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Existencia de un equilibrio eficiente para economías de intercambio puro utilizando el teorema de Hahn Banach

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Academic year: 2020

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(1)UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA. "EXISTENCIA DE UN EQUILIBRIO EFICIE·NTE PARA ECONOMIAS DE INTERCAMBIO PURO UTILIZANDO EL TEOREMA DE HAHN BANACH" Tesis presentada por:. Bach. Mat. JOSÉ LUIS TANTAJULCA MESONES Bach. Mat. DEYSI MARISOL ZEÑA ZEÑA. PARA OBTENER EL TÍTULO PROFESIONAL DE. Licenciado en Matemática. ASESOR:. LIC. MAT. ELMER LLUEN CUMPA. Lambayeque • Perú. 2015.

(2) UNIVERSIDAD NACIONAL "PEDRO RUIZ GALLO" FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA. "EXISTENCIA DE UN EQUILIBRIO EFICIENTE PARA ECONOMIAS DE INTERCAMBIO PURO UTILIZANDO EL TEOREMA DE HAHN BANACH" Tesis presentada por:. Bach. Mat. JOSÉ LUIS TANTAJULCA MESONES. -. -. Bach. Mat. DEYSI MARISOL ZENA ZENA PARA OBTENER EL TÍTULO PROFESIONAL DE. Licenciado en Matemática Asesor:. LIC. MAT. ELMER LLUEN CUMPA. Lambayeque - Perú. 2015.

(3) Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo Escuela Profesional De Matemática Los firmantes, por la presente certifican que han leído y recomiendan a la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas la aceptación de la tesis titulada "Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach", presentada por la Bach. Mat. José Luis Tantajulca Mesones y por el Bach.Mat. Deysi Marisol Zeña Zeña, en el cumplimiento parcial de los requisitos necesarios para la obtención del título profesional de Licenciado en Matemáticas.. Mag. Ade7o Perez Herrera Secretario del Jurado. Vocal del Jurado. 23 de Setiembre del 2015.

(4) Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Escuela Profesional de Matemática. "Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach". Lic. Mat. Elmer Lluen Cumpa Asesor. sé Luis Tantajulca Mesones Autor. Autor. Lambayeque - Perú. 2015.

(5) AGRADECIMIENTO En pnmer lugar agradecemos a Dios por bendecirnos y guiarnos. A nuestras familias por sus esfuerzos, a la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo por darnos la oportunidad de estudiar en sus aulas y formarnos profesionalmente. Así mismo agradecemos a nuestros profesores porque durante la instrucción universitaria han aportado con un granito de arena a nuestra formación..

(6) DEDICATORIA Con todo nuestro cariño a nuestros padres, porque creyeron en nosotros y nos apoyaron, dándonos ejemplos dignos de superación y entrega, porque en gran parte gracias a ellos, hoy podemos ver alcanzada nuestra meta. Va para ellos, por lo que valen, porque admiramos sus fortalezas. A nuestros maestros que en este andar por la vida, influyeron con sus lecciones y experiencias en forinarnos como personas de bien y preparadas para los retos que pone la vida, a ellos les dedicamos cada una de las páginas de esta tesis..

(7) /. Indice general. l. BASE TEÓRICA. 1.1. Conjuntos . . . . . . . . . 1.1.1. Conjunto . . . . .. 3 6 6. 1.1.2. Relaciones binarias 1.1.3. Relaciones de equivalencia y particiones 1.2. Preferencias . . . . . . . . . . .. 7 7 8. 1.3. Convexidad de las preferencias . . . . . . . . . . 1.4. Continuidad de las preferencias . . . . . . . . . 1.5. · Representación de preferencias mediante funciones . 1.6. Espacios topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. EQUILIBRIO WALRASIANO. 12 14 17 20. 26. 2.1. Elementos maximales de una preferencia: La demanda.. 26. 2.2. Conjuntos Compactos . . . . . . . . 2.3. Existencia y unicidad del maximal . · .. 27 29. 2.4. Funciones de demanda . . . . . . . 2.4.1. Región presupuestaria . . . . 2.4.2. Propiedades de la demanda . 2.4.3. Continuidad de la función demanda . 2.4.4. La demanda agregada y el agente representativo . 2.5. La Función Exceso de Demanda . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Propiedades de la función exceso de demanda . . 2.5.2. Equilibrio competitivo y el Teorema del punto Fijo de Brouwer . 2.6. Existencia del Equilibrio Walrasiano . . . .. 30 31 35 36 38 39 39 40 47. 3. ASIGNACIONES PARETO OPTIMALES. 50. 3.1. Óptimo de Pareto . . . . . . . . . . . . .. 50. 3.1.1. El Lema de Zorn . . . . . . . . .. 51. 3.1.2. Existencia del Óptimo de Pareto. 52. I.

(8) .,..:;:_~:;;::.G~N . \_ ,, / / o-.Y. l(~/. '). r. .· ~~í\L\.. ~t~~:~;',, t' 3020 Teoremas del bienestar 30201. Primer Teorema del bienestar 302020 El Teorema de Hahn-Banach 3.2030 Segundo Teorema del bienestar 303. Una aplicación al cálculo de Óptimos de Pareto en una economía de intercambio puro 3.40 Un ejemplo ilustrativo de redistribución de la riqueza mediante el Segundo Teorema del Bienestar o. o. o. o. o. o. o. 53. o. 54. 55. o. o. o. o. •. •. •. •. o. •. o. •. o. •. •. o. o. •. o. o. •. •. •. •. •. o. o. •. •. 62. •. 66. 69. Conclusiones. 75. Bibliografía. 76.

(9) Introducción En esta tesis, se hace el estudio de la existencia de un equilibrio eficiente para Economías de Intercambio Puro (economía en la solo intervienen los bienes y los consumidores, sin participación de los productores) utilizando el Teorema de Hahn Banach; en el desarrollo de la tesis se ha profundizado en los resultados mediante los cuales se determinan las condiciones para la existencia tanto del equilibrio Walrasiano como para la existencia del óptimo en el sentido de Pareto, han sido tratados con más detalle, mostrando ejemplos para las definiciones, que ayudaran al lector en la comprensión de la teoría presentada a lo largo de este trabajo, como por ejemplo se demuestran los teoremas del punto fijo de Brouwer, así también teorema de Hahn Banach su aplicación del teorema en su forma geométrica en la demostración del llamado segundo teorema del bienestar. La tesis se divide en tres capítulos: En el capítulo 1, se presentan las definiciones y resultados básicos, tanto de la teoría económica como .la teoría matemática, que nos permitirán entender de mejor manera la teoría que desarrollaremos. Mostraremos la posibilidad de ordenar un conjunto cualquiera, se estudia las preferencias en especial las preferencias racionales, las preferencias convexas, la continuidad de las preferencias, la representación de las preferencias a través de funciones y las preferencias sobre los espacios vectoriales topológicos. En el capítulo 2, se estudia la eficiencia paretiana de los equilibrios Walrasianos y en general el concepto de asignación de recursos Pareto optimal o Pareto eficiente, la función demanda y sus propiedades, los conjuntos compactos y sus propiedades más importantes, la existencia y unicidad del elemento maximal para una relación de preferencias semicontinua superiormente, la continuidad de la función demanda, la función de exceso de demanda y el teorema del punto fijo de Brouwer y la existencia del equilibrio Walrasiano mediante la aplicación del teorema del punto fijo de Brouwer. En el capítulo 3, se estudia los llamados Teoremas del Bienestar Económico, dichos 1.

(10) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach teoremas relacionan el concepto de equilibrio Walrasiano y el concepto de optimalidad en el sentido de Pareto, la existencia y propiedades de los llamados óptimos de Pareto, cuya existencia se demuestra como consecuencia del Lema de Zorn, el primer teorema del bienestar y el teorema de Hahn-Banach así como su aplicación en la demostración del llamado segundo teorema del bienestar. Finalmente mostramos dos ejemplos ilustrativos de la teoría desarrollada en este trabajo.. 2.

(11) Capítulo 1 - - - - - -. BASE TEÓRICA En este capítulo, revisaremos de modo rápido, las definiciones y resultados básicos, tanto de la teoría económica como matemática, que nos permitirán entender de mejor manera, la teoría que desarrollaremos en el siguiente capítulo, iniciaremos dando las siguientes definiciones de la teoría económica. Iniciemos definiendo a los llamados agentes económicos.. Definición 1.1. Llamaremos agentes económicos a aquellas entidades, sean estas personas u organizaciones, responsable de brindar o consumir, productos y servicios, es decir son los actores que intervienen en la economía, bajo un determinado sistema económico. Estos actores toman decisiones, en la búsqueda de la optimización de su bienestar. Los tres grandes tipos de agentes económicos son: las familias, las empresas y el estado.. En la búsqueda de este bienestar estos agentes económicos hacen uso de los bienes y servicios que definimos a continuación. Definición 1.2. Los bienes son objetos materiales, que por sus características, tienen la capacidad de satisfacer·necesidades humanas. Son ejemplos de bienes la comida, la ropa, casas, automóviles, etc. Definición 1.3. Los servicios es el conjunto de actividades, que buscan responder a las necesidades de un cliente o de alguna persona común. Son ejemplos de servicios, la educación, la electricidad, el agua, la telefonía, televisión, etc. Este intercambio, tanto de bienes y servicios, entre los distintos actores de una economía, se da en los llamados mercados.. 3.

(12) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. Definición 1.4. Se llama mercado a aquel conjunto de personas y orgamzacwnes, que participan de alguna forma en la compra y venta de los bienes y servicios o en la utilización de los mismos. Los mercados de abarrotes, de automóviles, de petróleo, de medicina, la bolsa de valores, son solo algunos ejemplos de mercados. Los mercados forman parte de lo que se denomina una economía, que definimos a continuación. Definición 1.5. La Economía es la ciencia conformada por los diversos agentes económicos que forman parte de un mercado. Es decir, es una ciencia social que estudia los procesos de extracción, producción, intercambio, distribución, y consumos de bienes y servicios. Se divide en dos ramas: La Microeconomía, estudia las diversas formas de comportamiento en las decisiones individuales de los agentes económicos. La Macroeconomía, analiza los procesos microeconómicos, observando una economía en su conjunto y con variables agregadas (tasas de desempleo, tasas de salarios, producción total, demanda total, etc.) Las llamadas canastas de consumo son necesarias para estudiar el comportamiento en la elección de los agentes económicos. Definición 1.6. Las canastas de consumo consisten en una colección de los bienes y servicios sobre los cuales se realiza una elección. PÓr ejemplo, las distintas canastas navideñas ofrecidas por los comercios de la ciudad de Chiclayo. Los agentes económicos, desean maximizar su satisfacción al elegir una determinada canasta de consumo, para lo cual es de vital importancia, conocer sus preferencias, cuya definición se da a continuación. Definición 1.7. Las preferencias, se llama así a una elección real o imaginaria entre ciertas alternativas y la posibilidad de ordenarlas. Es decir son aquellos criterios que sirven para ordenar, en términos de satisfacción, las distintas combinaciones de bienes, que conforman las canastas de consumo. Entonces es natural preguntarse ¿Cómo se les llama, en este contexto, a quienes realizan estas elecciones? La respuesta se da en la siguiente definición.. 4.

(13) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. Definición 1.8. Se llama Agente económico racional al que elige de acuerdo con sus preferencias entre su conjunto de alternativas. Según Krugman y Wells, un agente económico racional es "un consumidor que sabe qué es lo que quiere y que saca el máximo partido de las oportunidades de que dispone" Un actor importante en el marco de este estudio es el consumidor.. Definición 1.9. Llamaremos consumidor a aquel agente económico racional, que elige comprar una serie de bienes sobre los que tiene definidas unas preferencias a un precio sobre el que no puede influir y gastando para ello una renta limitada. Puesto que el consumidor tiene una renta limitada, existen canastas de bienes que le son inaccesibles, motivando así la siguiente definición.. Definición 1.10. Se llama espacio de consumo al conjunto de canastas de bienes que le son accesibles al consumidor. Como en este trabajo estamos interesados en una economía muy particular llamada. Economía de intercambio puro, damos a continuación su definición. Definición 1.11. Se llama Economía de intercambio puro a la economía en la que solo intervienen bienes y consumidores, es decir no hay participación de las empresas (productores).. Por ejemplo, en las comunidades andinas se intercambian los bienes producidos por sus integrantes, sin participación de empresas, siendo un claro ejemplo de una economía de intercambio puro, por lo tanto estudiar este tipo de economías ayudara a entender cómo ayudar a estas comunidades a integrarse a la economía nacional, con lo cual a pesar de la mirada centralista de la mayoría de nuestras autoridades , este tipo de economías, tienen trascendencia en el desarrollo del país, ya que si este tipo de economía desaparece, originará una migración a las ciudades costeñas, originando un problema social y económico a estas ciudades. En las siguientes secciones, algunas de las definiciones anteriores se redefinirán de modo matemático, es decir relacionaremos la teoría matemática y la teoría económica, mostrando así que el lenguaje matemático es una herramienta muy útil para los economistas y en general para otras ciencias sociales.. 5.

(14) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. 1.1.. Conjuntos. Esta sección está dedicada a mostrar la posibilidad de ordenar un conjunto cualquiera. La herramienta principal para esto será el concepto de relación binaria. Relacionaremos este orden con el comportamiento selectivo de un agente económico que debe elegir entre diferentes canastas de consumo aquellas que prefiere. Veremos que suponiendo racionalidad en el momento de elegir, cada agente introducirá un orden en su espacio de consumo.. 1.1.1.. Conjunto. Es la colección de objetos de cualquier naturaleza. Suponemos la existencia de al menos un conjunto no vacío al que representaremos por A, esto es, la existencia de una colección de objetos y una regla que permite decidir si un objeto x cualquiera pertenece, o no a la referida colección. Notaremos como x E A la relación x pertenece al conjunto A: Si fuera necesario podemos pensar en este conjunto como el conjunto de bienes en los cuales un determinado agente hace una elección. Producto cartesiano: Sean A y B dos conjuntos, se denota al producto cartesiano como AxB al conjunto de pares ordenados (a, b) con a E A y bE B. Ejemplo 1.1. Dado el siguiente cuadro de las opciones de compra de dos bienes: arroz y azúcar.. Cuadro 1.1: Cantidad de azúcar en kg. Cantidad de arroz en kg. 1. Opción 1. 2. 5. Opción 2. 1. 4. Opción 3. 1. 11. Opción 4. 5. 5. Opción 5. 5. 12. Opción 6. 12. 5. Opción 7. 1. 7. Se denota:. 6.

(15) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. A= Las Cantidades de azúcar en kg.=. g, 1, 1, 5, 5, 12, 1}. B =Las Cantidades de arroz en kg. = {5, 4, 11, 5, 12, 5, 7} Sea X al conjunto formado las opciones de compra, se tiene que: X={(~, 5), (1, 4), (1, 11), (5, 5), (5, 12), (12, 5), (1, 7)}. 1.1.2.. e AxB.. Relaciones binarias. Con objeto de definir en un conjunto cualquiera una relación de orden introduciremos a seguir, el concepto de relación binaria. Definición 1.12. Una relación binaria lJ! en AxB es cualquier subconjunto de AxB. Es decir lJ!. e AxB.. Es decir, una relación binaria lJ! quedara determinada, si tenemos una regla de correspondencia, que nos permita decidir si dada una pareja (a, b), ella pertenece o no al subconjunto que define la relación \ll.. Definición 1.13. Considerando el ejemplo (1 · 1). Defínase lJ! = { (a, b) E AxB : a = 1} es una relación binaria en AxB explícitamente, de acuerdo a su regla de formación, se tiene que lJ! viene dada por: lJ!. = {(1, 4), (1, 11), (1, 7)} e AxB. Definición 1.14. Una relación binaria t en XxX es un preorden en X si ella es: • Reflexiva, si (a, a) Et Va E X. • Transitiva, si (a, b) Et 1\(b, e) Et entonces (a, e) Et Va, b, e E X. Definición 1.15. Diremos que una relación binaria tes completa, si para todo a, bE X se verifica que:. (a, b) Et o(b, a) Et NOTA: Cuando un preorden es completo; diremos simplemente preorden completo.. 1.1.3.. Relaciones de equivalencia y particiones. Una relación binaria lJ! en X xX , se define una relación de equivalencia si y solamente si satisface las siguientes propiedades: l. Reflexiva, si (a, a) E \ll, Va E X.. 7.

(16) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. 2. Transitiva, si (a, b) 1\ (b, e) E 'l!, entonces (a, e) E \ll. 3. Simétrica, si (a, b) E \ll, entonces ( b, a) \ll • Diremos que una relación binaria \ll es Antisimétrica, s1 cada vez que (a, b) E 'l!A(b,a) E \ll. Entonces a= b. • Entenderemos como Relación de Orden (solo diremos orden para abreviar) en un conjunto a una relación \ll: que es reflexiva, transitiva y Antisimétrica.. Definición 1.16. Una relación de equivalencia \ll divide al conjunto en clases disjuntas tales que la unión de ellas es todo el conjunto. Estas clases se llaman clases de equivalencia cada una de ellas queda definida a partir de un elemento arbitrario a de X; siendo la clase de a , que denotaremos por la, el conjunto de todos los elementos de X que están en relación con a , es decir: la= {x E X: (x, a) E 'll}. 1.2.. Preferencias. Las preferencias es una forma de ordenación del "gusto" del consumidor. Es decir, es cuando el agente económico debe seleccionar bienes, dentro de lo que llamaremos su conjunto de consumo (conjunto de opciones de compra, es decir su plan de consumo), al que representaremos por X, teniendo en cuenta sus gustos. Veamos a continuación un ejemplo de espacio de consumo.. Ejemplo 1.2. Sea X definida como en el ejemplo 1 · 1 es decir 1. X= {( ,5),(1,4),(1,11), (5,5),(5, 12), (12,5),(1, 7)}. 2. Es el ·espacio de consumo de un consumidor de azúcar y arroz.. NOTA: En este espacio de consumo las preferencias del agente, a las que representaremos por t; introducen un preorden completo.. Definición 1.17. Una preferencias tes una relación binaria sobre XxX. Ejemplo 1.3. Sea X como en el ejemplo 1 · 2 es decir:. 8.

(17) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. _X= {al= (. 1. 2,5), a2 = (1, 4), a3 = (1, 11), a4 = (5, 5), a5 = (5, 12), a6 = (12, 5), a7 = (1, 7)}. El consumidor tiene preferencia sobre aquellas canastas que contengan exactamente 1kg de azúcar, luego este consumidor define sobre XxX la siguiente relación. Nos interesa limitar nuestro estudio a un tipo de preferencias particulares que llamaremos preferencias racionales, formalmente se tiene la siguiente definición.. Definición 1.18. Se dice que una preferencia t es racional, si ella es completa, reflexiva y transitiva, es decir t es un preorden completo. Ejemplo 1.4. Si se tienen dos canastas cada una, con dos tipos de bienes (azúcar y arroz), digamos que, la primera canasta contiene 10 Kg. de arroz y 10 Kg. de azúcar, mientras que la segunda canasta contiene 5 Kg. de arroz y 7 Kg. de azúcar, si ambas canastas tienen el mismo precio, lógicamente un consumidor elegirá la primera canasta, este es un ejemplo de una preferencia racional, ya si se escribe en términos matemáticos como sigue: Sea X = R! , escribimos: (x 1, x 2 ) t (y1, y2 ) +-----+ x1 2:: y1 entonces como mostramos a continuación se cumple los requisitos de la definición de preferencia racional.. Demostración. Reflexividad , como XI E R - t por reflexividad de 2:: enR : XI 2:: De donde: (x1, x2) t (x1, x2).. XI. 9.

(18) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. El siguiente ejemplo es un orden completo, el cual es llamado orden lexicográfico, este tiene que ver con el orden en que se busca una palabra en el diccionario, por ejemplo, las palabras "pericote" y "periscopio", coinciden hasta la silaba "peri" pero como la letra "e" esta antes que la letra "s", entonces en el diccionario primero aparece la palabra "pericote" antes que la palabra "periscopio". Lo anterior se formaliza matemáticamente en el siguiente ejemplo.. Ejemplo 1.5. Sea X = R~, escribimos:. Demostración. Reflexividad. Denotemos F = falsedad; P = proposición. Como x 2 E R entonces por reflexividad de :S en R : x 2 :S x 2 Y por reflexividad de la igualdad en R : x 1 = x 1 , y como: F V P. =P. entonces. Se tiene. 10.

(19) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. Entonces. (xi < ZI). V. XI = ZI 1\ X2 :S;. Z2. De donde: (xi, x2) !'::: (zi, z2). Entonces. Pero:. • [(xi < YI) 1\ (YI < xi)]. = Contradicción. De donde: Por lo tanto !'::: es un orden completo, llamado orden lexicográfico.. Canasta de bienes: Sea X e R1 un conjunto de consumo, se llama canasta de bienes a cualquier elemento del conjunto X, la cual se representará por x = (xi, x 2, ... , x¡), donde cada Xi es un real, si X = R~ entonces xi será un real no negativo, que indica la cantidad del bien i = 1, 2, ... , l disponible en la canasta. 11.

(20) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. Ejemplo 1.6. Si se tiene una canasta conformada por dos bienes, azúcar y arroz y de cada bien se tiene 20 kg de arroz y 25 kg de azúcar, entonces esta canasta se representa por el vector x = (20, 25). NOTA: Dadas dos canastas x e y ambas pertenecientes al conjunto de consumo X, se sabe que el consumidor puede ordenarlas, según sea más deseables o no deseable en el modo siguiente: El consumidor puede decidir que la canasta x es "estrictamente mejor" que la otra canasta y, o que le puede ser "indiferente" una canasta de la otra o por ultimo considerar que la canasta x es "tan buena como" la otra canasta y. Formalmente se tienen las siguientes definiciones: Definición 1.19. La expresión "x es al menos tan bueno como y", que se denota por t, se define como sigue: x t y o bien (x, y) Et. Definición 1.20. La expresión "x es indiferente con y", que se denota por x,......, y, se define como sigue: x ,. . . , y B (x, y) Et 1\(y, x) Et. Es decir ambas canastas satisfacen al consumidor. Definición 1.21. Diremos que "x es estrictamente preferido a y"; lo que denotaremos por x >- y, se define como sigue x >- y; si (x, y) E t pero no se cumple (y, x) E t. NOTA: Obsérvese que una relación de preferencia, define un orden completo sobre el espacio de las clases de indiferencia.. 1.3.. Convexidad de las preferencias. Dadas dos canastas cualesquiera en la misma clase de indiferencia, determinar cuándo una combinación de ellas es al menos tan buena como cada una de las anteriores hace necesario el estudio de los conjuntos convexos. Básicamente esta definición se refiere al hecho de tener un conjunto la propiedad de que si dos puntos cualesquiera pertenecen a él, entonces el segmento de recta que los une (la combinación convexa de ellos) pertenece enteramente al conjunto. Formalmente se tiene la siguiente definición. Definición 1.22. Decimos que un conjunto X es convexo si y solamente si, para todo ,\E. [0, 1], siendo x e y elementos de X se cumple que ,\x + (1- ,\)y E X.. Sea X convexo, decimos que una relación de preferencia t sobre X es: • Convexa, si cada vez que x t z e y t z y para todo O < ,\ < 1 se tiene que:. AX + (1 -,\)y. t. z.. 12.

(21) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizandÓ el Teorema de Hahn Banach. • Estrictamente Convexa, si cada vez que x t z e y t z y para todo O < ). < 1 se tiene que; >.x + (1- >.)y >- z . La convexidad en las preferencias representa el gusto por la diversidad, dadas dos canastas cualesquiera en la misma clase de indiferencia, una combinación convexa de ellas es al menos tan buena como cada una de las anteriores para el agente con preferencias convexas, y estrictamente preferible para un agente con preferencias estrictamente convexas.. Ejemplo l. 7. La preferencia del ejemplo (1· 4) la cual fue definida sobre. (x1,x2) t (YI,Y2). B. X= R¡, por:. X1?: Y1 es convexa. Demostración. Sean>. E [0, 1] y (x1, x2) de donde:. t (z1, z2) 1\ (y1, Y2) t (z1, z2),. (y1, Y2) t (z1, z2). B. Y1 ?: Z1 ---+ (1- >.)yl ?: (1- >.)zl. Luego: >.x1 ?: >.z11\ (1- >.)yl ?: (1- >.)z1 ---+ >.x1. + (1- >.)yl ?: >.z1 + (1- >.)z1. NOTA: Un punto importante a resolver es el relacionado con las modificaciones en el comportamiento de un agente ocasionadas por modificaciones pequeñas en las canastas de bienes que le son ofrecidas. Supongamos que un agente prefiere estrictamente una canasta x a una canasta y: ¿Sera que si los componentes de x se modifican poco, la canasta x' conformada a partir de esta modificación seguirá siendo estrictamente preferida a la canasta y? La respuesta depende ciertamente de las características de las preferencias y de lo que entendamos por pequeñas modificaciones. Para responder en forma rigurosa a esta pregunta definiremos preferencias continuas en espacios topológicos. A los efectos de hacer estas definiciones más intuitivas comenzaremos trabajando en espacios métricos, los que como veremos son un caso particular de los espacios topológicos.. 13.

(22) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. Preferencias que impliquen comportamiento similar frente a modificaciones pequeñas de las canastas las llamaremos continuas. De éstas nos ocuparemos en las siguientes secciOnes.. 1.4.. Continuidad de las preferencias. La noción de distancia es la que nos permite decidir sobre la proximidad de distintos objetos. En nuestro caso la usaremos para definir lo que entenderemos por "proximidad" entre canastas de bienes. A efectos de ponernos de acuerdo sobre proximidades relativas entre elementos de un conjunto cualquiera precisaremos introducir una noción de distancia que nos sea común, esto lo haremos definiendo en un conjunto cualquiera X; una función da la que llamaremos métrica o distancia, y al par (X, d) lo llamaremos Espacio Métrico.. Definición 1.23. Sea X es un conjunto cualquiera no vacío se dice que una función real d : X xX --t R , es una métrica sobre el conjunto X si satisface las siguientes condiciones: l. d(x, y) ~O, 'v'x, y E X. 2. d(x, y) =O, si y solamente si x =y. 3. d(x, y)= d(y, x), 'v'x, y E X 4. d(x, z) :::; d(x, y)+ d(y, z), 'v'x, y, z E X Al par (X, d) se le llama espacio métrico.. Ejemplo 1.8. Sea X = Rn para x = (xl, X2, ... , Xn), y = (yi, Y2, ... , Yn) E Rn, definamos d : Rn x Rn ----t R, por d(x, y) = JO:=~=l Jxi- YiJ 2 ), no es difícil verificar que (Rn, d) es un espacio métrico. Volvamos ahora a las relaciones de preferencia, nuestro objetivo es analizar cuando dos canastas de bienes próximas en su composición lo están en los gustos del agente. Diremos que:. Definición 1.24. (Semicontinua Superior): Una preferencia es semicontinua superior si, 'v'x E X. e Rn. el conjunto Sx =y E X :y t x es cerrado.. 14.

(23) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. NOTA: La definición anterior implica que el complemento de Sx es abierto. Es decir que si un elemento z E X es tal que x es estrictamente preferido a z, entonces elementos próximos a z; en el sentido de la métrica definida sobre X; son estrictamente menos preferidos que x. Ejemplo 1.9. Consideremos el conjunto de consumo para un consumidor formado por canastas que contienen arroz, azúcar y menestras, las cantidades de cada bien, expresadas en kilogramos, se muestran en la siguiente tabla.. Cuadro 1.2: Arroz. Azúcar. Menestras. 10. 5. 6. 8 12. 4. 5 8. Canasta 1 =a Canasta 2 = b Canasta 3 =e. 9. Del cuadro se observa que a= (10, 5, 6), b = (8, 4, 5), e= (12, 9, 8), entonces el conjunto de consumo está formado por estas tres canastas, es decir:. X= {a,b,e} Dotemos a X de la siguiente topología,. T. = {c/J, X, b, e, b, e}. Dadas dos canastas x, y E X diremos que (x, y) Et+----7 xi;::: Yi, i. = 1, 2, 3.. Consideremos la siguiente preferencia del consumidor sobre X xX <p. ={(a, a), (a, b), (e, a), (e, b)}. e XxX. De donde. i) Sa ={y. E. X: y t a}= {a, e}= {bY entonces Sa es cerrado en. ii) sb ={y. E. X: y t b} ={a, e}= {bY entonces sb es cerrado en T.. iii Se= {y E X: y te}= cjJ = xe entonces Se es cerrado en. T.. T.. De (i), (ii) e (iii) se sigue que <p satisface la condición de la definición de semicontinuidad superior, por la tanto <p es semicontinua superior.. 15.

(24) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. Definición 1.25. (Semicontinua Inferior): Una preferencia es semicontinua inferior si, Vx E X e Rn el conjunto Lx = {y E X : x t y} es cerrado.. NOTA: Análogamente, la definición anterior implica que el conjunto de las canastas de bienes estrictamente preferidas a x; {y E X : y t x} es un conjunto abierto. Esto es si una canasta de bienes y es preferida a la canasta x entonces elementos en las proximidades de y seguirán siendo preferidas estrictamente a x.. Ejemplo 1.10. Sean X, T, a, b, e y r.p como en el ejemplo (1 · 9) entonces se tiene que.. i) La= {y E X: a t y}= {a,b} = {eY entonces La es cerrado en ii) Lb = {y. E X :bt. y} =. <P. =. T.. xe entonces Lb es cerrado en T.. iii) Le= {y E X: e t y}= {a,b} = {e}e entonces Le es cerrado en. T.. De (i), (ii) e (iii) se sigue que r.p satisface la condición de la definición de semicontinuidad inferior, por la tanto r.p es semicontinua inferior.. Definición 1.26. Cuando una preferencia verifica ambas condiciones, es decir es semicontinua superior y semi continua inferior, decimos que la preferencia es continua. Ejemplo 1.11. Sean X, T, a, b, e y r.p como en el ejemplo (1 · 9) entonces por ejemplos (1 · 9) y (1 · 10) se tiene que r.p es semicontinua superior y semicontinua inferior por lo tanto r.p es una preferencia continua. Sin embargo no todas las preferencias son continuas como se muestra en el siguiente ejemplo.. Ejemplo 1.12. El orden lexicográfico no es una preferencia continua. Demostración. X= R!, x = (x1, x2), y= (yl, Y2), escribimos: (x1, x2) t (y1, Y2) +---+ x1 < Y1 V (x1 = Y1 1\ X2 ::::; Y2). De donde: Consideremos el caso cuando. Es claro, del grafico que Sx no es un conjunto cerrado, puesto que si elegimos r >. d(z, FrSx), entonces cualquier bola, con centro en un punto de Rn- Sx y radio r, no estará totalmente contenida en Rn- Sx, luego Rn- Sx no es abierto, de donde Sx no es cerrado.. 16.

(25) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach Y. =yz. Figura 1.1: Gráfico del conjunto Sx Luego C:::: no es preferencia semicontinua superiormente, por lo tanto rencia continua.. 1.5.. C::::. no es una prefe-. Representación de preferencias mediante fun-. .. c1ones La posibilidad de representar preferencias mediante funciones abre las posibilidades de emplear en la teoría económica las herramientas de la teoría de funciones y del análisis funcional. De este modo la teoría económica puede entonces valerse de poderosos instrumentos matemáticos para resolver problemas que le son propios a ella. Comenzaremos definiendo el concepto de función.. Definición 1.27. Sean A y B dos conjuntos. La correspondencia f que asocia cada elemento x E A con un único elemento f (x) E B es llamada una función. Lo que escribiremos como. f:A---+B. NOTA: El subconjunto {a E A: f(a) E B} es llamado dominio de la función f. Llamaremos imagen de f al subconjunto de B = {b E B : b = f(a), a E A}. Decimos que una función fes de A en B si su dominio es A y su imagen es subconjunto de B. Si la imagen de fes todo B decimos que fes una función sobre. Para. f :A. ---+ B y M e B definimos:. 17.

(26) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. Definición 1.28. La imagen inversa de M denotado por ¡- 1 (M), definido como:. e. B, es el Conjunto preimagen de M,. ¡-1 (M) = {x E A: :lb E. M, j(x). = b}. Definición 1.29. Decimos que una preferencia es representable mediante de una función u : X -----+ R (a la que llamaremos función de utilidad) cuando:. x. ~. y. ~. u( x). ~. u(y). Una cuestión importante es la de obtener las condiciones que nos permitan tal representación. Para ver que las cosas no son tan fáciles mostremos un contraejemplo, es decir mostremos que existen preferencias que no pueden ser representadas por funciones de utilidad. Para esto hablemos del orden lexicográfico ya considerado. Antes recordamos que:. • f :A e. R -----+ R, se dice monótona creciente si y solamente si:. r. • f :A. e R-----+ R,. ~. s-----+ f(r). ~. f(s);\fr, sER. se dice creciente si y solamente si:. r > s-----+ f(r) > f(s); \Ir, sER Proposición 1.1. El orden lexicográfico no puede ser representado por funciones de utilidad. Demostración Razonemos por el absurdo. Supongamos que existe una función u : X. =. R~· -----+ R que. representa al orden lexicográfico. De acuerdo a las preferencias se tiene que: (r, 1). >- (r, O) donde r. E R+; se sigue que. u(r, 1) > u(r, 0). Existe por lo tanto un racional cp(r) tal que u(r, 1) > cp(r) > u(r, 0): Sea ahora r' > r se cumple que u(r', 1) > cp(r') > u(r', 0). Por lo tanto, como: 18.

(27) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. cp(r') > u(r', O)> u(r, 1) > cp(r). -----7. cp(r') > cp(r). Luego la función cp : R+ -----7 Q, así definida es estrictamente creciente y por tanto inyectiva, lo que es un absurdo pues la cardinalidad de R+ es mayor que la de Q.. NOTA: Toda preferencia. te R 1 x R 1 racional,. contínua y monótona es representable. por una función de utilidad u : R~ -----7 R contínua.. Definición 1.30. (Continuidad de una Función): Sea f: (X, d) -----7 (Y, d') decimos que fes continua en a E (X, d) si para todo eee >O, :38 >O tal que para todo x E (X, d):. d'(f(x), f(a)) <e Cada vez que: d(x, a) < 8 Decimos que una función es continua en X si es continua para todo a E X. El siguiente teorema caracteriza a las funciones continuas en términos de abiertos, lo que nos va a permitir generalizar el concepto de continuidad a un conjunto de espacios más amplio que el de los Espacios Métricos, el de los llamados Espacios Topológicos.. Teorema 1.1. Sea f : (X, d) -----7 (Y, d'), f es continua en x 0 E X sí y solamente si para cada conjunto abierto O de Y, se tiene que ¡- 1 (O) es un subconjunto abierto de X.. Demostración Primero veamos la condición necesaria: Dado O abierto y x0 E ¡- 1 (0), sea y0 = J(x 0 ) por la definición de continuidad, para B(y0 ,e) e O existe B(x 0 ,8) tal que B(x 0 ,8) e ¡- 1 (B(y0 ,e)) e ¡-1 (0), por lo tanto ¡- 1 (O) es abierto. Ahora, veamos la condición suficiente: Sea y0 = f(x 0 ), como cada conjunto abierto O de Y, se tiene que ¡- 1 (0) es un subconjunto abierto de X, en particular lo anterior se cumple para O= ¡- 1 (B(y 0 , e)) y como x 0 E O= ¡- 1 (B(y 0 , e)), de donde existe B(x 0 , 8) tal que. B(x 0 ,8) e. ¡- 1 (B(y0 ,e)). -----7. Ve> 0,:38 >O: f(B(a,8)). e B(f(a),e). Por lo tanto, fes continua en x 0 E X.. 19.

(28) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. Lo anterior hace pensar que quizás no haya necesidad de introducir una función distancia para definir continuidad de funciones. Basta con saber cuáles son los abiertos de los espacios que una función relaciona y verificar si verifica que la preimagen de un abierto es un abierto del espacio de partida. Un espacio en el que están definidos sus conjuntos abiertos es llamado espacio topológico, a ellos dedicaremos a continuación algunas líneas en la siguiente sección.. 1.6.. Espacios topológicos. Definición 1.31. (Homeomorfismo): Una función biyectiva continua f: (X, T) ----7 (Y, T'), con inversa ¡-1 también continua, se llama homeomorfismo, y cuando esto ocurre, se dice que los espacios topológicos (X, T) y (Y, T') son homeomorfos. Definición 1.32. (Transformación Lineal): Sean X e Y dos espacios vectoriales, diremos que una función T : X ----7 Y , es una transformación lineal, si se cumple:. T(o:x + f3y) = o:T(x). + f3T(y), Vx, y E X, Va, f3. E. R. Ejemplo 1.13. Sea X, un espacio vectorial de dimensión n , definamos las funciones Ji :X ----7 R, i = 1, 2, ... , n, del modo siguiente, fi(xi, ... , Xn) = xi, i = 1, ... , n. Solución Sean o:, f3 E R, x, y E X. Por lo tanto. ----7. o:x + f3y E X.. fi es una transformación lineal.. Nótese además, que toda transformación lineal es una función continua.. Teorema 1.2. En espacios vectoriales de dimensión finita todas las topologías vectoriales son equivalentes.. Demostración Mostraremos que todo espacio vectorial topológico de dimensión finita n; (X, e) es homeomorfo a (Rn, E:) con E; la topología euclidiana, de esta manera los conjuntos abiertos en uno y otro espacio son los mismos.. 20.

(29) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach Consideremos, B 1 = {u 1 , ... ,un} una base de X y B 1 = {e 1, ... ,en} la base de Rn y sea una transformación lineal T: (Rn, E)----+ (X, E), tomemos un elemento arbitrario de. Rn, digamos y= (y1, ... , Yn) T(y). =. T(y1e1. E. Rn----+ y= Y1e1 + ... Ynen, luego. + ... Ynen). =. Es decir, T queda definida por T(y). + ... + YnT(en) = Y1U1 + ... + YnUn.. Y1T(e1). =. Y1U1. + ... + YnUn. Puesto que (X, E) es un espacio vectorial topológico, se tiene que T así definida es continua y como T es una biyección, solo resta verificar que r- 1 , es también una función continua. Por otra parte, para todo x E X existen Ji :X----+ R, i = 1, 2, ... , n tales que: x = fi(x)u 1 + ... + fn(x)un, las cuales como vimos en el ejemplo 1,6,3,1 son lineales y continuas, como existe r- 1, se tiene r- 1(x) = r- 1(fi(x)u1 + ... + fn(x)un). Puesto (Rn, E) es un espacio vectorial topológico, se tiene que por lo tanto (Rn, E) y (X, E) son homeomorfos.. r- 1 es también continua,. A continuación introduciremos algunas posibles características de las preferencias que representan comportamientos de agentes que siempre desean algo mejor, es decir siempre existe para ellos una canasta preferible a la ofrecida. Veremos más adelante que cuando los agentes tienen preferencias de este tipo, solamente se conformaran con canastas de bienes que alcancen la frontera de sus posibilidades presupuestarias.. Definición 1.33. (Preferencia localmente no saciable): Diremos que una preferen-. cia definida en X es localmente no saciable cuando para toda canasta de bienes x y toda vecindad Ux de x existe una canasta y E Ux n X tal que y>- x.. NOTA: Esta definición dice que para cualquier canasta de bienes existe en cualquier vecindad de ella otra canasta que es estrictamente preferible a la primera. Se dice que el agente presenta un comportamiento no saciable localmente.. 21.

(30) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. Ejemplo 1.14. Consideremos el conjunto de consumo para un consumidor formado. por canastas que contienen arroz, azúcar y menestras, las cantidades de cada bien, expresadas en kilogramos, se muestran en la siguiente tabla. Consideremos además una cantidad. E. > O tan pequeña como queramos.. Cuadro 1.3: Arroz. Azúcar. Menestras. Canasta 1 =a. 10. 5. 6. Canasta 2 = b. 8. 4. 5. Canasta 3 =e. 12. 9. 8. Canasta 4 = d. 12+c. 9+c. 8+c. Del cuadro se observa que a = (10, 5, 6), b = (8, 4, 5), e= (12, 9, 8), D = (12 +E, 9 + E, 8 +e), entonces el conjunto de consumo está formado por estas cuatro canastas, es decir:. X= {a,b,c,d} Dotemos a X de la siguiente topología,. T. = {cp, X}. Dadas dos canastas x, y E X diremos que (x, y) Et+-------+ xi ;:::: Yi, i. = 1, 2, 3.. Consideremos la siguiente preferencia del consumidor sobre XxX. <p. ={(a, a), (a, b), (e, a), (e, b), (d, e)} e XxX. Puesto que X es la única vecindad para todo punto de X, se tiene que:. i) Para a E X ::le E X a t c.. n X=. X : e>- a puesto que e t a sin embargo no se cumple que. ii) Para b E X ::le E X n X = X : e >- b puesto que e t b sin embargo no se cumple que b t c.. iii) Para e. E. X 3d E X n X = X : d >- e puesto que d t e sin embargo no se cumple. que e t d.. 22.

(31) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. iv) Para cada s >O es posible construir un d' E X tal que parad E X 3d' E X X: d' >- d puesto que d' t d sin embargo no se cumple que d t d'.. n X=. De (i), (ii), (iii) y (iv) se concluye que f preferencia localmente no saciable.. Definición 1.34. (Canasta extremadamente deseable): Sea t una relación de preferencias definida en un subconjunto X de un espacio vectorial ordenado E. Entonces una canasta v E X se dice ser una canasta extremamente deseable para t cada vez que:. i) ii). x. + o:v E X; 'Vx E X, Vo:> O.. x. + o:v t. x; 'Vx E X, Vo:. > O.. Nótese que si v-=/= O es extremamente deseable también lo será .Av; para todo ,\ > O.. Ejemplo 1.15. Consideremos el conjunto de consumo para un consumidor formado por canastas que contienen arroz, azúcar y menestras. Entonces se tiene que el conjunto de consumos es X= R!, definamos sobre XxX la siguiente relación de preferencias.. R!, por otra parte como R! es un subespacio vectorial se tiene que para cualquier x E R!, Vo: > O el vector o:x E R!, de donde nuevamente usando la el hecho que R! es un subespacio vectorial se concluye que x + o:v E X; 'Vx E. i) Sea v. E. X, Vo: >O.. ii) Puesto que xi 2: xi, i = 1, 2, 3 entonces Xi + o:vi 2: xi, i = 1, 2, 3 de donde se sigue que x + o:v t x; 'Vx E X, E o:> O. Por lo tanto ves una canasta extremadamente deseable. Definición 1.35. (Preferencias Monótonas): Una preferencia t, se dice monótona, si para cada x, y E E, con E espacio vectorial ordenado, con x 2: y se tiene que x t y. Ejemplo 1.16. Consideremos el conjunto de consumo del ejemplo (1·15·2), para un consumidor con un conjunto de consumo formado por canastas que contienen arroz, azúcar y menestras. Entonces se tiene que el conjunto de consumos es X= R!, definamos sobre. X xX la siguiente relación de preferencias.. 23.

(32) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. t= {(a, b). E R~xR~ : ai. = bi, i = 1, 2, 3}. Puesto que. Por lo tanto la relación de preferencias t es monótona.. Definición 1.36. (Preferencias Estrictamente Monótonas): Una preferencia t, se dice estrictamente monótona, si para cada x, y E E, con E espacio vectorial ordenado, con x >y se tiene que x t y. Es decir la canasta x posee más de todos los bienes que la canasta y.. Ejemplo 1.17. consideremos el siguiente conjunto de consumo de un consumidor de ropa: camisas y pantalones, cuyas canastas se muestran en el siguiente cuadro.. Cuadro 1.4: Camisas. Pantalones. Canasta a. 1. 2. Canasta b. 2. Canasta e. 3 4. 3 4. Canasta d. De acuerdo con el grafico se tiene que X vectorial ordenado, con el siguiente orden X. >. y. +------+. 5. = {a, b, e, d} e. Xi. R~, el cual es un subespacio. > Yi' i = 1' 2. Si se define sobre XxX la relación x t y+------+ x 2:: y, entonces se tiene que X. >-. y+------+. X. >y+------+. Xi. > Yi, i = 1, 2. De donde se obtiene que. i) d >e~ d >-e ii) e > b ~ e >- b 24.

(33) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. iii) b > a. ------7. b >- a. iv) d > b ------7 d >- b. v) d > a vi) e > a. ------7 ------7. d. >-. a. e. >-. a. Es decir para cada x, y E X, si x > y ------7 x estrictamente monótona.. >- y.. Por lo tanto t es una preferencia. En el siguiente capítulo, veremos la utilidad de la teoría desarrollada hasta aquí, para estudiar la eficiencia paretiana, que es la parte central de esta tesis.. 25.

(34) Capítulo 2 - - - - - -. EQUILIBRIO WALRASIANO El asunto central de este capítulo es la existencia del equilibrio Walrasiano, para lo cual se estudia la función demanda y sus principales características, las herramientas matemáticas útiles en estas secciones son los conjuntos compactos y los teoremas dél grafico cerrado y el llamado teorema del punto fijo de Brouwer.. 2.1.. Elementos· maximales de una preferencia: La demanda. El objetivo del consumidor es escoger el mejor elemento (maximal) según sus preferencias dentro de un conjunto de oportunidades de consumo. Sobre estos elementos maximales, nos referimos en esta sección. Definiremos la demanda del agente como el conjunto de elementos maximales de su relación de preferencias en su región presupuestaria haremos uso fuertemente del concepto de compacidad de un subconjunto de un espacio topológico en el que está inmerso el conjunto de consumo del agente maximizador. Comenzaremos definiendo el elemento maximal de un preorden en un subconjunto. Definición 2.1. Sea t un preorden (por ejemplo una relación de preferencia) en un conjunto X y sea A un subconjunto no vacío de X. Decimos que a E A es un elemento maximal para t en A cuando no existe b E A tal que b >- a. Si el preorden es completo entonces un elemento a E A es maximal si y solamente si. a t x, 'Vx E A.. 26.

(35) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. Ejemplo 2.1. Consideremos el conjunto de consumo para un consumidor formado por canastas que contienen pantalones, camisas y chompas, las cantidades de cada bien, la cantidad de cada bien se muestran en la siguiente tabla.. Cuadro 2.1: Pantalones. Camisas. Chompas. Canasta 1 =a. 3. 3. 2. Canasta 2 = b. 4. 4. Canasta 3 =e. 10. 5 8. 6. Del cuadro se observa que a= (3, 3, 2), b = (4, 5, 4), e= (10, 8, 6), entonces el conjunto de consumo está formado por estas tres canastas, es decir: X= {a, b, e}. Dadas dos canastas x, y E X diremos que (x, y) Et+------+ xi ~ Yi, i = 1, 2, 3. Puesto que e t b, e tase deduce que la canasta e es un elemento maximal para t en X.. NOTA: Observe que no es necesario que una relación de orden posea elemento maximal en un conjunto A dado. Por ejemplo no existe elemento maximal para una preferencia que sea localmente no saciable en un conjunto cuyos puntos sean todos interiores. Por otra parte para un preorden y un conjunto dados pueden existir más de un elemento maximal, es cierto que: Todo elemento maximal pertenece a una misma clase de equivalencia. En términos de la Teoría Económica esto se traduce diciendo que si para un agente hay más de una canasta de bienes que maximizan sus preferencias, estas serán indiferentes desde el punto de vista de la mejor satisfacción de sus gustos. A continuación haremos uso fuertemente de las propiedades de compacidad de ciertos conjuntos en espacios topológicos por lo que dedicaremos a este concepto la siguiente subsección.. 2.2.. Conjuntos Compactos. Comenzaremos con la definición de cubrimiento de un conjunto, este concepto es básico para lo que sigue. 27.

(36) ._, ., ' .. ::·'\~:.{~:t~. />:>::"'~"''''''. Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro Teorema de Rahn Banach. ·,~,. utilizanq~¿~l ¡~!:·>·~·~:¡;~·:· 1'<\ ¡~-~·:~,. ;sc:i· i•:: ··;: \\<· ~. (' · .-'·;--:/;'. \. ,~~::~~:_rq rr ct, :. ::~~:~~>:. Definición 2.2. Sea X un espacio topológico, B un subconjunto de X; y {Aa}aEI una familia indexada de subconjuntos de X. La colección {Aa}aEI se dice un cubrimiento de. B si B ~ UaEJ Aa. Si el conjunto I es finito, entonces {Aa}aEJ es llamado un cubrimiento finito de B. Si los elementos de la familia indexada son abiertos, diremos que el cubrimiento es abierto.. Definición 2.3. Las siguientes tres afirmaciones son equivalentes en R 1: un subconjunto X e R 1 se dice compacto si y solamente si: l. De todo cubrimiento por abiertos X; es posible obtener un subcubrimiento finito. de X. 2. De toda red {Xn}nEN E X puede obtenerse una subred convergente. 3. X es cerrado y acotado. (Teorema de Reine - Borel).. Nota: En espacios más generales la propiedad de Reine- Borel no es válida. Sea X un espacio topológico. Una familia CaE/ de subconjuntos de X, se dice que posee la propiedad de intersección finita (PIF), si para cada subconjunto finito J e I, naEJ Ca es no vacío.. Teorema 2.1. Sea CaEI una colección de conjuntos cerrados en X; con la propiedad de intersección finita, X es compacto si y solamente si la intersección naE/ Ca es no vacío. Demostración Supóngase que X es compacto. Sea CaE/ una colección de conjuntos cerrados en X; con la PIF. Suponga que naEI Ca es vacío, por lo tanto su complemento [naEI Car =X. Por la propiedad de Margan:. [nCale= UC~ aE/. aE/. Entonces CaE/ es un cubrimiento por abiertos de X por la compacidad de X; luego podemos extraerle un subcubrimiento finito, tal que UaEJ e;= X; J. eI. finito. Obtenemos. que:naEJ Ca es vacío. Llegaremos entonces a una contradicción con la PIF supuesta. 28. ·<:;:;;;,~.:.>···.

(37) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. para CaE!· Recíprocamente: Sea AaEI un cubrimiento de X: Suponga que no existe un subcubrimiento finito, es decir que para todo subconjunto finito J e I; [UaEJAar; es no vacío, equivalentemente: para todo J e I; naEJ A~; es no vacío. Entonces A~EI es una colección de conjuntos cerrados con la PIF, de acuerdo a nuestro supuesto debe cumplirse que: naEJ A~ es no vacío, luego usando las leyes de Margan se concluye que AaEJ no es un cubrimiento abierto de X.. 2.3.. Existencia y unicidad del maximal. El siguiente teorema prueba que el conjunto de los elementos maximales para relaciones de preferencias semicontinua superiormente en subconjuntos compactos es no vacío y muestra alguna de las características del mismo.. Teorema 2.2. El conjunto de los elementos maximales de una relación de preferencias semicontinua superiormente es no vacío y compacto.. Demostración Para cada x E X el conjunto Cx = {y E X: y t x} es cerrado y por lo tanto compacto. El conjunto de los elementos maximales es precisamente el conjunto nxEX Cx. Mostraremos a continuación que este conjunto es no vacío. Para esto comencemos considerando una colección finita de elementos x 1 , x 2 , ... , Xn E X, como el preorden t es completo podemos asumir sin pérdida de generalidad que:. e: X2 e: ... e:. de donde se obtiene: Cxl s;;; Cx2 s;;; ... s;;; Cxn y por lo tanto n~=l Cx; es no vacío, por ser cada uno de estos conjuntos cerrados, poseer la PIF (propiedad de intersección finita) y ser X compacto, se tiene que nxEX Cx es no vacía y además como todo conjunto cerrado en un compacto es compacto, se sigue nxEX Cx es también Xl. Xn,. compacto. El teorema da una respuesta positiva a la existencia del elemento maximal, pero nada dice acerca de la unicidad o no del mismo. Para obtener una respuesta a esta interrogante, nótese que: Para preferencias convexas sobre conjuntos convexos, el conjunto de maximales es un conjunto convexo.. 29.

(38) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. Supongamos ahora que la preferencia es estrictamente convexa, y además supongamos también que existen dos elementos maximales diferentes, a y b en X, considere una combinación convexa de ellos, por la convexidad de la relación de preferencias, esta combinación pertenecería al conjunto de maximales, y además sería estrictamente preferible a cualquiera de los dos maximales originalmente considerados. Esto es un absurdo. Por lo tanto podemos concluir que: Preferencias estrictamente convexas, sobre conjuntos convexos y compactos tienen un único elemento maximal. En condiciones de libre mercado, cada agente económico buscará maximizar su bienestar en su espacio de consumo, sujeto a determinadas restricciones presupuestarias. La canasta de bienes que el agente elegirá es su demanda. Entenderemos por demanda una función cuyo dominio es el conjunto de precios y su recorrido el espacio de consumo presupuestariamente factible. De tal manera que fijados los precios de cada uno de los bienes elegirá las canastas que maximizan las preferencias del consumidor, el conjunto de estas no tiene por qué estar en principio compuesto por una única canasta. Componen la demanda del agente todas aquellas canastas que, fijados los precios de los bienes y sus posibilidades presupuestarias, maximizan su relación de preferencias.. 2.4.. Funciones de demanda. Las preferencias y las utilidades que están en la base de la teoría del agente maximizadar no son observables. En la actividad económica lo que se observa es un conjunto de individuos haciendo transacciones comerciales, intercambiando unos bienes por otros. Esto sugiere entonces, estudiar el comportamiento de la economía y sus posibles leyes a partir del análisis de los bienes que los agentes demandan. Por eso dedicaremos esta sección al estudio de la demanda, primeramente individual y luego agregada. La actividad económica tiene sus conceptos primitivos en las preferencias y en el comportamiento racional del agente, de los cuales la demanda es un concepto derivado, ciertamente de trascendencia teórica y en tanto que agregada, revelador del comportamiento económico de la sociedad. No obstante debemos estar precavidos de que la existencia de la demanda como función que surge naturalmente de un plan optimizador seguido por cada agente, requiere de determinadas premisas sobre el conjunto de bienes en el que los individuos hacen su elección y de las características de sus preferencias. Es importante estar advertidos también de que ciertas propiedades generalmente admitidas como universalmente validas de la función demanda (como la llamada ley de la. 30.

(39) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. demanda) están lejos de verificarse sin supuestos adicionales y por lo tanto restrictivos del modelo considerado. Por lo tanto predicciones económicas respaldadas en este tipo de supuestas propiedades universales, deberán para ser legítimas cuidar de los supuestos del modelo estudiado, los que en definitiva no son tan generales como muchas veces se pretende. Aunque la axiomatización elegida es propiedad de la teoría económica, la verificación en el modelo presentado, de las propiedades requeridas por el economista, debe realizarse con elementos propios del análisis matemático a partir de la axiomatización original. De esta manera la matemática, como forma de pensamiento, se transforma en poderoso auxiliar de la ciencia económica al ayudar entre otras cosas por ejemplo a evitar errores lógico-formales, particularmente de aquellos referidos a la construcción del modelo y a lo que de él se puede concluir. Por otra parte la modelación y el análisis matemático del modelo permiten descubrir propiedades de la llamada realidad que de otra manera pasaran inadvertidas. Naturalmente la contrastación con la realidad dirá la última palabra sobre la validez del modelo de partida y sus supuestos. Si no hay errores formales en el proceso de elaboración de las conclusiones, esta contrastación validará o no el modelo presentado. De todas maneras la llamada realidad contra la que se compara es muchas veces y en gran parte, un modelo construido en el pensamiento, plagado de concepciones ideológicas inevitablemente presentes en todo proceso intelectual. De ahí que aun las creencias aparentemente más ingenuas y poco contaminadas de formalismos, sobre el comportamiento de la llamada realidad, deban también ser criticada desde el punto de vista lógico formal. Ciertamente ningún modelo agota la realidad, no obstante sin modelarla de alguna. manera ninguna afirmación sobre ella es posible.. 2.4.1.. Región presupuestaria. En esta sección, las canastas de bienes estarán representadas por elementos de R~. Definición 2.4. Una canasta de bienes es un elemento del subespacio vectorial R~, es decir un vector x. =. (x 1 , ... , x 1) del coordenadas, alguna de las cuales pueden incluso. ser cero. Definición 2.5. A la canasta de bienes, con la cual cuenta originalmente el agente para iniciar sus actividades económicas, se les llama Dotaciones iniciales del Agente. Esta 31.

(40) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. canasta de bienes está conformada por cantidades no negativas de todos los bienes de la economía, entendiendo por tales no solamente aquellos bienes directamente consumibles, sino también las posibilidades de trabajar, habilidades, capacidades, etc. Es decir son los bienes susceptibles de ser intercambiados por otros en el mercado. Se representarán por la letra minúscula w. Cada una de ellas es un elemento de R~; cada coordenada representara lo que el agente dispone originalmente de ese bien. Cada agente dispone de sus dotaciones iniciales, y no nos preguntamos acerca de cómo las adquirió. Introduciremos también los precios de los bienes, cada bien. tendr~. su precio. Lo re-. presentaremos por Ph, es decir Ph será el precio del bien h, con h = 1, 2, ... , l. El valor de la canasta de bienes x estará representado entonces por el producto escalar o Euclidiano de los vectores p = (p 1 , ... ,p¡) y x = (x 1 , ... ,x¡): l. p.x = P1X1. + ... + p¡x¡ =. LPhXh h=l. Recordamos las siguientes propiedades de linealidad del producto Euclídeo: l. p(x+y)=px+py;Vx,yEX. 2. p(ax). = ap(x); Vx. E X, Va E R.. El valor de una canasta así definida, hace que los precios sean funcionales lineales, es decir funciones lineales con dominio en el espacio en el que está definido el conjunto de consumo y recorrido en los reales. Obsérvese que la definición de precios como funcionales lineales es natural, pues los precios asignan a cada canasta un valor, es decir un número real, además el valor de dos diferentes canastas es la suma de sus valores y análogamente el valor den canastas de bienes, serán veces el valor de una de ellas. El conjunto de los funcionales lineales forma un espacio vectorial, el que se conoce como espacio dual. En el caso de que el espacio sobre el que están definidos los funcionales lineales sea un espacio vectorial topológico de dimensión finita puede asegurarse la continuidad de los funcionales lineales, propiedad que aparece naturalmente vinculada al concepto de precios y su comportamiento. No obstante, esto no es necesariamente cierto en espacios más generales, lo que obliga a un mayor cuidado en el momento de definir precios cuando modelamos economías en estos espacios. Nótese que para cada funcional lineal de R 1 hay un vector del espacio que lo representa, ya que si consideramos un funcional lineal arbitrario base euclidiana de R 1, sea x. = (x 1 , ... , x 2 ). E. R 1,. f : R1 ----+. R, con {e1, ... , e¡} la. entonces:. 32.

(41) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. f(x) = j(x1e1. + ... + x¡ez) =. xd(el). + ... + x¡f(ez). Si definimos p¡ =(!(el), ... , f(en))---+ f(x) = p¡.x Es decir para cada funcional lineal f(x) = p¡.x para todo x E R 1. f : R1. ---+ R, entonces existe p¡ E R1 tal que:. De lo anterior se deduce que el espacio R 1 coincide con su dual. Así si f es un funcional lineal en R 1 entonces f (x) para x en el espacio de consumo representara el valor de la canasta x a precios p¡; siendo p¡ el vector que representa a f y f(x). = p¡x.. Definición 2.6. Llamaremos región presupuestaria a la que representaremos por Bw(P) al conjunto: Bw (p). = {x. E R~. : px ~ pw}. De esta manera el valor de las dotaciones iniciales de cada agente queda representado por el número real pw. El vector w E (R1)n representa las dotaciones iniciales de los agentes de la economía. Se deduce inmediatamente que para todo>.> O: B>..w(>.p). =. Bw(P). Nota 2.1. De lo anterior se deduce que la región presupuestaria es homogénea de. grado cero en los precios. Por lo cual los precios se pueden normalizar según convenga al contexto de estudio, hecho que no altera a la región presupuestaria en sí. De esta manera, sin pérdida de generalidad, se puede suponer, por ejemplo, que uno de los precios de la economía es uno (digamos, p 1 = 1) y los otros son arbitrarios. Teorema 2.3. Si el precio p de cada bien está representado por un real estrictamente positivo, entonces la restricción o región presupuestaria Bw(P) de cada agente con dotaciones iniciales en R~; es un subconjunto compacto de R~.. Demostración La continuidad del producto interno, permite concluir que la región presupuestaria Bw (p) es cerrada. De otro lado, sea r. =. Min{p 1 , .... ,pz} y x. E Bw(P), entonces:. 33.

(42) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. O :S; r :S; Pi, i. = 1, 2, ... , n---+ O :S; rxi. :::; PiXi :::; px:::; pw, i. = 1, ... , n. rxi:::; pw pw Xi :::; -. < +oo, ~. = 1, ... , n. r De donde Bw(P) es un conjunto acotado, luego Bw(P) es cerrado y acotado en R~ y por lo tanto es un subconjunto compacto. Nótese que si el vector p de precios tiene alguna componente cero es decir si p E R~; entonces la restricción presupuestaria para cualquier w será no acotada. Como sabemos que en R~, acotado y cerrado equivale a compacto, siendo w un elemento del cono positivo R~; se deduce que la región presupuestaria será un subconjunto compacto si y solamente si pes positivo en todas sus componentes. Nos restringiremos por ahora al caso en que la única actividad económica de los agentes, es el intercambio de bienes en el mercado. Es decir que intentará intercambiar la canasta de bienes que él posee (sus dotaciones iniciales) por otra que le sea preferible, naturalmente que solo podrá elegir dentro del conjunto de canastas de bienes que le son admisibles, es decir aquellas cuyo valor no excede al de su dotación inicial. En definitiva: cada individuo resolverá en el mercado el problema que consiste en maximizar sus preferencias, restringiéndose a su región presupuestaria. Para precios estrictamente positivos y preferencias continuas en R~ se tiene que: l. Si la preferencia es además convexa, entonces la preferencia tiene al menos un. elemento maximal en la región presupuestaria. 2. Si la preferencia es estrictamente convexa, entonces existe exactamente un elemento maximal. 3. Si la preferencia es localmente no saciable entonces los elementos maximales están en la frontera de la región presupuestaria. La existencia y número de elementos maximales para determinadas preferencias dependen de propiedades de ellas, como continuidad y convexidad así como también de las propiedades del conjunto sobre el que están definidas (particularmente compacidad).. 34.

(43) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. En el caso de que este elemento sea único, se define la demanda, como la función: x: R~xR~----+ R~, tal que: x(p,w)----+ {x E Bw(P): x t y,Vy E Bw(P)} Preferencias estrictamente convexas son suficientes para la unicidad, mientras que la convexidad es suficiente para que el conjunto demanda sea convexo, pudiendo ser éste un conjunto con uno o varios elementos. La siguiente definición nos será de utilidad en la siguiente subsección.. Definición 2.7. Al conjunto denotado por S 1 y definido como sigue:. S~. =. {. p E Rl+. 1. 1+1. :. ?=Pi = 1; Pi ~ O, i = 1, ... , l + 1. }. 2=1. Se le llama Simplex l dimensional. 2.4. 2.. Propiedades de la demanda. Veamos a continuación algunas propiedades de la demanda: l. Homogeneidad de grado cero: Para todo A.> O, x(p, w). = x(A.p, A.w), lo que se. deduce de la propiedad análoga para la restricción presupuestaria. Esta propiedad significa que si los precios y la renta cambian en la misma proporción, la elección de consumo del individuo no cambia. Es decir no produce ningún cambio en el conjunto de consumos factibles. 2. Ley de Walras: En el caso de estar definida la demanda a partir de preferencias localmente no saciables, se verifica que px(p, w) = pw. La Ley de Walras significa que el individuo consume totalmente su renta. Este supuesto es razonable siempre que exista algún bien deseable. Por otra parte, la homogeneidad de grado cero de la demanda, nos permite restringirnos a trabajar con precios en el simplex positivo s~- 1 , es decir con vectores en el simplex, tales que sus coordenadas son no negativas Ph -~ O, h = 1, 2, ... , l (donde l representa la cantidad de bienes existentes en el mercado) y tales que su suma 2.:::~= 1 Ph. =. l. Para ver. 35.

(44) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. que esto es posible basta con considerar. A=~'. donde p =. J2:_~= 1 p~.. Algunas otras propiedades de la función demanda no son tan obvias, por ejemplo la continuidad, a la cual le dedicaremos la siguiente subsección.. 2.4.3.. Continuidad de la función demanda. Consideremos preferencias estrictamente convexas, en R~ con una canasta de bienes extremamente deseable. Consideremos también dotaciones iniciales, representadas por un vector w E R~ no nulo fijo. Estudiaremos la continuidad de la demanda del agente con tales preferencias y utilidades, la,que representaremos por Xw : sl-l ----+ R~ siendo. xw(P) = x(p, w) la demanda del agente a precios p. Demostraremos el teorema de continuidad de la demanda para precios estrictamente positivos, y dotaciones iniciales en R~. La demostración de este teorema la haremos a partir del teorema del grafico cerrado el que enunciaremos y demostramos a continuación. Teorema 2.4. (Teorema del Grafico Cerrado): Sean X e Y dos espacios de Banach y sea f : X ----+ Y una función lineal. Entonces f es continua si y solamente si su grafico G¡. = {(x,f(x)): x. E. X} es un conjunto cerrado en XxY. Demostración. Supongamos que fes continua, y consideremos una sucesión en G¡, digamos, (xn, f(xn))nEN C G¡ tal que (Xn, f (Xn)) ----+ (x, y), es decir x~ ----+ x y por ser f continua se deduce que: f(xn) ----+ f(x), luego como tanto X como Y son Banach, se tiene que x E X e y= f(xn) E Y, es decir: (xn,J(xn))----+ (x,j(x)) E G¡, por lo tanto G¡ es un conjunto cerrado en X x Y. Ahora demostremos la condición suficiente, consideremos en X, las dos normas siguientes: llxll1. = llxllx + llfxlly; llxll2 = llxllx. Como G¡ es cerrado, entonces se tiene que (X, 11-lh) es también Banach, y como llxll2::; llxlh, luego ambas normas son equivalentes entonces existe una constante e> O: llxll1 ::; cllxll 2, de donde: llfxiiY ::; llxllx. + llfxiiY =. llxll1 ::; cllxll2. = cllxllx 36.

(45) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. llfxiiY ~ cllxllx Por lo tanto. f. es continua.. Para verificar la continuidad de la función demanda, necesitamos de la siguiente definición.. Definición 2.8. Se llama Preferencias Neoclásicas a las preferencias que satisfacen la condición d~ no saciabilidad local y, son estrictamente convexas en todo R~ o solamente en el inte~ior de R~, pero todo punto en el interior es preferible a un punto sobre la frontera de R~. El siguiente teorema garantiza la continuidad de la función demanda para preferencias neoclásicas.. Teorema 2.5. Toda función demanda Xw : R~+ --+ R~ correspondiente a preferencias neoclásicas y dotaciones iniciales w E R 1 - {O} es continua. Demostración De acuerdo al teorema del grafico cerrado será suficiente demostrar que la función demanda Xw tiene gráfico cerrado. Sea (zn)nEN = (Pn, Xw(Pn)) e G(xw) tal que Pn --+ p; xw(Pn) --+ x, luego debemos mostrar que x = Xw (p), para lo cual será suficiente demostrar que x es un elemento maximal del conjunto Bw(P) y como este elemento maximal es único, debe ser la demanda xw(P), es decir X= xw(p). Usando la Ley de Walras (pues las preferencias son localmente no saciables), se tiene que:. PnXw(Pn) = PnW--+ límn-tooPnXw(Pn) = límn-tooPnW, y de la continuidad del producto interno se sigue que px = pw. Sea ahora y E Bw(P) --+ py ~ pw. Para O<>. < 1, se tiene que O< >.y< y, usando la linealidad del precio: O< p(>.y) < p(y) ~ pw--+ p(>.y) < pw. = px; O<>.< 1 37.

(46) Existencia de un equilibrio eficiente para Economías de intercambio puro utilizando el Teorema de Hahn Banach. Usando la continuidad del producto interno, se tiene que existe n 0 tal que para todo. n > noPn(>..y) < PnW = PnXw(Pn) -----+ xw(Pn) >- >..y. Ahora por la continuidad de las preferencias, paran suficientemente grande, x ~ >..y para todo O < >.. ¿ 1, si hacemos tender >.. hacia uno, se tiene x ~ y, con y un elemento arbitrario de Bw(P), luego x es su elemento maximal y por lo tanto x = xw(p). Sea ahora [r, s] un intervalo en el interior de R~, con p E [r, s]. Sea Y = xw([r, s]), luego Y es cerrado y acotado en R~, entonces [r, s]; Y son espacios de Banach y como hemos mostrado que Xw : [r, s] -----+Y tiene grafico cerrado, entonces podemos aplicar el teorema del grafico cerrado para concluir que Xw es una función continua.. 2.4.4.. La demanda agregada y el agente representativo. Habitualmente la Macroeconomía trabaja con valores agregados, demanda agregada, riqueza agregada, bienestar social, etc.; parece natural preguntarse entonces, hasta qué punto estos valores representan el comportamiento de los agentes económicos o son alguna medida del bienestar de la sociedad. Supongamos que la soCiedad se compone por n agentes poseedores de correspondientes relaciones de preferencias b, su correspondiente demanda xi(p, wi) la que dependerá de los precios y de sus dotaciones iniciales. En general dados los precios p E R 1 y una distribución de riquezas (w1 , ... , wn) puede definirse la demanda agregada como:. n. x(p, w1, ... , wn) =. L xi(P, wi) i=l. De esta forma la demanda agregada depende no solo de precios y de la riqueza agregada, o total de la sociedad, sino también de su distribución inicial. Luego es natural preguntarse ¿tiene la función x(p, w 1 , ... , wn); es decir la demanda agregada, valor como índice del bienestar social? La respuesta es que al menos que la demanda individual sea independiente de la distribución inicial de la riqueza, es un índice muy relativo. Tiene interés también la pregunta sobre el valor de la demanda agregada como representante del comportamiento de la sociedad en su conjunto. Es decir, ¿es válido considerar la demanda agregada como la demanda de un agente representativo de la sociedad y aplicar a ésta las técnicas y conclusiones obtenidas para la demanda de cada agente individual? Puede observarse que la continuidad, la ley de Walras y la homogeneidad en los precios de grado cero, son heredadas por la demanda agregada. No obstante la respuesta. 38.

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Figura 1.1:  Gráfico  del  conjunto  Sx

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