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CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
1. DEFINICIÓN
Dos triángulos son congruentes si sus lados y sus
ángulos son respectivamente congruentes.
Dados los triángulos ABC y PQR, entonces
definimos:
AB PQ BC QR AC PR
ABC
PQR
A
P
B
Q
C
R
≅
≅
≅
∆
≅ ∆
⇔
∠ ≅ ∠
∠ ≅ ∠
∠ ≅ ∠
⇒ ∆ABC = ∆PQR
Notación: ∆ABC ≅ ∆PQR: léase el triángulo ABC es
congruente al triángulo PQR.
Observación:
Intuitivamente dos triángulos son congruentes si
tienen la misma forma y el mismo tamaño.
2. CASOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Para
que dos triángulos sean congruentes se exigen
seis condiciones. Sin embargo, hay casos en la que
basta que se cumplan tres de estas condiciones de
las
cuales uno de ellos debe ser un lado, y son los
siguientes:
1° caso. Lado- Ángulo- Lado (L.A.L)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados
y el ángulo comprendido respectivamente
congruentes.
Si:
AB PQ
AC PR
A
P
≅
≅
∠ ≅ ∠
⇒
∆
ABC
≅ ∆
PQR
2° caso. Ángulo- Lado- Ángulo (L.A.L)
Dos triángulos son congruentes si tienen un lado y
los ángulos adyacentes a este lado, respectivamente
congruentes.
Si:
AB PQ
A
P
C
R
≅
∠ ≅ ∠
∠ ≅ ∠
⇒
∆
ABC
≅ ∆
PQR
3° caso. Lado- Lado- Lado (L.L.L)
Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres
lados, respectivamente congruentes.
Si:
AB PQ
BC QR
AC PR
≅
≅
≅
⇒
∆
ABC
≅ ∆
PQR
4° caso. Lado- Lado- Ángulo mayor (L.L.AM)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados
respectivamente congruentes y congruente el
ángulo que se opone al mayor de dichos lados.
Si:
AC BC
>
y
AC PR
BC QR
B
Q
≅
≅
∠ ≅ ∠
⇒
∆
ABC
≅ ∆
PQR
α : Opuesto al mayor lado
GEOMETRÍA
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Observación:
Si dos triángulos son congruentes, son
respectivamente congruentes sus seis elementos; y
a lados congruentes se oponen ángulos congruentes
y recíprocamente.
3. DISTANCIA DE UN PUNTO
La distancia de un punto a una recta, es la longitud
del segmento perpendicular desde el punto a la
recta.
Observación:
La longitud de
PH
es la distancia de P a la recta L.
Al punto “H” se le denomina pie de la perpendicular.
4.
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DE
TRIÁNGULOS.
Teorema de la bisectriz
Todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista
de los lados del ángulo.
Si: “P” es un punto cualquiera de la bisectriz del
ángulo AOB:
Teorema de la mediatriz
Todo punto de la mediatriz de un segmento
equidista de los extremos del segmento.
Si: L es mediatriz de AB y
“E” es un punto
cualquiera de L:
Propiedad en el triángulo isósceles
Altura
Mediana
Bisectriz
Mediatriz
Teorema de los puntos medios
Si por el punto medio de un lado de un triángulo se
traza una paralela a otro lado, entonces dicha
paralela intercepta al tercer lado en su punto
medio, y el segmento determinado por los puntos
medios mide la mitad del tercer lado.
Si “M” es punto medio de AB y MN / /AC :
Teorema de los puntos medios (2da parte)
El segmento que une los puntos medios de dos lados
de un triángulo es paralelo al tercer lado y mide la
mitad de su longitud.
Si M y N son puntos medios de AB y BC
respectivamente:
Teorema de la mediana en el triángulo
rectángulo.
En todo triángulo rectángulo la mediana relativa a
la hipotenusa mide la mitad de la longitud de la
hipotenusa. Además es la menor de las tres
medianas del triángulo.
Si: BM es mediana relativa a AC :
EA = EB
PA = PB
OA = OB
⇒
⇒
BN = NC
⇒
∧
⇒
A
C
N
M
B
⇒
P
H
L
BH
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Observación:
Si dos líneas notables coinciden en un triángulo,
entonces dicho triángulo es isósceles.
Ejemplo: Los siguientes triángulos son isósceles.
Segmentos comprendidos entre rectas paralelas
son congruentes.
5. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
EJERCICIOS DE CLASE
1. En un triángulo ABC se traza la mediana BM , luego
se ubica el punto H en la mediana BM , tal que
HM = 3 m, AH = 8 m y la m∠AHM = 90°. Calcule la
medida del ángulo MHC.
A) 20°
B) 30°
C) 45°
D) 53°
E) 60°
2. En el interior de un triángulo POF se ubica el punto
T y exterior y relativo al lado PF el punto U, de tal
manera que: PO = TF, PF = OU. Si m∠PTU = 50°,
m∠UPF = 45° y m∠TPF = 35°, calcule m∠OUT.
A) 14°
B) 30°
C) 35°
D) 15°
E) 60°
AB = CD
AD = BC
⇒
α α
θ θ
B
θ
α
C
α
θ
A
D
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3. En un triángulo ABC, recto en B, se traza la
bisectriz interior AF y la altura BH, las cuales se
intersecan en D, luego se traza FE perpendicular
a BD . Calcule DH, si BE = 3 m.
A) 3 m
B) 4 m
C) 7 m
D) 5 m
E) 6 m
4. En el interior de un triángulo rectángulo POF se
ubica el punto T, de tal manera que TO = TF y
5.OF = 8.TP. Calcule m∠TPO.
A) 14°
B) 37°
C) 53°
D) 15°
E) 75°
5. En un triángulo ABC recto en B, M es un punto
exterior y relativo al lado BC . Si m∠MAC =
m∠BCA = m∠MCB = 15° y AB
=
2 m
, calcule CM.
A) 1 m
B) 3 m
C) 2 m
D) 5 m
E) 7 m
6. Se tiene un triángulo obtusángulo ABC (obtuso en
B), se traza la ceviana BC de tal manera que
AD = BD, además m∠DBC = 60° y m∠BCD = 20°.
Calcule m∠BAD.
A) 24°
B) 30°
C) 20°
D) 45°
E) 40°
7. En un triángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana
AD de tal manera que m∠DAC = 2m∠BAD y
CD = 2.AB. Calcule m∠BCA.
A) 14,5°
B) 30°
C) 45°
D) 15,5°
E) 22,5°
8. En un triángulo ABC recto en B, se traza la ceviana
AD de tal manera que m∠BCA = 2m∠BAD y
CD = 2.AB. Calcule m∠DCA.
A) 34,5°
B) 20°
C) 75°
D) 15,5°
E) 22,5°
9. En la figura calcule el valor de MN si QN = NC y
PQ = 6 cm.
A) 3 m
B) 4 m
C) 7 m
D) 5 m
E) 6 m
10. En un triángulo ABC recto en B, M y N son dos
puntos que se encuentran en los lados CB y CA
respectivamente. Si MC = AB + BM y AN = NC,
calcule m∠CMN.
A) 45°
B) 53°
C) 60°
D) 55°
E) 15°
11. En un triángulo rectángulo uno de los ángulos
agudos mide 67°30´ y la hipotenusa mide 4 2 m
.
Calcule la medida de la altura relativa a la
hipotenusa.
A) 1 m
B) 4,5 m
C) 2 m
D) 1,5 m
E) 6,5 m
12. En un triángulo ABC, sobre el lado BC se ubican
los puntos M y N tal que BM = NC y AB = MN.
Calcule la m∠MPN siendo P punto medio de AC.
A) 25°
B) 90° C) 60°
D) 85°
E) 65°
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN
1. En el interior de un triángulo equilátero VES se
ubica el punto Y de manera que
m VEY m YSE
m YVS
3
2
∠
∠
∠
=
=
. Calcule m∠YVS.
A) 14°
B) 30°
C) 35°
D) 15°
E) 60°
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2. En un triángulo ABC se traza la ceviana BD , de tal
manera que AB = DC, si m∠BAC = 2m∠BCD y
m∠DBC = 22,5°. Calcule m∠BCD.
A) 14,5°
B) 30°
C) 45°
D) 15,5°
E) 22,5°
3. Dado el triángulo ABC tal que AB = 2,5 m y
BC = 8,5 m; se traza la mediana BR de modo que
BR pertenece a los naturales. Calcule el menor
valor de BR.
A) 1 m
B) 3 m
C) 2 m
D) 5 m
E) 4 m
4. Si 4(AB) = 3(QR) y AR = 14 m, calcule QR – AB.
A) 1 m
B) 1,5 m
C) 2 m
D) 2,5 m
E) 3 m
5. En la figura, AE = EF, DE = 4 m y CD es bisectriz
del ∠ACB. Calcular AC.
A) 4 m
B) 6 m
C) 8 m
D) 12 m
E) 8 2 m
6. En el gráfico AB = BD y BC = BE, calcule θ
A) 10°
B) 20°
C) 40°
D) 45°
E) 50°
7. Del gráfico calcular el valor de “x” si AP = QR.
A) 10º
B) 15º
C) 20º
D) 25º
E) 30º
8. En la figura, AC = 2BD, Halle el valor de “θ”
A) 22º 30´
B) 30º
C) 25º 30´
D) 53º
E) 60º
9. Halle “x”
A) 90º
B) 6º
C) 20º
D) 28º
E) 38º
10. En la figura, calcule “x”
A) 20º
B) 60º
C) 26º
D) 10º
E) 38º
A
P
B
Q
α
R
2α
x
A
B
D
C
A
B
C
D
90º+x
x
2x
A
B
C
D
10°
40°
40°
80°
x
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