GUÍA DE TRABAJO PRIMARIA Y BACHILLERATO
Código PGF-02-R07 Fecha Octubre 18 a Diciembre 14 de 2011NOMBRE DEL ESTUDIANTE: ___________________________________________________
Área Matemáticas Grado
décimo:_____
Período Segundo Guía No 2
Temática General: Triángulos oblicuángulos e Identidades Trigonométricas.
1. CONTEXTUALIZACIÓN:
Dentro de los muchos matemáticos que fueron introduciendo relaciones útiles, se encuentra el francés François Viète (1540-1063), quien completó el sistema trigonométrico de los árabes y fue autor de fórmulas analíticas que se emplean en la resolución de triángulos oblicuángulos; logró establecer, por ejemplo, la proporcionalidad entre la medida de los lados de un triángulo y el seno del ángulo opuesto correspondiente, conocido como Teorema del seno,
En esta primera parte de la guía trabajaremos los triángulos oblicuángulos que son aquellos que no tienen ningún ángulo recto, por lo que no lo podemos resolver aplicando las razones trigonométricas y/o el teorema de Pitágoras que hasta ahora hemos aplicado. Para solucionar esta clase de triángulos debo repasar y retomar en mi cuaderno los siguientes teoremas de geometría (ALA, LAL, LLA y LLL).
Actividad: Leo con atención cada una de las siguientes situaciones:
1.1. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8 metros del suelo y observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte superior, con un ángulo de elevación de 35º y la parte inferior, con un ángulo de depresión de 43º. ¡Cuál es la altura del edificio de enfrente?
1.2. Dos trenes parten simultáneamente de una estación en dirección tal que forman un ángulo de 35º. Uno va a 15 km/h y el otro a 25 km/h. ¿A qué distancia se encuentran separados después de dos horas de viaje?
A. Represento gráficamente cada una de las situaciones.
B. ¿Qué clase de triángulo utilizo para la representación de cada situación?
C. ¿Cómo podría dar respuesta a la pregunta planteada en cada situación? Explico con palabras el procedimiento que realizo y ¿Cuál teorema de geometría que repase puedo aplicar?
Luego desarrollaremos la temática de las identidades trigonométricas, que son igualdades que contienen funciones trigonométricas y que son verdaderas para todos los valores para los cuales están definidas, estas identidades trigonométricas involucra simplificar expresiones y para lograrlo es necesario estar familiarizado con las reglas básicas del álgebra y el manejo apropiado de las Identidades que aparecen en la tabla (1) , en la parte algebraica es necesario recordar en forma
correcta productos notables, factorizaciones, operaciones conexpresiones fraccionarias, racionalización de denominadores y solución de ecuaciones. En forma general, si las gráficas de las dos funciones coinciden, es una identidad.
Tabla (1).
Investigo como se deduce la identidad trigonométrica
sen
2cos
21
,y la desarrollo en mi cuaderno.2. DESARROLLO:
LEY DE SENOS Y COSENOS:
En la página ( http://www.jorgefernandez.es/proyectos/angulo/temas/temao/index.html) leo cuidadosamente e interpreto los procesos que allí se describen en el applet del teorema del seno y del coseno, luego elaboro en mi cuaderno un resumen teniendo en cuenta los siguientes puntos:
En qué consiste Cuándo se aplica
Cuáles son las ecuaciones que se pueden utilizar en cada caso. 2.1. PROBLEMAS DE APLICACIÓN.
2.1.1. Con otro compañero(a) solucionamos las siguientes situaciones aplicando la Ley del Seno, la Ley del Coseno o ambas.
Leo cuidadosamente las siguientes situaciones, interpreto, argumento y aplico los conceptos a cada una de mis respuestas.
2.1.2 Un aeroplano P de reconocimiento, que vuela a 10000 pies de un punto R sobre la superficie del agua, localiza un submarino S a un ángulo de depresión de 37º y un buque tanque
T a un ángulo de depresión de 21º, como se muestra en la
figura. Además, el SPT resulta ser de 110º.
Hallo la distancia entre el submarino y el buque tanque.
2.1.3. Una embarcación pesquera utiliza equipo de sonar para
detectar un banco (o cardumen) de peces a 2 millas al este de la embarcación, el cual se mueve en dirección N 51º O a razón de 8 millas por hora (observo la figura). a. Si la embarcación navega a 20 millas por hora, Hallo la
distancia que debe recorrer para interceptar el cardumen.
b. Hallo el tiempo que tardará en llegar a donde está el banco. 1 cos sen ) 1 2 2
cos
sen
tg
)
2
sen
cos
g
cot
)
3
cos
1
sec
)
4
sen 1 ec cos ) 5 tg 1 g cot ) 62.1.4. The famous leaning Tower of Pisa was originally 184.5 feet high. At a distance of 123 feet from the base of the tower, the angle of elevation to the top of the tower is found to be 60°. Find RPQ indicated in the figure. Also, find the perpendicular distance from R to PQ.
2.1.5. An airplane flies due to north from Ft. Myers to Sarasota, a distance of 150 miles, and then turns through an angle of 50° and flies to Orlando, a distance of 100 miles. See the figure.
a. How far is it directly from Ft. Myers to Orlando? b. What bearing should the pilot use to fly directly from Ft. Myers to Orlando?
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS:
2.1.6. A partir de la Identidad Pitagórica
sen
2cos
21
, deduzco las identidades: 2 2sec
tan
1
c
c
y1
tan
2sec
2 2.1.7. Transformo la expresiónx
senx
x
x
x
x
x
x
tan
tan
tan
cos
sec
sec
cos
2 2 en términos decos
x
.2.1.8. Prove the following trigonometric identities:
a.
1
cos
2x
1
tan
2x
csc
2x
1
1
b.1
tan
sin
1
cos
sin
2 2 2 2x
x
x
x
c.0
cos
1
sin
sin
cos
1
x
x
x
x
d.x
x
x
x
tan
cos
1
tan
sin
e.0
cos
1
sin
sin
cos
1
x
x
x
x
f.x
x
x
x
tan
cos
1
tan
sin
2.1.9. Conun compañero demostramos las identidades indicadas por el profesor de los libros del bibliobanco.
2.1.3. Actividades de ingenio.
Aplicando la ley del seno y del coseno:
¿Qué condiciones se deben cumplir para que una situación se pueda resolver aplicando la Ley del Seno o la Ley del Coseno?
Teniendo en cuenta lo anterior, planteo y soluciono dos situaciones en las cuales pueda aplicar cada una de las leyes.
Aplicando las identidades trigonométricas:
Teniendo en cuenta la identidad trigonométrica fundamental y las identidades que he trabajado en clase, construyo y demuestro dos identidades trigonométricas.
2.4.Olimpiada matemática
Identifico y justifico con los conceptos de trigonometría cuál de las siguientes igualdades es la relación correcta entre cosecante y cotangente:
a. Csc2x + Cot2x = 1 b. Cot2x = Csc2x – 1 c. Csc2x + Cot2x = – 1 d. Cot2x = Csc2x + 1 3. EVALUACION 3.1. EVIDENCIAS DE EVALUACIÓN:
Trabajo personal: Son las actividades que realiza el estudiante en el desarrollo de la guía, la realización de las tareas, quices y los talleres propuestos, los cuales permitirán observar los avances en cuanto a la conceptualización, apropiación y aplicación.
Trabajo grupal: En éste se tiene en cuenta la participación de los estudiantes y el compromiso con el equipo con el fin de cumplir con los trabajos establecidos con la calidad requerida y de acuerdo con ello se determinará el nivel de logro alcanzado, en las diferentes actividades de la guía y talleres propuestos.
Evaluación Mensual - Semestral: A mitad del primer y tercer periodo se realizará una evaluación mensual de los desempeños teniendo en cuenta los referentes conceptuales que se hayan trabajado hasta el momento. Así mismo al finalizar el segundo y cuarto periodo se realizará una evaluación
Actividad de Ingenio Matemático: Es una situación problema orientada por el docente y propuesta en la guía del periodo, donde los estudiantes relacionan los referentes conceptuales trabajados en contextos matemáticos, de otras ciencias o del contexto real, que permita procesos de conceptualización, apropiación y aplicación.
3.2. NIVELES DE DESEMPEÑO POR LOGRO: MATEMÁTICAS GRADO DÉCIMO:
SUBPROCESO 1 MODELACIÓN SUBPROCESO 2 COMUNICACIÓN MATEMÁTICA SUBPROCESO 3 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO SUBPROCESO 4 RESOLUCIÓN Y FORMULACIÓN DE PROBLEMAS LOGRO Generar, verificar y predecir la solución de LOGRO Identificar y enunciar en lenguaje matemático LOGRO Justificar los procedimientos LOGRO Utilizar y aplicar triángulos
situaciones formuladas y planteadas haciendo uso y aplicación de triángulos oblicuángulos, identidades y ecuaciones trigonométricas. estrategias para representar y solucionar situaciones por medio de triángulos oblicuángulos: Describir y justificar la demostración de identidades y la solución de ecuaciones trigonométricas. utilizados al resolver problemas con triángulos oblicuángulos. Demostrar identidades y aplicarlas en la solución de ecuaciones trigonométricas a partir de hipótesis planteadas. oblicuángulos, identidades y ecuaciones trigonométricas para generar, verificar y predecir la solución de situaciones formuladas y planteadas. NIVELES DE DESEMPEÑO NIVELES DE DESEMPEÑO NIVELES DE DESEMPEÑO NIVELES DE DESEMPEÑO 5. Generaliza estrategias para representar y aplicar a partir de modelos matemáticos situaciones utilizando los triángulos oblicuángulos. Establece modelos de demostración de identidades y dar solución a ecuaciones trigonométricas. 5. Identifica y enuncia en lenguaje matemático estrategias para representar y solucionar situaciones por medio de triángulos oblicuángulos. Describe y justifica por medio del lenguaje matemático la demostración de identidades y la solución de ecuaciones trigonométricas. 5. Justifica los procedimientos utilizados al resolver problemas con triángulos oblicuángulos. Demuestra identidades y las aplica en la solución de ecuaciones trigonométricas a partir de hipótesis planteadas. 5. Utiliza y aplica triángulos oblicuángulos, identidades y ecuaciones trigonométricas para generar, verificar y predecir la solución de situaciones planteadas y formuladas. 4. Generaliza estrategias para representar y solucionar situaciones utilizando los triángulos oblicuángulos. Establece modelos de demostración de identidades y dar solución a ecuaciones trigonométricas. 4. Identifica y enuncia estrategias para representar y solucionar situaciones por medio de triángulos oblicuángulos. Describe y justifica la demostración de identidades y la solución de ecuaciones trigonométricas. 4. Justifica los procedimientos utilizados al resolver problemas con triángulos oblicuángulos. Demuestra identidades y las aplica en la solución de ecuaciones trigonométricas. 4. Utiliza y aplica triángulos oblicuángulos, identidades y ecuaciones trigonométricas para generar, verificar y predecir la solución de situaciones planteadas. 3. Establece estrategias para representar y solucionar situaciones utilizando los triángulos
oblicuángulos sin llegar a generalizarlas. Se le dificulta establecer modelos para demostrar identidades y dar solución a ecuaciones trigonométricas. 3. Resuelve situaciones por medio de triángulos oblicuángulos, pero se le dificulta plantear y explicar otras estrategias de solución. Describe la demostración de identidades y la solución de ecuaciones trigonométricas. 3. Utiliza procedimientos para resolver problemas con triángulos
oblicuángulos. Se le dificulta justificar dichos procedimientos. Demuestra identidades y con dificultad las aplica en la solución de ecuaciones trigonométricas. 3. Utiliza y aplica triángulos oblicuángulos, identidades y ecuaciones trigonométricas para generar la solución de una situación planteada. Se le dificultan los procesos algebraicos para predecirla y verificarla. 2. Identifica estrategias para representar y solucionar situaciones utilizando los triángulos oblicuángulos sin establecer un modelo. Se le dificulta identificar modelos para demostrar identidades y dar 2. Se le dificulta enunciar en lenguaje matemático la solución de situaciones por medio de triángulos oblicuángulos. Demuestra identidades y da solución a ecuaciones trigonométricas sin describir los procesos
2. Identifica procedimientos para resolver problemas con triángulos oblicuángulos, demostrar identidades y solucionar ecuaciones trigonométricas, se le dificulta aplicarlos. 2. Utiliza triángulos oblicuángulos, identidades y ecuaciones trigonométricas para representar un problema planteado. Se le dificulta aplicar los procesos algebraicos para verificar la solución.
solución a ecuaciones trigonométricas. utilizados. 1. Se le dificulta generalizar estrategias para representar y aplicar a partir de modelos matemáticos situaciones donde utilice los triángulos oblicuángulos. Igualmente Se le dificulta establecer modelos de demostración de identidades y en dar solución a ecuaciones trigonométricas. 1. Se le dificulta Identificar y enunciar en lenguaje matemático estrategias para representar y solucionar situaciones por medio de triángulos oblicuángulos. Se le dificulta describir y justificar por medio del lenguaje matemático la demostración de identidades y la solución de ecuaciones trigonométricas. 1. Se le dificulta identificar y Justificar los procedimientos utilizados al resolver problemas con triángulos oblicuángulos. Se le dificulta demostrar identidades y las aplica en la solución de ecuaciones trigonométricas a partir de hipótesis planteadas. . 1. Se le dificulta utilizar y aplicar triángulos oblicuángulos, identidades y ecuaciones trigonométricas para generar, verificar y predecir la solución de problemas formulados y planteados. BIBLIOGRAFÍA Y RECURSOS
Salgado, A & otros (2003) Trigonometría y Geometría analítica. Editorial Santillana. Bogotá Dimatè, M & otros (2001) Matemáticas 10. Trigonometría. Serie para la Educación Media. Editorial Prentice Hall. .Bogotá
Moreno, V & otros (2003) ALFA 10 con Estándares. Serie de Matemáticas para la Educación Secundaria y Media. Editorial Norma. Bogotá.
Stewart, J & otros (2001) &otros. Pre cálculo. Ed. Thomson. México
Sullivan, M (1997 ) Trigonometría y Geometría analítica. Ed. Pearson. México
Swokoswki E. &Jeffer A. (1997 )Trigonometría. Editorial International Thomson Editores S.A. México
Prueba de admisión Universidad Nacional. 26 de Agosto de
2011.http://www.admisiones.unal.edu.co/es/pregrado/17-guia.html.
Demostración del teorema del seno y del coseno. Octubre 4 de 2011 ( http://www.jorgefernandez.es/proyectos/angulo/temas/temao/index.html
)
PROFESORES: JOHANNA FUENTES Y JOAQUÍN TORRES. Versión 04
