OBJETIVO Nº 2: Calcular medidas de tendencia central para datos no agrupados y para datos agrupados.

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGIA DE LOS LLANOS.

EXTENSIÓN ALTAGRACIA DE ORITUCO.

ASIGNATURA: ESTADISTICA

ESPECIALIDAD: ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS AGROPECUARIAS SEMESTRE: I.

OBJETIVO Nº 2:

Calcular medidas de tendencia central para datos no agrupados y para datos agrupados.

CONTENIDO:

• Sumatoria.

• Media aritmética, media geométrica, media armónica, mediana y moda para datos no agrupados.

• Media aritmética, media geométrica, media armónica, mediana y moda para datos agrupados.

Sumatoria.

Notación de índices:

Denotemos por Xj (léase X sub j) cualquiera de las variables X1, X2, X3, .... , Xn que toma una variable X. La letra j puede ser 1, 2, 3 ... n se llama subíndice.

Notación de suma:

El símbolo ∑ (sigma) denota la suma de ciertos valores.

Denotará la suma de los valores Xj

desde j=1 hasta j=N por definición:.

∑

+ + + +

N =

j

X

X X X X

1 1 2 3

...

∑

+ + +

+

N =

j

N N j

j

Y X Y X Y X Y X Y

X

1

3 3 2 2 1

1

...

∑ ∑

= =

= +

+ + +

N =

j

N j

j N

j

aX aX aX aX a X

aX

1 1

3 2

1

... Si a es contante.

∑ ∑ ∑ ∑

=

+ +

=

−

N +

j

Z c Y b X a cZ bY aX

1

( Si a , b y c son contantes.

j N j

∑ X

=1

Medidas de tendencia central para datos no agrupados.

Son medidas descriptivas numéricas. Las medidas de esta clase para una población se llaman parámetros. Las medidas descriptivas numéricas obtenidas a partir de una muestra se denominan estadísticas.

Una de las medidas de tendencia central más común y útil, es el promedio común de un conjunto de mediciones. En estadística a ese valor se le conoce como media aritmética.

Media Aritmética: designada por μ es el promedio ordinario y se obtiene dividiendo la suma de todas las variantes en la población por el número de ellas. Cuando se calcula con una muestra se denota con una “x” sobre la cual hay una línea y se lee “x barra” o “x trazo”

Propiedades de la media aritmética:

Usando los datos del ejemplo anterior pasaremos a enunciar y demostrar cada propiedad.

1. La suma de las desviaciones de un conjunto de valores respecto de su media es cero.

Xj Xj - μ 2

2 4 5 2

-1 -1 1 2 -1 Total = 15 Total = 0

2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de un conjunto de valores respecto de un cierto número “a” es mínima si y solo si “a” es la media aritmética.

Xj Xj - 3 (Xj – 3)² (Xj – 2)² 2

2 4 5 2

-1 -1 1 2 -1

1 1 1 4 1

0 0 4 9 0 Total = 15 Total = 0 Total = 8 Total = 13

N

∑ X

=

=

x

µ

3

5 15 5

2 5 4 2

2

µ =

( )

∑

( )

∑ ^X

^a

Es mínima si y solo si

a

es la media aritmética

3. Si f1 números tienen media m1, f2 números tienen media m2, ... , fk números tienen media mk, entonces, la media de todos los números es

También conocida como media ponderada.

4. Si A es una media aritmética supuesta o conjeturada (que puede ser cualquier número) y su dj = Xj – A son las desviaciones de Xj respecto de A entonces

Si A=5 entonces;

Xj Xj - μ 2

2 4 52

-3 -3 -1 -30 Total = 15 Total = -10

Media geométrica:

La media geométrica de un conjunto de valores X1, X2 , X3, ... , Xn es la raíz enésima del producto de los N valores.

Media armónica:

La media armónica H de un conjunto de valores X1, X2 , X3, ... , Xn es el recíproco de la media aritméticas del recíproco de cada valor.

Moda:

k k k

f f

f

m f m

f m x f

+ + +

+ +

= +

...

. ...

. .

2 1

2 2 1 1

N A d

x

∑

3 2 5 5

5 + − 10 = − =

= x

N

X X X X

G

.

.

... G

2 · 2 · 4 · 5 · 2

2 . 759

∑

∑

=

X N

X N

H 1 1 1

1 2 . 564

2 1 5 1 4 1 2 1 2 1

1

+ + + +

=

H

La moda de un conjunto de valores es el valor o los valores que más se repitan es decir que se presentan con mayor frecuencia. La moda puede no existir en cuyo caso se dice que el grupo de valores en Amodal, e incluso no ser un valor único pudiendo ser monomodal cuando hay una sola moda, bimodal cuando hay dos, trimodal cuando son tres y así sucesivamente. Para demostrarlo tenemos los siguientes grupos de valores.

a. 2, 2, 5, 7 9, 9, 9, 10, 11, 10, 12 Moda = 9, monomodal b. 3, 5, 8, 12, 4, 7, 10 Moda = no tiene, amodal c. 2, 3, 4, 4, 4, 3, 3, 5, 5, 5, 7, 7 Modas = 4 y 5, bimodal.

Mediana:

La mediana de un conjunto de valores es el valor central o el promedio de los valores centrales de un conjunto de valores ordenados en magnitud. Es importante ordenar previamente los valores antes de pasar a determinar la mediana. Ejemplos:

a. 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10 Mediana = 6.

b. 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 18 Mediana = ½(9 + 11)=10.

Medidas de tendencia central para datos agrupados.

Frecuentemente los datos publicados sólo están a nuestra disposición en la forma de una distribución de frecuencias. Buena razón para analizar el cálculo de descripciones estadísticas a partir de datos agrupados.

Media Aritmética: Para escribir la fórmula de la media de una distribución de n clases designadas las marcas de clase sucesivas con X1, X2, X3 ... Xn, y las correspondientes frecuencias de las clases con f1, f2, f3, ... fn. La fórmula sería:

n f X

∑ X

Mediana: Para calcular la mediana de un conjunto de datos agrupados en una tabla de distribución de frecuencias se usa la siguiente fórmula:

Donde: Xi: Centroide

fi: Frecuencia absoluta

( )

f C N f L Mediana

m

i − ×

+

=

₂ ∑

C: Amplitud de la clase mediana fm: Frecuencia de la clase mediana

∑f1: Sumatoria de las frecuencias anteriores a la clase mediana

Moda: La moda para datos agrupados, se define como el centro de clase de la clase con mayor frecuencia, o sea, aquel valor alrededor del cual los términos tienden a concentrarse más densamente. Para calcular la moda de un conjunto de datos agrupados en una tabla de distribución de frecuencias se usa la siguiente fórmula:

C L

Moda

∆ +

∆ + ∆

=

2 1

1

Donde: Li: Frontera inferior de la clase modal

∆1: Diferencia de la frecuencia modal con la clase anterior

∆1: Diferencia de la frecuencia modal con la clase siguiente

C: Amplitud de la clase mediana

Ejercicios propuestos:

1. Una empresa de distribución de mercancía funciona con diez camiones y durante los últimos seis meses se han reunido los datos en una tabla que muestra el número de camiones que han estado fuera de servicio debido a alguna falla.

Cuadro 1. Fallas de los camiones en una empresa de distribución de merca.

Camiones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Días fuera de

servicio 7 23 4 8 2 12 6 13 9 4

Usando los datos anteriores calcule la media aritmética.

2. Un pescador captura en un determinado día 2 peces de 1 kg, 4 peces de 2 kg, 6 de 3 kg, y seis de cinco kilogramos. ¿Cuál es el peso promedio de la pesca realizada.

3. Tomando como base los datos de cuadro 2, Calcular la media aritmética.

Cuadro 2. Distribución de precios al detal que se pagan por 200 pares de zapatos para damas.

Precio Bs. Fa

1700 – 3400 19

3401 – 5100 46

5101 – 6800 69

6801 – 8500 35

8501 – 10200 22

10201 – 11900 9

4. Una compañía usa tres tipos de obreros - Calificados, Semicalificados y Calificados – para elaborar dos productos. Se desea conocer el costo promedio de mano de obra por hora para cada producto, para lo cual se cuenta con la información presentada en el cuadro 3.

Cuadro 3. Insumo mano de obra en el proceso de fabricación de dos productos A y B.

Tipo de obrero Salario / Hora

Horas de trabajo por unidad de producto

Producto A Producto B No Calificado

Semicalificado Calificado

37.5 62.5 125.0

1 2 5

4 3 10

5. A continuación se muestra un cuadro con los salarios de siete jugadores venezolanos que militan en la liga americana, expresados en millones de bolívares. Calcular: media aritmética, geométrica y mediana.

Cuadro 4. Salario de jugadores en millones de bolívares.

Jugador de béisbol 1 2 3 4 5 6 7

Salario 4.2 4.3 4.7 4.8 5.0 5.1 9

6. Supóngase que las utilidades por la empresa Artesanía Olymar c.a. en los últimos cuatro envíos fueron 12m, 20, 28 y 14%, respectivamente.

Determine la media geométrica de las ganancias.

7. Se cuenta con los datos de 600 clientes de un banco, en lo referente a sus saldos mensuales. Calcular usando dichos datos mediana y moda.

Cuadro 5. Saldos mensuales de cuenta corrientes de 600 clientes.

Saldo Bs. No. Clientes

0 – 4150 78

4151 – 8300 123

8301 – 12450 187

12451 – 16600 82

16601 – 20750 51

20751 – 24900 47

24901 – 29050 13

29051 – 33200 9

33201 – 37350 6

37350 – 41500 4

8. A continuación se muestran las respuestas dadas por doce familias, con respecto al número de miembros que constituyen las mismas. Calcular media aritmética, media geométrica y media armónica.

Cuadro 6. Número de miembros por familia.

Familia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Miembros 3 3 5 7 5 3 8 5 9 4 6 3