Problema 1 Problema 1
Asuma que en una determinada faena minera se desea acoplar roca molida producida durante el Asuma que en una determinada faena minera se desea acoplar roca molida producida durante el proceso de explotación. Este material estará contenido entre dos muros de contención con las proceso de explotación. Este material estará contenido entre dos muros de contención con las características y datos de la Figura 1, y el montículo que se genera presenta un ángulo de reposo características y datos de la Figura 1, y el montículo que se genera presenta un ángulo de reposo máxima en condición estática. Además, en la base de los muros, existen tirantes de amarre máxima en condición estática. Además, en la base de los muros, existen tirantes de amarre espaciados cada 1 m en la dirección
espaciados cada 1 m en la dirección perpendicular a la imagen. Se pide determinar:perpendicular a la imagen. Se pide determinar: a)
a) Factor de seguridad al volcamiento del muroFactor de seguridad al volcamiento del muro b)
b) Factor de seguridad al deslizamiento del muroFactor de seguridad al deslizamiento del muro c)
c) Fuerza que deben resistir los tirantesFuerza que deben resistir los tirantes d)
d) Factor de seguridad frente a Factor de seguridad frente a la falla por capacidad de soporte del suela falla por capacidad de soporte del sue lo bajo la fundación delo bajo la fundación de los muros
los muros
Figura 1: Sección transversal de muros de contención Figura 1: Sección transversal de muros de contención
Consideraciones realizadas en el problema Consideraciones realizadas en el problema
-El ángulo de reposo máximo en condición estática es aproximadamente igual al ángulo de
-El ángulo de reposo máximo en condición estática es aproximadamente igual al ángulo de fricciónfricción del material por lo que
del material por lo que
≈ = 35°
≈ = 35°
..-Se considera un ángulo de fricción suelo-muro
-Se considera un ángulo de fricción suelo-muro
= 2/3
= 2/3
.. -Se analiza una sección de 1 m-Se analiza una sección de 1 m en la dirección perpendicular a la figura 1.en la dirección perpendicular a la figura 1. -Se asume que el
-Se asume que el
del suelo debajo de la del suelo debajo de la fundación es igual al del material contenido entre losfundación es igual al del material contenido entre los muros.muros.
a) Factor de seguridad al volcamiento del muro a) Factor de seguridad al volcamiento del muro El factor de seguridad al volcamiento del
El factor de seguridad al volcamiento del muro se determina a partir de muro se determina a partir de la relación entre el momentola relación entre el momento resistente (suma de los momentos de las fuerzas que se oponen al volcamiento del muro) y el resistente (suma de los momentos de las fuerzas que se oponen al volcamiento del muro) y el
momento volcante (suma de los momentos de las fuerzas que generan volcamiento al muro). Ambos momentos se calculan a partir de la punta de la zapata (punto O en la figura 2).
= ∑
∑
A continuación, se muestran las fuerzas actuantes en el sistema muro-suelo.
Donde:
=
Peso del muro de contención
=
Peso del suelo sobre el talón de la fundación
=
Empuje activo del suelo
=
Empuje pasivo del sueloA continuación, se obtienen las fuerzas que generan el momento resistente y el momento volcante. Fuerzas que se oponen al volcamiento del muro
Las fuerzas que se oponen al volcamiento del muro son: - Peso del muro de contención
- Peso del suelo sobre el talón de la fundación - Fuerza vertical sobre el muro de 2.45 Tonf - Componente vertical del empuje activo - Componente horizontal del empuje pasivo -Peso del muro de contención
Para la obtención del muro de contención se divide el muro en 3 secciones, la primera es el rectángulo de
0.6×7.3
, formado desde la parte superior del muro hasta la unión con la cimentación. La segunda sección es el triángulo formado al quitar la sección 1 del muro, con medidas de ×ℎ = 7.3×0.4
. La última sección se forma con el rectángulo de la fundación. En la tabla siguiente se resumen los cálculos para el peso del muro y del c álculo de las coordenadas al centroide geométrico del muro, a partir de l origen fijado en la punta de la zapata (ver figura 2).Tabla 1: Peso y coordenadas centroidales del muro de contención
Sección Area (m2) W (Tonf) x
c (m) yc(m) A*xc A*yc 1 4.38 10.512 2.40 4.40 10.51 19.27 2 1.46 3.504 1.97 3.18 2.87 4.65 3 4.5 10.8 3.00 0.38 13.50 1.69 Total 10.34 24.816 7.37 7.96 26.88 25.61 xc (m) 2.60 yc(m) 2.48
- Peso del suelo sobre el talón de la fundación
Se divide la masa de suelo en dos secciones. La primera el rectángulo de medidas de
6.8×3.3
y la segunda sección es el triángulo de medidas ×ℎ = 3.3×3.3tan = 35°
, formado sobre la sección anteriormente descrita. En la tabla 2 se muestra el resumen de los cálculos para determinar el peso y las coordenadas centroidales de la masa de suelo sobre el talón de la fundación.Tabla 2: Peso y coordenadas centroidales de la masa de suelo sobre el talón de la fundación
Sección Area (m2) W (Tonf) x
c (m) yc(m) A*xc A*yc A 22.44 50.2656 4.35 4.15 97.61 93.13 B 3.8115 8.53776 4.90 8.32 18.68 31.71 Total 30.7515 68.815815 12.25 12.85 129.79 126.53 xc (m) 4.22 yc(m) 4.11
-Fuerza vertical sobre el muro de 2.45 Tonf
El brazo de palanca de la fuerza vertical sobre el muro con respecto al punto “O” es de 2.40
, según se muestra en la figura 2.- Componente vertical del empuje activo
Se utilizará enfoque de Coulomb, el cual determina el empuje activo a partir de la siguiente expresión:
= 12
Con:
=
cos
′
cos
cos +1+√ sin +′sin′
cos +cos ′
Donde::
Peso volumétrico del suelo:
Altura del muro
:
Angulo de fricción interna del material:
Angulo entre la superficie de aplicación del empuje y la vertical:
Angulo de fricción entre el suelo y el muro:
Angulo de la parte superior de la masa de sueloPara la configuración del muro y a partir de que la cuña de falla se forma a partir de la esquina derecha de la fundación, los parámetros para calcular e l empuje activo son los siguientes:
= 2.24 /
= 9.86
= 35°
= 0°
= 35°
(En este es igual a
porque la superficie de aplicación del empuje es también suelo) = 35°
Se tiene entonces:
=
cos
350
cos
0cos35+01+√ sin35+35sin3535
cos35+0cos3535
= 0.819
1= 12
= 120.8192.249.86
= 89.19
Se obtiene la componente vertical del em puje activo:
=
sin
= 89.19sin35° = 51.16
El brazo de palanca de la componente vertical del empuje activo sobre la masa de suelo sobre el talón de la fundación con respecto al punto “O” es de 6.0
.- Componente horizontal del empuje pasivo
El empuje pasivo de Coulomb se determina a partir de la siguiente expresión:
= 12
Con:
=
cos
+
cos
cos 1√ sin +′sin
cos cos ′
+
Los parámetros para calcular el empuje pasivo son los siguientes: = 2.24 /
= 0.75
= 35°
= 0°
= 2/3
= 2/335° = 23.33°
(En este caso el empuje pasivo si se aplica sobre el muro por lo que se asume un valor de fricción entre suelo-muro) = 0°
Se tiene entonces:
=
cos
35+0
cos
0cos23.3301√ sin23.33+35sin35+0
cos23.33+0cos00
= 9.96
2= 12
= 129.962.240.75
= 6.27
Se obtiene la componente horizontal del empuje activo:
=
cos = 6.27cos23.33° = 5.76
El brazo de palanca de la componente horizontal del empuje pasivo sobre el muro con respecto al punto “O” es de 0.25
.*Nota: Para un primer escenario donde la fuerza horizontal de 0.46 Tonf sobre el muro es aplicada
en la dirección
positivo, sería una fuerza que se opone al volcamiento del muro. El otro e scenario se da para cuando la fuerza es aplicada en la dirección negativa por lo que es una condición más crítica, ya que genera volcamiento al muro. Debido a la razón anterior no se considera el primer escenario en el cálculo del momento re sistente.Fuerzas actuantes que aportan al volcamiento del muro
Las fuerzas actuantes que aportan al volcamiento del muro son: - Componente horizontal del empuje activo
- Fuerza horizontal de 0.46 Tonf en la parte superior del muro, cuando su dirección es en
negativo- Componente horizontal del empuje activo La componente horizontal del empuje activo es:
=
cos
= 89.19cos35° = 73.06
El brazo de palanca de la componente horizontal del empuje act ivo se aproxima como
= 3.29
, con respecto al punto “O”.-Fuerza horizontal de 0.46 Tonf
El brazo de palanca de la fuerza horizontal en la parte superior del muro es 8.05
, con respecto al punto “O”.Obtenidas todas las fuerzas se obtiene el factor de seguridad al volcamiento del muro.
= ∑
∑
=
2.60+
4.22+2.452.4+
3.29+0.468.05
6+
0.25
= 24.822.60+68.824.22+2.452.4+51.166+5.760.25
73.063.29+0.468.05
= .
Normalmente para el caso estático se t iene que
= 2.74 ≥ 1.5 ‼‼‼‼‼‼‼
b) Factor de seguridad al deslizamiento del muro
El coeficiente de seguridad al deslizamiento se calcula como el cociente entre las fuerzas resistentes al deslizamiento a lo largo de la base y la componente tangencial de la fuerza de reacción R3. (Figura
3).
Figura 3:Descomposición de la fuerza de reacción ( Fuente: Sáez, 2010)
= tan
Donde: = ↓= +
=
+
+
+
+2.45
= 6.27sin23.33+24.82+68.82+51.16+2.45 = 149.73
= ←= +
=
0.46
= 5.76+0.46+73.06 = 68.06
Factor de seguridad al deslizamiento:
= tan = 149.73
68.06 tan23.33 = .
Como buena práctica se exige que para caso estático
= 0.95 ≥ 1.5 ‼‼‼
c) Fuerza que deben resistir los tirantes
Del literal anterior se tiene que no se cumple con el factor de seguridad al deslizamiento, por lo que hay que implementar un sistema (Tirantes entre los muros) que ayude al muro a cumplir con este requerimiento. Para determinar la fuerza en los tirantes se obtiene a partir de exigir que el factor de seguridad al deslizamiento sea igual a 1.5.
Al incluir la fuerza de los tirantes la expresión para determinar la componente de la reacción
queda de la siguiente forma: = ←= +
=
+0.46+
2
Donde
: es la fuerza de 1 tirante (En la ecuación se consideran 2 tirantes debido a que en la franja seleccionada del análisis de 1
, habrían dos tirantes, uno en cada extremos de la franja).Al plantear de nuevo la expresión para deter minar el factor de seguridad al deslizamiento se tiene:
= 1.5 = tan = 149.73
68.062
tan23.33
Despejando se tiene:
= 68.06149.73tan23.33
2
1.5
= .
Se tiene entonces que la fuerza en cada tirante es de 12.50 Tonf para garantizar que el factor de seguridad al deslizamiento en caso estático sea igual a 1.5.
d) Factor de seguridad frente a la falla por capacidad de soporte del suelo bajo la fundación de los muros.
El factor de seguridad frente a la falla por capacidad de soporte del suelo bajo la fundación es igual al cociente entre la capacidad última de soporte del suelo y la presión vertical e fectiva en el suelo.
.
=
-Presión vertical efectiva en el sue loDe los apuntes de clase se tiene que la excentricidad
se determina a partir del momento neto y la componente vertical de la reacción obtenida en el literal anterior. =
=
149.73 = 669.23244.07
149.73 = 2.84
El
se obtiene a partir de la siguiente expresión:- Capacidad última de soporte del suelo
El método para determinar
es el de Hansen y se expresa de la siguiente forma:
=
+
+0.5
Donde:
: Cohesión del suelo
,
,
: Parámetros que dependen de
,
,
: Parámetros de corrección de forma
,
,
: Parámetros de corrección por profundidad
,
,
: Parámetros de corrección por inclinación de la carga
,
,
: Parámetros de corrección inclinación del terreno
,
,
: Parámetros de corrección por inclinación de la base de la fundación
: Presión efectiva a nivel de sello de fundación (fuera de la fundación) Consideraciones en la evaluación de la ecuación general Como el material por debajo de la fundación del muro es roca molida compactada no posee
cohesión por lo que el primer término de la ecuación general no se evalúa.
Para el caso de evaluar los factores de formas, evaluar el escenario para la franja de 1 m
sería incorrecto ya que los factores resultarían muy grandes y por lo general la dimensión perpendicular al plano de la figura 2 es mucho mayor que B por lo que los factores resultaría menor a 1. Se asume al no contarse co n la dimensión perpendicular al plano que
,
= 1
Los factores
,
= 1
, debido a que no se presenta inclinación del terreno para laprofundidad del sello de fundación.
Como la base de la fundación no es inclinada los factores
,
= 1
-Cálculo de los parámetros
,
,
=
45+
2 =
45+352 = 33.30
= (
1)cot
= 33.301cot35 = 46.12
= 1.5(
1)tan = 1.533.301tan35 = 33.93
Ancho efectivo
= 2 = 620.17 = 5.66
- Calculo de parámetros de correcc ión de profundidad
= 1+2tan1sin
= 1+2tan351sin35
1.02 =1.26
= 1.0
Para toda profundidad-Calculo de parámetros de corrección por inclinación de la carga
= 1 0.5
+
cot
2 ≤
≤ 5
= 1 0.7
+
cot
2 ≤
≤ 5
Asumiendo
= 2.5
y
= 3.5
.También para ambos casos como no existe cohesión
= 0
, por lo que las expresiones quedarían de la siguiente forma:
= [10.5
]
= [10.518.06
149.73 ]
.
= 0.86
= [10.7
]
= [10.718.06
149.73 ]
.
= 0.73
-Cálculo de la presión efectiva a nivel de sello de fundación
Considerando profundidad de desplante menor, es decir esquina inferior izquierda de la fundación la presión efectiva sería:
= = 2.240.75 = 1.68 /
Obtenidos todos los parámetros se evalúa la ecuación generalizada de Hansen
=
+0.5′
= 1.6833.301.260.86+0.52.245.6633.9310.73 = 217.64 /
-Factor de seguridad
.
=
= 217.65
95.83 = .
Según Bowles4 para suelos granulares el factor de seguridad para falla por capacidad de soporte debe de ser mayor o igual a 2 por lo que para este caso se cumple con dicha recomendación.
