edir el desem peño d e un portafolios d e activos de inversión ajustados p o r riesgo.
finalm ente, en el capitulo duodécim o se presenta una perspectiva m odesta de como m edir cualitativa y cuantitativam ente el riesgo operativo, que constituye uno de los desafios m ás im portantes para las instituciones financieras hoy en dia.
Quiero reiterar mi gratitud a todos aquellos q ue han adquirido la obra en su primera o segunda edición y que, por tanto, han contribuido para que este libro sea un éxito.
Debo m anifestar que nunca h e considerado, ni considero hoy, com o inm ejora ble y com pleta una obra com o ésta, que probablem ente jam ás podrá reunir tales características.
Finalmente, quizá para algunos lectores éste quizás sea el libro introductorio m icado y cum pla con un objetivo fundam ental: instruir y enseñar, pero m ás aún,
espertar b ap eten cia y la curiosidad por esta nueva disciplina.
A g ra d e c im ie n to s
D ebo expresar mi agradecim iento a quienes contribuyeron a que este libro fuera nu reaÜdad. T odas las personas q ue consulté están m uy ocupadas y, sin em bargo.
aportaron ideas para enriquecer este trabajo. A gradezco en particular a Jaim e Díaz T inoco, Jaim e V illaseñor, E frén del R osal, G abriel R am írez, Ariel Padilla, Luis Longoria, Felipe de Yturbe, F.mesto M ontiel, Jesú s V elasco, Jorge A legría, Javie* D íaz B rassetti y A lberto M iranda. T am bién expreso mi gratitud a algunos p ro fe s a res de finanzas del Instituto T ecnológico A utónom o de M éxico, la U niversidad A náhuac, la U niversidad Iberoam ericana y la U niversidad N acional A utónom a de M éxico.
U n a m ención aparte m erece m i fam ilia. A m i esposa G abriela y a m is hijaj Use y Jessica, gracias p o r su continuo apoyo y com prensión.
Sólo m e resta un com entario dirigido a m is colegas del m edio financiero que suelen ser m uy críticos. Las preguntas, dudas y críticas que suscite, servirán ta n a bién com o aportación al acervo d e conocim ientos en m ateria d e m edición y c o n tro! d e riesgos. Para algunos será el libro introductorio indicado, p ero a otros q u r íi n o les agrade. N ad ie está o b lig ad o a u sarlo . D ejém oslo en trar a las aulas p arf beneficio d e quienes sean capaces d e discernir su im portancia y significado.
C ontenido
Prefacio a la tercera edición
1. LA FLTNCIÓN DE
ADMINISTRACIÓN DE RIESGOS
1.1 Antecedentes de la administración de riesgos 1.2 Clasificación de lo-s riesgos
financieros
1.3 F.I proceso de administración de riesgos 1.4 Desastres financieros en ausencia de administración de riesgos 2. RENDIMIENTO Y RIESGO 2.1 Rendimiento
2.2 Medición del riesgo 2.3 Distribución normal o
de campana 2.4 Covarianza 2.5 Correlación
2.6 Modelo CAPM: Capital As set Pricing Model '■7 Intervalos de confianza 2-8 Distribución normal
estandarizada 3. Lav o l a t il i d a d
2-1 Volatilidad histórica 2-2 Volatilidad dinámica o con
^uavizamiento exponencial
5 3.3 Volatilidad implícita
3.4 Series de tiempo para
49 modelar volatilidad
3.5 Modelos Arch y
50
n Garch 53
13 4. CONCEPTOS BÁSICOS DEL
MODELO DE VALOR EN
ló RIESGO
4.1 Definición del valor
57
17 en riesgo
4.2 Metodologías para el cálculo 59
del VaR 60
2 0 4.3 Problemas del VaR 70
25 5. EL RIESGO EN MERCADO 27 DE DINERO 73 28 5.1 Tasas de interés 5.2 Estructura de tasas 75 29 de interés 77
34 5.3 Tasas de interés futuras
35 o /ornarás 79
5.4 El reporto 81
35 5.5 Concepto de duración 82
36 5.6 Concepto de convexidad
5.7 Valor en riesgo para un
84
38 instrumento de deuda
5.8 Valor en riesgo para un
8 6 41 portafolios de instrumentos 44 de deuda 5.9 Mapeo o descomposición de 87 46 posiciones 89 9
5.10 V aloren riesgo para un 9.2 Análisis de crédito en los
portafolios de instrumentos de marcados financieros 166
deuda con mapco 93 9.3 Modelos para el cálculo de
5.11 Valor en riesgo en probabilidades de
instrumentos de tasa flotante 96 incumplimiento 168
9.4 El modelo de Z-Scorc de
L EL RIESGO EN PRODUCTOS Alunan 169
DERIVADOS 101 9.5 Modelos Probit o Logit 171
6.1 Los productos derivados 103
6.2 Valuación de productos 10. ELCRED1T VAR 173
derivados 105 10.1 Modelo KMV para
6.3 Contratos de forwards y probabilidades de
futuros 106 incumplimiento 175,
6.4 VaR para posiciones de 10.2 Metodología propuesta por
futuros y forwards 110 Creditmetrícs 183
6.5 FRA (forward rale 10.3 Metodología propuesta por
agreements): futuros de Credit Suisse denominada
tasas de interés 112 Credil Risk P!us 190
6 .6 VaR en contratos de futuros 10.4 Comparación entre ios tres 1
de tasas de interés (FRA) 114 modelos 193
6.7 Contratos de opciones 116
6 .8 Swaps de tasa de interés 131 11. MEDIDAS DE DESEMPEÑO
6.9 VaR de swaps de tasa de AJUSTADAS POR RIESGO 19-fl
interés 135 U .l Indicador de Sharpe 2 0 0Í
6.10 Swaps de divisas 137 11.2 Indicador de Treynor 2 0 0'
11.3 Rendimiento sobre capital
7. MODELO MONTECARLO 141 en riesgo 2 0 1
7.1 Generación de escenarios 143
7.2 Valor en riesgo para un 12. EL RIESGO OPERATIVO 203
activo con el modelo 12.1 Definición de riesgo
Montecarlo 145 operativo 205
7.3 Modelo Montecarlo para 12.2 Clasificación de riesgos
opciones 146 operativos 206
7.4 Modelo Montecarlo 12.3 Identificación cualitativa de
estructurado 148 riesgos operativos 206
12.4 Medición cuantitativa de
8. PRUEBAS DE BACKTESTINC Y riesgos operativos 2 0^
STRESS TESTING 151
8.1 Stress testing (prueba de BIBLIOGRAFÍA 2 1 1
valores extremos) 153
8.2 Backtesting (verificación y TABLA DE ÁREAS DE LA CURVA
calibración del modelo) 155 NORMAL ESTÁNDAR 2 1 3
9. MODELOS DE RIESGO In d i c e t e m á t i c o 2 ) 1
DE CRÉDITO 161
9.1 Análisis de crédito tradicional 163
C A P I T U L O 1
La función de
a d m in istra ció n
de riesgos
La función de un ejecutivo es decidir entre alternativas hom ogéneas. La
adm inistración de riesgos es u na herram ienta q ue ayu d a e n el proceso de tom a de decisiones. N o sólo convierte la incertidum brc en oportunidad, sino evita el suicidio financiero y catástrofes de graves consecuencias.
El riesgo es un aspecto relacionado con la psicología del se r hum ano, con las matemáticas, la estadística y la experiencia adquirida a través de los años. L a función de Ja adm inistración d e riesgos e s en esen cia un m étodo racional y sistemático para entender los riesgos, m edirlos y controlarlos en un entorno en el que prevalecen instrum entos financieros sofisticados, m ercados financieros que se mueven con gran rapidez y avances tecnológicos en lo s sistem as d e inform ación que marcan nuestra era.
La función de
adm inistració n
de riesgos
1.1
Antecedentes de la adm inistración de riesgos
L
a palabra riesgo proviene del lalin por un sendero peligroso. En realidad tiene un significado negativo, relaciona* risicare, que significa atreverse o transitar o coa peligro, daño, siniestro o pérdida. Sin embargo, el riesgo es parte inevitable de >s procesos de tom a de decisiones en general y de los procesos de inversión en articular El beneficio que se pueda obtener por cualquier decisión o acción que se debe asociarse necesariamente con el riesgo inherente a dicha decisión o cción. En finanzas, el concepto de riesgo se relaciona con las pérdidas potenciales ue se pueden sufrir en un portafolios de inversión.La medición efectiva y cuantitativa dei riesgo se asocia con la probabilidad de
Í
ta pérdida en el futuro. Los seres humanos deben conocer y responder de manera tuitiva o cuantitativa a las probabilidades que confrontan en cada decisión. La■encía de la administración de riesgos consiste en medir esas probabilidades en m ieuus de incertidumbre.
Quizá los primeros estudios serios de nociones de probabilidad se desarroUa- | 11 en L‘l s|glo xvi. durante la época del Renacimiento. En esa etapa la ciencia y la |vn»liigia avanzaron a un ritmo mucho m ayor que en los siglos de la Edad Media.
^im luino C'ardano (1500-1571) nació en Milán, Italia; se le conoce porque * t vbu» su propia biografía en un libro titulado D e Vita Propia Líber (E llibro de m i
, Ü utl mt-‘d*co prestigiado y a través de este libro se sabe de su afición por los e J¿ar• en especial los dados, las cartas y e! ajedrez. A través dei estudio de bdacT* ^e-*ue^os’ en Particular con los dados, realizó múltiples análisis de proba- 1 3 durante su vida escribió 131 trabajos publicados y dejó 1 11 manuscritos
14 L a fu n ció n d e a d m in is tra ció n d e rie sg o s
sin publicar. Estos escritos analizan tem as d e m atem áticas, astronom ía, física, astro- logia y m edicina.
El libro de m atem áticas m ás im portante que escribió C ardano se den o m in ó .4rs M agna (E lg ra n arte). Fue publicado en 1545 y se concentró en álgebra. En él, C ardano propone la solución a polinom ios de segundo y tercer grado. Sin em bargo! el libro que desarrolla los principios de la teoría de la probabilidad se denom ina
L íb er d e Ludo A lear (Libro d e ju e g o s J e azar), publicado en I663, después de que C ardano m urió. E n esta obra propuso el térm ino "probable” , q ue se refiere a cveoí to s cuyo resultado es incierto. Por ello, C ardano se puede considerar com o la prim eaj persona q ue se refirió al riesgo m ediante la probabilidad com o m edida de frccuofl cia relativa d e eventos aleatorios.
L a palabra latina p ro b a re significa probar o aprobar. C ardano fue quien int dujo p o r prim era v ez el concepto d e probabilidad. Este térm ino h a evoluciona con el tiem po. El concepto d e probabilidad q ue C ardano desarrolló se refiere al grad o de cred ib ilid ad o ap ro b ació n d e u n a opinión. Sin embaFgo, u n a idea m is 1 reciente del térm ino probabilidad se asocia con resu ltad o s futuros que m iden eB grado d e incertidum bre. Este ú ltim o concepto se desarrolló cu ando fue p osible m e -. d ir cuantitativam ente la probabilidad con la frecuencia relativa d e eventos pasac
O tro italiano q ue analizó y escribió acerca de la teoría de la probabilidad fue G alilco (1564-1642). El escrito m ás conocido relacionado con dicha teo ria se tituló
Sopra le Scaperte d e lD a d i (Jugando a lo s dados). En él, com o en la obra de Curda G alileo analiza la frecuencia d e diferentes com binaciones y posibles resultados tirar los dados.
T res personajes que sig u iero n a C ardano y G a lile o prop u siero n un m e l o s a sistem ático p a ra m ed ir la probabilidad. El prim ero fue B las Pascal, el s c g u itif l P ierre de F erm at y el tercero C h e v a lie rd e M ére. L os tre s eran fran ceses a c a d é t ^ J eo s p e rten ecien tes al siglo xvti. F erm at u tilizó co n cep to s alg eb raico s, C hevaiier ^ fue intuitivo y filósofo y Pascal aplicó co n cep to s g eo m étrico s a la teo ria d e la probabilidad (m ediante el triángulo de Pascal es posible analizar las probabilidac de un evento).
Los avances en álgebra y cálculo diferencial e integral q ue ocurrieron en los siglos xvn y xviti propiciaron m últiples aplicaciones en la teoria d e la probabilidad^ desd e la m edición de riesgos en seguros e inversiones, hasta tem as relacionados con” m edicina, física y pronóstico de las condiciones del tiem po.
En 1730. A braham de M oivre propuso la estructura d e la distribución de prob bilidad norm al (conocida com o distribución de cam pana) y el concepto d e dos\ ción estándar. O cho años m ás tarde, D aniel B em oulü definió un proceso sistemátfc para la tom a d e decisiones, basado en probabilidades, situación que dio lugar a loj que h o y se conoce com o teoría d e ju eg o s e investigación de operaciones. Los de cubrim ientos de B em oulii so n todavía paradigm as en el com portam iento raciona de un inversionista; por ejem plo, propuso la idea de que el grado d e satisfacción qi resulta d e un aum ento en la riqueza de una perso n a es inversam ente proporcional i
A nte ce d e n te s de la a d m in istración d e rie sg o s 15
cantidad de bienes c o n q u e esa perso n a cuenta. Esto explica p o r qué el ser hum a- 18 'ente la aversión al riesgo y p o r qué el Rey M idas era un hom bre in feliz. 1 n° SCien años después de la notable contribución de P ascal y Ferm at, el inglés
mas Bayes aportó una nueva teoría d e la probabilidad, dem ostrando cóm o lo- r mejores decisiones incorporando nueva inform ación a inform es anteriores. m8r En 1875. Erancis G alton descubrió el concqpto de "regresión a la m ed ia", el
i se refiere a que, a pesar de las fluctuaciones en los precios qu e se pueden observar en los m ercados organizados y de que io s activos q ue cotizan en dichos mercados pueden estar sobrevaluados o subvaluados, siem pre habrá una fuerza n a tural que presione los precios al valor prom edio históricam ente o b servado o a la “restauración de la norm alidad” . G alton transform ó el concepto de probabilidad estático en uno dinám ico.
En 195^. Harry M arkowitz. prem io N obel de econom ía, desarrolló la teoría de portafolios y el concepto d e qu e en la m edida en que se añaden activos a un a cartera d e inversión, el riesgo (m edido a través de la desviación estándar) dism inuye como consecuencia d e la d iv e rsificació n . T am b ién p ro p u so el co n c e p to d e co v arian za y correlación, es decir, en la m edida en que se tienen activos negativam ente correla cionados entre sí, el riesgo de m ercado d e u na cartera d e activos dism inuye.
En el periodo com prendido entre 1970 y 2000. la proliferación de nuevos in s trumentos financieros ha sido notable, así com o el increm ento en la volatilidad de las variables que afectan el precio de esos instrum entos, cales com o tipos de cambio, tasas de interés, etc. Destaca en particular el desarrollo de productos derivados (fu turos, opciones y sw aps) en este periodo. E l desarrollo m ás im portante probable mente se dio en 1973 con la contribución que hicieron Fishcr Black y M yron Scholes al proponer la fórmula para valuar el precio de las opciones financieras.1
En 1994. el banco estadounidense JP M organ propuso, en su docum ento téc nico denom inado Riskm etrics. el concepto de "v a lo r en riesgo” com o m odelo para m edir cu an titativ am en te lo s riesg o s de m erc a d o en in stru m en to s fin an ciero s o portafolios con varios tipos de instrum entos. El v a lo re n riesgo (V aR ) es un m odelo estadístico basado en la teoría d e la probabilidad. 1
No obstante que la palabra estadística se deriva del latín status, q ue significa estado” y que el concepto tradicional de estadística se asocia con la presentación de resúmenes, inform ación ordenada y relevante, asi com o gráficas qu e explican el estado” de algún aspecto económ ico, dem ográfico o politico, el concepto m oderno de valor en riesgo está m uy lejos d e estar asociado con un sim ple conjunto descrip- tivo de núm eros y gráficas.
Con ¡a propuesta d e JP M organ, en 3a cual se incorporan los conceptos de esta n c a desarrollados desde el siglo xvti, la adm inistración de riesgos m oderna en los
rales del siglo xxi se concibe com o la adopción de un enfoque m ás proactivo, que transforma la m anera de m edir y m onítorear los riesgos.
C on el tiem po. los m atem áticos h an transform ado la teo ría de la probabilidad, ser un instrum ento aplicado al pronóstico d e ganar o p erd er en ju eg o s de azar, a
16 L a función d e adm inistración d e riesgos
una poderosa herramienta que involucra información de posiciones en riesgo en grandes corporaciones, para su m edición y monitoreo.
Hoy en dia existe una mejor definición de riesgos, nuevos estándares (paradig mas) en la medición cuantitativa de los mismos y se han diseñado nuevas estructuras organizacionales con vocación de investigación aplicada en modelos matemáticos y técnicas especializadas.
En adición al enfoque organizacional en las instituciones para realizar una efec tiva administración de riesgos, vale la pena señalar que los avances en la tecnología han facilitado el proceso de identificación, evaluación y control de riesgos. El bajo costo de la computadora ha permitido procesar considerables volúmenes de infor mación en un tiempo muy reducido.
Lo anterior no sorprende si se observa la evolución tanto de los mercados fi nancieros en M éxico y en el ámbito internacional com o de la regulación que está cada vez m ás especializada en lograr una m edición de riesgos m ás completa, obj&j tiva y cuantitativa.
1.2
Clasificación de los riesgos financieros
Existen diferentes naturalezas de riesgos, las cuales se pueden clasificar en las si guientes categorias;J
• Se entiende como riesgo de mercado la pérdida que puede sufrir un inverl
sionista debido a la diferencia en los precios que se registran en el mercadq o en movimientos de los llamados factores de riesgo (tasas de interés, tipo® de cambio, etc.). También se puede definir m ás formalmente com o la posi-f bitidad de que el valor presente neto de un portafolios se mueva adversai mente ame cambios en las variables macroeconómicas que determinan el precio de los instrumentos que com ponen una cartera de valores.
• El riesgo de crédito es el m ás antiguo y probablemente el m ás importante que enfrentan los bancos. Se puede definir como la pérdida potencial pro ducto del incumplimiento de la contraparte en una operación que incluye un compromiso de pago.
• El riesgo d e liquidez se refiere a las pérdidas que puede sufrir una institu ción al requerir una m ayor cantidad de recursos para financiar sus acti vos a un costo posiblem ente inaceptable. Los bancos son m uy sensibles a las variaciones en las tasas de interés: y el manejo de activos y pasivos (A sset-Liability M anagement) se convierte en una de las ramas de la ad ministración de riesgos que cubre este aspecto. El riesgo de liquidez se refiere también a la imposibilidad de transform ar en efectivo un activo o portafolios (im posibilidad de vender un activo en el m ercado). Este ries
E l proceso d e adm inistración d e riesgos 17
go se presenta en situaciones de crisis, cuando en los mercados hay úni camente vendedores.
, El riesgo legal se refiere a la pérdida que se sufre en caso de que exista incumplimiento de una contraparte y no se pueda exigir, por la v ía ju ríd i ca, cum plir con los com prom isos de pago. Se refiere a operaciones que tengan algún error de interpretación jurídica o alguna omisión en la do cumentación.
• El riesgo operativo ts u n concepto muy amplio y se asocia con fallas en los sistemas, procedimientos, en los modelos o en las personas que manejan dichos sistemas. También se relaciona con pérdidas por fraudes o p o r falta de capacitación de algún em pleado en la organización. Asim ism o, este tipo de riesgo se atribuye a las pérdidas en que puede incurrir una empresa o institución por la eventual renuncia de algún empleado o funcionario, quien durante el periodo en que laboró en dicha empresa concentró todo el conocimiento especializado en algún proceso clave.
• El riesgo de reputación es el relativo a las pérdidas que podrían resultar como consecuencia de no concretar oportunidades de negocio atribuibles a un desprestigio de una institución por falta de capacitación del personal clave, fraude o errores en la ejecución de alguna operación. Si el mercado percibe que la institución comete errores en algún proceso clave d e la ope ración, es lógico que los clientes considerarán eventualmente cam biar de institución.
1.3
El proceso de adm inistración de riesgos
El objetivo de la administración de riesgos puede expresarse en dos sentidos:
• Asegurarse de que una institución o inversionista no sufra pérdidas econó
micas inaceptables (no tolerables).
• Mejorar el desempeño financiero de dicho agente económico, tom ando en
cuenta el rendimiento ajustado por riesgo.
Lo anterior se logra entendiendo los riesgos que toma la institución, midiendo dichos riesgos, estableciendo controles de riesgo y comunicando dichos riesgos a los ó ra n o s colegiados correspondientes (comité de riesgos o consejo de adminis tración!.
Ll proceso de la administración de riesgos implica, en prim er lugar, la identifi cación de riesgos, en segundo su cuantificación y control mediante el estableci miento de limites de tolerancia al riesgo y, finalmente, la modificación o nulificación
v ^ 'chos riesgos a través de dism inuir la exposición al riesgo o de instrumentar una ctiberiura. A continuación se m uestra esquemáticamente este proceso:
18 La función d e adm inistración d e riesgos identificación Cuantíficación > Ratificación? > ¿Modificación? ¿Nulificacióftí F u e n te : R o b e n K o p p ra sc h
Para lograr una efectiva identificación de riesgos es necesario considerar las dife rentes naturalezas de riesgos que se presentan en una transacción. Los riesgos de mer cado se asocian a la volatilidad, estructura de correlaciones y liquidez, pero éstos no pueden estar separados de otros, como riesgos operativos (riesgos de modelo, fallas humanas o sistemas) o riesgos de crédito (incumplimiento de contrapartes, riesgos en la custodia de valores, en la liquidación, en el degradamiento de la calificación crcditic)¿jjj de algún instrumento o problemas con el colateral o garantías). Por ejemplo, compra?
una opción en el mercado de derivados fuera de Bolsa (O w rf/ie Counter: OTC) im
plica un riesgo de mercado, pero también uno de crédito y operacional ai mismo tiempo. En el siguiente diagrama se establece la interconexión de los diferentes tipos de riesgos en el proceso de identificación de éstos:
Volatilidad Liquidez C o rre la cio n e s P ro p a g o A u to riza ción D oc u m e n ta ció n P ro b le m a s legales- C o n tra to R eg ulación Im puestos F ra u d e E rro re s h um a n os E rro re s d e sistem as R ie s g o s d e m odelo R ie s g o s d e tecn olo gía Fa lla s d e auditoria
incum p lim ien to Liquidación Neteo
Fallas e n la custo d ia P ro M e m a s d e colateral
0
pro ceso d e administración p e riesgos 19El siguiente paso en el proceso de la administración de riesgos se reñere a la san tificació n . Este aspecto ha sido suficientemente explorado en m ateria de ries gos de mercado. Existen una serie de conceptos que cuantifican el riesgo de merca do entre ellos; valor en riesgo, duración, convexidad, peor escenario, análisis de s e n s i b i l i d a d , beta, delta, etc. M uchas medidas de riesgo pueden ser utilizadas. En este libro, aunque se mencionan y explican la mayor parte de ellas, se pone especial atención en el concepto de valor en riesgo (VaR) que se popularizó gracia^ a JP Morgan. Como se verá con detalle, el valor en riesgo es un estimado de la máxima p é r d i d a esperada que puede sufrir un portafolios durante un periodo de tiempo es pecífico y con un nivel de confianza o probabilidad definido.
En el caso de riesgos de crédito, la cuantificación se realiza a partir del cálculo de la probabilidad de impago o incumplimiento. JP Morgan ha publicado un docu
mento técnico denominado Creeiitmetrics en el que pretende establecer un paradig
ma sim ilar al del valor en riesgo pero instrum entado en riesgos de crédito. Es decir, un estimado de pérdidas esperadas por riesgo crediticio. La utilidad de este concepto radica en que las instituciones financieras pueden crear reservas preventi vas de pérdidas derivadas de incumplimientos de contrapartes o de problem as con el colateral.
En el siguiente diagrama se muestra la función de cuantificación d el riesgo de mercado: por una parte se debe contar con los precios y tasas de interés de mercado para la valuación de los instrumentos y, p o r otra, cuantificar las volatilidades y correlaciones que permitan obtener el valor en riesgo por instrumento, p o r grupo de instrumentos y la exposición de riesgo global.
Transaccio nes P recios y lasas de t n » r é s [c u rv a s ) de m ercado Volatilidades y correlaciones Portafolios d e valores Factores d e riesgo Valuación de posiciones (m artt-io-m arket) Medición de riesgos Pérdidas V a lo re n
A continuación se muestra un diagrama que describe la fiinción primordial de a administración de riesgos: por una parte, la definición de políticas de administra
2 0 L a función d e adm inistración d e riesgos
ción de riesgos: la medición del riesgo (VaR) y el desarrollo de modelos y estructu- ras de límites, y por otra, la generación de reportes a la alta dirección que permitan observar el cumplimiento de limites, las pérdidas y ganancias realizadas y no reali zadas. Asimismo, es función de administración y control de riesgos la conciliación de posiciones entre las m esas de operación y las áreas contables. A esta últimq
función se le conoce com o el M iddle Office.
P o lK ic * s d a a d m in is tr a c ió n d e r ie s g o * :
• M edición de V aR e Inform ación de p recios y
ta se s d e m ercado (proveedor d a p ra d o s) e Deearroüo de m odelo* • Sistem e s • Estructura da limttea da tolerancia *1 riesgo • M uevo* producto» M esas de op e ra ció n A lta dire cció n A dm in istra ció n d a rta sa o s R e p o r t e s d e r ie s g o s In f o r m a c ió n d e r ie s g o s :
e Pérdidas y oan arttias (M TM ) • V a lo r a r rie sgo
* Cum plim iento de lim ites
i
C o n ta b ilid a d ] (bacK office)
i
C o n c ilia c ió n da p o s ic io n e s de laop eració n d ía a di*
Las. instituciones financieras son tomadoras de riesgo por naturaleza. En es contexto, aquellas que tienen una cultura de riesgos crean una ventaja competid frente a las demás. Asumen riesgos m ás conscientemente, se anticipan a los car bios adversos, se protegen o cubren sus posiciones de eventos inesperados y loar experiencia en el manejo de riesgos. Por el contrario, las instituciones que no tien cultura de riesgos, posiblemente ganen más dinero en el corto plazo pero en el lar plazo convertirán sus riesgos en pérdidas importantes que pueden significar, inel sive, la bancarrota.
1.4
D esastres financieros en ausencia de
adm inistración de riesgos
La posibilidad de contar con m ás instrum entos y el acceso a mercados financiertB
f in a n c ie r o s e n a u s e n c i a d e a d m i n is t r a c i ó n d e r i e s g o s
p e sastres nno> 21
ra| Pero la ausencia de técnicas que midan ei riesgo ha propiciado grandes ^ s a s tre s financieros. Estos descalabros tienen nombre y apellido; por ejemplo,
J l o p o r citar algunos:
• Nick Leeson, un operador del mercado de derivados que trabajaba en la subsidiaria del banco inglés Baring en Singapur, sufrió pérdidas que reba saban en exceso el capital del banco y llevó a la quiebra a la institución en febrero de 1995 con pérdidas de m ás de 1.300 millones de dólares.
• Bob Citrón, tesorero del condado de Orange en Estados Unidos, invirtió en
posiciones altamente riesgosas que se tradujeron en m ás de 1,700 millones de dólares, debido al alza de las tasas de interés registrada en 1994.
• Toshihide lguchi, un operador que manejaba posiciones en m ercado de
dinero en Daiwa Bank, perdió 1,100 millones de dólares en 1995.
• Yasuo Hamanaka, un operador de contratos de cobre en Sumitomo Corp.,
perdió 1,800 millones de dólares en junio de 1996.
• En diciembre de 1994, la devaluación del peso m exicano dejó al descu bierto la fragilidad del sistem a financiero, ya que en todas las institucio* nes financieras se presentaron fuertes pérdidas por riesgos de m ercado y crédito.
El común denom inador en estos desastres fue la falta de políticas y sistem as de administración de riesgos que perm itieran m edir y m onitorear efectivam ente las pérdidas potenciales de las posiciones en que estaban involucradas dichas cor poraciones.
Estos desastres provocaron, entre otras acciones, que en 1993 se creara una asociación internacional de carácter privado llamada G rupo de los T reinta (G- 30). Dicha agrupación ha hecho algunas recom endaciones en relación con crite rios prudenciales para instituciones que tienen productos derivados en posición de riesgo.'
I. E l pape! de ¡a alta dirección. Definir las políticas y controles asegurándo se de que estén por escrito en un documento que sirva de base a clientes, reguladores y auditores. Las políticas deben incluir los límites que deben respetar las áreas de negocios.
2' i 'cduación a mercado d e las posiciones de riesgo (m arcar a mercado).
|-ste termino se conoce com o M ark-to-M arket y consiste en m edir el valor justo o de mercado de un portafolios. La pérdida o ganancia no realizada la posición de riesgo se calcula mediante la diferencia entre el valor de adquisición de la posición y el valor de dicha posición en el mercado. Esta v d a c i ó n se debe hacer de preferencia diario para evitar sorpresas y
res-22 L a función d e adm inistración d e riesgos
ponder a la siguiente pregunta: si vendo la posición hoy, ¿a cuánto aseen- J deria la pérdida o la ganancia ?
3. M edición cuantitativa de riesgos. La medición de riesgos de mercado se
logra mediante el cálculo de lo que se conoce como Valor en Riesgo (VaR).
Este concepto fue propuesto por JP M organ en octubre de 1994 y hoy es un estándar internacional. El VaR resum e en un solo número la pérdida-, potencial máxima que se puede sufrir e n una posición de riesgo dado un nivel de confianza elevado (usualm ente 95 o 99% ) y en un periodo de tiempo determinado.6
4. Simulaciones extremas o de stress. Se deben valuar las posiciones en con-, diciones extremas y adversas de mercado. El valor en riesgo sólo es útil en condiciones norm ales de mercado. Existen muchas maneras de rea!iza| estas pruebas. La m ás común es contestar a las preguntas: ¿qué pasaría con m i posición si ios factores de riesgo cam bian dramáticamente? ¿Cuál po dría ser la m áxima pérdida que puedo sufrir en un evento poco probabltj pero posible?
5. Independencia en la medición de riesgos. El objetivo es evitar conflicto| de interés que pueden surgir cuando las áreas de negocios em iten sus proij píos reportes, miden sus propios riesgos y se monitorean a si mismas. H administrador de riesgos debe ser completamente independiente de lasáreai de registro contables {Back-Office) y de las áreas de operación del negocia
{Front Office).
6. M edición d e riesgos de crédito. Tam bién debe medirse el riesgo de créd to, mediante el cálculo de probabilidades de incumplimiento de la c<>ntn parte. En instrumentos derivados debe medirse el riesgo actual y el riesg potencial de crédito. El riesgo actual es el valor de mercado de las posick nes vigentes. El riesgo potencial mide la probable pérdida futura que pu< da registrar un portafolios en caso de que la contraparte de la operario incumpla.
7. Experiencia y conocimiento de estadística y sistemas. La m ayor parte las técnicas para calcular el valor en riesgo tienen un fuerte soporte estadiá tico y la información debe ser entendible y accesible para medir el 'i e s a de manera oportuna. Las preguntas que deben responderse son: ¿las persa ñas que evalúan los riesgos son las adecuadas? ¿Tienen la preparación t é j nica para entender y calcular Ies riesgos?
Notas
1. Bemstein, Peter. Against the Gods. The remarkable story o f rísk
2. Para m ás referencias véase el articulo de Fisher Black y M. Scholes dencmins-l
do: The Pricing o f Options a n d Corporate Lialibities, publicado por primefd vez en el Journal o f PolitícalEconom y. Vol. 81 (1973).
Notas 23
3, C onsulte el docum ento técnico de Riskmetrics, que se obtiene gratuitamente
por Internet en la dirección w w w .riskm etrics.com .
4, Existe una infinidad d e tipos d e riesgos; sin em bargo, só lo se enuncian tos m ás
im portantes, q ue tal v e z in clu yan a to d o s lo s dem ás.
5. Jorion, Phillipe, Valué a t Risk, Ed. McGraw-Hil!, capitulo 15.
C A P Í T U L O 2
Rendimiento y
riesgo
Para entender los modelos que m iden el riesgo, es necesario conocer algunos aspectos de matemáticas y estadística. En este capitulo se explica la manera de medir tanto el rendimiento com o el riesgo. Especial atención merece la curva de distribución normal, la cual es el “corazón” en los supuestos de algunos modelos para medir el riesgo.
Existe consenso en el mundo académ ico en el sentido de que los precios de las acciones en los mercados organizados se comportan de acuerdo con una caminata aleatoria, es decir, que el precio d e una acción al dia de hoy es independiente de los precios observados en dias anteriores y que, por tanto, los mercados no tienen memoria y no son predecibles. É sta es la base para considerar que el supuesto de normalidad en los rendimientos d e los precios de los instrumentos financieros es un supuesto razonable, aunque la curva normal en el mundo real, no siem pre es perfecta.
Rendim iento y riesgo
t
E
n la teoría financiera existen dos variables básicas que es preciso entender y saber calcular apropiadamente para tom ar decisiones de inversión: el rendi miento y el riesgo. En la medida en que una inversión es más riesgosa, debe exigirsele un mayor rendimiento: Rendimiento Rendimiento exigido — , Tasa libre de riesgo _2.1
Rendimiento
^ rendimiento de un activo o portafolios es el cam bio de valor que registra en un periodo con respecto a su valor inicial:
R .=
4 V alor V alor ^ - V a lo r _
V a lo r .. V a lo r
Com o ejemplo considere que el día de ayer el valor de un portafolios fue de 97.5 millones de pesos y hoy registra un valor d e 98.3 millones de pesos; el rendij m iento de un día es de:
9 8 .3 -9 7 .5 = Q g2% 97.5
El rendimiento también se puede definir en (unción del logaritmo de la ra z ó j de rendimientos com o sigue:
r, = lJ p ■
2 8 R endim iento y riesgo
P,-El rendimiento de un portafolios se define com o la sum a ponderada de lod rendim ientos individuales de ios activos que com ponen el portafolios, por el pesd que tienen dichos activos en el portafolios:
ff
R P = ^ ( 0 , R ,i* l
El rendimiento promedio se define como la suma de los rendimientos de c a d | uno de los activos, entre el número de activos:
X*
n
—
A v i a rprvm
n
El rendimiento anualizado se define com o:1
Como ejemplo considere que el rendimiento diario de un portafolios es de 0.0 Dicho rendimiento anualizado (considerando 252 días hábiles) es de:
/ U * = (1 + .OOOlf2 — 1 = 5.17%
2.2
M edición del riesgo
Una distribución de frecuencias m uestra la m anera com o los rendim ientos de a! gún activo o portafolios de activos se han com portado en el pasado. Cuando ost
pjgtrKWCión norm al o d e cam p ana 29
r ■ bución se gráfica (histogram a de frecuencias) asume una figura en particu- j 'r Los pasos principales para construir una distribución de frecuencias son los siguientes:
a) Determinar las observaciones de mínimo y máximo valor en la serie de tiempo.
Elegir un número de subintervalos de igual magnitud que cubra desde el mínimo hasta el máximo valor. Éstos son los rangos o clases.
c) Contar el número de observaciones que pertenecen a cada rango o intervalo.
Ésta es la frecuencia por clase.
d) Determinar la frecuencia relativa mediante la división entre la frecuencia por clase y el número de observaciones. Es decir, la frecuencia relativa es una fracción de las observaciones que pertenecen a cada clase.
A continuación se presenta un histograma de los rendim ientos de la tasa de interés THE a 28 dias, con observaciones desde abril de 1996 hasta m ayo d e 1999:
200
|
150 ¥ £ 100 50... 1
1
... l l
1 1
l l l ________
m
M
W
M
m
w
M
m
w
'
2.3 Distribución norm al o de cam pana
¡j£s íI,slnjmen,0S financieros presentan por lo general una distribución de probabi* normal, la cual está definida p o r una curva simétrica en forma de campana. No
los* 31110 CSta curva fi*e propuesta por De Moivre, está relacionada también con
° s nombres de Pierre Laplace y Cari Gauss, quienes trabajaron en el desarrollo y la aP'icac,ñi] de esta distribución
cstari,a,lllitr'*,uc'^ n norrna^ úene un papel importante en cualquier cam po de la más ' *Ca 'V' en Part'cu'aj\ cn la m edición de riesgos en finanzas. Los parámetros Aportantes que la definen son la media y la desviación estándar, siendo la
3 0 Rendim iento y riesgo
notación m ás conocida com o Afp,(y). Otros indicadores im portantes que defina a la distribución normal son el sesgo y la kurtosis. El sesgo debe ser de cero (sime tria de la curva perfecta) y la kurtosis de tres (en tres desviaciones estándar se cuent con el 99.7% de las observaciones).
Com o ejemplo tomemos los rendimientos o variaciones porcentuales diaria del Indice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa M exicana de Valores (IPC) duran! tres años (1998 a 2000), es decir, un núm ero de 509 observaciones. A continuaciéj se presenta una gráfica del histograma de frecuencias:
H istogram a d e rendim ientos del IPC (1998-2000) » J2 o c 0> 3 O 1 2 0 100 80 60 40 20 0
j |
J ^ ^ ^ ¿ P 4 P ^ ¿ P j p ^ 5 ^ ^ ^ ^ £>• £ ' Jb‘ S>' 'i ' Q- O- o- O' Cs- <b-R endim ientosE n este caso, la media de los rendimientos es de 0.091% y la desviación están diaria de rendimientos es de 2.29%. Si tomamos la media m ás tres desviacic estándar, tenemos que el rendimiento es de 6.96% , y la media menos tres des\ ia^ nes estándar es de —6.78%. Esto significa que son m uy pocas las observaciones i están fuera de este periodo, de hecho sólo son siete observaciones (5 en la cola! superior y 2 en la cola inferior), por lo que se puede ver que tres desviaciones c .s tá n fl comprenden el 98.6% de las observaciones totales.
En estadística es posible demostrar que si consideram os una muestra de tam
n perteneciente a una población que se distribuye norm alm ente (con media n ' desviación estándar o ), dicha m uestra tendrá una distribución norm al de mediS y desviación estándar a / J n . El teorema del limite central establece que aun ei do la m uestra de tam año n es suficientemente grande, la distribución de la mué es aproximadamente normal, sin importar la distribución de la población. En esfj sentido, la distribución normal juega un papel importante en el desarrollo de la finanzas y procedimientos para la administración de riesgos.
pjgtribuoón norm al o d e ca m p a n a 31
La distribución normal de probabilidad de una variable aleatoria continua se ede representar como un histogram a de frecuencias de una forma suavizada y
P . en un número grande de observaciones. A continuación se m uestra la ecua-
ión de la distribución norma] y la manera como se representa:
C
f t \ Q-____ ¿y > 0, — * » < //< « * ,—o®< x <«*
La función de densidad norm al contiene dos parám etros básicos: p y a. El primero es la media y el segundo la desviación estándar de la distribución corres pondiente. por esto se localiza el centro de la distribución y se determina el grado de dispersión.
La curva normal está centrada alrededor de la media, la cual se representa por p . La variación o dispersión alrededor de la m edia se expresa en unidades de la desviación estándar, representada por o. En un portafolios, la m edia es simplemen te su rendimiento promedio, y a la desviación estándar se le define com o volatilidad. Las expresiones para su cálculo son las siguientes:2
n — l
V ^ P . R ,
1=1 I í-l
3 2 R endim iento y riesgo
A continuación se m uestra una gráfica de dos distribuciones de probabilidad normal que tienen la m ism a media pero diferente dispersión:
En esta gráfica se observa que la distribución de probabilidad 2 tiene dispersión que la distribución 1 y, por tanto, tiene m ayor riesgo.
Cabe señalar que la función de densidad normal es simétrica con respecto a la m edia y, por tanto, sólo se necesita tabular las áreas de un lado de la media. Las áreas tabuladas son áreas a la derecha o a la izquierda de valores de z, en donde r e s la distancia de un v alo rxrespecto de la media, expresada en unidades de d e s v ia c J Í estándar.
fl M---► zi7 f i + z<?
D ist rib u c ió n norm al o d e cam p ana 33
Si lo anterior es cierto, entonces debe quedar claro que:
X = fi+ ZG
X — u
y por lanío 2= ---—
0
Si la variable aleatoria a: es el rendimiento de algún factor de riesgo (precio de acciones, tasas de interés o tipos de cam bio), entonces siempre será posible trans formar dicha variable aleatoria normal en z mediante la expresión anterior.
Si ■ localiza un punto medido a partir de la media de una variable aleatoria normal con la distancia expresada en unidades de la desviación estándar de la varia ble aleatoria normal original, el valor medio de z tiene que ser 0 y su desviación estándar igual a 1. A z se le conoce com o la variable aleatoria normal estándar y tiene una distribución normal A(0,1).
Adicionalmente a la media y a la desviación estándar, la curva de distribución normal tiene dos características: el sesgo y la kurtosis, a los cuales se Ies conoce también como el tercer y cuarto momentos, respectivamente.
El sesgo es un indicador que m ide ia simetría de la curva. En el caso de una curva normal perfecta, el sesgo será igual a cero. Si éste es distinto de cero, estará sesgada hacia la izquierda o hacia la derecha, según el signo del sesgo.
La kurtosis es el indicador que m ide el nivel de levantam iento de la curva respecto a la horizontal. Esta situación se presenta cuando existen pocas observa ciones muy alejadas de la media. A este fenómeno de alta kurtosis también se le conoce como / a i tai/s. La kurtosis de una distribución normal perfecta es igual a 3. A continuación se m uestran las fórm ulas para calcular tanto el sesgo com o la kurtosis: 1 ( x , ~ /i ) 5 S e s g o = — ---* (n - I ) f f 1,2 Kurtosis X U , - / o 4 ■ = l
( n - 1) o- 4
distrib^- Sa^Cr S1 una distribución de frecuencias se comporta de acuerdo con una « ... . Uclon nontial, existen varias pruebas. La más sencilla es la de Jarque-Bera, 3 que consiste CQ | 0 siguiente:
e calcula el estadístico de prueba dado por;
LM = N Sesgo1 (Kurtosis—3) 2 2 4
3 4 Rendim iento y riesgo
D onde Z ¿ /e s un estadístico de prueba y se distribuye de acuerdo con una curva ji-cuadrada con dos grados de libertad, por lo que es necesario realizar una prueba de hipótesis en la cual la hipótesis de interés (hipótesis nula) consiste en que la curva es normal con un nivel de confianza (por ejemplo, 95%) y la hipótesis alterna^ tiva consiste en que no pasa dicha prueba (es decir, no es normal).
Com o ejemplo, tom em os la serie de tiempo de los rendimientos del IPC duran-, te el año 2000, considerando 258 dias. El sesgo es de 0.1376 y la kurtosis de 3.81J Con esta información, el valor de /¿ /(e s ta d ís tic o de prueba) es de 7.86. Si desead mos 95% de confianza para realizar la prueba de normalidad, en tablas de una distri bución ji-cuadrada con dos grados de libertad, se obtiene 5.99. Dado que el esiadistá^j de prueba es m ayor que 5.99, se concluye que no se acepta la hipótesis de interés, qg decir, que la serie de tiempo no se comporta de acuerdo con una curva normal, cotí un nivel de confianza del 95%. Sin embargo, al tom ar m ás datos históricos, el sesgo tiende a ser m ás pequeño y la kurtosis m ás cercana a 3, lo que significa que con uq número suficiente de datos pasaría la prueba de normalidad de Jarque-Bera.
Por otra parte, vale la pena aclarar que la m edia y la desviación estándar de un periodo pueden ser transformadas a otro periodo. Por ejemplo, si tenemos la medñj y la volatilidad diaria, es posible determ inar los parámetros anuales mediante las siguientes expresiones:
u —ix t
a n u a l d ia ria
^ a n u a l ~ ^
Observe que los ajustes en la volatilidad a diferentes horizontes de tiempo de ben realizarse con la raíz cuadrada del periodo, y por tanto, la volatilidad es una función del tiempo expresada de manera no lineal.
2.4
C o va ria nza
Es una medida de relación lineal entre dos variables aleatorias describiendo el tno| vim iento conjunto entre éstas. Dichas variables pueden ser los rendimientos d^utv portafolios.
La covarianza se determina de acuerdo con la siguiente expresión:
COV(R, , R t) = £ p,[R, - pM R ' - Pj)
l-l también se puede aplicar la siguiente expresión:
1 "
c o m , ( - / r ,]
Mode)0 c A M P : Capital A sset Prlcing M o del 3 5
2 .5
C o rrelació n
pcbido a la dificultad para interpretar la magnitud de (a covarianza, suele utilizarse
Ja correlación para mcdtr el grado de movimiento conjunto entre dos variables o la
r e l a c i ó n lineal entre ambas. La correlación se encuentra entre - I y + 1 y se determi na de acuerdo con la siguiente expresión:
Corr(ft„RJ) = p iJ =COV{Rt , R , ) a o donde: P„ c o iV ir R) oi a
es la correlación entre los activos i y j .
es la covarianza entre los activos / y j .
es la volatilidad del activo i.
es la volatilidad del activo j
El coeficiente de correlación de Pearson se calcula en función de los rendi mientos observados de la siguiente manera:
¿ ( x —ju.Kv, - / ! , ) Corr(.x,, y , ) * , ,c| -
---i-i .-«i
El signo positivo en el coeficiente de correlación significa que las dos variables se mueven en la misma dirección, mientras m ás cercano a la unidad, m ayor será el grado de dependencia mutua. El signo negativo indica que las dos variables se mue ven en sentidos opuestos. Asimismo, m ientras m ás cercano a cero sea el coeficiente de correlación, mayor será el grado de independencia de las variables.
2-6 Modelo C A P M : Capital Asset Pricing Model
^ste modelo propuesto por Sharpe (1964) establece que el rendimiento de un activo tiene POrtal° ^ ° S CS a *a 1353 * ^re r'esB°- h ^ s un premio p o r el riesgo que
ese instrumento o portafolios m edido por el coeficiente beta, com o se indica a contmuacón:
36 Rendim iento y riesgo R e n d i m i e n t o R - r = ^ (y ? - r )p / ^ p l " / o bien: Donde : R -
C°V^P
~ Rm) - p p”tTra ’->_
” var(Rm) a l a„2.7
Intervalos de confianza
El área bajo la curva representa la probabilidad en un intervalo especifico. A si, si sd desea obtener la probabilidad de que un rendimiento futuro se encuentre entre lo] rendimientos a y b, se tiene que calcular el área bajo la curva de la d is trib u d ® normal entre a y b. Matemáticamente, el área bajo la curva se obtiene de integra^ lq función de probabilidadf ( x ) definida entre a y b, de la siguiente forma:
intervalos de confianza
b p r o b a b ilid a d =
j
f ( x ) d xLa función de densidad de probabilidad describe la distribución de probabili dad para una variable aleatoria continua. Tiene las siguientes propiedades:
1. El área total bajo la distribución de densidad es 1.
2. La probabilidad entre a y 6 es el área bajo la curva entre a y b.
3. La función de probabilidad es siempre positiva o cero.
Para una distribución normal, las probabilidades para ciertos rendim ientos alre dedor de la media son conocidas. E l área dentro de una desviación estándar de la
media cubre aproximadamente 6 8% de los rendimientos posibles. Dos desviaciones
estándar de la media cubren aproximadamente 95% de los rendimientos posibles y tres desviaciones estándar de la m edia cubren aproximadamente 99.7% de la media.
3 8 R endim iento y rie:
2.8
D istribución norm al estandarizada
Se define a una curva normal estandarizada, com o aquella que tiene una mee igual a cero y una desviación estándar de uno: AfO.l). Para transform ar una tu r
normal a una estandarizada se debe encontrar un valor de Z, que es la variable ñor
mal estandarizada dada por:
Z = - E i — Í L
a
Por ejemplo, si se desea conocer la probabilidad de que un portafolios regístdB un rendimiento de -2% , siendo que el rendimiento promedio es dei 0.1 1%, y u r u j volatilidad de 1.76%, el valor estándar de la curva norm al es:
z = -2% _-0..1% =
1.76%
U na vez calculado el valor estándar de la curva norm al, es posible c alcu h f el; área bajo la curva de la cola inferior. Los libros de m atem áticas y estadística con tienen una tabla para determ inar probabilidades de colas inferiores. En las tat>I¿¡ se observa que p a ra u n a Z d e - 1 . 2 0 corresponde una probabilidad de cola infefi de! H .5 1 % .4
Por otra parte, los adm inistradores de riesgos prefieren determ inar un nivel < confianza o probabilidad y a partir de éste definir el rendimiento asociado a e: probabilidad. U sualm ente el nivel de confianza se ubica en 95 o 99%. En esti casos, el área bajo la curva normal corresponde a 1.65 y 2.33 desviaciones estánd| respectivam ente.4
Notas 39 T o m a n d o com o base el ejem plo anterior, se desea calcular el rendim iento de I cola inferior que se encuentre asociado a un 99% de nivel de confianza o proba bilidad: u Despejando: X = V + Z<J í , = 0.11 % + (-2.33X1.76% ) A, = -3.99%
Esto significa que el rendimiento futuro será m enor a - 3.99% con una proba bilidad del 99% mientras que existe 1% de probabilidad de que dicho rendimiento negativo sea mayor a 3.99%.
Notas
I • El concepto de rendimiento anuaiizado se explica con m ás detalle en el capitu
lo 5. en q) tema de tasas de interés.
2- La fórmula que se enuncia corresponde a la volatilidad histórica. Sin embargo,
existen otras formas m ás eficaces para calcular la volatilidad, las cuales se des criben en el capitulo 3.
‘ ^ara mayor detalle véase el artículo de Jarque-Bera: J Test fo r NormalHy o / °bsetTt¡tions andRegression Residuals, publicado por InternationalStatistical
^ piÁ'ir( 1987), pp. 163-172.
Lonsulte las tablas de una curva de distribución normal en libros de estadística tra<lic¡onales. También pueden obtenerse en excel de Microsoft.
C A P Í T U L O 3
La volatilidad
Sin lugar a dudas, el análisis de la volatilidad y el diseño de modelos para su pronóstico es una de las ramas de las finanzas m ás explorada en los años recientes. Debido a ello existe un gran acervo de artículos sobre el particular.
La volatilidad es la variable m ás importante para determinar el valor en riesgo (VaR) de un portafolios de activos. Existen muchas metodologías para determ inar esta variable. En este capítulo se explican las más utilizadas en la práctica
profesional.
La volatilidad
L
a volatilidad es la desviación estándar (o raíz cuadrada de la varianza) de los rendimientos de un activo o un portafolios. Es un indicador fundamental para la cuantificación de riesgos de m ercado porque representa una medida de disper sión de los rendimientos con respecto al prom edio o la m edia de los m ism os en un periodo determinado.La mayor parte de los rendimientos se sitúan alrededor de un punto (general mente el promedio de los rendimientos) y poco a poco se van dispersando hacia las colas de la curva de distribución norm al. Ésa es la medida de volatilidad.
En la siguiente gráfica se puede observar el comportamiento diario de los rendi mientos de las tasas de interés (tasa de interés interbancaria de equilibrio TIIE a 28 días) de octubre de 1999 a noviemhre del 2000. Observe que la serie de tiempo no es constante en algunos periodos y, por tanto, se dice que la serie es heteroscedástica, ya que la volatilidad (o la varianza) es variable en el tiempo. Es decir, que en los merca dos financieros, a periodos de calma y estabilidad, les siguen periodos de turbulencia.
Rendim ientos d ia rio s d e la tasa T IIE a 26 días (o ct-1 999 a nov-2000)
44 L a v o la tilid a d
Es importante señalar que no es lo mismo la volatilidad de rendimientos de precios que la volatilidad de tasas de interés. La fórm ula siguiente puede utilizara^ para convertir la volatilidad de tasas de interés a volatilidad de precios:
AP
Volatilidad de precios (o ^) = x r x < j f (volatilidad de tasas)
AP
Donde es la sensibilidad del precio de un bono a un cambio en las tasas de
interés (m ás adelante se retoma este concepto com o duración).
Por ejem plo, si se desea calcular la volatilidad de los precios de Cetes a 9] dias y la volatilidad de tasas es del 20% anual, la últim a tasa de Cetes a 91 dias es del 15% y la sensibilidad del precio cuando las tasas cam bian en 1% es de 0.24 (duración).
a /, — 0.24 x 0.15 x 20% = 0.72% anual
Por lo anterior, existen varias formas de m edir y pronosticar la v olatilidatja
continuación se exponen cuatro métodos de los m ás importantes: a) volatilidad hisJ
tóríca; fi) volatilidad dinám ica o con suavizamiento exponencial; c) volatilidad imj plicita; y d) los modelos Arch y Garch.
3.1
Volatilidad histórica
En este método no se hace énfasis en el pasado inmediato, es decir, todas las obsfc vaciones tienen el mismo peso especifico y el pronóstico está basado en las o b ser® ciones históricas.
Para el cálculo de la volatilidad se utiliza la m ism a fórmula de la d e s v ia c ^ estándar que se estableció en el capítulo anterior, a saber:
A continuación se muestra un ejemplo para el cálculo de la volatilidad históri^ considerando únicamente diez días de observaciones: