VULNERABILIDAD Y RIESGO POR INUNDACIONES
Mario Ordaz, Marco Antonio Torres y Ramón Domínguez
Instituto de Ingeniería, UNAM
Noviembre 2013
PRÓLOGO
Con las condiciones climatológicas que caracterizan a nuestro país y la irregular distribución y disponibilidad del agua en el mismo, las instituciones encargadas de administrar las aguas nacionales superficiales han tenido la necesidad de modificar el régimen de escurrimiento en casi todos los ríos, construyendo presas de almacenamiento, derivadoras o tomas directas. El número de presas en nuestro país es mayor a 4,000 y de ellas hay un número importante de grandes presas, teniéndose en proyecto varias más, por lo que se hace necesario determinar, y en muchos casos es ineludible incrementar, los niveles de seguridad que tienen las presas existentes; será deseable, desde luego, que en aquellas que se construyan en el futuro se logren los niveles de seguridad adecuados en cada caso.
Ante la posibilidad de que se presenten desbordamientos en las márgenes y zonas bajas de los ríos, provocando inundaciones que ponen en peligro a las poblaciones aledañas, con los riesgos de pérdida de vidas humanas, afectaciones a los cultivos, así como a la infraestructura existente, el Comité de Prevención de Desastres del Colegio de Ingenieros Civiles de México se dio a la tarea de plantear y desarrollar un documento que sirva de metodología y guía para medir los riesgos por inundación ante diferentes períodos de retorno de las avenidas y con diferentes condiciones de la cuenca y del cauce.
En esta tarea se ha contado con la decidida participación de todos los miembros del Comité de Prevención de Desastres que incluye a distinguidos especialistas que pertenecen a diversas Instituciones públicas y privadas, entre ellas: la Comisión Nacional del Agua, la Comisión Federal de Electricidad, el Gobierno de la Ciudad de México, el Instituto de Ingeniería de la UNAM, y diversas empresas y consultores independientes.
Se pretende que este documento sea una Guía Metodológica que proporcione los conocimientos y técnicas que permitan estimar el riesgo asociado a las inundaciones causadas por el vertido controlado de las aguas excedentes de una presa, aunque también se puede aplicar a las avenidas de un río en un tramo cualquiera.
Se pretende que sirva de guía a los profesionistas de las diversas Instituciones, ingenieros independientes y escuelas de ingeniería que participan en el proyecto y diseño de presas o en obras que contemplen la implementación de medidas de prevención y mitigación contra inundaciones, para las diversas etapas de planeación, estudios, diseños preliminares y detallados, construcción, operación y conservación de las presas.
Esto último cobra relevancia en virtud de los asentamientos humanos irregulares que se han ubicado aguas abajo de los vertedores de las presas, restándoles capacidad hidráulica a los cauces en los que se vierten las aguas de las obras de excedencias, incrementando el riesgo de daños ante la ocurrencia de avenidas aún menores a las de diseño original.
Se reconoce la buena disposición del Dr. Adalberto Noyola Director General del Instituto de Ingeniería de la UNAM por el apoyo que dio a este esfuerzo. Nuestro agradecimiento especial al Dr. Mario Ordaz por su entusiasmo y esfuerzo personal, así como a los Doctores Ramón Domínguez Mora y Marco Antonio Torres por su contribución desinteresada en la elaboración del presente documento. También se agradece a la empresa CICCSA del Grupo CARSO por haber donado al Comité de Prevención de Desastres el tiempo de dos Maestros en Ingeniería recién egresados, para apoyar al Dr. Mario Ordaz en la realización de parte de este trabajo.
Finalmente se agradece ampliamente a todos los integrantes del Comité de Prevención de Desastres del Colegio de Ingenieros Civiles de México, su participación y apoyo en las actividades del Comité, así como al Ing. Clemente Poon, Presidente del Colegio de Ingenieros Civiles de México, por la confianza que nos otorga.
COMITÉ DE PREVENCIÓN DE DESASTRES
GUILLERMO GUERRERO VILLALOBOS
CONTENIDO
CONTENIDO ... 4
ÍNDICE DE FIGURAS ... 5
ÍNDICE DE TABLAS ... 7
1 INTRODUCCIÓN ... 8
2 OBJETIVO ... 9
3 ANÁLISIS DE RIESGO ... 10
3.1 Objetivos del análisis de riesgo ... 10
3.2 Evaluación de la amenaza... 10
3.3 Definición del inventario de elementos expuestos ... 11
3.4 Vulnerabilidad de las construcciones ... 12
3.5 Ecuación básica del cálculo de riesgo ... 13
3.6 Incertidumbres ... 14
3.7 Estimadores puntuales del riesgo ... 14
3.8 Probabilidad de excedencia de valores de pérdida ... 15
3.9 Análisis para un solo escenario ... 15
4 CÁLCULO DE GASTO DE DESCARGA DE UNA PRESA ... 17
4.1 Estimación del hidrograma de salida por la obra de excedencias de una presa. .. 18
4.2 Planteamiento teórico para el cálculo de la avenida de diseño en presas con gran capacidad de regulación... 20
4.3 Cálculo de la avenida de diseño en presas con gran capacidad de regulación ... 21
4.3.1 Método del Instituto de Ingeniería de la UNAM ... 21
4.3.2 Método de Ramírez y Aldama ... 24
5 EJEMPLO DE EVALUACIÓN DE RIESGO POR INUNDACIONES ... 30
5.1 Sitio de análisis ... 30
5.2 Recopilación de información ... 31
5.2.1 Topografía del sitio y morfología del cauce ... 31
5.2.2 Hidrología ... 33
5.2.3 Información catastral ... 35
5.2.4 Curvas de vulnerabilidad ... 36
5.3 Aplicación de modelo hidráulico ... 51
5.4 Cálculos simplificados de riesgo ... 55
5.5 Cálculos completos de riesgo ... 60
5.5.1 Resultados generales: curva de pérdidas ... 61
5.5.2 Resultados generales: pérdidas por escenario ... 61
5.5.3 Resultados generales: pérdida anual esperada ... 63
5.5.4 Distribución geográfica de la pérdida anual esperada ... 63
5.5.5 Escenarios críticos ... 65
6 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 68
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1. Gráfico de las funciones de vulnerabilidad física y humana... 12
Figura 2. Esquema de una presa de almacenamiento con compuertas en el vertedor .... 18
Figura 3. Esquema de una presa de almacenamiento sin compuertas en el vertedor ... 18
Figura 4. Curvas características del vaso de almacenamiento Área-Elevación ... 19
Figura 5. Curvas características del vaso de almacenamiento Volumen-Elevación ... 19
Figura 6. Combinaciones de gasto pico y volumen para las que el gasto de descarga iguala o excede el valor Qd ... 21
Figura 7. Función de densidad de probabilidades bivariada Pico-Volumen ... 21
Figura 8. Ejemplo de ajuste a una función de distribución de datos máximos medios anuales para duración de un día ... 22
Figura 9. Ajuste a una función de distribución de datos máximos medios anuales para una duración de 5 días ... 23
Figura 10. Ejemplo de bloques alternados para dar forma a la avenida de diseño ... 24
Figura 11. Región para la estimación del periodo de retorno conjunto ... 26
Figura 12. Curvas de eventos de diseño Qp, V para un periodo de retorno dado ... 27
Figura 13. Ejemplo de un hidrograma unitario triparamétrico ... 28
Figura 14. Ejemplo de avenidas históricas con múltiples gastos de pico sucesivos ... 29
Figura 15. Sitio de estudio para el ejemplo de aplicación ... 30
Figura 16. Detalle del sitio de estudio ... 31
Figura 17. Dibujo en planta del levantamiento de un río ... 32
Figura 18. Trazo de las secciones sobre el cauce ... 32
Figura 19. Secciones sobre el cauce y el poblado ... 33
Figura 20. Curva Gasto vs Periodo de retorno ... 34
Figura 21. Plano catastral montado sobre imagen satelital para su identificación ... 36
Figura 22. Vulnerabilidad física para casa habitación de 1 nivel, con cubierta pesada . 38 Figura 23. Vulnerabilidad humana para casa habitación de 1 nivel, con cubierta pesada ... 38
Figura 24. Vulnerabilidad física para casa habitación de 1 nivel, con cubierta ligera ... 39
Figura 25. Vulnerabilidad humana para casa habitación de 1 nivel, con cubierta ligera 39 Figura 26. Vulnerabilidad física para casa habitación de 2 niveles, con cubierta ligera 40 Figura 27. Vulnerabilidad humana para casa habitación de 2 niveles, con cubierta ligera ... 40
Figura 28. Vulnerabilidad física para casa habitación de 3 niveles, con cubierta pesada ... 41
Figura 29. Vulnerabilidad humana para casa habitación de 3 niveles, con cubierta pesada ... 41
Figura 30. Vulnerabilidad física para escuela de 2 niveles, con cubierta pesada ... 42
Figura 31. Vulnerabilidad humana para escuela de 2 niveles, con cubierta pesada ... 42
Figura 32. Vulnerabilidad física para hospital, clínica, sanatorio de 2 niveles, con cubierta pesada ... 43
Figura 33. Vulnerabilidad humana para hospital, clínica, sanatorio de 2 niveles, con cubierta pesada ... 43
Figura 34. Vulnerabilidad física para oficinas de 1 niveles ... 44
Figura 35. Vulnerabilidad humana para oficinas de 1 niveles ... 44
Figura 36. Vulnerabilidad física para oficinas de 2 niveles ... 45
Figura 37. Vulnerabilidad humana para oficinas de 2 niveles ... 45
Figura 38. Vulnerabilidad física para bodega con contenidos no vulnerables al agua
(plásticos, vidrios, llantas, entre otros) ... 46
Figura 39. Vulnerabilidad humana para bodega con contenidos no vulnerables al agua (plásticos, vidrios, llantas, entre otros) ... 46
Figura 40. Vulnerabilidad física para bodega con contenidos vulnerables al agua (equipo eléctrico, alimentos, papel, entre otros). Tienda departamental, comercio y tienda en general ... 47
Figura 41. Vulnerabilidad humana para bodega con contenidos vulnerables al agua (equipo eléctrico, alimentos, papel, entre otros). Tienda departamental, comercio y tienda en general ... 47
Figura 42. Vulnerabilidad física para hoteles de 3 niveles ... 48
Figura 43. Vulnerabilidad humana para hoteles de 3 niveles ... 48
Figura 44. Vulnerabilidad física para instalaciones y canchas deportivas ... 49
Figura 45. Vulnerabilidad humana para instalaciones y canchas deportivas ... 49
Figura 46. Vulnerabilidad física para museos de 1 nivel ... 50
Figura 47. Vulnerabilidad humana para museos de 1 nivel ... 50
Figura 48. Vista en planta del modelo del cauce para la simulación hidráulica y determinación de zonas inundables ... 51
Figura 49. Sección transversal del cauce en el cadenamiento 10+112 m... 52
Figura 50. Sección transversal del cauce en el cadenamiento 11+700 m... 52
Figura 51. Espejo de agua estimado para un gasto de 2,500 m3/s ... 53
Figura 52. Espejo de agua estimado para un gasto de 5,000 m3/s ... 53
Figura 53. Espejo de agua estimado para un gasto de 10,000 ... 54
Figura 54. Valor esperado del tirante de inundación para un gasto de 2,500 m3/s... 54
Figura 55. Valor esperado del tirante de inundación para un gasto de 5,000 m3/s... 55
Figura 56. Valor esperado del tirante de inundación para un gasto de 10,000 m3/s... 55
Figura 57. Función de vulnerabilidad empleada en el ejemplo simplificado. La curva azul (MDR) es el valor esperado del daño como función del tirante de inundación, mientras que la curva roja (StdDev) es la desviación estándar del daño dado un valor de tirante de inundación ... 56
Figura 58. Variación del tirante de inundación, como función del gasto, para tres sitios diferentes del poblado bajo análisis. Cada punto de las curvas corresponde a un escenario ... 57
Figura 59. Curva de riesgo para el ejemplo simplificado ... 60
Figura 60. Curva de pérdidas en miles de pesos ... 61
Figura 61. Distribución geográfica de la pérdida anual esperada, en miles de pesos por año ... 64
Figura 62. Tasa anual esperada (1/año) para los inmuebles analizados ... 65
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1. Definiciones de los niveles de almacenamiento y operación en presas ... 17
Tabla 2. Gastos y frecuencias anuales de ocurrencia asociadas a cada uno de los escenarios... 34
Tabla 3. Resumen de las curvas de vulnerabilidad empleadas en el estudio... 37
Tabla 4. Resumen de los cálculos de riesgo para el ejemplo simplificado ... 58
Tabla 5. Cálculo de la tasa anual esperada. ... 59
Tabla 6. Pérdidas esperadas por escenario. ... 62
Tabla 7. Pérdidas esperadas por escenario. ... 66
1 INTRODUCCIÓN
Debido al rápido crecimiento poblacional, y al cambio en las costumbres y en las actividades humanas en los últimos años la necesidad de agua potable, de uso industrial, agrícola y de generación eléctrica ha ido aumentando, por lo que se hace necesario encontrar nuevas fuentes de abastecimiento, así como la optimización de las fuentes existentes. La creación de nuevos y más grandes embalses, y la operación de los existentes a niveles mayores de los acostumbrados incrementan la posibilidad de que se presenten desbordamientos en los ríos, provocando inundaciones que ponen en peligro y afectan económicamente a las poblaciones.
Derivado de estas necesidades y de recientes experiencias indeseables, se ha visto la necesidad de incrementar la seguridad en las presas para evitar fallas parciales o totales. Sin embargo, contar con niveles extremadamente altos de seguridad incrementaría el costo de la inversión inicial en nuevos proyectos y los de mantenimiento o mejoramiento de los ya existentes, aspectos que deben contrastarse con las pérdidas económicas causadas por una falla y las afectaciones sociales debidas al insuficiente almacenamiento del agua. De esta manera, se requiere analizar que el nivel de seguridad de una presa sea razonable y cuáles son los riesgos aceptables.
Ante las afectaciones que sufren continuamente varios estados del país, debidas a las fuertes precipitaciones que se presentan año con año y provocan desbordamientos de los cauces con las consecuentes zonas de inundación, se plantea integrar una metodología que permita la estimación de riesgos.
2 OBJETIVO
El objetivo fundamental de este trabajo es proporcionar conocimientos y técnicas con los cuales sea posible la estimación del riesgo asociado a las inundaciones causadas por el vertido controlado de las aguas excedentes de una presa. Además, se pretende que los métodos presentados en este trabajo auxilien a los responsables de las obras en sus responsabilidades de planeación e implementación de medidas de prevención y mitigación contra inundaciones.
3 ANÁLISIS DE RIESGO
3.1 Objetivos del análisis de riesgo
El análisis del riesgo tiene como objetivo fundamental determinar las distribuciones de probabilidad de las pérdidas que pueden sufrir en lapsos dados los bienes expuestos, como consecuencia de la ocurrencia de amenazas naturales, integrando de manera racional las incertidumbres que existen en las diferentes partes del proceso.
En los siguientes párrafos se plantea un procedimiento general para realizar un análisis probabilista de riesgo, el cual consta de los siguientes bloques principales:
Determinación del peligro asociado a las inundaciones
Identificación de los sistemas expuestos
Vulnerabilidad de los sistemas expuestos
Evaluación del riesgo asociado a las inundaciones
En términos generales, el procedimiento de análisis probabilista de riesgo consiste en evaluar las pérdidas en el grupo de activos expuestos durante cada uno de los escenarios que colectivamente describen la amenaza, para luego integrar los resultados obtenidos en indicadores de riesgo. Como veremos, el análisis probabilista de riesgo involucra incertidumbres que no pueden despreciarse y que deben ser tomadas en consideración a lo largo del proceso de cálculo. En los siguientes párrafos se describen las bases generales de cálculo para alcanzar el objetivo planteado.
3.2 Evaluación de la amenaza
La amenaza está representada por un conjunto de eventos o escenarios, que colectivamente describen todas las formas posibles en que puede ocurrir una inundación en el sitio de análisis, y las frecuencias de ocurrencia de cada uno de estos eventos. En el caso de las inundaciones provocadas por el vertido controlado de una presa, este conjunto de escenarios está formado por los gastos de salida de la presa y sus hidrogramas correspondientes, que se presentan con diferentes periodos de retorno. Como se verá más adelante, es frecuente que la amenaza que estamos estudiando quede descrita por un gran número de combinaciones volumen - gasto pico, asociada cada combinación a una frecuencia anual de ocurrir. Llamaremos escenario a cada una de estas combinaciones. Un escenario, entonces, estará definido por una combinación volumen-gasto pico, la frecuencia anual de ocurrencia de la combinación y un mapa de los tirantes de inundación producidos por el tránsito de la avenida y el eventual desbordamiento del cauce que la conduce.
Conviene señalar, por una parte, que la frecuencia que caracteriza a cada escenario es su frecuencia anual de ocurrencia y no la probabilidad de que, por ejemplo, un valor de gasto sea excedido en un lapso dado. Como puede
verse en el Capítulo 4, el cálculo de la frecuencia anual de ocurrencia implica, generalmente, la necesidad de discretizar (dividir en clases) tanto el dominio del volumen como el del gasto pico, para obtener combinaciones definidas usualmente por las marcas de clase. A esta combinación se asigna toda la frecuencia de ocurrencia correspondiente a los intervalos (volumen-gasto pico) considerados. El número de clases que se elijan para el análisis, el cual determina el número de escenarios que se estudien, tiene que ser suficientemente grande como para muestrear con razonable detalle el espacio volumen-gasto pico, pero suficientemente pequeño como para hacer que el cálculo de las manchas de inundación sea práctico.
Por otra parte es importante tener en mente que, en general, los tirantes de inundación que se calculan como consecuencia del tránsito de una avenida con características dadas no están exentos de incertidumbres por lo que, rigurosamente, deben ser tratados como variables aleatorias. Estas incertidumbres, que suelen llamarse secundarias, provienen principalmente de incertidumbres en los datos de entrada (secciones transversales del cauce, distribución de la rugosidad, etc.) y de las simplificaciones inherentes a los modelos de cálculo usados (por ejemplo, la simplificación de ignorar el flujo transversal al cauce del río). Sin embargo, no pertenecen a este grupo de incertidumbres las que provienen de la aleatoriedad del volumen y del gasto pico, usualmente llamadas primarias, que ya han sido incluidas en el análisis, cuando se definieron las combinaciones gasto-volumen relevantes y sus correspondientes frecuencias de ocurrencia.
No existen métodos formales para evaluar las incertidumbres secundarias. Sin embargo, el analista debe hacer un esfuerzo para estimarlas e incluirlas en el cálculo de riesgo; el análisis de sensibilidad suele ser útil para estos fines. La consecuencia de suponer que, dada una combinación volumen-gasto pico, el tirante de inundación es una variable aleatoria es que este tirante no puede caracterizarse con un solo número, sino que se requiere una distribución de probabilidad. Es usual que el tirante calculado con los modelos se interprete como su valor esperado, y que para cada punto de la región en estudio se asigne, por ejemplo, un coeficiente de variación que mida la incertidumbre que se tiene sobre el tirante calculado. En vista de esto, para un escenario determinado será necesario calcular dos manchas de inundación: la de valores esperados y la de, por ejemplo, coeficientes de variación.
3.3 Definición del inventario de elementos expuestos
Para hacer un análisis de riesgo debe definirse el inventario de elementos expuestos, en el cual debe especificarse la localización geográfica de cada uno de ellos, más algunos parámetros que lo califican: su costo de reposición, el número de ocupantes estimado y, por las razones que veremos en el siguiente inciso, la clase estructural a la que pertenece. El inventario de bienes expuestos no está limitado a edificación urbana. En principio, si son relevantes para el análisis, deberían incluirse como bienes expuestos las líneas vitales (calles, vías, carreteras, líneas de transmisión, redes de agua y drenaje), la infraestructura susceptible de ser dañada por las inundaciones (puentes, obras de drenaje, etc.) y las zonas agrícolas susceptibles de afectación.
Una manera cómoda de hacer la descripción del inventario es mediante archivos tipo shape que almacenan tanto la localización geográfica de objetos geométricos (puntos, líneas o polígonos) como una base de datos con la información que sea pertinente (valor, ocupantes, clase estructural, etc.).
3.4 Vulnerabilidad de las construcciones
En términos generales, las funciones de vulnerabilidad especifican relaciones probabilistas entre la intensidad local del fenómeno, tirante de inundación en nuestro caso, y los daños producidos en un bien expuesto. En principio, cada bien expuesto tiene su propia función de vulnerabilidad específica. Sin embargo, generalmente no es práctico determinar funciones de vulnerabilidad para cada uno de los bienes expuestos. Por lo que se procede a definir un catálogo de clases estructurales con funciones de vulnerabilidad asignadas a cada una de ellas; la clase a la que pertenece cada activo se convierte en un dato indispensable para la descripción correcta de su vulnerabilidad.
Posteriormente, cada uno de los bienes expuestos individuales se clasifica de acuerdo con los tipos estructurales que constituyen el catálogo.
Las funciones de vulnerabilidad deben construirse de tal suerte que, para diversos niveles de intensidad, quede definida la distribución de probabilidad de las pérdidas que se presentarían. Esto se consigue, usualmente, haciendo que las funciones de vulnerabilidad especifiquen curvas que relacionen el valor esperado del daño y la desviación estándar del daño con la intensidad del fenómeno.
En las figuras siguientes se presentan dos ejemplos de funciones de vulnerabilidad, utilizadas por Jaimes et al. (2011), para viviendas de materiales débiles, de dos niveles, con cubierta ligera:
Figura 1. Gráfico de las funciones de vulnerabilidad física y humana
La figura de la izquierda representa una función de vulnerabilidad de pérdidas económicas. Puede verse, por ejemplo, que si el tirante de inundación fuera de 2m, el valor esperado del daño (llamado MDR en la curva) resultaría aproximadamente de 0.08 𝑉 , siendo 𝑉 el valor total de reconstrucción,
mientras que la desviación estándar del daño, dado que el tirante de inundación fue 2m, sería 0.06 𝑉.
La figura de la derecha es una función de vulnerabilidad en la que las pérdidas están expresadas en términos de la fracción de habitantes de la vivienda, 𝑁, que resultarían damnificados si el tirante de inundación tomara diversos valores. Por ejemplo, si el tirante de inundación alcanzara 0.4 m, el número esperado de damnificados sería de 0.29 𝑁, mientras que la desviación estándar correspondiente tendría un valor de 0.15 𝑁.
Las funciones de vulnerabilidad económica de la figura anterior nos indican que si el tirante de inundación tuviera un valor de 1 m, la pérdida sería una variable aleatoria con un valor esperado de 0.08 𝑉 y una desviación estándar de 0.06 𝑉. Es una práctica común asignar a la pérdida, dado un valor de tirante, una distribución de probabilidad Beta con los dos primeros momentos estadísticos dados por la función de vulnerabilidad. Puesto que la Beta es una distribución de dos parámetros, queda completamente definida al especificar sus dos primeros momentos estadísticos.
3.5 Ecuación básica del cálculo de riesgo
El riesgo por amenazas naturales es comúnmente expresado en términos de la llamada curva de excedencia de pérdidas (en inglés, loss exceedance curve o, simplemente, loss curve) que especifica las frecuencias, usualmente anuales, con que ocurrirán eventos que excedan un valor especificado de pérdidas. Esta frecuencia anual de excedencia se conoce también como tasa de excedencia, y puede calcularse mediante la siguiente ecuación, que es una de las múltiples formas que adopta el teorema de la probabilidad total:
𝑣(𝑝) = ∑𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠𝑖=1 𝑃𝑟(𝑃 > 𝑝|𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑖)𝐹𝐴(𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑖) En la ecuación anterior 𝑣(𝑝) es la tasa de excedencia de la pérdida 𝑝 y 𝐹𝐴(𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑖) es la frecuencia anual de ocurrencia del evento 𝑖, mientras que 𝑃𝑟(𝑃 > 𝑝|𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑖) es la probabilidad de que la pérdida sea superior a 𝑝, dado que ocurrió el 𝑖-ésimo evento. La suma en la ecuación anterior se hace para todos los eventos potencialmente dañinos. El inverso de 𝑣(𝑝)es el periodo de retorno (𝑇𝑟) de la pérdida 𝑝.
Como se verá más adelante, la curva de pérdidas contiene toda la información necesaria para describir en términos de probabilidad el proceso de ocurrencia de eventos que produzcan pérdidas.
La pérdida 𝑝 a que se refiere la ecuación anterior es la suma de las pérdidas que acontecen en todos los bienes expuestos. Conviene hacer notar lo siguiente:
La pérdida 𝑝 es una cantidad incierta, cuyo valor, dada la ocurrencia de un evento, no puede conocerse con precisión. Debe, por tanto, ser vista y tratada como una variable aleatoria y deben preverse mecanismos para conocer su distribución de probabilidad, condicionada a la ocurrencia de cierto evento.
(Ec.1)
La pérdida 𝑝 se calcula como la suma de las pérdidas que se presentan en cada uno de los bienes expuestos. Cada uno de los sumandos es una variable aleatoria y entre ellos existe cierto nivel de correlación, que debe ser incluido en el análisis.
La secuencia de cálculo probabilista de riesgo es la siguiente:
1. Determinar la distribución de probabilidades de la pérdida en cada uno de los bienes expuestos para cada escenario
2. A partir de las distribuciones de probabilidad de las pérdidas en cada bien, determinar la distribución de probabilidad de la suma de estas pérdidas, tomando en cuenta la correlación que existe entre ellas 3. De la suma de las pérdidas en este evento, calcular la probabilidad de
que esta exceda un valor determinado 𝑝
4. La probabilidad determinada en el inciso anterior, multiplicada por la frecuencia anual de ocurrencia del evento, es la contribución de este evento a la tasa de excedencia de la pérdida 𝑝
5. El cálculo se repite para todos los eventos 3.6 Incertidumbres
La pérdida que se presenta en un grupo de bienes expuestos durante un escenario es una cantidad incierta que debe ser tratada como variable aleatoria.
Generalmente es impráctico (o imposible) determinar de manera directa la distribución de probabilidad de la pérdida en un bien expuesto condicionada a la ocurrencia de un escenario.
Por razones metodológicas, la probabilidad de excedencia de la pérdida 𝑝, dado que ocurrió un evento, suele expresarse de la siguiente manera:
𝑃𝑟(𝑃 > 𝑝|𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜) = ∫ 𝑃𝑟(𝑃 > 𝑝|𝐼)𝑓(𝐼|𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜)𝑑𝐼𝐼
El primer término del integrando, 𝑃𝑟(𝑃 > 𝑝|𝐼), es la probabilidad de que la pérdida exceda el valor 𝑝 dado que la intensidad local fue 𝐼; este término, por tanto, toma en cuenta la incertidumbre que hay en las relaciones de vulnerabilidad. Por otro lado, el término 𝑓(𝐼|𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜) es la densidad de probabilidades de la intensidad, condicionada a la ocurrencia del evento; este término toma en cuenta el hecho de que, dado que ocurrió un evento, la intensidad en el sitio de interés es incierta.
3.7 Estimadores puntuales del riesgo
Como se indicó anteriormente, la curva de tasas de excedencia de pérdidas, 𝑣(𝑝), tiene toda la información necesaria para caracterizar el proceso de ocurrencia de eventos que produzcan pérdidas. Sin embargo, en ocasiones (Ec.2)
no es práctico utilizar una curva completa, por lo que conviene utilizar estimadores puntuales del riesgo que permitan expresarlo con un solo número. Los dos estimadores puntuales más comúnmente utilizados son:
a. Pérdida anual esperada (PAE): se trata del valor de la pérdida esperado anualmente. Es una cantidad importante puesto que indica, por ejemplo, que si el proceso de ocurrencia de eventos dañinos fuera estacionario de aquí a la eternidad, su costo equivaldría a haber pagado la PAE anualmente. Es usual también expresar la PAE como una fracción del valor total de reposición; llamaremos a esta cantidad la tasa pura de riesgo (TPR). La PAE puede obtenerse por integración de 𝑣(𝑝) o mediante la siguiente expresión:
𝑃𝐴𝐸 = ∑𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠𝑖=1 𝐸(𝑃|𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑖)𝐹𝐴(𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑖)
b. Pérdida máxima probable (PML por las siglas en inglés de Probable Maximum Loss): se trata de una pérdida que no ocurre frecuentemente, es decir, que está asociada a un periodo de retorno muy largo, o alternativamente, a una tasa de excedencia muy baja. La elección de un periodo de retorno u otro para tomar cierta decisión depende de la aversión al riesgo de quien la está tomando.
3.8 Probabilidad de excedencia de valores de pérdida
La curva de pérdidas 𝑣(𝑝), indica la frecuencia con la que ocurrirán eventos que producirán pérdidas iguales o superiores a una pérdida 𝑝 dada. Si suponemos que el proceso de ocurrencia de eventos en el tiempo obedece a un proceso de Poisson, entonces, es posible calcular la probabilidad de que la pérdida 𝑝 sea excedida en un lapso 𝑇, es decir, en los próximos 𝑇 años, con la siguiente expresión:
𝑃𝑟(𝑝, 𝑇) = 1 − 𝑒−𝑣(𝑝)𝑇
donde 𝑃𝑟(𝑝, 𝑇) es la probabilidad de que la pérdida 𝑝 sea excedida en los próximos 𝑇 años.
3.9 Análisis para un solo escenario
El análisis probabilista de riesgo se realiza normalmente para el conjunto completo de escenarios que determinan la amenaza. Sin embargo, si así se desea, el análisis puede realizarse sólo para un escenario. Si se hace que la frecuencia anual de ocurrencia de este escenario sea 1, la aplicación de la ecuación de cálculo de 𝑣(𝑝) nos conduciría a las probabilidades de excedencia (ya no frecuencias anuales de excedencia) de valores de pérdida 𝑝, dado que el escenario en cuestión ocurrió.
El análisis de escenario tiene aplicaciones importantes en el campo de la planeación territorial, ya que sus resultados pueden graficarse en planos, en términos del valor esperado de la pérdida, que pueden fácilmente incorporarse en los planes de ordenamiento territorial.
(Ec.4) (Ec.3)
4 CÁLCULO DE GASTO DE DESCARGA DE UNA PRESA
Para el análisis de inundaciones es importante identificar el tipo de descarga que está fluyendo aguas abajo de una presa. En este capítulo se analizan dos casos:
Descarga por la obra de excedencias de una presa de almacenamiento
Hidrograma de salida de una presa debido a su ruptura
En la Tabla 1 se definen los términos más importantes para la operación de una presa.
Tabla 1. Definiciones de los niveles de almacenamiento y operación en presas NAME Nivel de Aguas Máximas Extraordinarias, que corresponde al
nivel más alto que debe alcanzar el agua en un vaso bajo cualquier condición.
NAMO Nivel de Aguas Máximas Ordinarias o de Operación, es el máximo nivel del agua que puede operar la presa para satisfacer las demandas.
Superalmacenamiento Es el volumen que se encuentra entre el NAME y el NAMO, y es utilizado para controlar las avenidas que se presentan cuando el nivel en el vaso de la presa está cercano al NAMO.
NAMINO Nivel de Aguas Mínimas de Operación, corresponde al nivel más bajo con que opera una presa.
NAMIN Nivel de Aguas Mínimas, corresponde al nivel más bajo con que opera una presa cuando ésta es con fines de irrigación y otros usos. Cuando la presa tiene fines de generación de energía eléctrica se emplean el NAMIN y el NAMINO. Corresponden a elevaciones diferentes y en este caso el NAMINO está por encima del NAMIN, siendo este último nivel al que se considera en el diseño para contener los azolves y coincide también con el umbral de la obra de toma.
Capacidad Útil de Almacenamiento
Se refiere, al volumen existente entre el NAMO y el NAMINO en las presas hidroeléctricas, o al volumen existente entre el NAMO y el NAMIN en las de uso hidroagrícola.
Capacidad Total de Almacenamiento
Preferentemente debe indicarse la elevación a la que corresponde, generalmente es al NAME. Considera los volúmenes útil y de superalmacenamiento.
Cuando la presa no controla sus excedencias por medio de compuertas u obturadores, el nivel de la cresta del vertedor coincide con el NAMO. En caso de contar con estructuras para controlar las excedencias, el NAMO se localiza a una elevación entre el nivel de descarga del vertedor y el NAME.
En las Figura 2 y Figura 3 aparecen los croquis del corte transversal y del corte longitudinal tipo de una presa de almacenamiento con compuerta y sin compuerta, donde se pueden observar los principales niveles que se mencionan en la Tabla 1.
Figura 2. Esquema de una presa de almacenamiento con compuertas en el vertedor
Figura 3. Esquema de una presa de almacenamiento sin compuertas en el vertedor
4.1 Estimación del hidrograma de salida por la obra de excedencias de una presa.
La relación entre la elevación del agua y el almacenamiento en el embalse se representa por medio de dos curvas características:
1. Curva Área-Elevación: se construye a partir de información topográfica determinando el área comprendida entre cada curva batimétrica de nivel del vaso y nos indica la superficie inundada correspondiente a cada elevación
2. Curva Capacidad-Elevación: se obtiene mediante la integración de la curva área-elevación. Indica el volumen almacenado correspondiente a cada elevación
Figura 4. Curvas características del vaso de almacenamiento Área-Elevación
Figura 5. Curvas características del vaso de almacenamiento Volumen-Elevación
El tránsito de avenidas en un vaso significa determinar el hidrograma de salida por la obra de excedencias dado un hidrograma particular de entrada al vaso correspondiente a una avenida. El efectuar el tránsito de una avenida nos permite:
Conocer la evolución de los niveles de la presa y de los gastos de salida por la obra de excedencias
Dimensionar la obra de excedencias, pues a través del tránsito de la avenida de diseño conoceremos el gasto máximo que se debe desalojar a través de los vertedores
Fijar el nivel de aguas máximas extraordinarias (NAME) y por lo tanto, la capacidad de súperalmacenamiento
Para realizar el tránsito de una creciente en un embalse, se debe contar con la siguiente información:
Curva de volumen del embalse en función del nivel del agua 𝑆 = 𝑓(ℎ)
Hidrograma de entrada 𝐼 = 𝑓(𝑡)
Curva que relaciona el nivel del agua con el gasto de descarga 𝑄𝐷 = 𝑓(ℎ)
Existen varios procedimientos para determinar el tránsito de crecientes en un vaso, los cuales pueden ser consultados, por ejemplo, en Aparicio (1989).
Para estimar las avenidas de diseño, en la mayoría de los casos se cuenta con estaciones hidrométricas en las que se miden los gastos de ingreso, o bien con un registro diario de la evolución de los almacenamientos, que junto con la medición de las descargas permite estimar los gastos medios de ingreso. En ambos casos los datos históricos pueden encontrarse en la base de datos “BANDAS” elaborada por el Instituto Mexicano de Tecnología del Agua (IMTA), aunque en el segundo caso se requiere un análisis cuidadoso de los datos, debido a que ocasionalmente se presentan errores en los datos de elevaciones en el vaso.
En general, las avenidas asociadas a diferentes periodos de retorno deben calcularse con los datos de escurrimientos y considerando la forma completa de las avenidas.
4.2 Planteamiento teórico para el cálculo de la avenida de diseño en presas con gran capacidad de regulación.
La estimación y revisión del caudal de diseño de una obra hidráulica es un problema fundamental de aprovechamientos hidráulicos. En los casos en que se pretende diseñar vertedores de presas con gran capacidad de regulación, para definir el gasto de diseño del vertedor es necesario considerar tanto el gasto de pico como el volumen y hasta la forma de la avenida. Para esto debe considerarse que las avenidas que ingresan al sitio que se analiza tienen un carácter aleatorio.
Es importante tomar en cuenta que la estimación de las avenidas que puede generar la cuenca es solamente una herramienta que se utiliza para simular su tránsito por el vaso y obtener el gasto de descarga por el vertedor. En otras palabras, lo que se pretende es estimar la distribución de probabilidades de los gastos máximos de descarga correspondiente a un vertedor y a una política de operación dados.
Si se considera que el gasto máximo de descarga de un vertedor es una función del pico y el volumen de la avenida de ingreso a su vaso, puede plantearse el siguiente procedimiento teórico para estimar la probabilidad de que un gasto de salida dado, 𝑄𝑑, sea igualado o excedido:
a) Se realiza el tránsito de un gran número de avenidas con distintas combinaciones de gasto pico y volumen para definir la región A, correspondiente a las combinaciones para las que 𝑄𝑑 se iguala o se excede (Figura 6)
b) Con base en la muestra histórica, se obtiene la función de densidad de probabilidades conjunta (o bivariada) de los gastos y los volúmenes de las avenidas máximas anuales(Figura 7)
c) La probabilidad de excedencia (anual) se obtiene como la integral de la función bivariada en la región A de la Figura 6
Figura 6. Combinaciones de gasto pico y volumen para las que el gasto de descarga iguala o excede el valor 𝑸𝒅
Figura 7. Función de densidad de probabilidades bivariada Pico-Volumen
El procedimiento descrito tiene algunas dificultades para ser aplicado en la práctica, dentro de las que destacan: 1) definir cuándo inicia y cuándo termina cada avenida histórica para poder calcular su volumen; 2) darle forma a las crecientes de diseño y a las que deben transitarse para obtener la región A de la Figura 6; y 3) integrar las distribuciones bivariadas en regiones limitadas por una curva. Debido a lo anterior se han desarrollado diversos métodos para la estimación de avenidas de diseño, que consideran su gasto máximo, su volumen y su forma.
4.3 Cálculo de la avenida de diseño en presas con gran capacidad de regulación
A continuación se describen dos métodos para obtener avenidas asociadas a distintos periodos de retorno en el caso de presas con capacidad de regulación significativa.
4.3.1 Método del Instituto de Ingeniería de la UNAM
El método desarrollado en el Instituto de Ingeniería de la UNAM permite estimar avenidas de diseño considerando su gasto máximo, su volumen y su forma. Consta de las siguientes etapas:
Caracterización de las avenidas históricas
Para caracterizar estadísticamente las avenidas históricas se determinan los gastos medios diarios máximos para distintas duraciones, desde un día hasta un número 𝑁 de días suficientemente grande. En un año dado, el gasto medio máximo para una duración de un día corresponde al gasto medio máximo anual. Para obtener los gastos medios máximos anuales para las otras duraciones 𝑛 se utiliza la siguiente ecuación:
𝑄̅𝑀𝑛 = 𝑚á𝑥𝑖 (1
𝑛 ∑ 𝑄𝑘
𝑖+𝑛−1
𝑘=𝑖
)
Para: 𝑛 = 2, 3, … 𝑁 , 𝑖 = 1, 2, … , 365 − 𝑛
donde 𝑄̅𝑀𝑛 es el gasto medio máximo para 𝑛 días de duración, 𝑄𝑘 gasto medio diario el día 𝑘, 𝑖 contador del día en que inicia el lapso de duración 𝑛.
Extrapolación
La extrapolación para estimar los valores asociados a distintos periodos de retorno se realiza por separado para cada duración ajustando una función de distribución a cada una de las muestras de máximos anuales obtenidas (Figura 8. y Figura 9)
Figura 8. Ejemplo de ajuste a una función de distribución de datos máximos medios anuales para duración de un día
0 2500 5000 7500 10000 12500 15000 17500 20000 22500 25000 27500 30000 32500 35000 37500 40000 42500 45000
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Gasto m3/s
-LnLn(Tr/(Tr-1))
Medidos Calculados
(Ec.5)
Figura 9. Ajuste a una función de distribución de datos máximos medios anuales para una duración de 5 días
Determinación de los gastos medios diarios para distintos periodos de retorno
Para cada periodo de retorno considerado, se determinan los gastos diarios que formarán la avenida de diseño, a partir del concepto de gasto medio, mediante la siguiente ecuación:
𝑄𝑛 = 𝑛 𝑄̅𝑀𝑛 − ∑ 𝑄𝑖
𝑛−1
𝑖
(Ec. 6)
Para 𝑛 = 1, 2, 3, … , 𝑁
donde 𝑁 es el número total de días de la avenida; 𝑄̅𝑛 el gasto medio para una duración de 𝑛 días y 𝑄𝑖 los gastos individuales para 𝑖 = 1 hasta 𝑁.
Ordenamiento para construir la avenida de diseño
El hidrograma de la avenida de diseño se construye con los gastos medios diarios obtenidos con la (Ec. 6). Para ello se utiliza el método de alternar bloques, en el que a la mitad de la duración total se coloca el pico de la avenida (𝑄1); hacia adelante se coloca el segundo gasto (𝑄2), hacia atrás el tercero (𝑄3) y así sucesivamente, como se muestra en la Figura 10.
1.01 1.11 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000
0 1000 2000 3000
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Gasto m3/s
Variable reducida, Z= - LnLn(Tr/(Tr-1)) Gumbel. Duración 5 días
Periodo de Retorno, T, en años
Medidos Calculados
Figura 10. Ejemplo de bloques alternados para dar forma a la avenida de diseño
Este método tiene la ventaja de que no requiere establecer de antemano el volumen total de la avenida; solo requiere definir un número suficiente de días 𝑁 para asegurar que se incluya la forma completa de todas las avenidas históricas.
4.3.2 Método de Ramírez y Aldama
En Ramírez y Aldama (2000), y Aldama y Ramírez (2002) se utilizan las siguientes expresiones:
𝑄̃𝑝 =𝑄𝑝−𝑢𝑞
𝛼𝑞 (Ec. 7)
𝑉̃ = 𝑉 − 𝑢𝑉
𝛼𝑉 (Ec. 8)
Los cuales constituyen valores normalizados del gasto de pico y del volumen, donde 𝑢𝑞, 𝑢𝑉 y 𝛼𝑞, 𝛼𝑉 son los parámetros de ubicación y escala para la distribución de mejor ajuste de cada variable. De esta manera 𝐹̃𝑞𝑣(𝑄̃𝑝 , 𝑉̃) representa la distribución bivariada adimensional de la descarga de pico y del volumen, cuyas distribuciones marginales se denotan como 𝐹̃𝑞(𝑄̃𝑝) y 𝐹̃𝑉(𝑉̃).
De acuerdo a esta metodología una función de distribución multivariada de valores extremos debe satisfacer las restricciones de Fréchet y las condiciones impuestas por el postulado de estabilidad. Los mismos autores indican que Gumbel propuso el modelo logístico que satisface esas condiciones y restricciones; el modelo logístico toma la siguiente forma:
𝐹̃𝑞𝑉(𝑄̃𝑝, 𝑉̃) = 𝑒𝑥𝑝 {−[[−𝑙𝑛𝐹̃𝑞(𝑄̃𝑝)]𝑚+ [−𝑙𝑛𝐹̃𝑉(𝑉̃)]𝑚]
𝑚1} (Ec. 9)
donde 𝑚 ∈ [1, ∞] representa un parámetro de asociación; cuando 𝑚 = 1 se presenta el caso de independencia estocástica y cuando 𝑚 → ∞ el caso de dependencia completa. Para satisfacer el postulado de estabilidad de Fréchet, las distribuciones marginales univariadas de valores extremos 𝐹̃𝑞(𝑄̃𝑝) y 𝐹̃𝑉(𝑉̃) pueden ser de alguno de los tres tipos (tipo I Gumbel, tipo II Fréchet o tipo III Weibull). La distribución Gumbel es comúnmente utilizada para la representación de gastos máximos anuales y volúmenes máximos anuales. Sin embargo, se ha encontrado que cuando 𝐹̃𝑞(𝑄̃𝑝) y 𝐹̃𝑉(𝑉̃) se representan mediante funciones de distribución Gumbel mezcladas (también llamadas doble Gumbel), el postulado de estabilidad también se satisface. Las distribuciones mezcladas suelen utilizarse en el caso de la representación de datos que pertenecen a dos poblaciones.
El parámetro de asociación 𝑚 presentado en la (Ec. 13), puede calcularse en términos del coeficiente de correlación 𝜌, entre los de 𝑄̃𝑝 y 𝑉̃ dados en la (Ec. y (Ec. expuestas anteriormente.
Periodo de retorno conjunto
Ya se ha definido que para una variable aleatoria 𝑋, que corresponde a valores máximos anuales, el periodo de retorno 𝑇, en años, de un evento de magnitud 𝑥, se define como el inverso de la probabilidad de que en un año cualquiera el evento 𝑥 sea igualado o excedido, esto es:
𝑇 = 1
𝑃(𝑋 > 𝑥) (Ec. 10)
Es decir, que el inverso de dicho periodo de retorno, en términos de la probabilidad de no excedencia es:
1
𝑇= 𝑃(𝑋 > 𝑥) = 1 − 𝐹(𝑥) (Ec. 11)
Para el caso de una función bivariada, Ramírez y Aldama consideran el evento correspondiente a que el gasto máximo anual 𝑥 y el volumen máximo anual 𝑦 sean excedidos simultáneamente, de tal manera que el periodo de retorno 𝑇, en años, correspondiente es:
𝑇 = 1
𝑃(𝑋 > 𝑥, 𝑌 > 𝑦) (Ec. 12)
Figura 11, para este caso el inverso de dicho periodo de retorno, en términos de la función de distribución bivariada y de las funciones marginales se obtiene como:
1
𝑇 = 𝑃(𝑋 > 𝑥, 𝑌 > 𝑦) = 1 − 𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑦) + 𝐹(𝑥, 𝑦) (Ec. 13)
Figura 11. Región para la estimación del periodo de retorno conjunto
Estimación de eventos de diseño
De acuerdo con la forma de la (Ec. 13), que cuantifica al inverso del periodo de retorno conjunto, existe un número infinito de pares de valores de 𝑥 = 𝑄𝑝 y de 𝑦 = 𝑉 que corresponden a un periodo de retorno dado; por ello, según Ramírez y Aldama es necesario determinar cuál de esos pares producen los peores efectos en la presa a ser diseñada o evaluada.
Si 𝑍𝑚 = 𝑍𝑚(𝑄𝑝, 𝑉), representa la elevación más alta de la superficie libre del agua que se alcanza en un embalse una vez que el hidrograma de entrada, definido por una pareja de 𝑄𝑝 y 𝑉 que cumplen con la (Ec. 13), es transitado por dicho embalse, la combinación que produce los peores efectos puede estimarse resolviendo un problema de optimización no lineal:
𝑚á𝑥(𝑄𝑝,𝑉) 𝑍𝑚 = 𝑍𝑚(𝑄𝑝, 𝑉) (Ec. 14)
sujeto a
𝑇𝑄𝑝𝑉 = 1
1 − 𝐹𝑞(𝑄𝑝) − 𝐹𝑉(𝑉) + 𝐹𝑞𝑉(𝑄𝑝 , 𝑉) (Ec. 15) donde 𝑇𝑄𝑝𝑉 es conocido.
Para determinar el gasto de pico y el volumen de una avenida a un periodo de retorno conjunto se debe determinar primero la función de distribución bivariada, 𝐹𝑞𝑉(𝑄𝑝 , 𝑉) . Los parámetros que la caracterizan pueden estimarse con el método de máxima verosimilitud usando un algoritmo genético.
Una vez obtenidos los parámetros de la función bivariada, para un periodo de retorno dado, el problema de optimación planteado en las (Ec. 14) y (Ec.15) se resuelve dando varios valores a 𝑄𝑝 y encontrando, para cada uno, el valor de 𝑉 que satisface la (Ec. 15). Para cada pareja de valores (𝑄𝑝 , 𝑉) obtenidos, se puede generar una avenida de diseño que puede ser de gran volumen, de gran gasto pico o intermedio (Figura 12); para seleccionar la más desfavorable se simula el tránsito de cada una de las avenidas por el vaso de la presa.
Figura 12. Curvas de eventos de diseño (𝑸𝒑, 𝑽) para un periodo de retorno dado
Construcción de la avenida de diseño con hidrogramas hermitianos Con el fin de simplificar la descripción de un hidrograma, 𝑄 = 𝑄(𝑡), donde 𝑄 representa el caudal y 𝑡 el tiempo, es muy conveniente su parametrización. La forma más sencilla de parametrización de un hidrograma debe contener los parámetros más importantes a saber: el caudal pico, 𝑄𝑝; el tiempo de pico, 𝑡𝑝; y el volumen de escurrimiento, 𝑉.
Ramírez y Aldama, proponen una parametrización simple en términos de una familia de polinomios hermitianos de grado impar. Un hidrograma construido sobre la base de polinomios de grado 2𝑛 + 1 que pertenecen a esta familia y sus derivadas por arriba del orden 𝑛 son continuas en el comienzo del hidrograma, en su punto máximo, y en su porción final.
Además, todos los miembros de la familia tienen el mismo volumen de escurrimiento para un caudal pico y tiempo de base dados, 𝑡𝑏, dado por:
Gran volumen
Intermedio
Gran gasto de pico
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
V (millones de m3)
Qp (m3/s) T=5000 años
𝑡𝑏 =2𝑉
𝑄𝑝 (Ec. 16)
Así, un hidrograma triparamétrico, hermitiano de tercer orden se puede estimar (Ramírez y Aldama, 2000) como:
𝑄(𝑡) =
{
𝑄𝑝 ⌈3 (𝑡 𝑡𝑝)
2
− 2 (𝑡 𝑡𝑝)
3
⌉ ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡𝑝
𝑄𝑝 ⌈1 − 3 (𝑡 − 𝑡𝑝 𝑡𝑏− 𝑡𝑝)
2
+ 2 (𝑡 − 𝑡𝑝 𝑡𝑏− 𝑡𝑝)
3
⌉ ; 𝑡𝑝 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡𝑏 0 ; 𝑡 ≥ 𝑡𝑏
(Ec. 17)
Mientras que el tiempo base y el tiempo de pico se aproximan de la siguiente manera.
𝑡𝑏 =2 V
Qp (Ec. 18)
𝑡𝑝 = 3
8 𝑡𝑏 (Ec. 19)
Un ejemplo de la forma adoptada por este tipo de hidrograma se ilustra en la Figura 13.
Figura 13. Ejemplo de un hidrograma unitario triparamétrico
El principal inconveniente del método de Ramírez y Aldama es la subjetividad inherente a la estimación del volumen total de la avenida, ya que en la práctica las avenidas históricas pueden presentar varios gastos de pico sucesivos (Figura 14), lo que hace difícil establecer dónde inicia y dónde termina el hidrograma.
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
0 86400 172800 259200 345600 432000
Q (m3/s)
t (s) Qp
tp
Figura 14. Ejemplo de avenidas históricas con múltiples gastos de pico sucesivos
0 500 1000 1500 2000 2500
0 5 10 15 20 25 30 35
Q (m3/s)
t, días
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
0 5 10 15 20 25 30 35
Q (m3/s)
t, días
5 EJEMPLO DE EVALUACIÓN DE RIESGO POR INUNDACIONES
Con la finalidad de ejemplificar el desarrollo del proyecto y satisfacer los objetivos del presente estudio, se ha realizado un ejercicio que describe el desarrollo de los puntos descritos. El objetivo particular de este ejemplo es mostrar los resultados del análisis de riesgo.
El desarrollo del ejemplo emplea diversos modelos numéricos con la finalidad de realizar los cálculos hidráulicos para la identificación de inundaciones y, con ello, la valoración del riesgo.
Evidentemente, la calidad de los resultados es función de la calidad de la información con que sean ejecutados los cálculos.
Además, con el ejercicio realizado se pueden determinar las ventajas y limitantes del método empleado, lo cual es recomendable conocer para poder aplicar los criterios adecuados en la ejecución de proyectos similares.
5.1 Sitio de análisis
Se analizaron diferentes sitios en donde se pudiera realizar el ejemplo, eligiéndose una zona con topografía sencilla de donde se pudiera tener información veraz. En la Figura 15 se presenta una vista general del sitio seleccionado; en ella se observa el trazo del poblado, su infraestructura vial y el cauce del río que pasa a un lado.
Figura 15. Sitio de estudio para el ejemplo de aplicación
En la Figura 16 se presenta un detalle del poblado ubicado en la margen derecha del cauce. Igualmente se aprecian algunos predios ubicadas en la margen izquierda.
Figura 16. Detalle del sitio de estudio
5.2 Recopilación de información
La información básica requerida se puede dividir, para su clasificación más general, en condiciones físicas y condiciones hidráulicas.
Dentro de las condiciones físicas se requiere identificar la topografía de la zona expuesta a inundación, su información catastral, y la morfología del cauce y sus zonas adyacentes.
5.2.1 Topografía del sitio y morfología del cauce
Para contar con la información más precisa, lo recomendable es realizar los levantamientos topográfico y batimétrico del río que se esté analizando en la zona donde se encuentre la población y/o infraestructura expuesta para identificar las zonas potencialmente inundables (Figura 17).
Durante la visita de campo se deben identificar las secciones transversales del cauce en las zonas más probables de presentar desbordamientos. La identificación de esta zona es relativamente fácil, ya sea mediante estudios y con evidencias locales del comportamiento que presenta una sección en cada temporada de lluvia. Se debe prestar mayor detalle en el levantamiento topográfico de las zonas más conflictivas.
Figura 17. Dibujo en planta del levantamiento de un río
Debido a los altos costos y al tiempo requerido para realizar un levantamiento en sitio (incluido el procesamiento de los datos del levantamiento), resulta en ocasiones conveniente el empleo de los llamados modelos digitales de elevación que a partir de imágenes satelitales determinan la configuración topográfica. La precisión de los resultados depende directamente de la calidad de las imágenes, así como del tamaño de la malla con que generan la configuración; es importante señalar que estas imágenes presentan problemas en las zonas que tienen presencia de agua, los cuales se pueden resolver en campo con actividades batimétricas mínimas.
En la Figura 18 y Figura 19 se muestra la distribución de las secciones transversales a lo largo del tramo de estudio sobre el cauce analizado en el ejemplo. La Figura 18 muestra las secciones a lo largo de todo el tramo estudiado, mientras que la Figura 19 presenta el detalle de los seccionamientos que involucran a la población.
Figura 18. Trazo de las secciones sobre el cauce
Figura 19. Secciones sobre el cauce y el poblado
5.2.2 Hidrología
Con respecto a la hidrología del sitio, la información relevante está constituida por las combinaciones volumen-gasto pico que transitan por el cauce para diferentes frecuencias anuales de ocurrencia; para estos fines puede consultarse el Capítulo 4 de este trabajo.
En el presente ejemplo se utiliza una descripción hidrológica simplificada, constituida exclusivamente por la curva de gasto contra periodo de retorno.
Daremos por hecho que a cada valor del gasto máximo anual le corresponde un solo hidrograma posible, que es el que se transitará por el modelo hidráulico definido anteriormente. En estas condiciones, un evento estará constituido por el tránsito de un gasto específico, cuya frecuencia anual de ocurrencia determinaremos a continuación.
En la Figura 20 se presenta la curva de gasto contra periodo de retorno que se ha obtenido después de analizar el comportamiento de la presa, empleando los métodos descritos en el Capítulo 4. Puede observarse que la presa descargará 978.07 m3/s ó más en promedio cada dos años, mientras que para un periodo de retorno de 5,000 años presentará una descarga de 9,369.42 m3/s ó más.
A primera vista, podría sorprender que para el análisis de riesgo se utilicen periodos de retorno mayores a los que se emplean para el diseño de las obras. Sin embargo, es imprescindible incluir estos eventos extremos puesto que no se está revisando la seguridad de una obra en particular, sino la evaluación las pérdidas que se presentarían bajo un régimen hidrológico en particular.
Tr (años)
Gasto (m3/s)
2 978.07
5 1844.60
10 2891.44 20 3748.83 50 4744.48 100 5459.44 200 6160.41 500 7077.27 1000 7770.25 2000 8452.56 5000 9369.42 10000 10051.73
Figura 20. Curva Gasto vs Periodo de retorno
Como se señaló anteriormente, será necesario identificar un conjunto de eventos colectivamente exhaustivos y mutuamente excluyentes, que representen el régimen hidrológico implícito en la curva de la Figura 20.
Para los fines de este ejercicio, se ha divido el rango de gastos que va de 978 m3/s a 10,052 m3/s en 50 clases, caracterizadas por su marca de clase, es decir, el valor medio del intervalo. A continuación, se debe asignar una frecuencia anual de ocurrencia a cada uno de estos escenarios.
La curva hidrológica presentada en la figura anterior no puede usarse directamente para obtener la frecuencia anual de ocurrencia de un gasto específico. Conviene recordar que las curvas como la presentada anteriormente indican con qué periodo de retorno ocurrirá un evento en que se exceda un valor de gasto determinado. Por ello, el inverso de este periodo de retorno no es la frecuencia anual de ocurrencia de un evento con gasto dado, sino la frecuencia anual de excedencia de dicho gasto.
Sea 𝑇(𝑄) la relación gasto contra periodo de retorno del sitio en estudio; su inverso, que llamaremos 𝜆(𝑄) es la frecuencia anual de excedencia de este evento. Para cada una de las 50 clases en que hemos dividido el rango, digamos la 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑎, caracterizada por su marca de clase, la frecuencia anual de ocurrencia del evento 𝑖, 𝐹𝐴𝑖, puede calcularse de la siguiente manera:
𝐹𝐴𝑖 = 𝜆(𝑄𝑖𝑖) − 𝜆(𝑄𝑠𝑖)
donde 𝑄𝑖𝑖 y 𝑄𝑠𝑖 son, respectivamente, los gastos inferior y superior de la 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 clase.
En la tabla siguiente se presentan los gastos y frecuencias anuales de ocurrencia asociadas a cada uno de los escenarios.
Tabla 2. Gastos y frecuencias anuales de ocurrencia asociadas a cada uno de los escenarios
0 2,000 4,000 6,000 8,000 10,000 12,000
0 2,000 4,000 6,000 8,000 10,000
GASTO (m3/s)
PERIODO DE RETORNO Tr (años)
(Ec. 20)
