Objetivo general:
Proporcionar los conocimientos fundamentales • Algebra Lineal •Variable Compleja •Transformadas Integrales •Fourier •Laplace y •Zeta
que dan las bases sólidas que más tarde le permita abordar problemas para distintas áreas de la Computación e Ingeniería tales como Control Digital, Teoría de Control, Telemática.
Algebra
Lineal
Variable Compleja
Los conceptos y métodos del
álgebra lineal han contribuido
decisivamente al
desarrollo de muchas áreas del conocimiento de la
Matemática, entre las que podemos mencionar : Robótica Video juegos La teoría económica. Teoría de redes La teoría de códigos y Criptografía Astronomía y programación lineal La teoría cualitativa y cuantitativa de de ecuaciones diferenciales Algebra Lineal
Problemas tan amplios como: Saber descifrar códigos como saber la distribución de cosecha Definir el presupuesto de un país Encontrar la estabilidad estructural de un edificio en el cálculo de la órbita de un asteroide
No es exagerado afirmar que sus ideas y resultados aparecen en casi todo desarrollo humano.
Modernamente, las matrices, como los polinomios o las series de potencias formales, bien pueden considerarse como arreglos de datos de algún tipo dado
(Sylvester), donde el algebra que se establezca sobre éstas determina la manera en que éstos datos pueden combinarse para generar nueva información
(Cayley).
La formulación de un problema concreto en términos del algebra lineal ha sido, y sin duda lo seguirá siendo, uno de los métodos más efectivos para hallar su solución. Herramientas tales como el determinante, las formas
canónicas y las transformaciones lineales, entre muchas otras, contribuyen decisivamente a facilitar esta labor.
Algebra Lineal
Un ejemplo concreto de una tal situación ha llegado hasta nuestros días en una de las famosas tablillas de Croquetta, que datan del último período sumerio hacia el año 2100 a.C., es el siguiente problema:
Existen dos campos cuyas áreas suman 1800 yardas cuadradas. Uno pro-duce granos en razón de 2/3 de saco por yarda cuadrada, mientras que el otro produce granos en razón de 1/2 saco por yarda cuadrada. Si la producción total es de 1100 sacos, ¿cuál es el tamaño de cada campo?"
El álgebra lineal tuvo un fuerte impulso gracias al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, tal como señalamos, y más recientemente, con los sistemas de ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones.
En ambos contextos subyacen los importantes conceptos de vector y espacio vectorial. A finales del siglo XVII fueron redescubiertas y desarrolladas las ideas originales de los babilonios, y principalmente de los chinos, sobre el pensamiento lineal. Y tiene su auge con el desarrollo de las computadoras a finales de lo s años 50 del siglo XX.
Algebra Lineal
Historia del Análisis Complejo http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_co mpleja Resultados Otros
En varias áreas de la ingeniería Se utiliza variable compleja para el análisis y diseño de sistemas por ejemplo:
Señales
Teoría de control Óptica – laser
Las herramientas matemáticas como la transformada de Laplace,
la transformada de Fourier y la transformada z , permiten pasar funciones del dominio del tiempo a otros dominios donde las operaciones matemáticas resultan más simples
Variable Compleja
En esos dominios se utilizan variables complejas y es conveniente estar familiarizado con conceptos básicos Por ejemplo :
1. Las transformada s de Laplace, y de Fourier permiten transformar
Ecuaciones diferenciales lineales en Ecuaciones algebraicas , una vez que se han resuelto en el dominio
correspondiente se encuentra la solución de las ecuaciones originales aplicando la transformada inversa .
2. En resolución de integrales en
variable real para predecir magnitudes en contextos ingenieriles, de arte y de diseño.
En esos dominios se utilizan variables complejas y es conveniente estar familiarizado con conceptos básicos como los son :
Números complejos,
conceptos generales de funciones de variable compleja,
funciones analíticas y series de potencias
integración en el plano complejo.
Variable Compleja
El análisis complejo es la rama de las matemáticas que en parte investiga las funciones holomorfas, también llamadas funciones analíticas.
Una función es holomorfa en una región abierta del plano complejo si está definida en esta región, toma valores complejos y por último es diferenciable en cada punto de esta región abierta con derivadas continuas.
El que una función compleja, sea diferenciable en el sentido complejo tiene consecuencias mucho más fuertes que la diferenciabilidadusual en los reales.
En particular, las funciones holomorfas son infinitamente diferenciables, un hecho que es marcadamente diferente de lo que ocurre en las funciones reales diferenciables. La mayoría de las funciones elementales como lo son, por ejemplo, algunos
polinomios, la función exponencialy las funciones trigonométricas, son holomorfas.
Variable Compleja
Gráfico de la función
f(z)=(z2-1)(z-2-i)2 / (z2+2+2i).
La coloración representa el argumento de la función, mientras que el brillo representa el módulo.
http://www.ima.umn.edu/~arnold/comple x-maps/index.html
Transformadas Integrales
Transformada
de Fourier
Transformada
de Laplace
Transformada
Z
http://www.falstad.com/fourier/ http://www.falstad.com/mathphysics.htmlLa mayoría de las señales se distorsionan cuando pasan a través de un dispositivo lineal e invariante en el tiempo, y la única señal que no sufre distorsión es una señal sinusoidal pura.
Sumando las primeras 40 componentes de
frecuencia de la señal periódica. Las primeras componentes de
frecuencia son:
Sumando las primeras 3 componentes de
frecuencia de la señal periódica. Un ejemplo de una señal periódica y
Una señal sinusoidal pura no cambia su forma pero si cambian:
– Su amplitud. – Su fase.
• En general, el cambio en la amplitud y en la fase dependen:
– del sistema.
– de la frecuencia de la señal sinusoidal.
Transformadas Integrales
Para entender las causas que originan esta distorsión es
necesario analizar el contenido de frecuencias de las señales utilizadas en ingeniería, el análisis de Fourier permite conocer el contenido de frecuencias de las señales y entender las razones para las cuales existe distorsión lineal.
Las funciones periódicas son ampliamente utilizadas en los sistemas de comunicación y su contenido de frecuencias se puede estudiar mediante las series de Fourier.
Para el caso de funciones no periódicas la herramienta que se utiliza es la transformada de Fourier la cual es una extensión a las series de Fourier para poder analizar el contenido de
frecuencias de este tipo de señales.
Espectro de Fourier de una abertura circular
Transformadas Integrales
Las vibraciones en una membrana o un tambor o las
oscilaciones inducidas en una cuerda de guitarra o violín son explicadas por una ecuación diferencial parcial llamada
ecuación de onda .
Esta situaciones junto con condiciones iniciales y de frontera constituyen información para encontrar la solución única de la ecuación parcial. Pues bien la solución es una suma
infinita de funciones seno, una forma de expresión de series de Fourier.
Las imágenes obtenidas por los investigadores revelan que las membranas de los glóbulos rojos pierden flexibilidad, lo cual acaba conduciendo a la aglomeración de las células, cuando éstas tratan de navegar por los diminutos vasos sanguíneos. Asimismo, se evidencia la destrucción de la hemoglobina, la molécula fundamental que los glóbulos rojos usan para el transporte de oxígeno
La transformada de Laplace posee propiedades que facilitan la solución de Ecuaciones Dierenciales
Transformadas Integrales
Ley de Kircchof 2 dt m x m F = ′′=
∑
∑
V = E(t) ) ( 2 dt kx f t dt m +β + = ) ( 2 2 t E kq dt dq dt q d L +β + =f(t)
x(t)
k
b
m
Fuerza de entrada2
)
(
2
)
(
)
(
)
(
dt
t
x
d
m
dt
t
dx
b
t
kx
t
f
ma
F
=
−
−
=
∑
Desplazamiento, salida del sistema Transformadas Integraless
X
k
bs
ms
s
X
s
F
s
X
ms
s
bsX
s
kX
s
F
dt
t
x
d
m
dt
t
dx
b
t
kx
t
f
=
+
+
=
=
−
−
=
−
−
1
)
(
2
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
cero)
a
igual
iniciales
s
condicione
ndo
(considera
término
cada
a
Laplace
de
ada
transform
la
Aplicando
2
)
(
2
)
(
)
(
)
(
Función de
)
(
)
(
1
)
(
1
)
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)
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)
(
t
o
e
dt
t
i
C
dt
t
i
C
t
Ri
dt
t
di
L
t
i
e
=
+
+
=
∫
∫
Transformadas IntegralesLa transformada Z posee propiedades que facilitan la solución de ecuaciones en diferencias
La TZ es un ejemplo más de Transformadas
Telecomunicaciones y especialmente los Sistemas de Control de Procesos por computadoras.
Procesamiento de Señales Digitales, como son el diseño y análisis de Circuitos Digitales, los Sistemas de Radar o
La Transformada Zeta (TZ) es un modelo matemático que se emplea entre otras aplicaciones en el estudio del
Señales en Tiempo Discreto Transformadas
La importancia del modelo de la Transformada Z radica en que permite reducir Ecuaciones en Diferencias o
ecuaciones recursivas con coeficientes constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales.
Señales en Tiempo Discreto
convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja. El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent.
La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.
Señales en Tiempo Discreto
Transformadas Integrales
