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ɛ > 0, exists n 0 tal que n > n 0, p > 0 f n+p f n (p) < ɛ, x I

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Academic year: 2021

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(1)

Teorema 1. Criterio de Cauchy para Convergencia Uniforme de sucesiones de funciones. Una sucesión de funciones {fn} denidas en I, converge uniformemente si y solo si

∀  > 0, exists n0 tal que n > n0, p > 0 ⇒ |fn+p− fn(p)| < , x ∈ I

Demostración. Supongamos que {fn} → f uniformemente en I. Dado  > 0 existe n0 tal que n > n0

implican |fn(x) − f (x)| <  entonces si n > n0 y p > 0 |fn+p(x) − fn(x)| = |fn+p(x) − f (x) + f (x) − fn(x)| ≤ |fn+p(x) − f (x)| + | − fn(x) + f (x)| <  2+  2 =  Reciprocamente si se cumple

∀  > 0, exists n0 tal que n > n0, p > 0 ⇒ |fn+p− fn(p)| < , x ∈ I

Dejando x jo la sucesión {fn(x)}cumple la condición de Cauchy y por tanto es una sucesión convergente,

el límite dependerá de x, podemos entonces asignar este valor f(x). Ahora bien jando n > n0 se tiene

que para todo x ∈ I

|fn(x) − f (x)| = l´ım

p→∞|fn+p(x) − fn(x)| < 

por lo tanto

|fn(x) − f (x)| <  si n > n0

Ejemplo Sea {fn(x)}una sucesión de funciones dadas por

fn(x) =

x

nx + 1 en [0, ∞)

Vamos a comprobar que fn(x)converge uniformente en [0, ∞), en este caso

fn(x) − fk(x) = x nx + 1 − x kx + 1 = x 2(k − n) (nx + 1)(kx + 1) entonces para k > n se tiene

|fn(x) − fk(x)| = x2(k − n) (nx + 1)(kx + 1) = x 2(k − n) (nx + 1)(kx + 1) ≤ x 2(k − n) nkx2

(2)

= k − n kn = 1 n  1 − n k  < 1 n por lo que dado  > 0 si escogemos n0>

1

 entonces para n > n0 se cumplira |fn(x) − fk(x)| < 

y por tanto la sucesión de funciones converge uniformenete en (0, ∞]

Series de Funciones

Denición 1. Si {fn}es una sucesión de funciones denidas en un intervalo I, decimos que {Sn(x)}es

una serie de funciones, donde

Sn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + · · · + fn(x)

A fn(x)se le llama el enésimo término de la serie y a Sn(x)se le llama suma parcial enésima de la serie.

Denición 2. Decimos que la serie de funciones

X

n=1

fn(x)

denida en un intervalo I, converge uniformemente en I, si la sucesión de funciones {Sn(x)} converge

uniformemente en I. esto es ∀  > 0 existe n0 tal que si n > n0 entonces

|Sn(x) − s(x)| < 

esto es ∀  > 0 existe n0 tal que si n > n0 entonces

∞ X n=n0+1 fn(x) < 

Teorema 2. Si se tiene una serie

X

n=1

fn(x)que converge uniformemente en I y cada término de la serie

se multiplica por una función acotada ϕ en I, entonces la serie

X

n=1

ϕ(x)fn(x)

(3)

Demostración. Como la serie

X

n=1

fn(x) converge uniformemente, entonces dado  > 0 existe n0 tal que

si n > n0 entonces |Sn(x) − s(x)| <  M es decir ∞ X n=n0 fn(x) <  M en consecuencia M ∞ X n=n0 fn(x) < 

al ser ϕ(x) acotada, existe M tal que −M < ϕ(x) < M de manera que ∞ X n=n0 ϕ(x)fn(x) = |ϕ(x)| ∞ X n=1 fn(x) ≤ M ∞ X n=n0 fn(x) <  por lo tanto la serie

X

n=n0

ϕ(x)fn(x)

converge uniformemente en I.

Denición 3. Dada una serie de funciones

X

n=1

fn(x)en I, decimos que una serie ∞

X

n=1

Mndonde Mn> 0

son números positivos domina la serie de funciones si

|fn(x)| ≤ Mn ∀ n y ∀ x ∈ I

A la serie

X

n=1

Mn se le llama serie dominante y a la serie ∞

X

n=1

fn(x)se le llama serie dominada.

Teorema 3. Prueba M de Weirstrass Si

X

n=1

fn(x) es una serie de funciones y ∞

X

n=1

Mn es una serie

dominante convergente de la serie de funciones, entonces ésta converge uniformemente Demostración. Como la serie numérica

X

n=1

Mn es convergente, entonces dado  > 0 existe n0 tal que si

n > n0 entonces se cumple ∞ X n0+1 Mn < 

(4)

es decir Mn0+1+ Mn0+2+ · · · < , ∀n > n0, ∀ x ∈ I por lo tanto |fn0+1+ fn0+2+ · · · | < , ∀n > n0, ∀ x ∈ I de manera que ∞ X n0+1 fn(x) < , ∀n > n0, ∀ x ∈ I

es decir la serie de funciones converge uniformemente Ejemplos Pruebe que la serie de funciones

X

n=1

sen nx

n2 converge uniformemente

Solución Se tiene que

sen nx n2 ≤

1

n2, ∀ x ∈ I

por lo tanto la serie

X

n=1

1 n2

es una serie dominante de la serie de funciones y sabemos que la serie

X

n=1

1

n2 converge y en

conse-cuencia la serie de funciones converge uniformemente Ejemplos Pruebe que la serie de funciones

X

n=1

x

1 + n4x2 converge uniformemente

Solución Se tiene que Derivando fn(x)se tiene

fn0(x) = (1 + n4x2) − 2n4x2 (1 + n4x2)2 = 1 − n4x2 (1 + n4x2)2 de donde fn0(x) = 0 ⇔ 1 − n4x2 (1 + n4x2)2 = 0 ⇔ 1 − n4x2= 0 ⇔ x = 1 n2

entonces el valor máximo de fn(x)es

fn  1 n2  = 1 n2 1 + n4 1 n2 2 = 1 2n2

(5)

por que la serie

X

n=1

1

2n2 es una serie dominante de la serie de funciones y además es convergente,

por lo tanto la serie de funciones converge uniformemente por lo tanto la serie

X

n=1

1 n2

es una serie dominante de la serie de funciones y sabemos que la serie

X

n=1

1

n2 converge y en

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