Unidad Didáctica 5
Movimiento vibratorio
armónico
1.- Movimiento periódico.
Un cuerpo describe un movimiento periódico cuando en intervalos de tiempos iguales,
llamados periodos, adquiere la misma posición, velocidad y aceleración.
Periodo, T: es el tiempo empleado en repetir un movimiento periódico. Unidad: segundo, s.
Un ejemplo de movimiento periódico es el movimiento de la Tierra alrededor del Sol. El periodo de este movimiento, es decir, el tiempo que tarda la Tierra en volver a una misma posición, es de un año.
Movimiento oscilatorio o vibratorio: es aquel en el que el cuerpo se desplaza sucesivamente a uno y otro lado de su posición de equilibrio repitiendo para cada intervalo de tiempo sus variables cinemáticas. Es un
caso de movimiento periódico. Ejemplo: el movimiento de un péndulo, de un diapasón, o el de un cuerpo unido a un muelle.
Una vibración u oscilación es el movimiento realizado durante un periodo. Oscilación es lo mismo que vibración, pero se suele hablar de vibración cuando se trata de oscilaciones rápidas o de alta frecuencia.
El movimiento de un planeta alrededor del Sol es periódico, pero no es vibratorio, porque no hay una posición central de equilibrio en torno a la que se realiza el movimiento.
2.- Movimiento armónico simple (m.a.s).
En las siglas, a (armónico) quiere decir que la ecuación del movimiento se expresa mediante funciones armónicas, como la función seno o la función coseno y s (simple) indica que es un movimiento de una sola variable (unidimensional).
Supongamos un muelle que se aparta de su posición de equilibrio estable. Sobre él aparecen fuerzas restauradoras que tienden a
devolverlo a su posición de equilibrio.
rest
Fr =-k · Δrr
Donde k (N/m), es la constante elástica, que es característica de cada tipo de muelle y
rr
Δ (m), es el desplazamiento respecto de la
posición de equilibrio.
La fuerza restauradora tiene sentido contrario al vector desplazamiento y está dirigida siempre hacia la posición de equilibrio.
Una partícula tiene un movimiento oscilatorio armónico simple (M.A.S.) cuando oscila bajo la
acción de fuerzas restauradoras que son proporcionales a la distancia respecto de la posición de equilibrio y cuyo sentido es hacia la posición de equilibrio.
2.1.- Magnitudes características del movimiento armónico simple.
Vibración u oscilación: distancia recorrida por la partícula en un movimiento completo de vaivén. Unidad: m.
Centro de oscilación, O: punto medio de la distancia que separa las dos posiciones extremas alcanzadas por la partícula móvil.
Elongación, (x o y): posición, en cada instante, de la partícula que vibra respecto a la posición central de equilibrio o centro de oscilación O. Es decir, es la distancia al centro de oscilación.
Se consideran positivos las valores de esta magnitud que estén a la derecha del punto O y negativos a la izquierda. Se suele utilizar X para estudiar oscilaciones horizontales e Y para las verticales. Unidad: m.
Amplitud, A: valor máximo de la elongación. Unidad: m. Periodo, T, tiempo empleado por la partícula en efectuar una oscilación completa. Es decir, el tiempo que tarda el
móvil en pasar dos veces consecutivas por el mismo sitio y en el mismo estado de movimiento (velocidad, aceleración,…). Unidad: s.
Frecuencia, f, número de oscilaciones efectuadas en la unidad de tiempo. Es la inversa del periodo:
T 1
f =
Unidad: hercio (Hz). Equivale a: vibraciones/s = ciclos (s-1).
Frecuencia angular o pulsación, ω: es el número de periodos comprendidos entre 2π unidades de tiempo:
T 2π
ω =
Tiene el mismo valor que la velocidad angular del movimiento circular uniforme. Unidad: rad/s.
3.- Cinemática del movimiento armónico simple.
3.1.- Posición. Ecuación del movimiento.El m.a.s. guarda relación con un movimiento circular uniforme. Si se representa la posición del cuerpo frente al tiempo, en un movimiento circular uniforme, se obtiene una gráfica como la de la figura, en la que se puede observar que la posición es una función sinusoidal del tiempo (función seno o coseno dependiente del tiempo).
La posición, en función del tiempo del oscilador armónico respecto a la posición de equilibrio viene dada por la elongación, que, si se utiliza la proyección sobre el eje Y, se trata de una función seno:
Si se utiliza la proyección sobre el eje X, se trata de una función coseno: x = A · cos (ωt + ϕ0) Donde A es la amplitud, ω es la velocidad angular, ϕ0 es la posición angular inicial o fase inicial llamada también, constante de fase. La expresión ϕ = (ωt + ϕ0) es la fase del movimiento.
Nota: cos α = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 sen α π y sen α = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 cos α π
A veces conviene usar una u otra:
1. Si la oscilación empieza en la posición de máxima elongación, debe cumplirse que, para t=0, y = A, la fase inicial ϕ0 = π/2 ⇒y = A sen (ωt + π/2) = A cos ωt.
2. Si la oscilación comienza en la posición de equilibrio se debe cumplir que, para t = 0, la fase inicial es cero y la ecuación: y = A sen ωt = A cos (ωt ± π/2).
3. Si el movimiento se inicia en una posición intermedia, se puede elegir seno o coseno indistintamente.
3.2.- Velocidad en el movimiento armónico simple.
Para obtener la expresión de la velocidad hay que derivar la ecuación de la elongación (posición) respecto al tiempo: y = A · sen (ωt + ϕ0) ) t cos( A dt dy v= = ⋅ω⋅ ω⋅ +ϕo
La velocidad en un movimiento armónico simple también es una función sinusoidal del tiempo con el mismo periodo que la elongación.
Se puede expresar la velocidad en función de la elongación, teniendo en cuenta la ecuación fundamental de la trigonometría: sen2 α + cos2 α = 1
En nuestro caso: sen (wt ) cos2(wt 0) 1
0
2 +ϕ + +ϕ =
Despejando: sen (ω·t + ϕ0) = 1−cos2(ω⋅t+ϕ0) Sustituyendo en la expresión de la velocidad:
v = ω A sen (ωt + ϕ0) = ω A 1−cos2(ω⋅t+ϕ0) =ω A2−A2cos2(ω⋅t+ϕ0) =ω A2−y2
Como la raíz lleva doble signo para cada valor de y hay dos posibles velocidades (de ida o de vuelta):
v =±ω A2−y2
• El valor de la velocidad depende de la posición. Cada vez que la partícula pase por la misma posición lo Hará con la misma velocidad.
• La velocidad es cero cuando x = ±A( extremos)
3.3.- Ecuación de la aceleración en el movimiento armónico simple.
Para obtener la expresión de la aceleración hay que derivar la ecuación de la velocidad respecto al tiempo: ) t cos( A v= ⋅ω⋅ ω⋅ +ϕo ) t ( sen A dt dv a = =− ω2 ω⋅ +ϕ0
Expresándolo en función de la elongación: a = -ω2 y
La aceleración en un M.A.S. es una función armónica que depende sinusoidalmente de tiempo. • La aceleración es nula en la posición de equilibrio (y = 0)
• Es máxima en los extremos en cuyo caso vale: a = –ω2A
• La aceleración es directamente proporcional a la elongación pero de sentido contrario a ésta.
3.4.- Gráficas del movimiento armónico simple.
En un m.a.s con fase inicial cero: y = A · sen ωt
t cos A v= ⋅ω⋅ ω⋅ = t 2 sen A ⎟⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ ⋅ω ω π t sen A a=− ω2 ω⋅ Representando la elongación, la velocidad y
la aceleración frente al tiempo se obtienen tres gráficas similares y se puede observar que:
• Las tres magnitudes x, v y a varían
Las tres gráficas están desfasadas entre sí, pues ni se anulan a la vez ni alcanzan sus valores
La velocidad está adelantada en un cuarto de periodo respecto de la elongación y la
.- Dinámica del movimiento armónico simple.
n oscilador armónico está sometido a una fuerza restauradora que tiende en todo momento a
n cada oscilador armónico m y ω son constantes, por lo que: k = - m ω2 es constante y queda:
F = - k · y
xpresión que ya conocemos como ley de Hooke, donde k es la constante elástica. periódicamente ya que vuelven a tomar
los mismo valores transcurrido un
período, T.
•
máximos en el mismo instante. Por ejemplo, cuando la elongación es máxima la velocidad es nula y la aceleración es mínima.
•
aceleración está desfasada medio periodo respecto de de la elongación.
4
U
llevarlo a su posición de equilibrio. De acuerdo con la 2ª ley de Newton, esta fuerza producirá una aceleración: F = m · a =- m ω2 y
E
• Para el caso de un muelle la fuerza restauradora es la fuerza elástica cuyo valor viene dado =-k ·
por la ley de Hooke:
rest
F Δx= - k · y.
x (alargamiento del muelle) coincide en el m.a.s. con la elongación y).
ualando: - k · y = - m ω y k = m ω Como (Δ 2 2 Ig ⇒ k = m 2 T 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π = m 2 2 T 4π T 2π ω= ⇒ Despejando el periodo: T2 = k m 4π2 ⇒ T = 2π k m
Expresión que nos permite calcular el periodo de oscilación de un muelle. La frecuencia de oscilación: m k 2 1 T 1 f π = =
Para el caso de un péndulo simple, (caso ideal: masa puntual colgada de un hilo n este caso la fuerza restauradora es la componente tangencial del peso:
Pt = - m · · sen θ i la oscilación es pequeña: sen θ = •
inextensible, de masa despreciable y sin rozamientos) E g L y S Pt = - m · g · L
(Para oscilaciones grandes esto no es correcto) · g · y L y = - m ω2 y ⇒ L g Igualando: - m = ω2 Como 2 T 2π ω= ⇒ L g = T 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎛ π = ⎝ 2 2 T 4π g L 4π2 ⇒ T = 2π g L Despejando el periodo: T2 =
xpresión que nos permite calcular el periodo de oscilación de un péndulo que no depende de la
La frecuencia de oscilación: E
masa ni del desplazamiento que le provoquemos (siempre que este sea pequeño).
L g 2 1 T 1 f π = =
5.- Energía en el movimiento armónico simple.
.1.- Energía cinética.cinética es:
5
Sabemos que la energía 2
c mv
2 1
E =
Como la velocidad para un oscilador es: v=A⋅ω⋅cos(ω⋅t+ϕo)
) t ( cos A m 2 1 Ec = ⋅ 2⋅ω2⋅ 2 ω⋅ +ϕo
Nota: sen2α + cos2 α = 1
)) t ( sen 1 ( A m 2 1 o 2 2 2⋅ω ⋅ − ω⋅ +ϕ ⋅ Ec = Como k = ω2 · m ⇒ Ec = k A (1 sen ( t )) 2 1 o 2 2 − ω⋅ +ϕ ⋅ = k (A A sen ( t )) 2 1 o 2 2 2− ω⋅ +ϕ ⋅ Como y = A · sen ( t + ϕω 0): Ec = k (A y ) 2 1 ⋅ 2− 2
La energía cinética de un oscilador armónico, varía entre un valor mínimo en los extremos (Ec =
0, ya que y = ±A) y un valor máximo en la posición de equilibrio (Ec= 1kA2 ya que y = 0).
5.2.- Energía potencial.
2
s el trabajo realizado por la fuerza conservativa para llevar la partícula desde la posición y hasta Epelástica = W = y elástica dy F = E la posición de equilibrio. 0
∫
⋅∫
0− ⋅ ⋅ x dy y k o y 2 2 y k ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − 2 y2 2 1 0 2 1 k = ky2 2 1Como y = A · sen (ωt + ϕ0): Epelástica = kA sen ( t )
2 1
0 2
2 ω +ϕ
La energía potencial de un oscilador armónico, varía entre un valor mínimo en la posición de
equilibrio (Ep =0, ya que y =0) y un valor máximo en los extremos (Ep= 1kA2, ya que y=± A).
5.3.- Energía mecánica. 2 ) y A ( k 2 1 ⋅ 2− 2 y la potencial es: Ep = ky2 2 1 Como la energía cinética es: Ec =
) y A ( k 2 1 ⋅ 2− 2 + ky2 2 1
La energía mecánica será: Em = Ec + Ep =
2
m kA
2
E =
La energía mecánica solo depende de las características del
• (que disipen energía) la energía
también será constante.
• a
• e la energía en función de la elongación x, obteniéndose
expresiones análogas.
1
•
oscilador, k y de la amplitud, A. Si no hay fuerzas de rozamiento
mecánica permanece constante en el tiempo. Por tanto, la amplitud
Se trata de un sistema conservativo. La energía potencial aumenta a medida que la energí cinética disminuye y viceversa.
6.- Oscilaciones forzadas y fenómenos de resonancia.
el tiempo hasta pararse debido l rozamiento con el aire. Es lo que ocurre, por ejemplo,
l nombre de
scilaciones amortiguadas.
s amortiguado si la energía
ecánica de su movimiento disminuye gradualmente y va
n estos casos viene dada por:
y = A0 e-bt cos (ωt)
Donde A0 es el desplazamiento inic ante de amortiguamiento, ω es la
ecuencia angular o pulsación, que es característica de cada oscilador.
el cuerpo y de sentido ontrario: F = - b · v
mortiguamiento. A medida que b aumenta disminuye la amplitud. Si b es uy grande, el cuerpo volverá a su posición de equilibrio y no oscilará.
proporciona la energía ue se pierde por rozamiento.
s a las producidas en un sistema oscilante debido a la energía uministrada por una fuerza externa de forma periódica.
jo, la energía que disipa el sistema. En eneral la frecuencia angular o pulsación de la fuerza externa es distinta de la frecuencia angular
levándose cada vez a mayor ltura, hay que empujarlo de forma que nuestro impulso acompañe a su movimiento.
a externa on una frecuencia angular que coincide con la frecuencia natural de oscilación del sistema,
orque la fuerza externa sea muy grande sino porque oinciden las frecuencias. Ejemplos:
a intensidad del sonido se ve amplificada •
En los sistemas reales, la amplitud de las oscilaciones decrece con a
con un columpio, si dejamos de empujarlo. Las oscilaciones, en este caso, reciben e
o
Un movimiento oscilatorio e
m
disminuyendo, también, la amplitud de las oscilaciones con el tiempo.
La elongación e
ial, b es la const fr
Las fuerzas de amortiguamiento son proporcionales a la velocidad d c
Si b es cero no hay a m
Se puede mantener la amplitud de las oscilaciones si un agente externo q
Se llaman oscilaciones forzada
s
El papel de la fuerza externa es aportar, mediante su traba g
del sistema. Pero, cuando estas frecuencias coinciden, la amplitud de la las oscilaciones del sistema aumenta drásticamente. Esto se conoce como resonancia.
Por ejemplo, para conseguir que un columpio, siga oscilando y e a
El fenómeno de resonancia se produce cuando se aplica sobre el sistema una fuerz
c
dando lugar a un aumento de la amplitud. ¡Atención!: La resonancia no se produce p c
• La resonancia hace que el aire dentro de una guitarra vibre con la misma frecuencia que vibra una de sus cuerdas, de forma que l
• En 1940, un puente colgante de nuevo diseño que se había inaugurado recientemente en
Resumen de fórmulas de M.A.S.
Tacoma (estado de Washington) se derrumbó. El puente, que había soportado fuertes vientos sin problemas, en un día de viento suave sufrió una serie de oscilaciones y torsiones y se cayó debido a que las turbulencias que creaba el viento a través de las estructuras del puente tenían la misma frecuencia que la propia de oscilación del puente y entró en resonancia.
T 1 f = Frecuencia T 2π ω =
Frecuencia angular o pulsación
Elongación y = A · sen (ωt + ϕ0) ) t cos( A dt dy v= = ⋅ω⋅ ω⋅ +ϕo v =±ω A2−y2 Velocidad Velocidad máxima v = ±ωA ) t ( sen A dt dv a = =− ω2 ω⋅ +ϕ0 a = -ω2 y Aceleración Aceleración máxima a = –ω2A
Fuerza restauradora Frest = - k · y
Constante elástica k = m ω2
Periodo de oscilación de un muelle T = 2π
k m m k 2 1 f π =
Frecuencia de oscilación de un muelle
Periodo de oscilación de un péndulo T = 2π
g L L g 2 1 f π =
Frecuencia de oscilación de un péndulo
) t ( cos A m 2 1 o 2 2 2⋅ω ⋅ ω⋅ +ϕ ⋅ Energía cinética Ec = Ec = k (A y ) 2 1 ⋅ 2− 2 2 ky 2 1
Energía potencial elástica
2 m kA 2 1 E = Energía mecánica
Problemas de M.A.S.
.- Una partícula animada de m.a.s. inicia el movimiento en el extremo positivo de su trayectoria
.- Una partícula material tiene un m.a.s. dado por la ecuación y = 5 · sen(πt - 1
y tarda 0'25 s en llegar al centro de la misma. La distancia entre ambas posiciones es de 10 cm. Calcula: a) El periodo y la frecuencia del movimiento. b) El número de vibraciones que realiza en un minuto. c) La ecuación del movimiento. d) La posición de la partícula 0'5 s después de iniciado el movimiento
2
π
2 ), donde y viene
.- Una partícula de 250 g de masa vibra con m.a.s. de forma que, para t = 0, pasa por la posición
.- Un oscilador vibra de forma que para t=0 se encuentra a 4 cm de la posición de equilibrio con
.- Una partícula de masa m = 10 g oscila armónicamente en la ar y la amplitud de la oscilación.
.- Se tiene un cuerpo de masa m = 10 kg
ación matemática del movimiento
d de dicha partícula en función del tiempo y su valor concreto en t = 5 s.
.- Cierto resorte tiene sujeto un cuerpo de 2 kg en su extremo libre y se requiere una fuerza de 8
.- En una catedral hay una lámpara que cuelga desde el techo de una nave y que se encuentra a dado en centímetros cuando t se expresa en segundos. Determina: a) la amplitud, la pulsación, el periodo, la frecuencia y la fase inicial. b) La fase, la elongación y la velocidad para t = 1/4 s. 3
de equilibrio en sentido negativo. Si tarda 1 minuto y 40 segundos en dar 125 oscilaciones completas y la distancia recorrida en una oscilación completa es de 6,48 m, calcula: a) Las constantes del movimiento; b) La ecuación del movimiento, expresada en seno y coseno; c) La velocidad y aceleración máximas.
4
una velocidad v0 = 87 cm/s. Si la frecuencia del movimiento es de 2 Hz, calcula: a) La fase
inicial y la amplitud del movimiento; b) La elongación y la velocidad en el instante t = 0,5 s; c) El valor máximo de la velocidad.
5
forma x = A sen ωt. En la figura se representa la velocidad de esta partícula en función del tiempo.
a) Determina la frecuencia angul
b) Calcula la energía cinética de m en el instante t1 = 0'5 s y la potencial en t2 = 0'75 s.
¿Coinciden? ¿Por qué? 6
que realiza un movimiento armónico simple. La figura es la representación de su elongación, y, en función del tiempo, t . Calcula:
a) La ecu
armónico y(t) con los valores numéricos correspondientes que se tienen que deducir de la gráfica.
b) La velocida 7
N para mantenerlo a 20 cm del punto de equilibrio. Si el cuerpo realiza un m.a.s. al soltarlo, halla: a) la constante recuperadora del resorte; b) el periodo de su oscilación.
8
2 m del suelo. Se observa que oscila levemente con una frecuencia de 0'1 Hz. ¿Cuál es la altura, h, de la nave? Dato: g = 9'8 m/s2.
9.- La bolita de un péndulo simple realiza una oscilación aproximadamente horizontal y
de la Luna, donde la 0.- Un péndulo simple está construido con una bolita suspendida de un hilo de longitud L=2m.
1.- El cuerpo de la figura tiene masa, m = 0'5 kg, está apoyado sobre una superficie horizontal
iodo de oscilación.
tencial de m en los extremos de su oscilación y cuando pasa s constante la energía mecánica de m? ¿Por qué?
2.- Disponemos de un muelle que se alarga 5 cm cuando se cuelga de él una masa de 1,0 kg. armónica, en presencia del campo gravitatorio terrestre, con un periodo T = 2 s y una amplitud A= 2 cm. a) Obtén la ecuación de la velocidad de la bolita en función del tiempo y represéntala gráficamente. Toma origen de tiempo (t = 0) en el centro de la oscilación.
b) ¿Cuál sería el periodo de oscilación de este péndulo en la superficie intensidad del campo gravitatorio es la sexta parte del terrestre?
1
Para pequeñas oscilaciones, su periodo de oscilación en un cierto lugar resulta ser T= 2'84 s. Determina la intensidad del campo gravitatorio en el lugar donde se ha medido el periodo.
1
sin rozamiento y sujeto al extremo de un resorte de constante recuperadora k = 20 N/m. Partiendo de la posición de equilibrio, x = 0, se desplaza el bloque 5 cm hacia la derecha y se libera con velocidad inicial nula, de forma que empieza a oscilar armónicamente en torno a dicha posición.
a) Calcula el per
b) Calcula las energías cinética y po por el centro de la misma.
c) Durante la oscilación, ¿e 1
Colocamos después este muelle unido a una masa de 500 g sobre una mesa horizontal sin rozamiento. La masa se separa 3 cm de su posición de equilibrio y se deja vibrar sobre el eje horizontal. Calcula: a) la constante de recuperación del resorte; b) la energía potencial en el punto de máxima deformación en horizontal; c) La energía cinética cuando x = 2 cm; d) la velocidad de la partícula en el punto mencionado en el apartado anterior.
Problemas de Selectividad
1.- (Junio de 2006) a) Demuestre que en un oscilador armónico simple la aceleración es proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario.
b) Una partícula realiza un movimiento armónico simple sobre el eje OX y en el instante inicial pasa por la posición de equilibrio. Escriba la ecuación del movimiento y razone cuándo es máxima la aceleración.
2.- (Junio 2007) Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armónico simple
a) Escriba la ecuación del movimiento si la aceleración máxima es de 5π2 cm·s-2, el periodo de
las oscilaciones 2 s y la elongación del cuerpo al iniciarse el movimiento 2'5 cm.
b) Represente gráficamente la elongación y la velocidad en función del tiempo y comente la gráfica.
3.- (Junio 2008) a) Describa el movimiento armónico simple y comente sus características cinemáticas y dinámicas. b) Una masa oscila verticalmente suspendida de un muelle. Describa los tipos de energía que intervienen y sus respectivas transformaciones.
4.- (Junio 2011) a) Movimiento armónico simple. Características cinemáticas y dinámicas. b) Razone si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: en un movimiento armónico simple la amplitud y la frecuencia aumentan si aumenta la energía mecánica.
5.- (Junio 2013) a) Explique el significado de las magnitudes que aparecen en la ecuación de un movimiento armónico simple e indique cuáles son sus respectivas unidades en el sistema internacional.
b) Demuestre que en un oscilador armónico simple la aceleración es proporcional al desplazamiento de la posición de equilibrio pero de sentido contrario.
