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UNIVERSIDAD CATÓLICA LOS ANGELES DE
CHIMBOTE
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VII - “B”
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Econ.
Miguel Ángel,
Guibovich Torres
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Linda Marilyn, Roca Vallejos
EQUIVALENCIA, VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
EL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE ACTUALIZACIÓN Y EQUIVALENCIA
EL VAN, EL CAUE Y EL COSTO CAPITALIZADO INTRODUCCIÓN
Para adentrarnos en estos tópicos es esencial el retrotraernos en el tiempo y retomar sino recordar los conocimientos asimilados en el curso de Matemática Financiera, ya que siendo fundamentalmente como ya se ha descrito con anterioridad que dos son las funciones principales del administrador financiero en primer lugar el conseguir los recursos financieros de la manera más favorable para la empresa y en segundo lugar y una vez obtenidos estos recursos (prestamos, nuevos aporte, emisión de acciones, emisión de bonos, etc.), asignarlos de la manera más eficaz y eficiente; por lo que para la asignación óptima se sobreentiende que las necesidades de financiamiento surgieron debido a las exigencias de la empresa para materializar algunos proyectos y/o necesidades de inversión o gasto y que normalmente existe un abanico de posibilidades para afrontar o desarrollarlos, por lo tanto el gerente financiero debe optar mediante la evaluación y análisis la alternativa más favorable para la empresa.
Comúnmente se dice que el dinero crea dinero, esta aseveración es cierta ya que el encargado de hacer Gestión Financiera debe tener muy en cuenta el momento en que ocurren los hechos económicos, ya que el dinero utilizado o comprometido en distintos momentos, tiene un valor diferente. Lo señalado es debido a que existen fundamentalmente dos factores, el primero es la inflación y el otro es la posibilidad de que el dinero reditúe o genere más dinero en un lapso de tiempo establecido o determinado. La decisión de utilizar un determinado monto de dinero implica dos aspectos, la rentabilidad y el riesgo.
Si una persona decide depositar en estos momentos su dinero en una entidad bancaria, al cabo de un tiempo tendrá una mayor cantidad de dinero del que depositó inicialmente. Esta acumulación de dinero es la que se denomina Valor de dinero en el tiempo” y constituye uno de los conceptos más importantes de lo que es el manejo de las finanzas en una empresa, y el resultado neto de esta operación en lo que se refiere al ámbito familiar considerando también el nivel de inflación respecto a la tasa de interés con que remunera el sistema financiero a los depósitos. Se debe considerar que si una persona o empresa necesita solicitar un préstamo hoy, mañana deberá más dinero que el préstamo con que fue beneficiado.
CÁLCULO DE INTERÉS
Cuando el interés se expresa como un porcentaje de la cantidad original por unidad de tiempo, el resultado es una tasa de interés. Esta tasa se calcula de la siguiente manera:
Interés acumulado por:
El período de tiempo comúnmente utilizado para expresar el interés como tasa de interés es un año. Sin embargo, debido a que a las tasas de interés se expresan a menudo en períodos de tiempo menores de un año (por ejemplo, 1% mensual), la unidad de tiempo utilizada para expresar una tasa de interés se denomina período de interés. Los dos ejemplos siguientes ilustran el cálculo del interés y la tasa de interés.
EJEMPLO:
La empresa “XS” invirtió 200,000 el 15 de Junio y retiró un total de 220,000 exactamente un año después. Calcule (a) el interés obtenido de la inversión original y (b) la tasa de interés de la inversión.
(a) Utilizando la ecuación
Interés = 220,000 – 200,000 = 20,000
(b) La ecuación se utiliza para obtener
porcentaje de la tasa de interés = 20,000/año 100% = 10% anual 200,000
Para dineros prestados los cálculos son similares a los anteriores, excepto que el interés se calcula por medio de la ecuación. Por ejemplo, si XS solicitó un préstamo de $ 100.000 ahora y pagó $ 115.000 al término de un año, utilizando la ecuación sabemos que el interés es de $ 15.000 y la tasa de interés obtenida por medio de la ecuación es de 15% anual.
EJEMPLO:
Javier Calero solicita un préstamo por $ 20.000 por un año, al 5% de interés. Calcule (a) el interés y (b) la cantidad total de la deuda después de un año.
Solución:
(a) La ecuación puede resolverse para el interés acumulado y se obtiene Interés = 20.000 (0,05) = $ 1.000
(b) La cantidad total de la deuda es la suma principal y el interés, o Deuda total = 20.000 + 1.000 = $ 21.000
Obsérvese que en (b), la cantidad total de la deuda puede también calcularse así:
En todos los ejemplos anteriores el período de interés era un año y el interés se calculó al final de un período. Cuando existe un período de interés mayor de un año, (por ejemplo, si deseamos saber el interés que XS deberá sobre el préstamo anterior en un término de 3 años), es necesario determinar si el interés se paga en base simple o compuesta.
EQUIVALENCIA
El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés utilizados simultáneamente generan el concepto de equivalencia, lo que significa que sumas diferentes de dinero a términos diferentes de tiempo pueden ser iguales en valor económico.
POR EJEMPLO, si la tasa de interés es de 10% anual, $ 100 de hoy (es decir actualmente) equivaldrán a $ 110 en un año.
Cantidad acumulada = 100 + 100 (0.10) = 100 (1 + 0.10) = 100 (1.10) = $ 110
Entonces, si alguien le ofrece un regalo hoy de $ 100 ó $ 110 en un año, a contar a partir de hoy, no habría diferencia en la oferta aceptada ya que de todas maneras usted tendrá $110 en un año. Por lo tanto, las dos sumas de dinero son equivalentes cuando la tasa de interés es de 10% anual. A una tasa de interés más alta o más baja, $ 100 de hoy no equivaldrán a $ 110 en un año. Además de considerar equivalencias futuras, se pueden aplicar los mismos conceptos para determinar la equivalencia de años anteriores. De esta manera, $ 100 de hoy serían equivalentes a $ 100/1,10 = 90.91 de hace un año si la tasa de interés es 10% anual.
De estos ejemplos debe quedar en claro que $ 90.91 al año pasado, $ 100 hoy y $
110 en un año son equivalentes cuando la tasa de interés es 10% anual.
El hecho de que estas sumas sean equivalentes puede establecerse calculando la tasa de Interés de la siguiente manera:
110 = 1.10 ó 10% anual 100
100 = 1.10 ó 10% anual 90.91
ALTERNATIVAS
Una alternativa es una opción independiente para una situación dada. Nos enfrentamos con alternativas prácticamente en todo lo que hacemos, desde seleccionar el medio de transporte que se utiliza a diario para llegar al trabajo, hasta decidir si se arrienda o se compra una casa. De manera semejante, en la práctica de la ingeniería económica hay siempre varias formas de llevar a cabo una tarea dada, y es necesario estar capacitado para compararlas de una manera racional y así poder escoger la más económica. Las alternativas de la ingeniería generalmente incluyen factores tales como costo de compra del bien (costo inicial), la vida anticipada del bien, los costos anuales de mantenimiento (costo anual de operación), el valor anticipado de reventa del bien, (valor de salvamento) y la tasa de interés. Después de recopilar la información y todos los cálculos pertinentes, se realizará un análisis de ingeniería económica para determinar cuál alternativa es la mejor desde
un punto de vista económico. Debe quedar claramente establecido que si hubiera una sola alternativa no sería necesario llevar a cabo un análisis de ingeniería económica.
Sin embargo, para poder comparar diferentes métodos de lograr un objetivo dado, es necesario tener un criterio de evaluación que se pueda utilizar como base para juzgar las alternativas. En ingeniería económica, el dinero es la base de comparación. De esta manera, cuando hay varias maneras de lograr un objetivo dado, generalmente se selecciona el método que tiene el menor costo global.
En la mayoría de los casos, las alternativas incluyen factores intangibles que no pueden ser expresados en términos de dinero, tales como el efecto de un cambio en un proceso en la moral de un trabajador. Cuando las alternativas disponibles tienen aproximadamente el mismo costo equivalente, los factores no cuantitativos o intangibles pueden ser utilizados como base para seleccionar la mejor alternativa.
EL VALOR FUTURO
Con anterioridad se estableció que por ejemplo no es lo mismo tener el día de hoy $ 300,000 a tener esa misma cantidad dentro de 5 años, si la tasa de interés es del 5% anual. La fórmula para hallar este valor es la siguiente:
F = P (l + i) n Donde:
F = Es la cantidad futura equivalente P = Es la cantidad actual o presente i = Tasa de interés al tanto por uno n = Períodos
Reemplazando en nuestro ejemplo: F = X P = $ 300,000 i = 0.05 ó 5% n = 5 años P = 300,000 Desarrollando: F = 300,000 (1 + 0.05)5 F = 300,000 (1 + 05)5 F = 300,000 (1.2763) F = 382,890
La interpretación es pues que los S/. 300,000, depositados en una entidad financiera o solicitados a ésta como un préstamo el día de hoy a una tasa de interés del 5% anual y al cabo de 5 años tiene una equivalencia de S/. 382 890; igualmente si quisiéramos saber cuál es el monto o importe equivalente al tercer año haríamos lo siguiente:
F = x
P = 300,000 i = 0.05 o 5%
n = 3 300,000
Desarrollando:
F = 300,000 (1 + 0.05)³ F = $ 347,280
Por convención el diagrama explica que con la flecha dirigida hacia abajo se refiere a desembolso y hacia arriba como una recepción de dinero, o dicho de otra manera gastos e ingresos respectivamente. Es necesario subrayar que este procedimiento está referido a lo que se denomina.
CANTIDAD COMPUESTA PAGO ÚNICO
El Valor Futuro de una Renta Financiera
La renta dentro del contexto del valor del dinero en el tiempo es la serie uniforme de pagos o ingresos que se realizan en períodos fijos durante una porción determinada de tiempo.
La fórmula para hallar este valor es la siguiente:
Donde:
F = Valor futuro
A = Serie periódica uniforme (renta) i = Tasa de interés al tanto por uno n = Períodos
Supongamos que anualmente se tenga que cancelar o amortizar a una entidad financiera la cantidad de $ 1,000 durante 5 años a una tasa de interés del 10%; entonces para calcular el valor futuro de esta serie de pagos que sea equivalente, desarrollamos así:
F = 1,000 (6.105) F = $ 6105
La interpretación que corresponde es que al a tasa de interés enunciado, con pagos anuales durante 5 años de $ 1000 equivalen a 1 solo pago futuro de $ 6105 dentro de 5 años.
EL VALOR PRESENTE
De manera similar que con el valor futuro, no es igual tener $ 10,000 dentro de 10 años a tener $ 10,000, el día de hoy, es decir ahora, si la tasa de interés es de 5% anual.
La fórmula para hallar este valor es:
El significado literal es el mismo que el del valor futuro. Reemplazando en nuestro ejemplo:
P = X F = $ 10,000 i = 0.05 ó 5% n = 10 años Desarrollando: P = 10,000 (0.6139) P = $ 6,139
El resultado implica que los $ 10,000 que se piensa obtener dentro de 10 años a una tasa de interés del 5% anual equivalen a $ 6139 en el día de hoy, es decir que considerando el valor del dinero en el tiempo indistintamente se puede optar por $ 10,000 dentro de 10 años ó $ 6139 el día de hoy.
Valor presente y valor futuro de una serie uniforme de ingresos o desembolsos.
Indistintamente, el valor del dinero en el tiempo se refiere también a la equivalencia futura o presente de una serie de pagos, en este punto se considera necesario establecer que por razones de carácter didáctico se ha empleado el criterio de que los pagos o ingresos son anuales, pero podrían ser mensuales, trimestrales, etc. lo cual implicaría también un recalculo de la tasa de interés.
La fórmula para hallar el valor presente de una serie de pagos continuos e iguales es:
Valor presente serie uniforme (P/A, i %, n) (1 + i) n – 1 1 (1 + i)n
Así por ejemplo si quisiéramos saber a cuanto equivalen el día de hoy ingresos anuales de $ 15,000, durante 10 años a una tasa de interés de 8%.
Desarrollaríamos lo siguiente: P = X
A = $ 15,000 = serie anual uniforme i = 0.08 u 8%
15,000 (P/A, 8%, 10) 15,000 (1 + 0.08) 10 – 1
0.08 (1.08)10
15,000 (6.7101) = 100651.50
El significado es que 10 pagos o ingresos cada año de $ 15,000 c/u equivalen a: S/. 100,651.50 al día de hoy.
Indistintamente si aplicamos lo siguiente: 15,000 (F/A, 8%, 10) 15,000 (l + i) n – 1 i F = (1.08) 10 – 1 i F = 15,000 (14.487) = 217,305
La cantidad 217,305 es equivalente a una serie anual uniforme de $ 15,000 durante 10 años de modo consecutivo, llevado al año 10.
Igualmente estamos en condición de afirmar que $ 100,651.50 de hoy a una tasa de interés de 8% anual equivalen a $ 217,305. Las pequeños distorsiones de cálculo se deben al redondeo.
EL FONDO DE AMORTIZACIÓN
Este cálculo implica que dado una tasa de interés y un período de años determinado cuál es la serie uniforme que debe depositarse o retirarse anualmente si se tiene que abonar una cantidad futura determinada.
Ejemplo: Carlos Morín debe cancelar una deuda dentro de 7 años y la cantidad de
esta suma adeudada es de $ 12,000 si la tasa de interés es del 7% anual, cuánto debería pagar anualmente Carlos de modo tal que dichos pagos equivalen a los $ 12,000 proyectados.
Desarrollo:
A = 12,000 (0.11555) = 1386.60
Esto significa que 7 pagos iguales consecutivos anuales de $ 1386.60 son equivalentes a un solo pago de $ 12,000 hecho dentro de 7 años a una tasa de interés de 7% anual.
El Factor de Recuperación de Capital
Este factor halla serie uniforme equivalente a un pago o ingreso presente. Su fórmula es:
Su notación es (A/P, i%, n)
Que se lee hallar A (serie uniforme) dado P (valor presente) a una tasa de interés %, en sus períodos.
Ejemplo: La Empresa Zeus S.A. necesita un préstamo que será asignado para
mejorar su proceso tecnológico, para lo cual una entidad financiera le concederá un préstamo de $ 200,000 que deberá ser pagado de manera anual en 5 cuotas aplicando una tasa de interés de 12% anual. ¿Cuál será el monto de la cuota anual? Aplicando la formula = 0.12 (1.12)5
(1.12)5 - 1 => 200,000 (0.27741)
=> $ 55482
Esto significa que Zeus por el préstamo de $ 200,000 deberá pagar anualmente la cantidad de $ 55,482 durante 5 años.
EL VALOR PRESENTE DE PAGOS O INGRESOS NO UNIFORMES
Ejemplo: Supongamos que una empresa ha presupuestado que dentro de dos años
recibirá un préstamo de $ 500,000 para modernizar su proceso productivo, es decir adquirir maquinaria y equipo con tecnología de punta, la vida útil de este equipo es de 10 años, los costos de mantenimiento anual son de $ 1000 anuales durante los 5 primeros años y de $ 2000 a partir del año sexto en adelante, esta inversión hará que los ingresos se incrementen en $ 80,000 anuales durante los 6 primeros años y a 60,000 durante los restantes se calcula que el equipo tendrá un valor residual de $ 10,000, si la tasa de interés es del 5% halle el valor presente o el valor actual neto (VAN).
Pasó 1: Debemos discriminar lo que son ingresos y desembolsos.
Paso 2: indistintamente podemos operar con los montos en cada año, o caso contrario podemos trabajar tal cual se ha diagramado.
Observación: Debemos tener en claro que la compra del equipo se presupuesta
dentro de dos años, por lo tanto dicha inversión no se da hoy.
Desarrollo:
El desarrollo puede hacerse de varias formas no obstante vamos ha resolver de las dos maneras más usuales.
1. Los 500,000 dentro de dos años debemos traerlo a hoy es decir al año cero. ==> 500,000 (P/F, 5%, 2)
==> 500,000 (0.9070) ==> $ 453,500
2. La serie anual de 80,000 se trasladará al año 2 que equivale al año 0, (cero Sub uno) y luego al año cero.
==> 80000 (P/A, 5%, 6) (P/F, 5%, 2) ==> 80000 (5.0756) (0.9070) = $ ==> $ 368,286
3. La serie anual de ingresos de 60,000 se trasladará al año 8 (cero. Sub tres) y luego al año cero.
60,000 (P/A, 5%, 4) (P/F, 5%, 8) 60,000 (3.5459) (0.6768)
= $ 143992
4. El valor residual se traerá al año cero. 10,000 (P/F, 5%, 12)
10,000 (0.5568) $ 5568
5. Por el lado de los gastos de mantenimiento debemos traer al año 2 (cero sub uno) la serie de $ 1000.
1000 (P/A, 5%, 5) (P/F, 5%, 2) 1000 (4.3294) (0.9070)
= $ 3927
6. Los subsiguientes gastos de mantenimiento se trasladarán al año 7 (cero sub dos).
2000 (P/A, 5%, 5) (P/F, 5%, 7) 2000 (4.3294) (0.7107)
= $ 6154
7. Con estos seis pasos se ha culminado la actualización y ya podemos calcular el valor presente en este caso es el equivalente al VAN (Valor Actual Neto).
Clasificando: Ingresos: 368,286 + 143,992 + 5568 Total: $ 517,846 Egresos: 453,500 + 3927 + 6154 Total: 463,581 Entonces: Ingresos (-) Egresos $ 517,846 (-) 463581 = $ 54265
Es decir el valor presente o en este caso VAN es de $ 54265 a favor de la empresa. Este mismo ejercicio se puede desarrollar de otra manera obviamente el resultado será el mismo.
Desarrollo:
1. El pago uno es idéntico al anterior cuyo resultado es de $ 453.500.
2. Dado que existen ingresos y gastos o desembolsos proyectados en años definidos y por definición del valor de dinero en el tiempo podemos operar.
80,000 – 1000 = 79,000 == > (P/A, 5%, 5) (P/F, 5%, 2) 80,000 – 2000 = 78,000 == > (P/F, 5%, 8) 80,000 – 2000 = 58,000 == > (P/A, 5%, 3) (P/F, 5%, 8) 70,000 – 2000 = 68,000 == > (P/F, 5%, 12) 79,000 (4.3294) (0.9070) = $ 310215 78,000 (0.6768) = $ 52790 58,000 (2.7232) (0.6768) = $ 106898 68,000 (0.5568) = $ 37862 Ingresos netos: 310,215 + 52790 + 106,898 + 38862 = $ 507,765 Egreso Neto = $ 453,500
VAN ó Valor Presente = 507,765 – 453,500 = $ 54265
EL VALOR ACTUAL NETO (VAN)
El Valor Actual Neto mide el flujo de ingresos actualizados al día de ¨hoy¨ menos los costos también ¨traídos¨ o actualizados a hoy (año o periodo 0)
EL COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE)
Esta herramienta de evaluación es comúnmente utilizada para comparar alternativas de inversión (asignación de recursos). El CAUE implica que todos los desembolsos irregulares y uniformes deben convertirse a una cantidad o monto anual, este método tiene la ventaja sobre otros debido a que sirve para hacer comparaciones entre alternativas de inversión con diferentes periodos de vida útil. Cuando empleamos el instrumento CAUE, éste se calcula para un ciclo de vida útil ya que como su mismo nombre lo indica es un costo anual uniforme equivalente sobre la vida útil de la inversión o proyecto. Si el proyecto por más de un ciclo, el CAUE para el siguiente ciclo y todos los periodos subsiguiente sería exactamente el mismo que para el primero.
EL COSTO CAPITALIZADO
El costo capitalizado está referido al valor presente de un proyecto que se asume tiene una vida útil indefinida. Y a manera de ilustración podemos poner como ejemplo el siguiente:
¿Cuál es el Costo capitalizado de una pensión que asciende a S/. 3000 que deberá pagar una AFP por un periodo indefinido a un trabajador jubilado si la tasa de interés es el 1 % mensual?
