Física y Química (1.º Bachillerato)

GOBIERNO

DE ESPAÑA MINISTERIODE EDUCACIÓN

1º Bachillerato

Física y Química

CIDEAD

Bachillerato

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Autores : Félix García Zarcero

Francisca Manteca Reverte

Coordinación editorial: Juan Antonio Olmedo González Revisión técnica : M.ª Luisa Medina Lloret

Tratamiento electrónico: Félix García Zarcero Maqueta : Julio Calderón Grande

Diseño de cubierta : Mª Luisa Bermejo López

NIPO: 820-10-278-1 ISBN: 978-84-369-4917-9

Dirección General de Formación Profesional

Secretaría de Estado de Educación y Formación Profesional Subdirección General de Aprendizaje a lo largo de la vida Edita:

©Secretaría General Técnica. Centro de Publicaciones Subdirección General de Documentación y Publicaciones Todos los derechos reservados

Telf. 91 377 83 00

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Bachillerato a distancia

Física y Química

Subdirección General de Aprendizaje a lo largo de la vida

CIDEADCentro para la Innovación y Desarrollo de la Educación a Distancia

GOBIERNO

DE ESPAÑA MINISTERIODE EDUCACIÓN,

POLÍTICA SOCIAL Y DEPORTE

DIRECCIÓN GENERAL DE FORMACIÓN PROFESIONAL

CONTENIDO

CONTENIDO

Física y Química

Introducción

10

Unidad 1

12

LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA, MAGNITUDES Y MEDIDAS

1. LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA . . . 14

2. MAGNITUDES Y DIMENSIONES . . . 16

2.1. Magnitudes fundamentales y derivadas . . . 16

2.2. Magnitudes escalares y vectoriales . . . 18

2.3. Operaciones con vectores . . . 19

3. EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES . . . 24

4. MEDIDAS DE MAGNITUDES . . . 27

4.1. Medidas directas . . . 27

4.2. Medidas indirectas . . . 28

4.3. La notación científica . . . 29

5. ERRORES EN LA MEDIDA . . . 30

5.1. Aproximación al valor real . . . 30

5.2. Error absoluto y error relativo . . . 31

6. REPRESENTACIONES GRÁFICAS . . . 32

6.1. Magnitudes directamente proporcionales . . . 33

6.2. Magnitudes inversamente proporcionales . . . 36

6.3. Magnitudes relacionadas por otras funciones matemáticas . . . 37

Unidad 2

38

1.1. Vector de posición . . . 41 1.2. Desplazamiento . . . 41 1.3. Trayectoria . . . 42 1.4. Velocidad . . . 42 1.5. Aceleración . . . 45 2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO . . . . 47

2.1. Movimiento rectilíneo uniforme . . . 48

2.2. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado . . . 49

3. MOVIMIENTO CIRCULAR . . . . 52

3.1. Movimiento circular uniforme . . . 52

3.2. Movimiento circular uniformemente acelerado . . . 55

4. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS . . . . 56

4.1. Lanzamiento horizontal . . . 57

4.2. Lanzamiento inclinado . . . 59

Unidad 3

62

2. LEYES DE NEWTON . . . 65

2.1. Primera ley: Principio de inercia . . . 65

2.2. Segunda ley: Principio fundamental de la dinámica . . . 66

Página

Unidad 4

80

TRABAJO Y ENERGÍA. TERMODINÁMICA

1. TRABAJO Y POTENCIA . . . . 82

2. ENERGÍA MECÁNICA . . . . 85

2.1. Energía potencial . . . 85

2.2. Energía cinética . . . 88

2.3. Conservación de la energía mecánica . . . 88

3. SISTEMAS TERMODINÁMICOS . . . . 92

4. CALOR Y TEMPERATURA . . . . 93

4.1. Escalas termométricas . . . 94

5. SISTEMAS GASEOSOS . . . . 96

5.1. Leyes de los gases ideales . . . 96

5.2. Intercambio de energía . . . 97

6. PRINCIPIOS DE LA TERMODINÁMICA . . . 98

7. RECURSOS ENERGÉTICOS Y DESARROLLO SOSTENIBLE . . . 99

Unidad 5

102

4.1. Intensidad del campo eléctrico . . . 109

4.2. Energía potencial eléctrica . . . 111

5. POTENCIAL ELÉCTRICO. DIFERENCIA DE POTENCIAL . . . 112

6. CAPACIDAD ELÉCTRICA . . . 114

6.1. Condensadores . . . 115

6.2. Asociación de condensadores . . . 116

Unidad 6

120

2. RESISTENCIA ELÉCTRICA . . . 123

2.1. Ley de Ohm . . . 124

2.2. Asociación de resistencias . . . 125

3. ENERGÍA DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA . . . 129

3.1. Ley de Joule . . . 129

3.2. Potencia eléctrica . . . 130

4. GENERADORES Y RECEPTORES . . . 131

5. LEY DE OHM GENERALIZADA . . . 134

6. INSTRUMENTOS DE MEDIDA . . . 135

7. APLICACIONES DE LA ELECTRICIDAD . . . 137

8. EFICIENCIA ENERGÉTICA Y AHORRO ENERGÉTICO . . . 137

3. IMPULSO MECÁNICO Y MOMENTO LINEAL. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN . . . 68

4. INTERACCIÓN GRAVITATORIA. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL . . . 71

5. FUERZAS DE ROZAMIENTO . . . 73

6. FUERZAS ELÁSTICAS. LEY DE HOOKE . . . 77

CONTENIDO

CONTENIDO

Física y Química

Unidad 7

140

1. ESTADOS DE AGREGACIÓN DE LA MATERIA . . . 142

1.1. Estados de la materia . . . 142

1.2. Cambios de estado . . . 142

2. CLASIFICACIÓN DE LA MATERIA . . . 143

2.1. Sustancias puras: elementos y compuestos . . . 144

2.2. Mezclas: homogéneas y heterogéneas . . . 144

2.3. Separación de los componentes de una mezcla . . . 145

3. DISOLUCIONES . . . 146

3.1. Componentes de una disolución . . . 146

3.2. Tipos de disoluciones . . . 146

4. CAMBIOS EN LA MATERIA . . . 147

4.1. Cambios físicos . . . 147

4.2. Cambios químicos . . . 147

5. LEYES PONDERALES . . . 148

5.1. Ley de conservación de la masa . . . 149

5.2. Ley de las proporciones definidas . . . 149

5.3. Teoría atómica de Dalton . . . 150

6. LEY DE LOS VOLUMENES DE COMBINACIÓN . . . 151

6.1. Ley de los volúmenes de combinación . . . 151

6.2. Hipótesis de Avogadro . . . 151

7. MASAS ATÓMICAS . . . 152

7.1. Masas atómicas . . . 152

7.2. Concepto de mol . . . 152

7.3. Concentración de las disoluciones . . . 152

8. LEYES DE LOS GASES . . . 155

8.1. Magnitudes más importantes . . . 155

8.2. Ley de Boyle . . . 155

8.3. Ley de Charles . . . 156

8.4. Ley de Gay-Lussac . . . 156

8.5. Presión de vapor. Ecuación de Clapeyron . . . 157

8.6. Ecuación general de los gases . . . 157

9. MEZCLA DE GASES . . . 159

9.1. Características de las mezclas de gases . . . 159

9.2. Ley de Dalton para las presiones parciales . . . 159

Unidad 8

160

2. DESCUBRIMIENTO DEL ELECTRÓN. MODELO ATÓMICO DE THOMSON . . . 162

3. LA RADIACTIVIDAD. MODELO ATÓMICO DE RUTHERFORD . . . 164

4. NÚMERO ATÓMICO. NÚMERO MÁSICO. ISÓTOPOS . . . 167

5. ESPECTROS ATÓMICOS . . . 169

5.1. Radiaciones electromagnéticas . . . 170

5.2. Espectros de emisión y de absorción . . . 171

6. MODELO ATÓMICO DE BOHR . . . 172

6.1. Modelo atómico de Bohr . . . 172

Página

Unidad 9

186

ENLACE QUÍMICO. FORMULACIÓN INORGÁNICA

1. GASES NOBLES. REGLA DEL OCTETO . . . 188

2. EL ENLACE QUÍMICO. DIFERENTES TIPOS DE ENLACE . . . 188

2.1. El enlace químico . . . 188

2.2. Diferentes tipos de enlace . . . 189

3. ENLACE IÓNICO . . . 190

3.1. Formación del enlace iónico . . . 190

3.2. Propiedades características del enlace iónico . . . 192

4. ENLACE COVALENTE . . . 194

4.1. Teoría de Lewis . . . 194

4.2. Formación de algunas sustancias. Enlace sencillo, enlaces múltiples y enlace covalente coordinado . . . 194

4.3. Distintos tipos de sustancias covalentes . . . 197

4.4. Propiedades de las sustancias covalentes . . . 200

5. ENLACE METÁLICO . . . 201

5.1. Modelo de la nube de electrones . . . 201

5.2. Propiedades de las sustancias con enlace metálico . . . 202

6. CONCEPTO DE VALENCIA Y NÚMERO DE OXIDACIÓN . . . 204

7. FORMULAR Y NOMBRAR . . . 206 7.1. Nomenclatura . . . 206 7.2. Formulación . . . 207 8. COMPUESTOS BINARIOS . . . 209 8.1. Óxidos . . . 209 8.2. Hidruros . . . 212 8.3. Sales binarias . . . 213 8.4. Peróxidos . . . 214 9. COMPUESTOS TERNARIOS . . . 214 9.1. Hidróxidos . . . 214 9.2. Ácidos oxácidos . . . 215

9.3. Oxisales o Sales de ácidos oxácidos . . . 217

Unidad 10

218

1.1. Fórmulas moleculares . . . 220

1.2. Fórmulas empíricas . . . 220

1.3. Relación entre fórmula molecular y fórmula empírica . . . 220

7. INTRODUCCIÓN CUALITATIVA AL MODELO CUÁNTICO . . . 176

8. PRIMEROS INTENTOS DE CLASIFICACIÓN DE LOS ELEMENTOS . . . 177

9. TABLA PERIÓDICA ACTUAL . . . 178

9.1. Relación con las configuraciones electrónicas . . . 178

9.2. Bloques de la Tabla Periódica . . . 179

10. PROPIEDADES PERÍODICAS . . . 181

10.1. Tamaño de los átomos . . . 181

10.2. Energía de ionización .. . . 181

10.3. Afinidad electrónica . . . 183

Página

Física y Química

Unidad 11

238

ENERGÍA DE LOS PROCESOS QUÍMICOS. PROCESOS QUÍMICOS IMPORTANTES

1. IMPORTANCIA DE LOS PROCESOS QUÍMICOS EN LA SOCIEDAD ACTUAL . . . 240

2. PROCESOS QUÍMICOS Y ENERGÍA. LEY DE HESS . . . 241

2.1. La energía. Transformaciones. Conservación . . . 241

2.2. Origen de la energía asociada a los procesos químicos . . . 242

2.3. Reacciones exotérmicas y endotérmicas . . . 243

2.4. Concepto de entalpía. Ecuaciones termoquímicas . . . 244

2.5. Conservación de la energía. Ley de Hess . . . 245

3. VELOCIDAD DE REACCIÓN . . . 248

3.1. Interpretación microscópica de la velocidad de una reacción . . . 248

3.2. Factores que influyen en la velocidad de reacción . . . 249

4. DISTINTOS PROCESOS QUÍMICOS EN RELACIÓN CON LA ENERGÍA . . . 251

4.1. Reacciones de combustión. Producción de energía calorífica. Aplicaciones . . . 251

4.2. Reacciones de explosivos . . . 254

4.3. Reacciones fotoquímicas . . . 255

4.4. Reacciones Redox. Producción de electricidad . . . 256

5. PROCESOS QUÍMICOS ÁCIDO-BASE . . . 258

6. PROCESOS QUÍMICOS EN LA INDUSTRIA . . . 260

7. PROCESOS QUÍMICOS Y CONTAMINACIÓN . . . 261

8. UNA ALTERNATIVA: QUÍMICA VERDE . . . 262

Unidad 12

264

2. CARACTERÍSTICAS DE LOS COMPUESTOS DEL CARBONO . . . 266

2.1. El carbono tiene una valencia covalente elevada . . . 267

2.2. Posibilidad de formar enlaces sencillos y múltiples . . . 267

2.3. Posibilidad de combinarse consigo mismo . . . 268

2. COMPOSICIÓN CENTESIMAL Y DETERMINACIÓN DE FÓRMULAS . . . 221

2.1. Composición centesimal de una sustancia . . . 221

2.2. Determinación de fórmulas empíricas . . . 222

2.3. Determinación de fórmulas moleculares . . . 223

3. CAMBIOS QUÍMICOS. RUPTURA Y FORMACIÓN DE ENLACES . . . 224

4. ECUACIONES QUÍMICAS . . . 224

4.1. Ecuaciones químicas . . . 224

4.2. Ley de conservación de la masa . . . 226

4.3. Ajuste de ecuaciones químicas . . . 226

5. INTERPRETACIÓN MOLECULAR DE UNA ECUACIÓN QUÍMICA . . . 227

5.1. Interpretación microscópica . . . 227

5.2. Interpretación macroscópica . . . 227

6. CÁLCULOS ESTEQUIOMÉTRICOS EN REACCIONES . . . 228

6.1. Relaciones de número de moles . . . 228

6.2. Relaciones de masa . . . 229

6.3. Relaciones en volumen. Procesos en los que intervienen gases . . . 230

7. RENDIMIENTO DE LAS REACCIONES QUÍMICAS . . . 231

8. CÁLCULOS EN PROCESOS EN LOS QUE INTERVIENEN REACTIVOS CON IMPUREZAS . . . 233

9. CÁLCULOS EN PROCESOS EN LOS QUE INTERVIENEN SUSTANCIAS EN DISOLUCIÓN . . . 234

10. PROCESOS CON REACTIVO LIMITANTE . . . 235

Página

SOLUCIONARIO

₃₀₆

GLOSARIO

₃₅₈

BIBLIOGRAFÍA

₃₆₃

3. FÓRMULAS ESTRUCTURALES . . . 269

4. ISOMERÍA . . . 270

4.1. Isomería estructural o plana . . . 270

4.2. Isomería espacial o Estereoisomería . . . 271

5. FORMULACIÓN Y NOMENCLATURA DE HIDROCARBUROS . . . 274

5.1. Hidrocarburos saturados. Alcanos . . . 274

5.2 Hidrocarburos insaturados . . . 277

5.3. Hidrocarburos cíclicos no aromáticos . . . 278

5.4. Hidrocarburos aromáticos . . . 279

6. GRUPOS FUNCIONALES . . . 282

7. FORMULACIÓN Y NOMENCLATURA DE COMPUESTOS QUE CONTIENEN OXÍGENO . . . 282

7.1. Alcoholes y fenoles . . . 282

7.2. Éteres . . . 283

7.3. Aldehídos y cetonas . . . 284

7.4. Ácidos carboxílicos . . . 286

7.5. Ésteres . . . 286

8. FORMULACIÓN Y NOMENCLATURA DE COMPUESTOS QUE CONTIENEN NITRÓGENO . . . 287

8.1. Amidas . . . 287

8.2. Aminas . . . 288

8.3. Nitrilos . . . 288

8.4. Nitro y nitroso compuestos . . . 289

9. FORMULACIÓN Y NOMENCLATURA DE DERIVADOS HALOGENADOS . . . 290

10. PRIORIDAD DE GRUPOS FUNCIONALES . . . 290

11. HIDROCARBUROS. PROPIEDADES . . . 293

11.1. Propiedades físicas de los hidrocarburos . . . 293

11.2. Reactividad de los Hidrocarburos . . . 293

11.3 Reacciones más importantes de los hidrocarburos . . . 296

11.4. Fuentes naturales de hidrocarburos . . . 297

11.5. Aplicaciones . . . 299

12. DESARROLLO DE LOS COMPUESTOS ORGÁNICOS DE SÍNTESIS . . . 302

12.1 Reacciones de polimerización . . . 300

12.2 Reacciones de síntesis que han dado lugar a contaminantes orgánicos permanentes . . . 300

13. BIOCOMBUSTIBLES . . . 303

13.1 Biodiesel . . . 303

13.2. Bioetanol . . . 304

13.3. Perspectivas de futuro . . . 304

INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN

l concepto de cultura engloba en la actualidad todas las expresiones que son resultado de la creación humana (arte, literatura, ciencia, filoso-fía, tecnología...).

En este ámbito, uno de los agentes impulsores de la sociedad actual es, sin duda, la ciencia, no sólo por los avances tecnológicos que se basan en ella, sino por las nuevas perspectivas e interrogantes que plantea sobre cuestiones tan importan-tes como la vida, el universo, la materia o la energía. Ello explica la importancia que tiene el estudio de la física y de la química, pues forman parte de la cultura de nues-tro tiempo.

Además, la física y la química son ciencias básicas, en las que se tienen que apoyar otras ciencias como la medicina, la biología, la geología... Se puede decir que ambas son ciencias experimentales sometidas a la disciplina matemática.

La física estudia las propiedades de la materia y de la energía, considerando tan solo los atributos capaces de medida.

La química estudia las distintas clases de materiales, sus estructuras, sus pro-piedades y sus transformaciones.

Quizá, el propio nombre de la asignatura sugiere que se van a tratar temas com-plicados y extraños. Ya verás como no es así.

En cada una de las unidades se ha procurado que puedas relacionar los conte-nidos con fenómenos que ya conoces, pues ocurren a tu alrededor, aunque desco-nozcas su interpretación teórica.

También se ha pretendido que veas la importancia de la física y de la química en el desarrollo de la sociedad actual y el papel que pueden desempeñar en la solución de los problemas medioambientales que se nos plantean.

En definitiva, se pretende que te acerques a estas ciencias, que empieces a entender algunos de sus conceptos más importantes y, ante todo, que empieces a interesarte, a sentir curiosidad por lo que se puede llegar a hacer y a entender pro-fundizando en ellas.

Cada Unidad Didáctica presenta un índice de contenidos, una breve introducción al tema que vas a estudiar, así como un esquema de los conceptos que se van a tra-tar y la relación existente entre ellos (Mapa Conceptual).

Te será útil, antes de ponerte a estudiar, leer detenidamente esta parte, pensar en los contenidos que conoces, escribirlos y, a medida que vayas avanzando en el estudio de la Unidad Didáctica, esforzarte en asimilar, sobre todo, aquellos concep-tos que entren en contradicción con lo que tú pensabas anteriormente.

A veces, no se consigue profundizar en un tema porque interpretamos los fenó-menos a partir de ideas previas, intuitivas, que tenemos de la realidad, pero que son erróneas.

Los contenidos se desarrollan de una forma sencilla y directa, pero, aunque el lenguaje es sencillo, deberás incorporar a tu vocabulario palabras nuevas propias de la asignatura. Es muy importante que te acostumbres a la concisión del lenguaje científico, tanto para interpretarlo como para expresarte.

No memorices sin comprender; procura expresar los conceptos de la forma que mejor entiendas, pero asegúrate de que, aunque expreses algo de forma diferente a como se hace en el libro, estés diciendo lo mismo.

En los distintos apartados de la Unidad Didáctica hay ejemplos para aclarar los conceptos. En el Solucionario, no sólo están resueltas las actividades, sino que se explica cómo se resuelven.

Cuando tengas que hacer problemas, lee detenidamente el enunciado, intentan-do comprender y definir la situación que se plantea, anota qué datos te da el proble-ma, repasa tus conocimientos sobre el tema y elabora posibles estrategias de reso-lución, elige la que te parezca más sencilla y segura y, cuando obtengas un resulta-do, acostúmbrate a analizarlo ¿Es un resultado posible, real o es un disparate? Un resultado te puede indicar si has equivocado la estrategia o si has cometido algún error matemático en la resolución del problema. Procura que el desarrollo sea siem-pre ordenado y lógico.

No obstante, se recomiendan, al final, algunos libros de consulta y de resolución de problemas relacionados con los distintos temas.

Esperamos que, cuando finalice el curso, además de haber ampliado tus cono-cimientos sobre física y química y de haber aprendido nuevos conceptos, éstos te hayan despertado nuevas inquietudes e intereses.

UNIDAD

La actividad científica.

Magnitudes y medidas

1

n esta primera Unidad conoceremos las características fundamentales de la actividad científica, su metodología y repercusiones.

Estudiaremos las magnitudes físicas, cómo se relacionan matemáticamente entre ellas y en qué unidades se miden. El Sistema Internacional de Unidades nos permitirá expresar de modo unívoco el resultado de la medida de una determinada magnitud.

Como todos sabemos, nada es perfecto pero no por ello inválido; llegaremos a la conclusión de que no es posible obtener medidas totalmente exactas pero que son válidas si podemos apreciar el error cometido y los métodos a utilizar para obtener la aproximación deseada.

Para finalizar la Unidad veremos cómo se representan gráficamente los valores obtenidos en una serie de medidas y cómo, observando y analizando las gráficas, podemos encontrar las rela-ciones matemáticas que existen entre ellas y expresar los resultados de un modo claro e intuitivo.

Los objetivos que pretendemos alcanzar en esta Unidad son los siguientes:

1. Conocer las características básicas del trabajo científico.

2. Plantear hipótesis fundamentadas.

3. Elaborar estrategias adecuadas para la resolución de problemas.

4. Valorar las posibles aplicaciones, repercusiones medioambientales y sociales.

5. Conocer las magnitudes físicas y sus diferentes tipos, así como las unidades en las que se

miden.

6. Estimar la precisión de las medidas y calcular el error cometido.

7. Realizar representaciones gráficas de datos y funciones.

MAGNITUDES ESCALARES se clasifican FUNDAMENTALES por su definición por su naturaleza DERIVADAS VECTORIALES su valor se conoce por las MEDIDAS INDIRECTAS DIRECTAS ERRORES siempre y se expresan en UNIDADES generalmente pertenecientes al SISTEMA INTERNACIONAL que se pueden expresar como ERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO se reflejan en una TABLA DE VALORES existen EN LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA se utilizan 1. LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA . . . 14 2. MAGNITUDES Y DIMENSIONES . . . 16

2.1. Magnitudes fundamentales y derivadas . . . 16

2.2. Magnitudes escalares y vectoriales . . . 18

2.3. Operaciones con vectores . . . 19

3. EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES . . . 24

4. MEDIDAS DE MAGNITUDES . . . 27

4.1. Medidas directas . . . 27

4.2. Medidas indirectas . . . 28

4.3. La notación científica . . . 29

5. ERRORES EN LA MEDIDA . . . 30

5.1. Aproximación al valor real . . . 30

5.2. Error absoluto y error relativo . . . 31

6. REPRESENTACIONES GRÁFICAS . . . 32

6.1. Magnitudes directamente proporcionales . . . 33

6.2. Magnitudes inversamente proporcionales . . . 36

6.3. Magnitudes relacionadas por otras funciones matemáticas . . . 37

1. La actividad científica

La actividad científica consiste en una serie de procesos de reflexión, sistemáticos y metódicos encaminados a ampliar los conocimientos del ser humano o encontrar soluciones a problemas de tipo científico.

Se fundamenta en la aplicación del método científico que consiste en observar un fenómeno, reproducir condiciones idóneas para su estudio, experimentar realizando medidas fiables, establecer

relaciones entre éstas, describir el fenómeno mediante una leyempírica, emitirhipótesis, formular

unateoríao un modeloy, por último, darlo a conocer.

Observación y experimentación

Cuando queremos estudiar un fenómeno cualquiera; por ejemplo, la flotabilidad de los cuerpos, lo primero que hacemos es elegir varios cuerpos, ponerlos sucesivamente en un recipiente que contenga agua u otro líquido y observar atentamente lo que ocurre.

Normalmente la simple observación no es suficiente para comprender y explicar el fenómeno, además es necesaria la experimentación que consiste en reproducir el fenómeno en condiciones controladas y reproducibles de modo que podamos realizar medidas que agruparemos en tablas que nos permitirán realizar representaciones gráficas y a través de ellas interpretar los datos con facilidad y establecer relaciones entre ellos.

Obtención de leyes empíricas

Una vez que hemos obtenido los datos y las relaciones entre ellos estamos en condiciones de realizar una descripción adecuada del fenómeno mediante una ley empírica que es una ley formulada a partir de datos obtenidos mediante un experimento.

Un ejemplo de ley empírica que puede obtenerse del ejemplo anterior podría ser: “Los cuerpos que tienen menos densidad que el líquido en el que se encuentran flotan y los que tienen más densidad, se hunden”.

Normalmente el estudio no puede ser completo; en este caso, no es posible probar con todos los cuerpos pero estamos convencidos, según los resultados obtenidos, de que esta ley es generalizable a todos lo cuerpos. Cuando se obtiene una ley general basándose en datos o leyes particulares se realiza un proceso inductivo. Newton estableció la ley de la Gravitación Universal basándose en un proceso inductivo observando que los cuerpos caían debido a la fuerza de atracción que la Tierra ejercía sobre ellos.

Formulación de hipótesis, teorías y modelos

En nuestro ejemplo hemos obtenido una ley empírica que nos permite saber lo que ocurrirá cuando introducimos un cuerpo en un líquido, pero aún desconocemos la causa. ¿Por qué unos cuerpos flotan y otros no?: para responder a ello formulamos una hipótesis (una suposición) que podría ser “todo cuerpo sumergido en un líquido recibe un empuje hacia arriba igual al peso del líquido que ha desalojado”.

Una vez formulada la hipótesis, si ésta es cierta, podremos saber si un cuerpo cualquiera va a flotar o no conociendo su densidad.

LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS

1

En este caso utilizamos un proceso deductivo que es el que se sigue cuando una hipótesis general se aplica a casos particulares. Este proceso es el inverso del proceso inductivo que hemos visto anteriormente.

Albert Einstein aplicó el proceso deductivo para elaborar la Teoría de la Relatividad partiendo de una teoría que él imaginó y que en un principio era contradictoria con los fenómenos que entonces se observaban en la naturaleza, pero experimentos realizados posteriormente pusieron de manifiesto que su teoría era cierta.

A veces, cuando se pretende explicar un fenómeno complejo en el que intervienen muchas variables se simplifica mediante un modelo en el que se utilizan sólo las variables fundamentales que permitan explicar el fenómeno de un modo simplificado. Por ejemplo, el modelo atómico de Bohr.

Consideración de perspectivas y repercusiones

Una vez que se ha finalizado el proceso de investigación deben estudiarse las posibles ventajas e inconvenientes de la aplicación de los resultados obtenidos, teniendo en cuenta no sólo los beneficios que se puedan obtener sino también las posibles repercusiones negativas en el medio ambiente, en la sociedad, etc.

Por ejemplo, el descubrimiento de la dinamita favoreció enormemente las explotaciones mineras, la realización de obras, etc., pero también se aplicó en guerras ocasionando una enorme pérdida de vidas humanas. Por esta razón Nobel, su inventor, dedicó los ingresos obtenidos con este descubrimiento a la institución del premio que lleva su nombre y que se otorga a los científicos y pensadores más destacados del mundo, como el premio Nobel de Medicina o el premio Nobel de la Paz.

Otros ejemplos significativos de posibles repercusiones negativas los podemos encontrar en la energía nuclear para uso bélico, la utilización masiva e inadecuada del petróleo y sus derivados, etc.

Comunicación de resultados

Una vez terminada una investigación es imprescindible comunicar los resultados obtenidos a los demás miembros de la comunidad científica, así como los medios y métodos utilizados. Habitualmente se realiza a través de un informe redactado con claridad, concisión y precisión. Los apartados más habituales que contiene un informe son los siguientes:

Título y resumen. Introducción. Metodología. Instrumentación. Procedimiento. Resultados. Discusión y conclusiones. Apéndices, si fueran necesarios. Referencias y Bibliografía.

2. Magnitudes y dimensiones

Una magnitud física es toda propiedad que pueda ser medida. Se puede medir la masa de un cuerpo, la longitud, la densidad, etc.

Por su propia definición, las magnitudes se clasifican en fundamentales y derivadas. Si atendemos a su naturaleza, también las podemos clasificar en magnitudes escalares y vectoriales.

2.1. Magnitudes fundamentales y derivadas

Existen unas magnitudes que sirven de referencia (magnitudes fundamentales) y todas las demás se definen en función de ellas (magnitudes derivadas).

En mecánica las magnitudes fundamentales son la longitud, la masa y el tiempo. Todas las demás como la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc. se definen en función de algunas o de todas las fundamentales.

Asimismo en electricidad la magnitud fundamental es la intensidad de corriente, en termodinámica la temperatura, en óptica la intensidad luminosa y en química la cantidad de sustancia.

Ecuación de dimensiones

Como acabamos de decir, las magnitudes derivadas se definen en función de las fundamentales. Pues bien, una ecuación de dimensiones es la expresión matemática de esta definición.

Esta ecuación se obtiene partiendo de fórmulas que relacionan a las magnitudes en cuestión, u otras que, a su vez, se relacionen con ellas.

En general, las ecuaciones de dimensiones se escriben siguiendo unas normas:

• las magnitudes fundamentales se expresan en letras mayúsculas;

• no se utilizan fracciones, los términos que pudieran aparecer en el denominador se pasan

al numerador cambiando el signo de su exponente;

• los términos constantes, si existen, se desprecian ya que éstos no afectan a las

dimensiones;

• la magnitud derivada, una vez despejada, se escribe entre corchetes.

Veamos esto con unos sencillos ejemplos:

¿Cuál es la ecuación de dimensiones de la velocidad?

velocidad espacio recorrido tiempo empleado

=

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1

El espacio se mide por su longitud que es una magnitud fundamental y el tiempo también lo es. Siguiendo las reglas que acabamos de indicar, podemos escribir directamente la ecuación de dimensiones de la velocidad:

¿...y la ecuación de dimensiones de la fuerza?

Hemos ido utilizando las fórmulas adecuadas hasta expresar la fuerza en función de magnitudes fundamentales, ahora solamente queda escribir la ecuación de dimensiones según los criterios antes indicados:

Toda ecuación física debe ser dimensionalmente correcta, es decir: los dos miembros de la ecuación han de tener las mismas dimensiones. En caso contrario, no sería homogénea y los resultados obtenidos no tendrían sentido; sería como obtener el resultado del cálculo de una velocidad en kilogramos. F M L T

[ ]

[ ]

1. La expresión de la energía cinética es y la de la energía potencial Ep=m·g·h. Halla

la ecuación de dimensiones de ambas y comprueba que en los dos casos se obtiene el mismo resultado.

2. El teorema del impulso mecánico, que estudiaremos en la Unidad 3, se expresa

matemática-mente como F t⋅ = ⋅ Δm v . Comprueba que esta expresión es dimensionalmente correcta.

E_c = 1m v⋅

2 2

A c t i v i d a d e s

o b ` r b o a ^

T Una magnitud física es toda propiedad que se pueda medir.

T Las magnitudes derivadas se definen en función de las fundamentales.

T Una ecuación de dimensiones es la expresión matemática de la definición de una magnitud

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UNIDAD

2.2. Magnitudes escalares y vectoriales

Existen magnitudes como la masa, el tiempo o la energía en las que solamente necesitamos conocer su valor numérico y la unidad en que se expresa para que estén perfectamente determinadas, éstas son magnitudes escalares. También hay otras, llamadas magnitudes

vectoriales, como la velocidad o la fuerza, que para determinarlas sin ambigüedad es necesario

conocer no solamente su valor numérico, sino también su dirección y su sentido.

Estas magnitudes se escriben colocando una flecha encima de la letra que las identifica y

se representan gráficamente por un vector que es un segmento orientado en el que hay que considerar el origen, la dirección, el sentido y el módulo o longitud.

Cuando hacemos referencia al módulo de un vector, se escribe entre dos barras verticales .

Habitualmente, los vectores se representan en un sistema de coordenadas cartesianas que se compone de dos ejes perpendiculares entre sí cuando la representación se realiza en un plano (dos dimensiones) o de tres ejes cuando se tienen en cuenta las tres dimensiones del espacio. En este sistema un vector se caracteriza por sus componentes cartesianas que son las proyecciones del extremo del vector sobre los ejes cartesianos.

Para facilitar la expresión matemática de un vector se utilizan los vectores unitarios

que son vectores cuya longitud es la unidad y su dirección la correspondiente a los ejes X, Y y

Z respectivamente. De este modo, un vector cuyas componentes cartesianas son Ax, Ay, Az, se

expresa: Ar=A i_xr+A j_yr+A k_zr ( , , )i j kr r r r A origen sentido dirección módulo

Fígura 1: Elementos de un vector

( )Ar X Y A Ax Ay j

Fígura 2: Representación de un vector en dos dimensiones Ar=A i_xr+A j_yr B x B y B z B X Y k j i Z

Fígura 3: Representación de un vector en tres dimensiones Br=B ir+B jr+B kr

En la figura 2 podemos ver representado en el plano el vector , cuyas componentes son

Axy Ay, de valor 3 y 4 respectivamente. Y en la figura 3, el vector , de componentes Bx= 2,

By= 3 y Bz= 5 representado en las tres dimensiones del espacio.

Es fácil demostrar, basándose en el teorema de Pitágoras, que el módulo de un vector en función de sus componentes viene dado por la expresión:

2.3. Operaciones con vectores

Suma

a) Vectores con la misma dirección

Los dos vectores a sumar pueden tener el mismo sentido o el contrario. En el primer caso, el resultado es otro vector con la misma dirección y el mismo sentido, cuyo módulo es la suma de los módulos de los sumandos.

En el segundo caso, el resultado es un vector con la misma dirección, sentido el del mayor de los sumandos y módulo la diferencia de los módulos.

b) Vectores con distinta dirección

Si el origen de un vector coincide con el extremo del otro, el resultado de la suma es sencillamente otro vector que va desde el origen del primero hasta el extremo del segundo.

Fígura 6: Suma de vectores con distinta dirección r A r B r r A+B r A r B r A = A_x2+A_y2 +A_z2

Fígura 5: Suma de vectores con la misma dirección y sentido contrario r

B Ar r+B

r

A

Fígura 4: Suma de vectores con la misma dirección y sentido r

B Ar r+B

r

Si tienen el mismo origen, se utiliza la regla del paralelogramo que consiste en trazar por el extremo de cada uno de ellos una paralela al otro formando un paralelogramo. La suma de los dos vectores es otro vector que coincide con la diagonal del paralelogramo.

Analíticamente para sumar dos vectores se suman sus componentes. Por ejemplo, dados

los vectores y , el vector suma de ambos será:

Resta

Para restar un vector de otro, se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo. El vector opuesto a uno dado es otro vector con la misma dirección, el mismo módulo y de sentido contrario.

Si queremos realizar la operación , en realidad lo que hacemos es .

Así pues la operación de restar es igual que la de sumar, una vez obtenido el vector opuesto del sustraendo.

Fígura 7: Suma de vectores. Regla del paralelogramo r r A+B r B r A r r r C= −B A Cr = + −Br ( Ar)

Fígura 8: Vectores opuestos r A ₋Ar r r r r A+ =B (A_x+B i_x) +(A_y +B_y)j r r r A=A i_x +A j_y Br=B i_xr+B j_yr

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UNIDAD

Dados los vectores de la figura:

a) Exprésalos analíticamente y realiza las operaciones y

b) Realiza gráficamente las operaciones anteriores.

c) Halla el módulo de Ar r+B y de Ar r−B r r A+B Ar r−B E j e m p l o A B X Y

Producto de un vector por un escalar

El resultado es otro vector de la misma dirección, de módulo igual al producto del escalar por el módulo del vector, y su sentido es el mismo si el escalar es positivo y el contrario si éste es negativo.

Analíticamente, el resultado es el de multiplicar por el escalar cada una de sus componentes.

Así, si queremos multiplicar el vector por el escalar c, el resultado será:

Producto escalar de dos vectores

Se representa por el signo “·” entre los dos vectores y el resultado es un escalar cuyo valor es el producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman sus direcciones.

c A⋅ = ⋅r c A i_xr+ ⋅c A j_yr+ ⋅c A k_zr

r

A

Fígura 9: Producto de un vector por un escalar 2Ar r A _−2Ar Solución: a) ; ; ; b) c) Ar r+B = 32+72 =7 6, ; Ar r−B = −( )7 2 + −( )12 =7 1, A B X Y A+B A _B X Y B -B A -r -r r r A− = − −B 7i j r r r r A+ =B 3i +7j r r r B=5i +4j r r r A= − +2i 3j

3. Dados los vectores y :

a) Represéntalos gráficamente en un sistema de ejes cartesianos.

b) Halla gráfica y analíticamente los vectores Ar r+B y Ar r−B.

r r r

B=4i −2j

r r r

A= + 3i j

También puede definirse como el producto del módulo de un vector por la proyección del otro sobre él. Si observamos la figura anterior podemos comprobar que la proyección de sobre

vale precisamente .

Analíticamente, el resultado se obtiene multiplicando sus componentes homólogas; así el

resultado de multiplicar A Br r⋅ será: A Br r⋅ =A B_{x x} +A B_{y y} +A B_{z z}

A⋅ cos α

r

A Br

Fígura 10: Producto escalar de dos vectores

r r r r A B⋅ = A ⋅ B ⋅ cos α r A r B α

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UNIDAD

Dados los vectores y :

a) Represéntalos gráficamente en un sistema de ejes cartesianos. b) Halla la expresión del vector

c) Realiza su producto escalar d) ¿Qué ángulo forman entre sí? Solución:

a)

b) c)

d) Sabemos que ; despejando:

Nos falta por conocer Ar y Br

r r r r A B⋅ = A ⋅ B ⋅ cos α cosα = ⋅ ⋅ r r r rA B A B r r A B⋅ =A B_{x x} +A B_{y y} +A B_{z z} = ⋅ − ⋅ − ⋅ = −4 3 6 4 5 4 32 r r r r r r r r r C= + ⋅ =A 2 B (4 2 3+ ⋅ )i +(6 2 4− ⋅ )j + − + ⋅( 5 2 4)k =10i −2j +3k Y Z X A B r r A B⋅ r r r C= + 2A B r r r r A=4i +6j −5k Br=3ri −4rj +4kr E j e m p l o E j e m p l o

Producto vectorial

Se representa por el signo “x” entre los dos vectores y el resultado es un vector de módulo igual al producto de los módulos por el seno del ángulo que forman. Su dirección es perpendicular al plano que determinan los dos vectores y el sentido se determina por la regla del tornillo, según la cual el sentido del vector producto sería el de avance de un tornillo que girara para hacer coincidir el primer vector con el segundo.

Si tenemos un paralelogramo cuyos lados son A y B, el valor de la superficie es el producto de la

base por la altura, pero la altura vale , por tanto:

A B α sen B A B A× = ⋅ ⋅ B A × 90º 90º

Fígura 11: Producto vectorial de dos vectores

h= ⋅A senα S= ⋅ ⋅A B senα

Fígura 12: Superficie de un paralelogramo

A α h B r B = 32 +42+42 =6 40, cosα=_{8 77 6 40,} −32_{⋅ ,} = −0 57, ⇒ =α arccos

(

)

4. Dados los vectores y

a) Halla el vector

b) Realiza el producto escalar

c) Halla el ángulo que forman Ar y Br

r r A B⋅ r r r C=3A−2B r r r B=6i +2j r r r A=3i −5j A c t i v i d a d e s

Según esto, el módulo del producto vectorial de dos vectores representa la superficie del paralelogramo que definen.

Para obtener analíticamente el resultado del producto vectorial es necesario conocer el cálculo con matrices que se estudiará en el curso siguiente. Así pues, por ahora, es suficiente conocer –y recordar– el sentido físico de este producto ya que es fundamental para la comprensión de determinados fenómenos de importancia trascendental en la física.

3. El sistema internacional de unidades

Un sistema de unidades es un conjunto consistente a partir del cual se derivan todas las demás unidades.

En España, la Ley 3/1985 determina como las Unidades Legales de Medida las del Sistema Internacional de Unidades adoptado por la Conferencia General de Pesas y Medidas. Estas unidades quedaron establecidas en el Real Decreto 1317/1987.

Una unidad es un patrón que sirve para medir el valor de una magnitud y por tanto debe estar perfectamente definida y ser reproducible en cualquier lugar. Además deben estar definidos sus múltiplos y submúltiplos para poder expresar el resultado de la medida por el número de unidades y la fracción de unidad que contiene.

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UNIDAD

5. Halla el valor el producto escalar y el módulo del producto

vecto-rial de los dos vectores de la figura. Según los vemos en el papel,

el vector que resulta del producto vectorial , tiene dirección

perpendicular al plano del papel pero… ¿en qué sentido, hacia dentro o hacia fuera del papel?

r r A B× A c t i v i d a d e s 30º A B o b ` r b o a ^

T Para sumar dos vectores que tienen el mismo origen, se utiliza la regla del paralelogramo. T Para restar dos vectores, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

T El producto escalar de dos vectores no es un vector y su valor es el producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

T El producto vectorial de dos vectores es otro vector perpendicular al plano definido por ambos y su sentido es el del avance de un tornillo que girara en el sentido de hacer coincidir el primero con el segundo. T El módulo del producto vectorial de dos vectores tiene el mismo valor que la superficie del paralelogramo

Las unidades básicas, correspondientes a magnitudes fundamentales, tienen una definición propia en función de constantes universalmente conocidas. Las demás se definen en relación a ellas.

Existen, además, dos unidades suplementarias que no tienen dimensiones y que también pueden formar parte de la definición de las unidades derivadas.

Magnitudes derivadas y unidades de uso frecuente:

Existen muchas unidades, pertenecientes a magnitudes derivadas, que no tienen un nombre específico. Éstas se expresan en función de otras unidades que están relacionadas con ellas y que sí tienen nombre propio, sean o no unidades pertenecientes a magnitudes fundamentales.

Por ejemplo: la unidad de velocidad es el metro por segundo (m/s o ms-1_{) y la unidad de impulso}

mecánico (fuerza por tiempo, que estudiaremos en la Unidad 3) es el newton por segundo (N·s). Magnitud Unidad Símbolo

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Intensidad de corriente eléctrica amperio A Temperatura termodinámica kelvin K Intensidad luminosa candela cd Cantidad de sustancia mol mol

Magnitud Unidad Símbolo

Ángulo plano radián rad

Ángulo sólido estereoradián sr

Magnitud Unidad Símbolo

Frecuencia hercio Hz

Fuerza newton N

Presión pascal Pa

Energía, trabajo julio J

Potencia vatio W

Carga eléctrica culombio C

Potencial eléctrico voltio V Resistencia eléctrica ohmio Ω Capacidad eléctrica faradio F

Múltiplos decimales

Prefijo Símbolo Factor

Deca da 101 Hecto h 102 Kilo k 103 Mega M 106 Giga G 109 Tera T 1012 Peta P 1015 Exa E 1018 Zetta Z 1021 Yotta Y 1024 Submúltiplos decimales

Prefijo Símbolo Factor

deci d 10-1 centi c 10-2 mili m 10-3 micro μ 10-6 nano n 10-9 pico p 10-12 femto f 10-15 atto a 10-18 zepto z 10-21 yocto y 10-24

Conversión de unidades

En la práctica, muchas medidas no se expresan en unidades del sistema internacional o en múltiplos o submúltiplos de ellas, debido generalmente a la utilización de aparatos calibrados en otras unidades, por ejemplo: el cuentakilómetros de un coche nos da la lectura en kilómetros por hora, asimismo, el tiempo, según su duración, se expresa en horas, minutos, etc.

En estos casos debemos convertir las unidades que no pertenezcan al SI en unidades de éste, ya sean básicas o derivadas. Para ello utilizamos los factores de conversión que, en cada caso, es la relación existente entre ambas unidades. Así, el factor de conversión de minutos a segundos es de 60; es decir, 1 min = 60 s.

Como ejemplo, vamos a expresar la velocidad de un automóvil que se mueve a 72 kilómetros por hora en metros por segundo:

Reglas prácticas para expresar cantidades y unidades

• Los símbolos de las unidades del SI, excepto el W, se expresan con caracteres romanos

y minúsculas, sin embargo, si dichos símbolos corresponden a unidades derivadas de nombres propios, su letra inicial es mayúscula.

• Los símbolos no van seguidos de punto, ni toman la s para el plural.

• El símbolo de la unidad sigue al símbolo del prefijo sin espacio.

• El producto de los símbolos de dos o más unidades se indica con preferencia por medio

de un punto como símbolo de multiplicación.

• Los nombres de las unidades debidos a nombres propios de científicos deben escribirse

con idéntica ortografía que el nombre de éstos, pero con minúscula inicial.

• Los nombres de las unidades toman una s en el plural, salvo que terminen en s, x o z.

• En los números, la coma se utiliza sólo para separar la parte entera de la decimal. Para

facilitar la lectura, se recomienda dividir los números en grupos de tres cifras; estos grupos no se separan jamás por puntos ni por comas. La separación en grupos no se utiliza para los números de cuatro cifras que designan un año.

• Los múltiplos y submúltiplos decimales de las unidades del SI se forman con prefijos

que anteceden sin espacio al símbolo de la unidad.

72 km 72 1000₃₆₀₀ 20 1

h

m

s m s

= = ⋅ −

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UNIDAD

6. Los contadores eléctricos habituales miden la energía consumida en kilovatios hora (Kw · h). ¿A cuántos vatios por segundo (julios) equivale un kilovatio hora?

4. Medidas de magnitudes

Siempre que realizamos una medida obtenemos una información cuantitativa de una magnitud física. Si queremos dar a conocer el resultado de nuestra medida de un modo coherente tenemos que utilizar una unidad en la que expresar el resultado de modo que sea interpretable por otras personas. Podemos decir que medir una magnitud es compararla con otra, de valor conocido, que se toma como unidad.

Esta comparación se realiza utilizando instrumentos de medida que pueden ser muy sencillos como una regla, un dinamómetro... o muy complejos como una balanza electrónica de precisión, un espectrofotómetro... Según el instrumento utilizado se obtendrán medidas más o menos fiables, dependiendo de sus cualidades:

Exactitud: La lectura que ofrece el instrumento corresponde al verdadero valor de la magnitud

medida. Por ejemplo, un cronómetro que indique el tiempo transcurrido realmente decimos que es exacto.

Sensibilidad:Aprecia variaciones muy pequeñas en la magnitud. Por ejemplo, un voltímetro que

aprecie una variación de una milésima de voltio es más sensible que uno que aprecie sólo centésimas .

Precisión: Expresa el grado de incertidumbre en el valor medido. Si un aparato de medida es

preciso, su medida se encontrará afectada de poca incertidumbre. Por ejemplo si un amperímetro aprecia miliamperios el grado de incertidumbre será de

y si otro, menos preciso, aprecia

centésimas de amperio, el grado de incertidumbre será de .

Fidelidad: Siempre ofrece el mismo resultado para el mismo valor de la magnitud. Por ejemplo,

si al realizar varias medidas con una balanza para determinar la masa de un cuerpo obtenemos siempre el mismo valor decimos que ésta es fiel.

4.1. Medidas directas

Una medida es directa cuando se obtiene por comparación con un patrón calibrado (una regla, una pipeta, etc.) o, más frecuentemente en la actualidad, por la lectura del instrumento de medida utilizado, ya sea analógico o digital.

Cifras significativas

Una vez realizada la lectura obtenemos un número con varias cifras, en éste, las cifras significativas son las que dan idea de la exactitud de la medida. Para saber cuáles son éstas en un número cualquiera, seguiremos las siguientes reglas:

Son cifras significativas:

• Todas las cifras distintas de cero.

• Los ceros que se encuentren entre dos cifras significativas.

• Todos los ceros situados a la derecha de la coma decimal, excepto los que la siguen

inmediatamente en cantidades menores que la unidad. No son cifras significativas:

• Los ceros situados antes de la primera cifra significativa.

• Los ceros situados después de la última cifra significativa, salvo que vayan seguidos de

la coma decimal o estén a la derecha de ésta.

±0 01, A

4.2. Medidas indirectas

En muchas ocasiones no existe o no es posible utilizar el instrumento de medida adecuado por lo que es necesario realizar una medida indirecta, recurriendo a medir otra magnitud que sea medible directamente y esté relacionada con aquella cuyo valor queremos conocer; por ejemplo, si queremos saber la velocidad media de un atleta en una carrera, cronometramos el tiempo y, aplicando una sencilla fórmula, hallamos el valor buscado.

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UNIDAD

7. Indica las cifras significativas que tienen las siguientes cantidades:

a) 2040 b) 160, c) 0,0210 d) 260 000 e) 1 000,01

A c t i v i d a d e s

• 60 700 tiene tres cifras significativas (6, 0 y 7) ya que los dos ceros del final no están entre

cifras significativas.

• 60 700, tiene cinco (todas) ya que el último cero va seguido de una coma, por lo que es una

cifra significativa y en consecuencia los demás ceros también lo serán.

• 0,0320 tiene tres (3, 2 y el último cero). Los dos primeros ceros no son significativos ya que

están situados antes de la primera cifra significativa.

• 15 000 tiene solamente dos (1 y 5) ya que los ceros están después de la última cifra

signi-ficativa.

La última cifra significativa nos indica la precisión con que se ha realizado la medida.

Supongamos que tenemos una mesa cuya longitud es de 0,750 m. Si la medimos con una regla graduada en centímetros obtendremos 0,75 m ya que no podemos apreciar los milímetros; sin embargo al medirla con una regla graduada en milímetros obtenemos una medida de 0,750 m. En la primera medida obtenemos dos cifras significativas y en la segunda tres lo que nos indica que segunda medida es más precisa que la primera, debido a que la regla graduada en milímetros es más precisa que la graduada en centímetros.

Según esto, siempre existe un grado de incertidumbre o error en la medida que dependerá del instrumento utilizado. En el ejemplo anterior expresaríamos la longitud de la mesa como

en la primera medida y como en la segunda. Obser-vemos que en

ambos casos el corresponde a la última cifra significativa y nos indica la precisión del

instrumen-to utilizado.

±1

l =750 1± mm l=75 1± cm

4.3. La notación científica

Frecuentemente, los científicos trabajan con valores muy grandes, como la velocidad de la

luz (c = 299 792 500 m·s-1_{), o muy pequeños, como la constante de la gravitación universal}

(G = 0,00000000006670 N·m2 _{· kg}-2_{). Como podemos ver, expresarlos de este modo, es bastante}

engorroso.

Para evitar este problema y favorecer los cálculos y estimaciones se utiliza la notación científica que consiste en expresar la cantidad por un número, con una parte entera de una sola cifra y una decimal, multiplicado por una potencia de diez, que puede ser positiva o negativa, dependiendo del valor del número en cuestión.

La parte entera, junto con la parte decimal del número muestran las cifras significativas de éste y, por tanto, la precisión con la que se ha obtenido.

Si expresamos en notación científica la velocidad de la luz y la constante de la gravitación, respectivamente, obtenemos:

c = 2,9997925 · 108 _m·s-1

G = 6,670 · 10-11_{N · m}2 _{· kg}-2

Nótese que la velocidad de la luz se conoce con ocho cifras significativas, mientras que la constante de la gravitación solamente con cuatro, lo que nos indica que la velocidad de la luz se ha podido medir con más precisión que la constante de la gravitación.

Orden de magnitud

Acabamos de ver que la velocidad de la luz es muy grande y que la constante de la gravitación es muy pequeña, pero... ¿cuánto de grande o de pequeña? Para apreciar esto, utilizamos el orden de magnitud que es el número más cercano al de referencia que se pueda expresar como una potencia de diez.

Si el número en cuestión está expresado en notación científica, solamente hay que redondear la parte entera, a 1 o a 10, con lo cual el orden de magnitud será su propia potencia de diez si la parte entera es menor de 5 y su potencia de diez más 1 si la parte entera es igual o mayor de 5.

Así, la velocidad de la luz es del orden de 108_{, mientras que la constante de la gravitación es}

del orden de 10-10_.

o b ` r b o a ^

T Las cifras significativas indican la exactitud de una medida.

T La notación científica consiste en expresar la cantidad por un número, con una parte entera

de una sola cifra y una decimal, multiplicado por una potencia de diez.

T El orden de magnitud es el número más cercano al de referencia que se pueda expresar como

5. Errores en la medida

En cualquier medida que se realice, se cometen errores experimentales, por muy sofisticado que sea el instrumento con el que se mida. El primero, como ya hemos visto y que es inevitable, es debido a la precisión del aparato, que nunca podrá aproximar la medida más allá de las cifras significativas que podamos obtener de su lectura. Además de éste nos podemos encontrar otros que pueden ser de dos tipos:

Sistemáticos: Son los que se repiten en todas las medidas realizadas, y normalmente se

deben a una mala calibración del aparato de medida, o a un defecto de apreciación del observador. Estos errores son difíciles de detectar y se repetirán en tanto no se localice la causa y se tomen las medidas oportunas para su corrección, con lo cual quedará solucionado el problema.

Accidentales: Ocurren de modo circunstancial, inesperadamente, como cambios ambientales,

vibraciones en el entorno, averías, distracción del observador, etc. Son fáciles de detectar cuando se realizan varias medidas, ya que la tomada accidentalmente arroja un valor muy diferente de las otras y además su contribución al resultado final disminuye al aumentar el número de medidas realizadas como veremos en el epígrafe siguiente.

5.1. Aproximación al valor real

En una serie de medidas es posible que estemos cometiendo errores sistemáticos o no. Una vez convencidos de que no estamos incurriendo en ellos obtendremos valores más o menos dispersos debidos a errores accidentales y, por lo tanto, aleatorios. Podemos suponer razonablemente que unas veces obtendremos el valor por defecto y otras por exceso. Si realizamos dos medidas, existe un 50% de posibilidades de que las dos desviaciones estén en el mismo sentido, pero a medida que aumenta el número disminuyen las probabilidades de que esto ocurra, tendiendo a compensarse unas con otras. Así podemos pensar que si realizamos la media aritmética de los valores obtendremos el valor medio que será más fiable que cualquiera de los valores individuales obtenidos, y más aún cuanto mayor sea el número de medidas realizadas.

Si en una serie de n medidas hemos obtenido los valores x1, x2,...xn, el valor más fiable será:

x x x x n

m

n

= 1+ 2 + +...

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8. El radio del electrón es re = 0,0000000000281777 m. Expresa este valor en notación científica e

indica cuál es su orden de magnitud. A c t i v i d a d e s

5.2. Error absoluto y error relativo

El error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor medido y el valor real. Si

x es el valor medido y xrel valor real, el valor absoluto será:

Dado que el valor real no lo conocemos nunca con exactitud, no podemos saber si el error se ha cometido por exceso o por defecto, por esto se utiliza el valor absoluto que nos indica únicamente la desviación que existe en la medida. Para expresar una cantidad x, con indicación

del error absoluto escribimos .

Supongamos que medimos la longitud de un lapicero con una regla graduada en milímetros y obtenemos 12,7 cm. No podemos asegurar que este valor sea exacto, pero sí podemos asegurar que es menor de 12,8 cm y mayor de 12,6 cm. En este caso el error absoluto es de 1 mm que es

la precisión de la regla y lo expresamos así: .

El error absoluto indica la desviación de la medida, pero no da una idea de la precisión, es decir de la calidad de la medida. Imaginemos que al medir la longitud de una piscina que tiene 25 m de longitud se comete un error de 1 centímetro; podríamos considerar que es una buena medida. Imaginemos ahora que al medir la longitud del lapicero del ejemplo anterior se comete el mismo error; ésta sería una mala medida, por ello, cuando conviene conocer este aspecto se recurre al error relativo que es el cociente entre el error absoluto y el valor real.

Al ser un cociente entre magnitudes iguales, no tiene dimensiones, no depende de las unidades y, generalmente, se expresa en tanto por ciento. Indica la precisión de la medida.

Vamos a calcular el error relativo de las medidas efectuadas en los ejemplos del lapicero y de la piscina que acabamos de ver:

En la medida del lapicero: En la medida de la piscina:

Así hemos comprobado que la medida de la piscina es más precisa, ¡200 veces!, que la medida del lapicero.

E_r = 0 01= = 25, 0 0004 0 04, , % E_r = 0 1 = = 12 7,, 0 08 8, % l=12 7 0 1, ± , cm x± Δx Δx = −x x_r

9. Estamos interesados en conocer el grosor de cada una de las hojas de un paquete que contiene

quinientas, para ello realizamos una serie de medidas con un calibre y obtenemos los siguientes resultados en mm: 45,9; 45,2; 46,2; 44,8; 46,0. ¿Cuál será el valor buscado?

6. Representaciones gráficas

En las ciencias experimentales existen muchas ocasiones en las que varias magnitudes están relacionadas entre sí, de modo que cuando varía una de ellas implica la variación de otra u otras. Así por ejemplo, si un móvil se desplaza con una velocidad, a medida que aumenta el tiempo aumenta el espacio recorrido; en este caso decimos que el espacio es función del tiempo ya que depende de él. La variable que depende de otra se denomina variable dependiente y la que sirve de referencia, variable independiente. En este caso, el tiempo es la variable independiente y el espacio, la variable dependiente.

Normalmente, los sucesivos valores de las variables se representan en un sistema de ejes cartesianos. La variable independiente se sitúa en el eje de abcisas (eje X) y la variable dependiente en el de ordenadas (eje Y). Habitualmente, en primer lugar se representan en el eje X los valores de la variable independiente y posteriormente se van marcando en el eje Y los valores obtenidos para la variable dependiente.

Cada pareja de valores se representa por un punto y a continuación se traza una línea, de trazo uniforme, que se ajuste lo máximo posible a ellos con lo que habremos obtenido la representación gráfica de la función que relaciona a las dos magnitudes.

Como acabamos de ver, en todas las medidas experimentales existe un cierto error y en consecuencia, al representar los puntos correspondientes a los valores obtenidos, vemos que no

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UNIDAD

10. Suponiendo que el valor promedio obtenido en la actividad anterior sea el grosor real del paquete

de hojas, calcula el error absoluto y relativo de la primera y de la segunda medidas. ¿Cuál de las dos es más precisa?

11. Un dependiente mide un trozo de tela con un metro cuyas divisiones son de 1 cm y obtiene una

medida de 83 cm. a) Expresa el resultado, con indicación del error absoluto. b) Calcula el error relativo de esta medida y exprésalo en tanto por ciento.

A c t i v i d a d e s

o b ` r b o a ^

T Los errores pueden ser sistemáticos o accidentales. Los primeros se pueden eliminar totalmente

detectando las causas. Los segundos se minimizan con un buen mantenimiento de los aparatos y eficacia en el trabajo.

T Al aumentar el número de medidas, disminuye el margen de error.

T El error se puede expresar de modo absoluto o relativo.

siguen exactamente la línea que representa a la relación matemática que esperamos encontrar. Por ello, trazamos la línea de modo que se ajuste lo máximo posible a los puntos obtenidos.

6.1. Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el valor de una de ellas es igual al valor de la otra multiplicado por una constante. Su expresión es de la forma y = k·x donde y es la variable dependiente, x es la variable independiente y k la constante de proporcionalidad. Decimos, en estos casos, que estas dos magnitudes están en relación lineal o que están relacionadas linealmente.

Supongamos que, al medir dos magnitudes relacionadas de este modo, obtenemos los valores reflejados en la siguiente tabla:

A continuación, representamos los puntos correspondientes en unos ejes cartesianos, dibujamos una línea que pase por todos ellos y obtenemos la gráfica siguiente:

Hemos obtenido una línea recta cuya pendiente es . Si ponemos esta ecuación en la

forma: y = k · x, observamos que k es la constante de proporcionalidad entre y y x.

k y x = x 0 2 4 6 8 y 0 3 6 9 12 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 2 4 6 8 _x y

Rectas con ordenada en el origen

En algunas ocasiones, la recta obtenida al representar los valores no pasa por el origen de coordenadas debido a que cuando x vale cero, y tiene un valor distinto de cero. Supongamos que en una serie de medidas hemos obtenido los siguientes valores:

LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS

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UNIDAD

El mercurio es un metal líquido a temperatura ambiente, por lo que es fácil medir volúmenes diferentes y calcular las masas correspondientes con una balanza. Operando así, se han obtenido los datos siguientes:

a) Dibujar la gráfica de m frente a V.

b) Expresar la ecuación matemática que relaciona m con V. c) Calcular el valor de la pendiente y explicar su significado. Solución:

a)

b) Podemos observar que, muy aproximadamente, los resultados de las medidas siguen una relación lineal por lo que la ecuación buscada será de la forma m=k·v e indica que la masa es igual al volumen multiplicado por una constante.

c) También vemos que todos los puntos no están exactamente situados sobre la línea; por esta razón si tomamos uno de los puntos obtenidos experimentalmente para hallar el valor de la pendiente, estaremos basándonos en el resultado de una sola medida por lo que podemos esperar un alto índice de error. Por ello, calculamos la pendiente de la recta eli-giendo cualquier punto de ella que consideremos bien definido, por ejemplo, el (4,4 , 60).

La pendiente de la recta será: .

El valor obtenido representa la constante por la que hay que multiplicar el volumen de mercurio para obtener su masa que, según sabemos, es la densidad, por lo que estas mediciones habrán servido para obtener la densidad del mercurio, que en unidades de SI será:

d g cm kg m kg m =13 6 =13 6 10₋− = 10 13600 3 3 6 3 3 , , k = 60 = 4 4, 13 6, Volumen, V(cm3) 1 2 3 4 5 Masa, m(g) 13,6 27,6 41,2 54,1 68,4 E j e m p l o

En este caso, x e y no parecen ser directamente proporcionales ya que al dividir los sucesivos valores obtenidos de y entre los de x no obtenemos siempre el mismo resultado.

No obstante, si representamos gráficamente estos resultados, obtenemos una línea recta que no pasa por el origen de coordenadas, sino que corta al eje de ordenadas en el punto (0,2). El valor de y en este punto (y = 2) se denomina ordenada en el origen.

Si a cada uno de los valores obtenidos para y le restamos el valor de la ordenada en el origen,

la fracción que resulta nos da un valor constante, que es la pendiente de la recta. En

este caso concreto, sustituyendo cualquier pareja de valores en la expresión, obtenemos que la pendiente es igual a 3, es decir:

que es la ecuación buscada.

y x y x y x − = ⇒ − = ⇒ = +2 3 2 3 3 2 x 0 2 4 6 8 y 2 8 14 20 26 y x − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 0 5 10 15 20 25 30 35 0 2 4 6 8 _x y

Fígura 14: Recta con ordenada en el origen

12. Ponemos un recipiente con agua en el fuego y medimos su temperatura cada dos minutos,

obteniendo los siguientes resultados:

a) Representa gráficamente la variación de temperatura (ordenadas) frente al tiempo (abcisas).

b) ¿Puedes establecer alguna ley sobre el comportamiento del agua frente a la temperatura?

c) Halla la ecuación que indique la variación de la temperatura en función del tiempo, en el

intervalo de 0 a 10 minutos.

d) ¿Qué temperatura tendría el agua al los 7 minutos de comenzar a calentarla?

13. Apartamos del fuego el agua de la actividad anterior, ponemos el cronómetro a cero y volvemos a medir la temperatura cada dos minutos, obteniendo los siguientes valores:

Tiempo, t (min) 0 2 4 6 8 10 12 14

Temperatura, T (ºC) 20 36 52 68 84 100 100 100

6.2. Magnitudes inversamente proporcionales

La relación entre estas magnitudes es de la forma donde k es una constante, un

número. Ahora no permanece constante el cociente, sino el producto. Es decir x·y = k. Supongamos que tenemos los siguientes valores de dos magnitudes:

Si representamos estos valores obtenemos la siguiente gráfica que como vemos es una curva, concretamente, parte de una hipérbola.

0 5 10 15 20 25 30 1 2 3 4 5 x y

Fígura 15: Representación gráfica de magnitudes inversamente proporcionales

X 1 2 3 4 5

Y 24 12 8 6 4,8

y k x

=

LA ACTIVIDAD CIENTÍFICA. MAGNITUDES Y MEDIDAS

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UNIDAD

14. Medimos los volúmenes que ocupa una determinada masa de gas al variar la presión,

mante-niendo la temperatura constante y obtenemos los siguientes valores:

a) ¿Las magnitudes p y V son inversamente proporcionales?

b) Representa la gráfica volumen --presión.

Presión, p (Pa) 1 2 4 5 10

Volumen, V (dm3₎ 100 50 25 20 10

A c t i v i d a d e s

a) Representa la gráfica temperatura-tiempo.

b) Halla la ordenada en el origen y la constante de proporcionalidad.

c) Expresa la ecuación matemática por la que se rige este proceso.

Tiempo, t (min) 0 2 4 6 8