ELECTROSTÁTICA Interacciones eléctricas de cargas en reposo

ELECTROSTÁTICA

Este capítulo constituye un pre-apunte (o sea, no llega a ser un apunte) cuya única función es facilitar la redacción

de los apuntes en clase por parte del alumno. Contiene gráficos, formulas y explicaciones muy elementales de

los contenidos que se dictan en la clase teórica a mi cargo, de forma que los participantes de la misma puedan

completar en los espacios en blanco lo que consideren necesario. De ninguna manera reemplazan la bibliografía

sugerida y se debe tener en cuenta que no han sido corregidos exhaustivamente

ELECTROSTÁTICA

Interacciones eléctricas de cargas en reposo

Interacciones: acciones a distancia (Excluimos las de contacto)

Existen 4 interacciones (conocidas) en la naturaleza

gravitatoria (peso, cuerpos celestes; dominante a escala cosmos)

electromagnética (átomos y móleculas, uniones químicas)

nuclear fuerte (cohesión nuclear)

nuclear débil (emisión β radiactiva)

todas las demás son interacciones de contacto

La más conocida: Interacción gravitatoria: expresada por la existencia de fuerzas atractivas entre cuerpos

2 2 1 r m m F ∝ F depende solo de mi y r F siempre atractiva

Interacciones eléctricas

Se observa que experimentalmente que

algunos cuerpos interactuan entre si con F≠ F_G

esas interacciones son atractivas o repulsivas (≠ F_G)

dependen de una propiedad llamada carga eléctrica (q) decaen con r de acuerdo a 1/r2

O sea 2 1 r F ∝

r

r

q

q

F

r

∝

1 ₂ 2

(

Ley de Coulomb 2 1

q

q

F

∝

q_i: cargas puntuales

Fr

en dirección q₁- q₂, y →← o ← →

Carga eléctrica (q)

Masa: magnitud física, “medida

de la cantidad de materia” _a

F m =

En realidad

Magnitudes físicas: características cuantificables mediante procesos de medición definidos (mediciones objetivas)

Ej.: longitud, masa, conductividad térmica, calor específico, emisividad, dureza, elasticidad, resistencia a la tracción, ...

Ej. de características que no lo son: belleza, simpatía, actualidad, valor, interés, influencia,... _Importancia!

Que es q? Magnitud física causante de F eléctrica

“Ubicación”de la carga eléctrica? A nivel atómico y nuclear e

“nombre” de la carga define el sentido de la fuerza actuando como signo matemático en la

ley de Coulomb

Como medir q? Por su relación con magnitudes conocidas

F

mg

T _{Como F atractiva o repulsiva =>2 tipos de q (±)}

Cuerpo cargado: por desbalance de cargas (carga electrostática) Necesidad de unidades _1u =_{1m 1N ?} 2 2 9 2 K 910 N m / C r q q K F = = 1C a 1m de 1C =>F= 9 109 _N Otra + útil (C)

Carga electrón (e): -1,6 10-19 _{C = - carga protón} Carga míni-ma medida q+ + _ F r q ∝ r

!!!

Valores compartivos

Comparación entre F eléctrica y Fuerza gravitatoria

39 10 27 31 11 10 2 19 9 10 38 , 1 10 ) 10 67 , 1 . 10 1 , 9 ( 10 67 , 6 10 ) 10 6 , 1 ( 10 9 = = − − − − − − G E F F

A escala cósmica domina la F_G y a escala atómica, la F_E; que pasa?

A medida que se acumula masa para formar planetas, estrellas y galaxias se acumula fuerza gravitatoria pero se compensa fuerza eléctrica pues átomos son neutros

10-15 ₁₀-10 ₁₀-5 _{1 10}5 ₁₀10 ₁₀15 m

Fuerzas nucleares Fzas. Electro- magn

éticas

Fuerzas gravitatorias

Rangos de dominio

1% de desbalance de q a 1 m => F suficiente para sostener peso = Tierra!

Principio de superposición q₀ q₂ q₁ F_2-0 F_1-0 F_T

∑

= _i T F F r Cargas puntuales Cargas distribuidas r dV r q K F r dV r q K F d V ( v ( r

∫

= = 2 0 2 0 ρ ρ r dV ρ (c/m3₎ dF q₀

Ejemplos a q0 λ C/m r dl r q F r dV r q K F d l ( v ( r

∫

= = 9 0₂ 2 0 ρ _{9 10} λ dl dF r r a = α cos

(

)

∫

∞ ∞ − + = 2 3 2 2 0 9 10 9 l a dl a q F_N λ

(

_{2 2}

)

3₂ 2 2 a l a dl ₌ +

∫

∞ ∞ − a q F_N = 9109 ₀ λ 2 a F_N ∝ 1 dF_N α cos dF dF_N =

α

Componentes // al hilo se anulan

Hilo infinito

Plano infinito uniformemente cargado plano yz con σ C/m2

∫∫

= yz r r dz dy q F ' ' 10 9 9 _{0 2} ( v _σ dr r S d v = 2π En cilíndricas R a = α cos

∫

∞ = 0 2 0 9 2 10 9 R a R dr r q F_N σ π

(

)

∫

∞ + = 0 2 / 3 2 2 0 9 2 10 9 r a dr r a q F_N σ π

(

a r

)

a dr r 1 0 2 / 3 2 2 + =

∫

∞ 0 9 ₂ 10 9 q F_N = π σ F_N independiente de a Componentes // plano se anulan En cartesianas dS=dy.dz Sustitución

x

=

a

2

+

r

2

⇒

dx

=

2

r

dr

x y z a q₀ r R dr α dF r´

x y

z R

Esfera uniformemente cargada (ρ C/m3₎

a q₀ r r’ ϕ θ ϕ θ θ dr d d r dV = '2 sen '

∫∫∫

= dV r q F 9 _{0 2} 10 9 ρ

∫∫∫

₋ = ρ r senθ dr dθ dϕ r a q F ' ' ' 1 10 9 9 _{0 r r 2} 2

( )

r

a

a

r

a

r

r

2

=

'

2

+

2

−

'

cos

,'

2 3 2 2

₃

4

'

'

'

1

a

R

d

d

dr

sen

r

r

a

−

θ

θ

ϕ

=

π

∫∫∫

_r

_r

a

a

R

q

F

₂

(

3 0 9

3

4

10

9

ρ

π

=

Es la misma fuerza que ejercería toda la carga de la esfera (Q) concentrada en el origen

Q R ρ = π 3 3 4 dF 2 9 ₀ 10 9 r dV q dF = ρ

Campo eléctrico

Si cargas quietas, ley de fuerza de Coulomb es sencilla, pe-ro si cargas en en movimiento las relaciones son complica-das por el retardo de la interacción (“viaja” a velocidad fini-ta de ~300.000Km/s) y por la aceleración

Conviene expresar la electrodinámica a partir del concepto de Campo eléctrico (y magnético)

Descripción con fuerzas Descripción con campo

q q₀ F q_i E E q Fr = _i v E: intermediario de la interacción eléctrica q 0 q F E r v = q₀: carga de prueba

Definición de campo eléctrico 0 0 0 q F E

_lim

q r r →

= Para que q0 no modifique

dis-tribución de carga generadora

[ ]

_C

N

E

=

Así, E producido por una carga o una distribución de car-gas, puede pensarse como una propiedad del espacio

En general, Campo es toda magnitud física que toma un valor definido en cada punto del espacio

Ejemplos de campos escalares: de temperatura, de alturas, de presiones,...

Ejemplos de campos vectoriales: gravitatorio, eléctrico, de velocidades, magnético,....

Ejemplos de cálculo de campo eléctrico Cargas puntuales: r r q K r q r q q K Ev ( ₂ ( 0 2 0 1 = = r q

Líneas de campo: puntos geométricos tangentes al vector E

q+

q-Hilo infinito con densidad lineal de carga λ (C/m) α cos dE dE_N = r dl r E r dV r K E d V ( r ( r

∫

= = 9 ₂ 2 910 λ ρ r a = α cos

(

)

∫

∞ ∞ − + = 2 3 2 2 9 10 9 l a dl a E_N λ

(

_{2 2}

)

3₂ 2 2 a l a dl = +

∫

∞ ∞ − a E_N = 9109λ 2 a E_N ∝ 1 λ+ λ -dE_N a dl r λ C/m dE l

Plano infinito uniformemente cargado (plano yz con σ C/m2₎ En cartesianas dS=dy.dz =

∫∫

yz r r dz dy E ' ' 10 9 9 ₂ ( r _σ En cilíndricas R a = α cos

∫

∞ = 0 2 9 2 10 9 R a R dr r E_N σ π x y z a q₀

(

)

∫

∞ + = 0 2 / 3 2 2 9 2 10 9 r a dr r a E_N σ π

(

a r

)

a dr r 1 0 2 / 3 2 2 + =

∫

∞ σ π 2 10 9 9 = N E _E N independiente de a Componentes // plano se anulan dr r S d v = 2π r R dr α dF σ+ σ -Sustitución

x

=

a

2

+

r

2

⇒

dx

=

2

r

dr

x y

z R

a

E en exterior de esfera uniformemente cargada (ρ C/m3₎

ϕ θ θ dr d d r dV = '2 sen '

∫∫∫

= dV r E 9 ₂ 10 9 ρ

(

r a

)

a r a r r2 = '2+ 2 − ' cos ,' 2 3 9 3 4 10 9 r R E = ρ π

Es el mismo campo que crearía toda la carga de la esfera (Q) concentrada en el origen

Q R ρ = π 3 3 4 2 9 10 9 r dV dE R r > = ρ 2 3 2 2 2 3 4 ' sen ' ' 1 a R d d dr r r a θ θ ϕ π ρ = −

∫∫∫

_{r r} ρ+ ρ -ϕ θ

∫∫∫

₋ = ρ r senθ dr dθ dϕ r a F ' ' ' 1 10 9 9 _{r r 2} 2 r r’ dE

Ley de Gauss _{E en r} 2 9 10 9 r q E = 2 2 6 9 0 8,84 10 / 10 9 4 1 Nm C − = = π ε 0 2 2 0 4 4 1 ε π ε π q r E r q E = ⇒ = 0

ε

q

S

E

_esfera

=

r dS q E

En la forma mas general

∫∫

=

0 . ε q S d Er r Flujo de un vector Φ =

_∫∫

_Ar_.dSr A dS φ =A dS dS φ=A dS cos α dS φ = 0 ε₀: permitividad en vacío 0 9 4 1 10 9 ε π = si

r dS E

'

.

´

'

4

1

'

.'

₂ 0

S

d

r

r

q

S

d

E

v

v

(

r

ε

π

=

S d r r q S d Ev v (. r 4 1 . ₂ 0 ε π = 2 2

.

'

'

.´

r

S

d

r

r

S

d

r

(

r

₌

(

r

∫∫

∫∫

= = ⇒ 0 . ' .' ε q S d E S d

Er r r r Vale para cualquier

superficie cerrada

El flujo del vector campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada por esa

superficie dividida por la permitividad en vacío Es esta ley general?

∫∫

= 0 . ε q S d Er r Ley de Gauss dS r’ dS’_E’ q

r

Ley de Gauss: una de las cuatro ecuaciones de Maxwell Asemás: útil para calcular E en situaciones de alta simetría

E

Hilo infinito cargado con λ C/m

∫∫

= 0 . ε q S d Er r 0 2 ε λ π r l l E = r E 0 2π ε λ =

Plano infinito con σ C/m2

E S 0 2 ε σ S S E = 0 2 ε σ = E

R

Esfera cargada uniformente en volumen ρ (C/m3₎

ρ π 3 3 4 R Q = dS _E 0 2 4 ε π r Q E R r > = r r Q Er ₂ ( 0 4 1 ε π = 0 3 2 3 4 4 ε ρ π π r r E R r < = 0 3ε ρ r E = E r R

Es esta una forma general de calcular E? NO

Por ejemplo en la esfera, por que se usan solo las cargas

interiores a la superficie de integración? dS₂ dS₁ r₁ r₂ 2 r dS K dE = σ 2 2 2 2 1 1 r dS r dS =

Las cargas “exteriores” compensan efectos

Ej: E de 2 cargas puntuales en A

A

q₂

q₁

E total en A no lo puedo calcular solo usando Gauss

con alguna de las cargas E1

E₂ ET

Solo en caso de simetría se pude calcular el E_T

usando parte de la distribución de cargas

Empleo de la ley de Gauss para cálculo de E total: caso de 2 cargas r₂ q₂ E₂ E 0 1 2 1 1 4π ε q r E = 2 1 1 0 1 4 1 r q E ε π = En el punto o el campo total es E y no E₁

En casos de alta simetría, las cargas “exteriores” a la superficie gaussiana se compensan por lo que se puede calcular el E total considerando solo las cargas

encerradas en ella. Pero en caso de falta de simetría, el campo total usando Gauss debe calcularse por superposición, o sea, en este caso calculando también

E₂ por Gauss y componiendo q₁

r₁

E₁ o

b b-a a

R

Cálculo de E por superposición en geometrías complicadas

0 2 2π ε π ρ l b l R E = E Ojo! _Er_{T = E}r _{− E}r<sub>`</sub> ` E E E_T = − E_T

∫∫

= 0 . ε q S d Er r E` 0 2 ) ( 2 ` ε π π ρ l a b l r E − − = r

Esfera uniformente cargada en superficie σ (C/m2₎ σ π 2 4 R Q = R ₀ 2 4 ε π r Q E R r > = 0 = < R E r r r Q E R r r ₂ ( 0 4 1 ε π = >

Igual al producido por Q en el origen

0 = < R E r R r E r Significado de la dicontinuidad

Distinto tipo de comportamiento eléctrico de los materiales Conductores:Son aquello que permiten el movimiento de las cargas eléctricas en su interior (electrones débilmente ligados de órbitas exteriores en metales o iones)

Metales

+

+

+

+

+ +

Electrolitos

₊

-Polarización +q - +

Aislantes o dieléctricos: materiales que por el tipo de unio-nes químicas no presentan portadores libres (cargas con capacidad de desplazarse)

Semiconductores: materiales que en condiciones nor-males se comportan como aisladores pero que ante determinadas solicitudes (potencial eléctrico, radiación,..) se comportan como conductores

Superconductores: materiales que en determinadas condi-ciones permiten que los electrones se mueven sin ningún tipo de dificultad (no presentan resistencia eléctrica)

R r

Comportamiento electrostático de los conductores

Si hay carga en r < R => hay E en r, y si el material es conductor (hay cargas libres) estas se deben mo-ver (alejándose) por acción de E

En situación electrostática, q en superficie en los conductores

R r E E= 0 dentro de los conductores en situación electrostática

E creado por carga superficial debe ser normal a S en la superficie pues sino habría componente tangencial y cargas

se moverían 2 4 R Q π σ =

∫∫

=

⇒

=

0 0

.

ε

σ

ε

E

n

q

S

d

E

r

r

Ley de gauss en forma diferencial

∫∫

= 0 . ε q S d Er r Expresión integral de la Ley de Gauss

S

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

+ − + = 2 3 3 1 . . . . . S S S S S d E S d E S d E S d E S d E r v r v r v r v v v

∫∫

=

∑ ∫∫

i _i S d E S d Er. r r. r E V S d E lim i V_i v v r . . 0 = ∇

∫∫

→

∫

∫

∑ ∫∫

∫∫

= = ∇ = = → 0 0 0 . . lim . ε ρ ε dV q dV E V V S d E S d E i i i V_i v v r v v 0

.

ε

ρ

=

∇ Er

S₁ S3 S3 _S 2 Teorema de la divergencia i i V V E

z E y E x E V S d E lim E E Div x y z i S V_i ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∇ =

∫∫

→ r r r r . . 0 x y z ∆y ∆x ∆z z y E E _x x x x x x) ₊∆ − ) ₋∆ ]∆ ∆ [ 2 2 y x E E x z E E z y E E S d E _z z z z z z y y y y y y x x x x x x − ∆ ∆ + − ∆ ∆ + − ∆ ∆ = _∆ − ∆ + ∆ − ∆ + ∆ − ∆ +

∫∫

. [ ) ) ] [ ) ) ] [ ) ) ] 2 2 2 2 2 2 r r . ... 2 ! 2 1 2 ) ) 2 2 2 2 ±       ∆       ∂ ∂ + ∆       ∂ ∂ ± = ∆ ± x x E x x E E E x x x x x x x x x y x z z E z z E x z y y E y y E z y x x E x x E z z z z y y y y x x x x ∆ ∆         +       ∆       ∂ ∂ + ∆       ∂ ∂ + ∆ ∆         +       ∆         ∂ ∂ + ∆       ∂ ∂ + ∆ ∆         +       ∆       ∂ ∂ + ∆       ∂ ∂ .... 2 ! 3 2 .... 2 ! 3 2 .... 2 ! 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3

(

)

        ∆ ∆ ∆ +       ∂ ∂ +       ∂ ∂ +       ∂ ∂ _{3 3 3} , , y z x o z E y E x E z z y y x x z E y E x E V S d E lim x y z i S V_i ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =

∫∫

→ r r . 0 Teorema de la Divergencia o de Gauss

Ejemplo: pared ∞ de ancho d y densidad de carga uniforme ρ

∫∫

= 0 . ε q S d Er r 0 0 2 2 2 ε ρ ε ρ d E d S S E d x > = ⇒ = 0 2 2 2 ε ρ ε ρ x E x S S E d x < = ⇒ = 0 0 0 2 2 2 2 2 2 ε ρ ε ρ ε ρ d E d x x E d x d d E d x − = − < = < < − = > d E En x ±d/2 las soluciones convergen

0 . ε ρ = = ∇ dx E d E r r d E x β ε ρ ε ρ α = = − < + = = < < − = = > E dx dE d x cte x E dx dE d x d E dx dE d x 0 2 2 2 0 2 0 0 Condiciones de borde = ± ) 2 ( d E α_β β α β ε ρ α ε ρ _{= − = ⇒ = −} 0 0 2 2 d d 0 0 ) 0 ( = ⇒ cte = E 0 0 0 2 2 2 2 2 2 ε ρ ε ρ ε ρ d E d x x E d x d d E d x − = − < = < < − = >

Energía electrostática Energía potencial: gravitatoria elástica 2 2 1 x k E h g m E PE PG ∆ = ∆ ∆ = ∆

)

(

)

(

Fzas

Ext

W

Fzas

propias

W

E

_P

=

=

−

∆

∫

=

−

∫

=

F

d

l

F

d

l

W

r

_ext

.

r

r

_int

.

r

∆h mg -mg

Si cae (acción espontánea que no requiere interven-ción externa) el sistema (masa-Tierra) pierde energía potencial. Si sube (solo posible por acción de un agente externo) el sistema gana energía potencial

Como medir E_P?. Solo por el trabajo realizado para crear la situación concreta sin el agrado de ningún otro tipo de energía (E_C), o sea con F= - F(propia) y en pasos infinitesimales para no acelerar

Energía electrostática de un sistema de dos cargas q(+) q₁

∫

∫

∞ ∞ − = = ∆W_Fext r Fr_ext.drr r q₁ Er.drr E_P r q₁ + F_ext q₁ - _F ext

∫

∞ − = ∆ _Fext r r dr q q W _{1 2} 0 4 1 ε π r q q E W_{Fext P} 1 4 ₀ 1 ε π = ∆ = ∆ ++ o -- : (fuerzas repulsivas) la energía potencial aumenta cuando acerco las cargas (solo posible por acción de un agente exterior)

+ - : (fuerzas atractivas) la energía potencial disminuye cuando acer-co las cargas (espontáneo)

Si cargas van de r₁ a r₂      − = = ∆

_∫

1 2 0 1 2 0 1 1 1 4 4 2 1 r r q q r dr q q E r r P ε π ε π ∆E>0 si ++ o -- y acerco o si +- y alejo y <0 si ...

Fuerza de Coulomb es conservativa, o sea el W necesario para mover una carga entre dos puntos es independiente del camino recorrido (Idem con fuerzas gravitatorias)

dr r q q l d r r q q l d F dW _{C 2}1 0 2 1 0 4 1 . 4 1 . ε π ε π = = = r r ( r

Caso gravitatorio sin f_r

h a α α sen a g m h g m W = = ∆ q q₁ r dl l d r r dr = (. r r(

Ejemplo: v necesaria para acercar a un núcleo de T y otro de D a una distancia de 10-15 _{m para producir fusión}

p n _n T V_T p n D V_D D T T D D D T T M V M V V M V M − = 0 ⇒ = 2 0 2 2 4 1 2 1 2 1 d q q V M V M T D D D T T ε π = + Kg m M M m m C q q e D T p e D T 31 19 10 1 , 9 2 3 2000 10 6 , 1 − − = = ≈ ≈ = = s m V s m V D T / 10 5 , 6 / 10 3 , 4 6 6 = =

En un gas velocidad es proporcional al cuadrado de la temperatura; las

velocidades anteriores equivalen a temperaturas del orden de 107_-108 _°K

Energía electrostática de un sistema de cargas q₁ q₂ q₃ 0 0 ⇒ ∆ = = ∆W E_P r_1-2       +       +       = ∆ − − − 0 2 3 3 2 3 1 0 3 1 2 1 0 2 1 1 4 1 4 1 4 r q q r q q r q q E_P ε π ε π ε π r_1-3 r_2-3       = ∆ −2 1 0 2 1 1 4 r q q E_P ε π

E_P de un sistema de cargas puntuales

∑

≠ ₋ = ∆ j i j i j i P r q q E 0 4 1 ε π

Energía electrostática de cargas distribuidas

∫∫∫

₋ = ⇒ = ' sen ' 4 4 1 2 0 1 1 0 R r d d dr r q E r dV q dE_{P P} θ_{r r} θ ϕ ε π ρ ρ ε π E_P igual al de Q en origen _r q q E_P 0 1 4π ε = R r r´ q₁ ρ

Traer q₁ aislada desde ∞ Traer ahora q₂ Y traer q₃

Potencial eléctrico

F=>E=F/q E_P =>V=E_P/q

Diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos: cambio de la energía potencial cuando una carga de prueba se mueve entre esos dos puntos dividido el valor de la carga

∫

∫

= − = = ∆ = ∆ − − b a b a ext a b P b a q l d E q l d F q W q E V r r r r . .

∆

−

=

−

=

−

∫

b a a b b a

V

V

E

d

l

V

r

.

r

E V₁ V₂ V1 > V2 E apunta en la dirección en que V decrece A B [V]=J/C=Volt (V) De A a B el potencial decrece de B a A el potencial aumenta E

Carga puntual r q q E V V V P 0 0 ) 2 ( 2 2 4π ε = ∆ = − = ∞− ∞       − = − = ∆ ₋ 1 2 0 1 2 2 1 1 1 4 r r q V V V ε π 0 0 0 0 1 2 2 1 1 2 2 1 < ∆ → > ∆ → ⇒ − > ∆ → < ∆ → ⇒ + V r r V r r q V r r V r r q a b 0 = − = ∆V_a−b V_b V_a Superficies equipotenciales

Sistema de cargas puntuales _q

1 q₂ q₃ r₁ r₂ r₃

∑

= − = _∞ i i i r q V V V 0 4 1 ε π r₂ V₂ r₁ V₁ q r

Potencial de una linea infinita con carga λ C/m

r

Idem pared infinita con carga σ C/m2

∫

− = − = ∆ 2 1 . 1 2 r r r d E V V V r r r r Er ( 0 2π ε λ = 1 2 0 1 2 ln 2 r r V ε π λ = ∆ ₋ V = 0 donde? ) ( 1 0 en r arbitrario V = =

∫

− = − = ∆ 2 1 . 1 2 r r r d E V V V r r 0 2 ε σ = Er ) ( 2 ₀ 2 1 1 2 r r V = − − ∆ ₋ ε σ ? 0 donde V = ) ( 1 0 en r arbitrario V = = r equipotenciales

Potencial generado por esfera conductora       − = − = ∆ > 1 0 1 2 1 1 4 r₂ r q V V V R r ε π (Carga en superficie) V 0 ) (r = ∞ = V

∫

− = − = ∆ 2 1 . 1 2 r r r d E V V V r r R q R V 0 4 1 ) ( ε π = r q r V 0 4 1 ) ( ε π = 0 4 1 2 0 = < = > E R r r r q E R r r ( ε π ) ( 0 V cte V R r < ∆ = = r R Superficie equipotencial

Potencial de esfera cargada uniformemente en V r R

∫

− = − = ∆ 2 1 . 1 2 r r r d E V V V r r r r q E R r r ₂ ( 0 4 1 ε π = > 0 3ε ρ r E R r < =       − = − = ∆ > 1 0 1 2 1 1 4 r₂ r q V V V R r ε π _{V (r = ∞) = 0} R q R V 0 4 1 ) ( ε π = r q r V 0 4 1 ) ( ε π =

∫

∫

> − < − = < ∞ r R R r d R r E r d R r E r V R r ( ) r( ). r r( ). r ) ( 6 4 1 ) ( 2 2 0 0 R r R q r V = − − ε ρ ε π ρ π 3 3 4 R q = ) (R V R r = ⇒ )] 1 ( 2 1 1 [ 4 ) ( ₂ 2 0 − − = R r R q r V ε π 2 ) ( 3 0 V V R r = ⇒ = V

Potencial generado por una carga rodeado de una cáscara conductora

∫

− = − = ∆ 2 1 . 1 2 r r r d E V V V r r

r

r

q

E

b

r

r

₂

(

0

4

1

ε

π

=

>

        − = − = ∆ > 1 0 1 2 1 1 4 r₂ r q V V V b r ε π 0 ) (r = ∞ = V r q r V 0 4 1 ) ( ε π =

∫

∫

∫

−

−

−

=

<

∞ r a a b b

l

d

E

l

d

E

l

d

E

V

b

r

r

.

r

r

.

r

r

.

r

+q a b -q +q       − + = a r q b q V 1 1 4 4 1 0 0 π ε ε π V

Influencia de V externa sobre la distribución de cargas en conductores +q’ a b -q’ +q V

V impone q’ en esfera interior, totalmente o modificando una carga existente, y por inducción se

generan –q’ y +q’ en la cáscara de acuerdo a       − + = a r q b q V i 1 1 4 ' ' 4 1 0 0 π ε ε π

r_i: radio esfera interior

V impone q’ en esfera interior de forma que       − = a r q V i 1 1 4 ' 0 ε π

En cáscara conductora E= 0 por lo que en r= a la carga debe ser –q’. En

r= b la carga depende de la carga original en la cáscara V +q’ a b -q’ +q’

k z V j y V i x V V ( ( ( ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ Relación entre E y V V Er = −∇ r d E dV r d E V r r r r r r . . 2 1 − = − = ∆

_∫

r V ∆V ∆r cartesianas

0

2

=

∇ V

0 . ε ρ = ∇ Er 0 2 ε ρ − = ∇ V Ec.Poisson Ec.Laplace 2 2 2 2 2 2 2 z V y V x V V ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ Si ρ=0

Ejemplo Pared ∞

Dentro pared Ec. Poisson y fuera Ec. Laplace

0 2 0 2 = − ∇ = ∇ V V ε ρ 0 . ε ρ = ∇ Er c x b V x V a E x E D x = ⇒ = + ∂ ∂ = ⇒ = ∂ ∂ > 0 0 2 2 2 f x e x V x V d x E x E D x D + + − = ⇒ − = ∂ ∂ + = ⇒ = ∂ ∂ < < − 2 0 0 2 2 0 0 2 2 2 ε ρ ε ρ ε ρ ε ρ i x h V x V g E x E D x = ⇒ = + ∂ ∂ = ⇒ = ∂ ∂ − < 0 0 2 2 2

Condiciones de borde para E

0 2 ) 2 ( 0 0 ) 0 ( ε ρ D D E d E = ⇒ = ⇒ = ⇒ = − − = ) 2 ( ) 2 ( ) 2 (D E D E D E_{ex ex in} x E_in 0 ε ρ = 0 2 ε ρ D E_ex = ± ρ D

0 0 ) 0 ( = ⇒ f = V i x h V D x f x e x V D x D c x b V D x + = − < + + − = < < − + = > 2 2 2 2 2 2 0 ε ρ 0 2 4 2 2 4 2 ) 2 ( ) 2 ( 2 0 2 0 = ⇒ + − = − − ⇒ = − e D e D D e D D V D V_{in in} ε ρ ε ρ 2 0 2 x V_in ε ρ − = 0 2 0 2 0 4 2 2 8 2 ε ρ ε ρ ε ρ D c c D D D _{=− + ⇒ =} − 0 2 0 8 2 ε ρ ε ρ D x D V_ex = m + dx dV D E_ex =± =− 0 2ε ρ i x D D x V c x D D x V + = < + − = > 0 0 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( ε ρ ε ρ

)

2

(

)

2

(

int

D

V

D

V

±

=

_ext

±

₌

_i

E V

Conductor en campo eléctrico + + +

-+ + +

-+ + +

En conductor cargas en superficie, sino repeliéndose y en movimiento

Superficie de un conductor nece-sariamente debe ser equipotencial sino las cargas se estarían mo-viendo 0 0 ε σ ε σ _{⇒ =} = S E S E S E ⊥

Superficie interior es un equipotencial Si dentro E ≠ 0

∫

− = − B A A B V E dr V v. r

Si A-B se toma de forma que camino paralelo a E

B A V V r d Er. r > 0 ⇒ > contradiciendo hipótesis Dentro de los conductores, sean

macizos o huecos, E es nulo, independientemente de las car-gas externas y su distribución

Apantallamiento Lugar más seguro? A B metal

Influencia de la forma del conductor R₁ q’₁ σ’₁ R₂ q’₂ σ’₂

Al conectar los 2 cuerpos todos los conductores forman un equipotencial 2 0 2 2 2 1 0 2 1 1 4 4 4 4 R R R R ε π σ π ε π σ π ₌ 1 2 2 1 R R = σ σ

En los conductores las cargas se concentran en las zonas de menor radio de curvatura => pararrayos

2 0 2 1 0 1 2 1 4 4 R q R q V V ε π ε π = ⇒ = R₁ q₁ σ₁ R₂ q₂ σ₂

Capacitores

∫

= − = ∆ 0 0 ε σ d r d E V r r 0 ε σ d V = ∆ -q +q E₀ d 0 0 ε σ = E V q C ∆ = d S C = ε0 capacidad Capacitor plano 0 0 1 1 2 2 ε λ ε σ π π r l r l l E = = r₁ r₂ r r r E 0 1 1 0 2 ε σ ε π λ ₌ = 1 2 0 1 1 1 2 0 ln ln 2 . r r r r r r d E V = −

∫

= = ∆ ε σ ε π λ r r 1 2 0 1 2 0 ln 2 ln 2 r r l r r l C = π ε = π ε

[ ]

Faraday (F) V c C = = Capacitor cilíndrico C depende solo de parámetros geométricos

Aproximación capacitor infinito

0

0 ε

σ S

S

Significado de la capacidad _dq C q dq V dE_P = =

∫

= q P q dq C E 0 1 V q V C C q E_P 2 1 2 1 2 2 2 = = = C mide la capacidad de almacenar energía de un capacitor Faraday: unidad muy grande

2 8 0 10 1 , 1 m d C S = = ε C en µF (10-6_{) a pF (10}-12₎ F C y mm d =1 =1 en condensador plano si q V

c/dq que muevo entre placas requie-re otra energía pues V va variando

) (m g h n

E_P =

Energía del campo eléctrico S d d E d S S d V C Vol E u P 2 2 0 2 2 1 2 1 . ε = = = 2 0

2

1

E

u

_P

=

ε

Densidad de energía potencial en vacío

Donde hay E hay energía Vacío absoluto? _Energía = _{m c}2

Deducida para condensador plano pero vale en general

Ej. Capacitor cilíndrico

∫

_      = 2 1 2 2 2 1 2 0 0 r r P l r dr r E π ε π λ ε 1 2 0 2 ln 4 r r l E_P ε π λ = 2 0 2 1 E dVol dE_{P = ε} 2 2 1 V C E_P = 2 1 2 0 1 2 0 ln 2 ln 2 2 1       = r r r r l E_P ε π λ ε π 1 2 0 2 ln 4 r r l E_P ε π λ =

Energía de una esfera cargada en volumen: complejo! 2 0 2 1 E dV dE u = P = ε

∫

∫

∫

∫

_             +       = π π ∞ ε π ε ρ ϕ θ θ ε 0 2 0 0 2 2 2 0 2 2 0 0 4 3 sen 2 1 R R P r dr r q dr r r d d E

(

) ∫

∫

₊ ∞ − = R R P r dr q dr r E 2 2 0 2 0 0 4 0 2 4 4 2 1 2 2 18ε π ε π π ε ρ R q R q R E_P 0 2 0 2 0 5 2 40 6 8 5 . 18 4 ε π ε π ε ρ π = + =

∫

= E dV E_P 2 0 2 1 ε en todo el espacio 0 0 3 2 3 3 4 4 ε ρ ε π ρ π r r E r E = ⇒ =

Por Gauss, para r<R

E para r>R

ϕ

θ

θ

d

r

d

d

sen

r

dV

=

2

Conexión de capacitores serie C1 C2 V₁ V₂ -q V +q -q +q isla C q C q C q V V V = + = + = 2 1 2 1

∑

= i C C 1 1 paralelo C₂ C₁ V q₁ q₂ C q ) ( _{1 2} 2 1 q V C C q V C q = = + = +

∑

= C_i C

Carga neta =0 si condensadores inicialmente descargados

Capacitor originalmente cargado

cuando se conectan, la carga q₀ se redis-tribuye en ambos condensadores

0 2 1 q q q + = q₀ C₂ C₁ 1 0 0 C q V = 1 2 0 0 0 0 2 1 2 1 C q V q E_P = =

y conjunto equivale a tener un //: C=C₁+C₂

2 1 0 C C q V + = q₁ = C₁ V q₂ = C₂ V 0 2 1 2 0 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 P P E C C q V q V q V q E < + = = + =

Una parte de la energía se disipa en los conductores cuando las cargas se distribuyen y otra se emite como radiación electromagnética

Dipolo eléctrico Moléculas polares Agua H₂O _O H H ₊ -Amoníaco NH₃ N H +

-Moléculas no polares se polarizan en presencia de E

+

-

-+

-E

E F=q E α +q -q 2a τ = F 2 a senα = q E 2 a senα definimos pr = q 2 a − a + p

dipolo tiende a rotar alineándose con E

E pr × r = τ α d a ds = ds dα α α sen . ds q E a d F dW dE_P = = r r = ds ) cos (cos sen 2 2 _{2 1} 1 α α α α α α − − = = ∆E_P

_∫

q a E d p E Si E_P=0 cuando α = 90° EP = − p E cosα I ₊ + – + _I E_P min E_P=0 E_P max E E p E_P = − r . v Dipolo en E p: momento dipolar

+

-+

-+

-+q -q E₀ Dieléctricos E ' 0 E E E = − 0 0 ) ' ( . ε ε q q q s d E = enc = −

∫∫

r r 0 0 ' ) ' ( ε σ σ ε σ σ − _{⇒ =} − = S E S E P D Si σ = r σ'= r Dr = ε₀ Er + Pr E P E P ∝ ⇒ r = ε₀ χ r Dr =

(

1+ χ

)

ε₀ Er = ε Er D: Desplazamiento P: Polarización

χ : susceptibilidad, ε : permitividad en medio

r ε ε ε χ = = Κ = + 0 ) 1 ( constante dieléctrica E D E P r r r r ε χ ε = = ₀

(

E E

)

E

(

K

)

E E P E σ ε ε ε ε χ ε σ 0 0 0 0 0 0 1 ' ' ' '= ⇒ = = = − = − = E’ -q’ +q’ En sup. dieléctrico carga de polarización

q q q q S S P S E = ₀ = ' = − '⇒ '( 1 +1) = 0 0 χ χ σ ε χ ε ε ) 1 1 ( ' ) 1 ( ' K q q q q + χ = χ ⇒ = − q q K q K = ⇒ ∞ = ∞ = = ⇒ = = ' ) ( 0 ' ) 0 ( 1 χ χ

Ley de Gauss en dieléctricos

∫∫

. = − ' 0 E dS q q r r ε

∫∫

. = _1−(1− 1 )_ 0 K q S d Dr r ε ε

∫∫

Dr . dSr = q

∫∫

. = _1−(1− 1 )_ 0 0 K q S d P r χ ε ε K q K q q'= (1− 1 ) = χ

∫∫

Pr . dSr = 'q

0 C K C = E P D D D E₀ E₀ +q -q o dieléctric con E D o dieléctric sin E D ε ε = = _{0 0} K V V K E E E E_{0 0 0} 0 1= ⇒ = ⇒ = ε ε K V q V q C 0 = =

La introducción de un dieléctrico en un condensador multiplica la capacidad por K

d S d S K C = ε₀ = ε Valores ! " #

Al introducir dieléctrico V cte en bornes de C Hasta ahora C aislado (q cte); que pasa si conectado a V?

C ε K C C C₀ → = ₀

Cargas de polarización en dieléctrico tienden a reducir el campo pero como este está fijado por ε, la batería termi-na reforzando las cargas en C

K C C K q q → ₀ ⇒ = ₀

Capacitor aislado 2 Capacitor conectado a V

0 0 0 2 1 V C E_P = K V V V K C C C 0 0 0 0 → = → = K E K V K C V C E P P 0 2 2 0 0 2 2 1 2 1 _{= =} = Introduciendo un dieléctrico 0 0 0 C C K V V C → = = 0 2 0 0 2 2 1 2 1 P P C V C K V K E E = = = Introduciendo un dieléctrico

ε₂ ε₁

E₁ E2

Condiciones de borde en límite entre dieléctricos

h

∫

E

. l

d

=0

r

r

∫

∫

−

=

⇒

→

0

E

₁

.

d

l

E

₂

.

d

l

0

h

r

r

r

r

2 1 t t

E

E

=

siempre

∫∫

D

r

.

d

S

r

=

q

=

0

si no hay q en superficie de separación ε₂ ε₁ E₂ E₁ h

∫∫

∫∫

−

=

⇒

→

0

D

₁

.

d

S

D

₂

.

d

S

0

h

r

r

r

r

2 1 N N

D

D

=

Ejemplos _{D D D} n n1 = 2 = 2 0 2 2 1 0 1 1 K D D E K D D E ε ε ε ε = = = =       + = + = + = 2 2 1 1 0 2 2 1 1 2 1 K d K d D d E d E V V V ε K₂ K₁ d₂ d₁ K₁ K₂       + = + = 2 2 1 1 0 2 0 2 1 0 1 1 1 K d K d S S K d S K d C ε ε ε 2 condensadores en serie S K d K d D q V C σ ε _     ₊ = = 2 2 1 1 0 1 E E E_t1 = _t2 = D1 = ε0 K1 E D2 = ε0 K2 E σ₁ σ₂ d E V = 2 condensadores en paralelo     ≠ ≠ ∆ = C q V

0 = → ∞ = V r

Esfera cargada con q en volumen Cáscara dieléctrica

aire Cáscara conductora

ε r₂ r₁ r₃ r₄ 2 0 2 1 4 ; r q E r r r ε π = < <             − +             − + = 2 3 2 4 0 1 1 1 1 1 1 1 4 r r r r r q V ε ε π 4 0 4 3 4 ; 0 ; 4 4 r q dr E dr E V E r r r r r r π ε

∫

∫

∞ = − − = = < <             − + = = < < 3 4 0 2 0 3 2 1 1 1 4 ; 4 ; r r r q V r q E r r r ε π ε π

(

2 2

)

1 0 2 1 3 2 4 0 0 1 6 1 1 1 1 1 1 1 4 ; 3 ; r r r r r r r q V r E r r _ + −            − +             − + = = < ε ρ ε ε π ε ρ

∫

∞ = − = = > r r q dr E V r q E r r 0 2 0 4 4 4π ε π ε

A t=0 q en exte-rior de cáscara Con V esfera interior se carga en sup. Esfera conductora descargada

Cáscara dieléctrica

Cáscara conductora inicialmente con q ε

En interior de cáscara aparece -q₁ y en exterior q+q₁

r₂ r₁ r₃ V 1 0 1 1 1 0 4 ) ( 4 1 1 r V r r q V r q V i _r r π ε ε π = < ⇒ = = 2 0 1 3 2 1 2 1 1 4 ) ( , 0 ) ( , 4 ) ( , 0 ) ( r q q r r E casc E r q r r r E r r E ε π ε π + = > = = < < = <       − + = ⇒ − = − < <

_∫

1 1 2 1 2 1 1 1 4 4 ; ₁ 1 1 r r q V V r dr q V V r r r r _{r r} r r r ε π ε π 2 3 2 r r V cte Vr r < < ⇒ = =       − + +       − + = > 3 0 1 1 2 1 3 1 1 4 1 1 4 1 r r q q r r q V V r r _r ε π ε π