Figura 4.1. Representación esquemática del modelo tensión-deformación utilizada en el modelo lineal equivalente

4. EL PROGRAMA EERA

4.1. Introducción

La respuesta sísmica del suelo frente a un movimiento sísmico se ha simulado utilizando programas informáticos que utilizan varias hipótesis simplificadoras. Unos de los primeros programas fue SHAKE [107]. Este programa analiza la respuesta de un sistema roca-suelo formado por niveles horizontales y sometidos a una incidencia vertical de ondas sísmicas S. También supone que el comportamiento cíclico del suelo puede aproximarse por medio de un modelo equivalente lineal. Está basado en las soluciones de propagación de la onda de Kanai [108], Roesset y Whitmann [109] y Tsai y Housner [110]. Existen varias versiones del programa SHAKE [104], siendo una de las más recientes el SHAKE 2000.

En este capítulo se presentan los fundamentos teóricos de este método numérico. Para aplicar este método se ha utilizado el software EERA (Equivalent-linear Earthquake site Response Analyses) que se desarrolló en el año 1998 en lenguaje FORTRAN 90 y se basa en los mismos conceptos y formulaciones que SHAKE. El programa EERA está integrado como una hoja de cálculo dentro del programa EXCEL. La descripción completa de EERA se presenta en el ANEXO II.

A modo de ejemplo se presenta un caso de aplicación de EERA mediante un modelo formado por 2 capas, donde se discuten los resultados que puede ofrecer este programa.

4.2. El modelo de Kelvin-Voigt

El modelo 1D equivalente lineal representa la respuesta tensión deformación del suelo basándose en el modelo Kelvin-Voigt (figura 4.1).

Figura 4.1. Representación esquemática del modelo tensión-deformación utilizada en el modelo lineal equivalente

La tensión de corte τ depende de la deformación de corte γ y de su primera derivada mediante la ecuación: .

γ

η

γ

τ

=

G

+

(4.A)

Que define la ecuación constitutiva del modelo.

Donde G es el módulo de corte y η la viscosidad del material. La deformación de corte γ y su derivada temporal se definen como:

z

t

z

u

∂

∂

=

(

,

)

γ

(4.B)

t

z

t

z

u

t

t

z

∂

∂

∂

=

∂

∂

=

•

γ

₍

_,

₎

2

₍

_,

₎

γ

(4.C)

Donde u(z, t) es el desplazamiento horizontal en una columna de suelo. En el caso de movimientos harmónicos el desplazamiento, la deformación y la ratio de deformación son:

( )

i t

e

z

U

t

z

u

,

=

(

)

ω (4.D) t i t i

e

z

e

dz

dU

t

z

ω ω

γ

(

,

)

=

=

Γ

(

)

(4.E)

Donde U(z) y Γ(z) son las amplitudes del desplazamiento y la deformación de corte, respectivamente.

)

,

(

)

,

(

z

t

i

ωγ

z

t

γ

•

=

(4.F)

Utilizando las relaciones anteriores, la ecuación constitutiva para movimientos harmónicos es:

( )

,

(

)

(

)

*

e

G

*

(

z

,

t

)

dz

dU

G

e

dz

dU

i

G

e

z

t

z

i t

ωη

i t i t

γ

τ

₌

_Λ

ω

₌

₊

ω

₌

ω

₌

(4.G)

Donde G* _{es el módulo de corte complejo y Λ (z) es la amplitud de la tensión de corte. El módulo}

de corte en forma compleja puede expresarse en función de la razón crítica de amortiguamiento

ξ :

G

2

ωη

ξ

=

(4.H) Obteniéndose:

(

ξ

)

ωη

G

i

i

G

G

*

=

+

=

1

+

2

(4.I)

La energía disipada durante un ciclo de carga completo es igual al área encerrada en el lazo histerético de la curva tensión-deformación y se expresa como:

∫

=

τ

d

γ

W

_d (4.J)

En el caso de deformaciones controladas por cargas harmónicas la ecuación 4.I se transforma en la siguiente expresión:

2

c d

W

=

πωηγ

(4.K)

Donde γc es la amplitud de la carga harmónica, de ecuación:

( )

i t c

e

t

γ

ω

γ

=

(4.L)

4.3. La aproximación lineal equivalente

La aproximación equivalente lineal consiste en modificar el modelo Kelvin-Voigt para tener en cuenta algunos tipos de comportamientos no lineales del suelo. El módulo de corte lineal equivalente se toma igual al módulo de corte secante que depende de la amplitud de la deformación de corte γc según:

c c

G

γ

τ

=

sec _(4.M)

En los análisis de respuesta de sitio el comportamiento del material se especifica estudiando las variaciones del módulo de corte secante y de la razón de amortiguamiento respecto a la deformación de corte. Las curvas Gsec-γ no pueden tener formas arbitrarias ya que derivan de

curvas τ −γ. Esto implica que cualquier restricción en la relaciones τ −γ se refleje también en restricciones en las relaciones Gsec-γ. Por ejemplo, existe el fenómeno del reblandecimiento en los

suelos, es decir, la disminución de la tensión de corte con la deformación. El estudio de este tipo de fenómeno requiere de técnicas numéricas especiales y complicadas porque su estudio con las técnicas de trabajo habituales en la respuesta de sitio da lugar a efectos numéricos tales como que la solución depende fuertemente de la discretización espacial. La exclusión del rebladecimiento implica que:

0

)

(

sec sec

+

≥

=

γ

γ

γ

γ

τ

d

dG

G

d

d

(4.N)

Que a su vez se traduce en:

( )

γ

γ

γ ∆

−

≥

∆

max sec max sec

G

G

G

G

(4.O)

Donde ∆Gs es la disminución en el valor de Gs correspondiente a un aumento ∆γ en la

deformación y Gmax es el valor máximo del módulo de corte máximo.

4.4. Análisis 1D

El análisis unidimensional lineal equivalente de la respuesta del suelo se representa en la figura 4.2. El depósito de suelo está formado por N estratos de suelo, horizontales e indefinidos, de espesor hi y con unas propiedades características de cada estrato: densidad, módulo de corte y

razón de amortiguamiento.

Figura 4.2. Depósito de suelo estratificado para su estudio mediante el método unidimensional [107].

La ecuación unidimensional del movimiento provocado por la propagación de las ondas de cizalla es:

z

t

u

∂

∂

=

∂

∂

τ

ρ

2 2 (4.P)

Si se supone que cada estrato se comporta como un sólido Kelvin-Voigt, la ecuación anterior usando las ecuaciones 4.A, 4.B y 4.C, se transforma en:

t

z

u

z

u

G

t

u

∂

∂

∂

+

∂

∂

=

∂

∂

2 3 2 2 2 2

η

ρ

(4.Q)

Si se expresa la ecuación 4.Q en función de la expresión del desplazamiento de un movimiento harmónico (ecuaciones 4.B y 4.C) se obtiene:

(

)

U

dz

U

d

i

G

₂ 2 2

ρω

ωη

=

+

(4.R)

Que admite la siguiente solución general:

( )

ikz ikz

Fe

Ee

x

U

=

*

+

− * (4.S)

Donde E, F son las amplitudes del desplazamiento y k* _{es el número de onda complejo de}

expresión: * 2 2 *

G

i

G

k

ρω

ωη

ρω

₌

+

=

(4.T)

La solución de la ecuación 4.P es:

( )

(

ikz ik z

)

i t

e

Fe

Ee

t

z

u

,

=

*

+

− * ω (4.U)

Y la tensión de corte correspondiente es:

( )

(

ik z ik z

)

i t

e

Fe

Ee

G

ik

t

z

ω

τ

_{* *} * *

,

=

−

− (4.V)

Los desplazamientos en la base (z = 0) y en el techo (z = hm) del estrato m son:

( ) (

)

i t m m m

t

E

F

e

u

0

,

=

+

ω (4.W)

( )

(

ikh

)

i t m h ik m

e

F

e

e

E

t

z

u

m m ω * *

,

=

+

− (4.X)

Donde Em y Fm son las amplitudes del desplazamiento para un determinado estrato m.

Las tensiones de corte en base y techo del estrato m son, respectivamente:

( )

(

)

i t m m m m m

t

ik

G

E

F

e

ω

τ

=

* *

−

,

0

(4.Y)

( )

(

ik h

)

i t m h ik m m m m m

h

t

ik

G

E

e

F

e

e

m m m ω

τ

* * , * *

,

=

−

− (4.Z)

En el contacto entre dos estratos sucesivos m y m+1 los desplazamientos y las tensiones de corte deben ser también continuos. Esto implica que:

(

h

t

)

u

( )

t

(

h

_m

t

)

_m

( )

t

m

,

=

τ

+1

0

,

τ

(4.BB)

Usando las ecuaciones 4.U a 4.Z se pueden relacionar los coeficientes Em y Fm :

m m m ik h m h ik m m m

F

E

e

F

e

E

,* * 1 1 − + +

+

=

+

(4.CC)

(

m ikmhm

)

m h ik m m m m m m m

E

e

F

e

G

k

G

k

F

E

,* * * 1 * 1 * * 1 1 − + + + +

−

=

−

(4.DD)

De las ecuaciones 4.AA y 4.BB se obtienen los siguientes algoritmos que permiten obtener las amplitudes del desplazamiento de los estratos superiores, Em+1 y Fm+1 en función de las

amplitudes de los estratos inferiores, Em y Fm:

(

)

m m

(

)

ikmhm m m h ik m m m

E

e

E

e

E

₁ * *

1

* *

2

1

1

2

1

₋ +

=

+

α

+

−

α

(4.EE)

(

)

m m

(

)

ikmhm m m h ik m m m

E

e

E

e

F

₁ * *

1

* *

2

1

1

2

1

₋ +

=

−

α

+

+

α

(4.FF)

Donde α* m es la razón de impedancia en forma compleja en la interfaz de dos estratos m y m+1:

* 1 1 * * 1 * 1 * * * + + + +

=

=

m m m m m m m m m

G

G

G

K

G

K

ρ

ρ

α

(4.GG)

El algoritmo anterior se inicia en la superfície libre donde no existe tensión de corte, es decir:

( )

0

,

₁* ₁*

(

_{1 1}

)

0

1

=

−

=

t i

e

F

E

G

ik

t

ω

τ

(4.HH)

Lo que implica que:

1

1

F

E

=

(4.II)

El algoritmo obtenido se aplica entonces sucesivamente de los estratos 2 a m. La función de transferencia que relaciona los desplazamientos de los estratos m y n se define como:

( )

n n m m n m mn

F

E

F

E

u

u

A

+

+

=

=

ω

(4.JJ)

La velocidad y la aceleración están relacionados con el desplazamiento a través de:

( )

( )

⋅ •

=

∂

∂

=

.

,

,

i

u

z

t

t

u

t

z

u

ω

y

( )

( )

⋅ • •

−

=

∂

∂

=

. 2 2 2

,

,

u

z

t

t

u

t

z

u

ω

(4.KK)

Y por tanto la función de transferencia también se puede expresar en función de las velocidades y las aceleraciones en los estratos m y n:

( )

n n m m n m n m n m mn

F

E

F

E

u

u

u

u

u

u

A

+

+

=

=

=

=

_•• • • • •

ω

(4.LL)

Por lo tanto, la función de transferencia compara el desplazamiento, velocidad o aceleración entre base y techo de un estrato.

La deformación de corte a una profundidad z y tiempo t se puede obtener a partir de la ecuación 4.Q:

( )

(

ikz ikz

)

i t

e

Fe

Ee

ik

z

u

t

z

ω

γ

_* * *

,

=

−

−

∂

∂

=

(4.MM)

La tensión de corte correspondiente es:

( )

z

,

t

G

*

γ

( )

z

,

t

τ

=

(4.NN)

4.4.1. Localización y tipo de movimiento

En los análisis de respuesta de sitio es necesario definir la localización y tipo de movimiento sísmico. Así, se distingue entre los siguientes términos: movimiento en la superfície libre de un depósito de suelo (free surface motion), movimiento en el sustrato rocoso (bedrock motion) y movimiento en un afloramiento de roca (rock outcropping motion).

Figura 4.3. Terminología utilizada en análisis de respuesta de sitio.

El programa EERA permite distinguir utiliza la palabra Outcrop para un movimiento en un afloramiento y la palabra Inside para el resto de casos.

Como se muestra en la figura 4.3, la onda incidente S (que se propaga verticalmente hacia arriba a través del sustrato rocoso) tiene una amplitud EN. El movimiento, ya en el sustrato rocoso tiene

una amplitud EN+FN, en el techo del sustrato rocoso y justo debajo de los estratos del suelo.

Debido a que en la superfície libre no existe tensión de corte, sustituyendo la ecuación 4.II en la ecuación 4.JJ se obtiene que la amplitud del movimiento en un afloramiento es 2EN.

Por lo tanto la función de transferencia relativa a los movimientos en un afloramiento respecto al sustrato rocoso es:

( )

N N N MN

F

E

E

A

+

=

2

ω

(4.OO) 4.4.2. Proceso iterativo

En el modelo lineal equivalente la hipótesis inicial es la dependencia del módulo de corte y de la razón de amortiguamiento con la deformación de corte. En el programa (EERA o SHAKE) los valores del módulo de corte y la razón de amortiguamiento se determinan por medio de iteraciones hasta que el valor obtenido es consistente con el nivel de deformación inducido en cada estrato.

A continuación se muestra este proceso iterativo (fig. 4.4). Se parte de los valores iniciales de módulo de corte y razón de amortiguamiento G0 y ζ0 que corresponden a niveles de deformación

pequeña. A continuación se calcula la deformación de corte efectiva para cada estrato, según:

max

γ

γ

eff

=

R

γ (4.PP)

Donde Rγ es una razón que relaciona la deformación de corte efectiva con la deformación de corte

máxima y que depende de la magnitud del terremoto según la ecuación 3.R. A partir del valor de

γeff se calculan los nuevos valores Gi+1 y ξi+1 con una nueva iteración.

Finalmente, se repiten los dos pasos anteriores hasta alcanzar convergencia, que normalmente ocurre con cinco iteraciones [107].

Figura 4.4. Proceso de iteración para el valor del módulo de corte y la razón de amortiguamiento en el análisis equivalente lineal

4.5. Ejemplo

A continuación, se presenta un ejemplo de aplicación de este programa mediante una columna litológica formada por dos capas de suelo y sometida a un movimiento sísmico en su base de tipo outcrop. La columna está formada, de base a techo, por el sustrato rocoso granítico caracterizado por una velocidad de ondas de corte de 1040 m/s y de densidad 26 kN/m3_{, sobre el que se}

sedimenta un suelo aluvial de una potencia de 800 m, con idéntica densidad y velocidad de ondas de corte de 530 m/s. La tercera capa la constituye una arcilla blanda de 40 m de potencia, 20 kN/m3 _{de densidad y una velocidad de 130 m/s. El movimiento sísmico utilizado es el producido}

a raíz del terremoto de Loma Prieta durante 1989 (fig. 4.5).

Figura 4.5. Historia de aceleraciones producidas durante el terremoto de Loma Prieta de 1989 en Diamond Heights (componente EW) que se toma como movimiento de entrada.

Este programa permite la representación de la variación del módulo de corte, el peso específico y la velocidad de ondas de corte con la profundidad (fig. 4.6).

(a) (b) (c)

Figura 4.6. Para la columna litológica propuesta se muestran: (a) la variación del módulo de corte máximo Gmax con la profundidad, (b) los perfiles de velocidades sísmicas de corte y (c) la variación de la

densidad en profundidad. 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 0 10 20 30 Peso Específico (kN/m3) P rof undi da d (m) 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 0 200 400 600 800 Gmax (MPa) P rof und ida d (m ) -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Tiempo (seg) A c el e rac ió n ( g ) 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 500 1000

Velocidad ondas de corte (m/s) P rof u ndida d (m )

También se pueden obtener los acelerogramas, los velocigramas y los desplazamientos relativos a un determinado estrato que se desea estudiar que, en este caso, ha sido la arcilla blanda (fig. 4.7).

(a) (b) (c) -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0 5 10 15 20 25 Tiempo (seg) A cel er aci ó n ( g ) -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0 5 10 15 20 25 Tiempo (seg) V e lo c id a d r e la ti v a ( m /s ) -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0 5 10 15 20 25 Tiempo (seg) D e sp la z a m ie n to r e la ti vo ( m

La función de transferencia obtenida muestra que la arcilla blanda amplifica el movimiento con una razón superior al valor 3 respecto al movimiento en el granito se muestra en la figura 4.8. Este resultado es interesante porque permite obtener la frecuencia asociada a la máxima amplificación, que para la arcilla se sitúa entorno a los 0.8 Hz (ó 1.25 s).

(a)

(b)

Figura 4.8. Funciones de transferencia: (a) en función de la frecuencia (Hz) y (b) los niveles de amplificación en función del período T (s). Indican los niveles de amplificación obtenidos.

0 1 2 3 4 0 5 10 15 20 25 Frecuencia (Hz) R azó n A m p lif icació n 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 0,01 0,1 1 10 Periodo T (s) R azó n A m p lif icació n

La frecuencia fundamental (o período predominante) da información sobre el contenido frecuencial del movimiento del suelo y se define como la frecuencia asociada al valor máximo en el espectro de Fourier de amplitudes:

Figura 4.9. Espectro de Fourier de amplitudes obtenido

(a)

(b)

(c)

Figura 4.10. Espectros de respuesta obtenidos (a) de aceleración (b) de velocidades y de (c) desplazamientos 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,01 0,1 1 10 Periodo (seg) A cel er aci ó n E sp ec tr al ( g ) 0 10 20 30 40 50 60 0,01 0,1 1 10 Período (seg) V eloc ida d R e la ti va E spe ct ra l( c m /s 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0,01 0,1 1 10 Período (seg) D e sp la za m ie n to R e la ti vo E spe c tr al ( cm 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Frecuencia (Hz) A m pl it ud de F our ie r

4.6. Resumen y conclusión

En este capítulo se ha descrito, analizado y aplicado el programa de cálculo EERA (Equivalent-linear Earthquake site Response Analyses). Se trata de un programa que aplica el método numérico para un modelo de suelo unidimensional e hipótesis de comportamiento equivalente lineal del suelo. Para ello se han formulado los fundamentos teóricos del modelo y se ha presentado el desarrollo matemático asociado. Finalmente, un ejemplo de aplicación muestra los resultados que pueden obtenerse mediante este programa de cálculo.

La conclusión principal es que EERA es una herramienta útil que permite estimar razonablemente bien los niveles de amplificación del suelo y sus períodos predominantes a partir de la completa caracterización de la columna litológica.