Índice. Qué es un proceso estocástico? Índice. Qué es un proceso determinista? Qué es un proceso determinista?

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(1)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 1

Sistemas deterministas, caóticos y

estocásticos discretos

UNMDP Luciana De Micco Graciela Fernández Hilda Larrondo UNLP-UBA María Teresa Martín Angel Plastino Osvaldo Rosso

TREFEMAC 09 - LARRONDO 2

Índice

• Sistemas estocásticos, deterministas y

caóticos

• Herramientas de visualización

• Cuantificadores

• PDF, dinámica simbólica y randomización

• Sistemas discretos y la evaluación del

muestreo

TREFEMAC 09 - LARRONDO 3

Índice

• Sistemas estocásticos, deterministas y

caóticos

• Herramientas de visualización

• Cuantificadores

• PDF, dinámica simbólica y randomización

• Sistemas discretos y la evaluación del

muestreo

TREFEMAC 09 - LARRONDO 4

¿Qué es un proceso estocástico?

A stochastic process, or sometimes

random process, is the counterpart to a

deterministic process (or deterministic

system) in probability theory. (WIKIPEDIA)

¿Qué es un proceso determinista?

In mathematics, a deterministic system

is a system in which no randomness is

involved in the development of future

states of the system.

(WIKIPEDIA)

¿Qué es un proceso determinista?

In mathematics, a deterministic system

is a system in which no randomness is

involved in the development of future

states of the system. Deterministic

models thus produce the same output

for a given starting condition

(2)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 7

Sistema Dinámico

At any given time a dynamical system has a state given by a set of real numbers (a vector) which can be represented by a point in an appropriate state space (a geometrical manifold). Small changes in the state of the system correspond to small changes in the numbers. The evolution rule of the dynamical system is a fixed rule that describes what future states follow from the current state. The rule is deterministic: for a given time interval only one future state follows from the current state.(WIKIPEDIA)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 8

¿Cómo se estudia la evolución

temporal de un sistema dinámico?

• Se calcula una trayectoria en el espacio de

estados resolviendo (analítica o

numéricamente) ecuaciones diferenciales a

partir de un estado inicial.

• Se calcula la sucesión de estados

utilizando una ecuación de recurrencia a

partir de un estado inicial.

TREFEMAC 09 - LARRONDO 9

¿Cómo se estudia la evolución

temporal de un sistema estocástico?

• Continuo: se resuelven (analítica o

numéricamente) ecuaciones diferenciales

estocásticas partiendo de una condición

inicial. La condición inicial es una

distribución.

• Discreto: se calcula la sucesión de estados

utilizando una ecuación de recurrencia a

partir de un estado inicial. La condición

inicial es una distribución.

TREFEMAC 09 - LARRONDO 10

Preconceptos

• Una señal compleja viene de un modelo

complejo. Contraejemplo: sistema caótico.

• Los sistemas físicos producen verdaderas

señales aleatorias. Los algorítmicos no.

Contraejemplo: generadores de números

aleatorios.

Preconceptos

• Una señal compleja viene de un modelo

complejo. Contraejemplo: sistema caótico.

• Los sistemas físicos producen verdaderas

señales aleatorias. Los algorítmicos no.

Contraejemplo: generadores de números

aleatorios.

• http://csrc.nist.gov/rng/, • http://stat.fsu.edu/pub/diehard/,

• http://www.iro.umontreal.ca/~simardr/random.html

¿Dónde ubicamos el caos para los

sistemas continuos analógicos?

Sistema Determinista

Sistema Estocástico

Sistema Determinista Caótico

x

R

(3)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 13

¿Dónde ubicamos el caos para los

sistemas continuos analógicos?

Sistema Determinista

Sistema Estocástico

Sistema Determinista Caótico

x

R

y

TREFEMAC 09 - LARRONDO 14

¿Dónde ubicamos el caos para los

sistemas continuos digitales?

Sistema Determinista

Sistema Estocástico

Sistema Determinista Caótico

x

Q

y

TREFEMAC 09 - LARRONDO 15

¿Dónde ubicamos el caos para los

sistemas continuos digitales?

Sistema Determinista

Sistema Estocástico

Sistema Determinista Caótico

x

Q

y

TREFEMAC 09 - LARRONDO 16

ATENCION

Todo sistema determinista digital y

discreto es periódico

(pero puede ser pseudocaótico o

pseudoestocástico )

Continuo

VS

Discreto

Analógico

VS

Digital

Índice

• Sistemas estocásticos, deterministas y

caóticos

• Herramientas de visualización

• Cuantificadores

• PDF, dinámica simbólica y randomización

• Sistemas discretos y la evaluación del

muestreo

Estrategias para visualizar

• Diagramas de embedding 2D y 3D

• Correlación lineal

• Transformada de Fourier

• PDF

(4)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 19

Ejemplo para el ruido atmosférico

(random.org)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 20

Ejemplo para el ruido atmosférico

(random.org)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 21

Ejemplo para el ruido atmosférico

(random.org)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 22

Ejemplo para el ruido atmosférico

(random.org)

(5)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 25

Rossler (puro y randomizado)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 26

El mapa logístico

TREFEMAC 09 - LARRONDO 27

Recurrence Plots

(

i j

)

(

i

j

N

)

j i,

=

Θ

x

x

,

=

1

,...,

R

ε

TREFEMAC 09 - LARRONDO 28

Recurrence Plots

(

i j

)

(

i

j

N

)

j i,

=

Θ

x

x

,

=

1

,...,

R

ε

N. Marwan, M. C. Romano, M. Thiel & J. Kurths 2007

Recurrence plots for the analysis of complex systems. Phys. Rep. 438, pp. 237-329.

Índice

• Sistemas estocásticos, deterministas y

caóticos

• Herramientas de visualización

• Cuantificadores

• PDF, dinámica simbólica y randomización

• Sistemas discretos y la evaluación del

muestreo

Cuantificadores

• De la PDF:

– Entropía

– Complejidad

• Patrones prohibidos (Amigó et al.)

• De diagramas de recurrencia (Kurts et al.)

• De la FFT

• De compresibilidad (Lempel-Ziv)

(6)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 31

Cuantificadores

• De la PDF:

– Entropía

– Complejidad

• Patrones prohibidos (Amigó et al.)

• De diagramas de recurrencia (Kurts et al.)

• De la FFT

• De compresibilidad (Lempel-Ziv)

• De computación intrínseca (Crutchfield et al.)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 32

Plano Entropía Complejidad

1

1

ln

ln

N

i

i

i

H

p

p

N

C

QH

=

= −

=

TREFEMAC 09 - LARRONDO 33

Desequilibrios

Dependen del tensor métrico en el espacio de

distribuciones

•Q

SDL

=(1-H) (Shiner-Davison-Landsberg)

•Q

LMC

(López Ruiz-Mancini-Calbet)

•Q

W

(Martín-Plastino-Rosso)

•Q

LMPR

(Lamberti-Martín-Plastino-Rosso)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 34

Desequilibrios

Dependen del tensor métrico en el espacio de

distribuciones

•Q

SDL

=(1-H) (Shiner-Davison-Landsberg)

•Q

LMC

(López Ruiz-Mancini-Calbet)

•Q

W

(Martín-Plastino-Rosso)

•Q

LMPR

(Lamberti-Martín-Plastino-Rosso)

R. López-Ruiz, H. L. Mancini, and X. Calbet, Phys. Lett. A 209, 321 (1995)

Desequilibrios

Dependen del tensor métrico en el espacio de

distribuciones

•Q

SDL

=(1-H) (Shiner-Davison-Landsberg)

•Q

LMC

(López Ruiz-Mancini-Calbet)

•Q

W

(Martín-Plastino-Rosso)

•Q

LMPR

(Lamberti-Martín-Plastino-Rosso)

S. Amari, H. Nagaoka - Methods of information geometry, Trans. Math. Mon. v191, AMS, (2000) (Portesi, Lamberti, Plastino, Martín)

Desequilibrios

Dependen del tensor métrico en el espacio de

distribuciones

•Q

SDL

=(1-H) (Shiner-Davison-Landsberg)

•Q

LMC

(López Ruiz-Mancini-Calbet)

•Q

W

(Martín-Plastino-Rosso)

•Q

LMPR

(Lamberti-Martín-Plastino-Rosso)

P. W. Lamberti, M. T. Martín, A. Plastino & O. A. Rosso, Physica A 334 119–131 (2004) .

(7)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 37

Complejidad

• Entropía de Zipping: cuando menos

podemos comprimirlo con un programa

compresor más complejo.

• Complejidad Estadística: si no tiene

estructuras es más fácil de describir.

TREFEMAC 09 - LARRONDO 38

Mandelbrot

TREFEMAC 09 - LARRONDO 39

Ruido Atmosférico (random.org)

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

x

n

x

n+1 TREFEMAC 09 - LARRONDO 40

Plano Entropía Complejidad

1

1

ln

ln

N

i

i

i

H

p

p

N

C

QH

=

= −

=

Desequilibrio

[

]

0

( )

( )

1

1

,

2

2

2

e e e

P

P

Q P P

=

Q

S

+

S P

S P

(

)

(

)

0

1

2

N

ln

1

2 ln 2

ln

Q

N

N

N

N

+

= − ⋅

+

+

Índice

• Sistemas estocásticos, deterministas y

caóticos

• Herramientas de visualización

• Cuantificadores

• PDF, dinámica Simbólica y randomización

• Sistemas discretos y la evaluación del

(8)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 43

Dinámica Simbólica

1

2

x

x

x

M

{ }

x

A

1

2

N

a

a

a

M

TREFEMAC 09 - LARRONDO 44

Histograma Binario

(ó discretización MSB)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 45

Dinámica Simbólica

1

2

x

x

M

{ }

x

A

0

1

M

TREFEMAC 09 - LARRONDO 46

Dinámicas Simbólicas Causales

Agrupo los números en {n-uplas} y a cada

n-upla le hago corresponde un

símbolo.

Dinámica simbólica (causal) de

Bandt-Pompe

• C. Bandt, and B. Pompe, Phys. Rev. Lett. 88, 174102-1 (2002).

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

1 2 1 2 1 2 3 1 2 1

,

,...,

embedding dimension

,

,...,

1, 2,... !

,

,...,

1, 2,... !

,

,...,

1, 2,... !

N i D D N D N D N N D

X

x x

x

x

R

D

x x

x

D

x x

x

D

x

x

x

D

π

π

π

+ − − + −

=

M

ATENCION

Dinámica simbólica

PDF

PDF

H

Q

C

(9)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 49

ATENCION

Dinámica simbólica

PDF

PDF

H

Q

C

TREFEMAC 09 - LARRONDO 50 TREFEMAC 09 - LARRONDO 51

Plano CH

TREFEMAC 09 - LARRONDO 52

(10)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 55

Índice

• Sistemas estocásticos, deterministas y

caóticos

• Herramientas de visualización

• Cuantificadores

• PDF, dinámica simbólica y randomización

• Sistemas discretos y la evaluación del

muestreo

TREFEMAC 09 - LARRONDO 56

MUESTREO

Discretizar el tiempo en un sistema continuo

TREFEMAC 09 - LARRONDO 57

Aliasing

2

s

f

B

2

s

f

<

B

TREFEMAC 09 - LARRONDO 58

La FFT de un sistema muestreado

N 1 0 j=1 N 2 j 0 j=1

2

s (t)=1+

sin

2

s (t)=1+

g sin

j j

j

N

j

N

π

ω

ϕ

π

ω

ϕ

+

+

Espectro rectangular

Espectro gaussiano

(11)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 61 TREFEMAC 09 - LARRONDO 62

(12)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 67 TREFEMAC 09 - LARRONDO 68

TREFEMAC 09 - LARRONDO 69

Dos señales de igual espectro

N

3

j

0

j=1

N

2

j

0

j=1

2

s (t)=1+

g sin

0

2

s (t)=1+

g sin

j

j

N

j

N

π

ω

π

ω

ϕ

+

+

Espectro gaussiano

Espectro gaussiano

TREFEMAC 09 - LARRONDO 70

ALGUNAS PREGUNTAS

• ¿Las distinguimos a simple vista?

• ¿Distinguimos las bien muestreadas de

las mal muestreadas?

• ¿Las distinguimos por el espectro?

• ¿Distinguimos por el espectro las bien

muestreadas y las mal muestreadas?

• ¿Las distinguimos por la PDF?

• ¿Distinguimos por la PDF las bien

muestreadas y las mal muestreadas?

ALGUNAS PREGUNTAS

• ¿Las distinguimos a simple vista?

• ¿Distinguimos las bien muestreadas de

las mal muestreadas?

• ¿Las distinguimos por el espectro?

• ¿Distinguimos por el espectro las bien

muestreadas y las mal muestreadas?

• ¿Las distinguimos por la PDF?

• ¿Distinguimos por la PDF las bien

muestreadas y las mal muestreadas?

NO

SI

(13)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 73

ALGUNAS PREGUNTAS

• ¿Las distinguimos a simple vista?

• ¿Distinguimos las bien muestreadas de

las mal muestreadas?

• ¿Las distinguimos por el espectro?

• ¿Distinguimos por el espectro las bien

muestreadas y las mal muestreadas?

• ¿Las distinguimos por la PDF?

• ¿Distinguimos por la PDF las bien

muestreadas y las mal muestreadas?

SI

SI

SI C

ON

OC

EM

OS

EL

ES

PE

CTR

O D

E L

A S

AL

QU

E M

ED

IMO

S

TREFEMAC 09 - LARRONDO 74

ALGUNAS PREGUNTAS

• ¿Las distinguimos a simple vista?

• ¿Distinguimos las bien muestreadas de

las mal muestreadas?

• ¿Las distinguimos por el espectro?

• ¿Distinguimos por el espectro las bien

muestreadas y las mal muestreadas?

• ¿Las distinguimos por la PDF?

• ¿Distinguimos por la PDF las bien

muestreadas y las mal muestreadas?

TREFEMAC 09 - LARRONDO 75 TREFEMAC 09 - LARRONDO 76

ALGUNAS PREGUNTAS

• ¿Las distinguimos a simple vista?

• ¿Distinguimos las bien muestreadas de

las mal muestreadas?

• ¿Las distinguimos por el espectro?

• ¿Distinguimos por el espectro las bien

muestreadas y las mal muestreadas?

• ¿Las distinguimos por la PDF?

• ¿Distinguimos por la PDF las bien

muestreadas y las mal muestreadas?

NO

SI

ATENCION

El histograma “común” no

es sensible a la calidad

del muestreo

ATENCION

Ningún cuantificador que

dependa de la PDF inducida por

el histograma va a ser sensible

a la calidad del muestreo

(14)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 79

Muestreo ideal

TREFEMAC 09 - LARRONDO 80

Muestreo ideal

TREFEMAC 09 - LARRONDO 81 TREFEMAC 09 - LARRONDO 82

ATENCION

El máximo de C

BP

da un criterio

de muestreo

(15)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 85

ATENCION

Al aumentar la frecuencia de

muestreo los puntos se ubican

sobre la diagonal. Esa es la

razón de la reducción en C

BP

si

hay sobremuestreo

TREFEMAC 09 - LARRONDO 86

TREFEMAC 09 - LARRONDO 87 TREFEMAC 09 - LARRONDO 88

ATENCION

El vértice de C

BP

(no de la serie

sino de abs(FFT)) da la

frecuencia de Nyquist del

(16)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 91

CONCLUSIONES

• Sistemas estocásticos, deterministas y caóticos:

se distinguen mediante cuantificadores.

• Las herramientas de visualización ayudan pero

no definen. Funcionan por eliminación.

• PDF depende de la Dinámica Simbólica.

• El muestreo introduce aliasing.

• Mediante la CBP del abs(FFT) se puede

determinar la frecuencia de Nyquist.

• La máxima CBP de el muestreo óptimo

(CONJETURA)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 92

En progreso

• Biblioteca de ruidos:

– (mándele su ruido a Hilda !)

larrondo@fi.mdp.edu.ar

hildalarrondo@gmail.com

• Estudio del muestreo en sistemas caóticos

• Interacción Nf

s

 f

M

• Biblioteca de cuantificadores

TREFEMAC 09 - LARRONDO 93

Papers Teoría (2005,--)

“Statistical complexity measure of pseudorandom bit generators.” Autores: C.M.González, H.A. Larrondo, O.A.Rosso. Physica A 354 (2005) 281-300.

“Intensive Statistical Complexity Measure of pseudorandom bit generators.” H.A. Larrondo, C.M.González, M.T.Martín, A. Plastino, O.A.Rosso. Physica A 356 (2005) 133–138

“Random number generators and causality” H.A. Larrondo, M.T. Martín, C.M. González, A. Plastino and O.A. Rosso Physics Letters A, Volume 352, Issue 4-5, (2006) p. 421-425.

“Distinguishing noise from chaos” Autores: O. A. Rosso, H. A. Larrondo, M. T. Martín, A. Plastino and M. A. Fuentes. Physical Review Letters 99, (2007) p.

154102-154106.

TREFEMAC 09 - LARRONDO 94

Papers Teoría (2005,--)

“Extracting features of Gaussian self-similar stochastic processes via the Bandt and Pompe approach” O Rosso, O. A., Zunino, L., Pérez, D. G., Figliola, A., Larrondo, H. A., Garavaglia, M., Martín, M. T., Plastino, A. Physical Review E, vol. 76, Issue 6, id. 061114 (2007) .

“Randomizing nonlinear maps via symbolic dynamics”. L. De Micco, C. M. González, H. A. Larrondo, M. T. Martin, A. Plastino, O. A. Rosso. Physica A, vol 387, Issue 14, pp 3373-3383 (2008) 10.1016/j.physa.2008.02.037.

“Generalized Statistical Complexity Measure: A New Tool for Dynamical Systems” O.A.Rosso, H. A. Larrondo, M. T. Martin and A. Plastino. Aceptado en International Journal of Bifurcation and Chaos (2009).

“Quantifiers for randomness of chaotic pseudo random number generators”. L. De Micco, H. A. Larrondo, A. Plastino y O. A. Rosso. Aceptado para su publicación en Phylosophical Transactions A. (2009)

Papers Aplicaciones (2005,--)

Implementación de sistemas caóticos en dispositivos lógicos programables”. C.M. González, H.A. Larrondo, C.A. Gayoso, L.J. Arnone. XI Workshop IBERCHIP.

http://www.iberchip.org/iberchip2005/articles/6/6--cmgonzal-mdp01_FullText.pdf

(2005).

Implementación de un sistema caótico discretizado en dispositivos lógicos programables”. C.M. González, H.A. Larrondo, C.A. Gayoso, L.J. Arnone. Proceedings de XI Workshop on Information Processing and Control (RPIC) V 1, (2005) 270-275

“Medición de amplitud y frecuencia de señales periódicas inmersas en ruido” J. G. Fernández, R. M. Hidalgo, R. R. Rivera, W. A. Gemin, H. A. Larrondo. Proceedings de XI Workshop on Information Processing and Control (RPIC) V1 (2005) 687-690.

“Brain maturation changes characterized by Algorithmic Complexity (Lempel and Ziv Complexity)” J. G. Fernández, H. A. Larrondo, A. Figliola, E. Serrano, J. A. P. Rostas, M. Hunter and O. A. Rosso. American Institute of Physics Conference Proceedings 913, ISBN 913 978-0-7354-0421-2, 238 páginas, (2007) 196-202.

“Zipping characterization of chaotic sequences used in spread spectrum communication systems” L. De Micco, C. M. Arizmendi and H. A. Larrondo. AIP Conference Proceedings 913, ISBN 913 978-0-7354-0421-2 (2007) 139-144.

Papers Aplicaciones (2005,--)

“Acquisition of Low Frequency Signals Immersed in Noise by Chaotic Sampling and FIR Filters”, R. A. Petrocelli, L. De Micco, D. O. Carrica, H. A. Larrondo. WISP2007, ISBN 1-4244-0829-6/07/$20.00 © IEEE (2007) 351-356.

Constant EnvelopeWideband Signals using Arbitrary Chaotic Maps. L. De Micco, R. A. Petrocelli y H. A. Larrondo. XII Reunión de Trabajo en Procesamiento de la Información y Control, ISBN 978-987-1242-23-8, trabajo 381 2007.

“Muestreo caótico para la adquisición de señales de baja frecuencia con ruido de alta frecuencia” L. De Micco, R. A. Petrocelli, D. O. Carrica y H. A. Larrondo, Proceedings de la XII Reunión de Trabajo en Procesamiento de la Información y Control, ISBN 978-987-1242-23-8. Trabajo 335 (2007).

“Implementación en FPGA de un generador de ruido coloreado”. Autores: O. G. Zabaleta, L. De Micco, C. M. González, C. M. Arizmendi and H. A. Larrondo. Proceedings of Designer’s Forum. IV Southern Programmable Logic Conference (SPL08) ISBN 978-84-612-2376-3.pp 69-73 (2008).

“Ruido 1/fd implementado en FPGA”. O. G. Zabaleta, L. De Micco, C. M. González, C. M. Arizmendi, H. A. Larrondo. Proceedings de XV Iberchip. Ed. Fernando G. Tinetti, ISBN 978-987-9486-10-8. pp 141-154 (2009).

(17)

TREFEMAC 09 - LARRONDO 97

larrondo@fi.mdp.edu.ar

hildalarrondo@gmail.com

Mediante servidor FTP pueden

transferirnos señales para

analizar.

TREFEMAC 09 - LARRONDO 98

8°Taller Regional de Fisica Estadística y

Aplicaciones a la Materia Condensada

Trefemac 2010

Mar del Plata 4 al 6 de mayo de 2010

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Referencias

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