X Y Tangente Secante Radio Diámetro Cuerda
(𝑥 − ℎ)
2
+ (𝑦 − 𝑘)
2
= 𝑅
2
𝑥
2
+ 𝑦
2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝑒 = 0
LA CIRCUNFERENCIA
LA CIRCUNFERENCIA
Definición.- Es el lugar geométrico generado por todos los puntos que cumplen la condición de una constante llamada radio y que es originada por la distancia entre un punto estático “en adelante llamado centro de la circunferencia” C= (h.k) y cualquier otro punto del espacio P=(x,y)
Sea C = (h,k) y P =(x,y) ̅̅̅̅ = − = ( ) − (ℎ ) ̅̅̅̅ = ( − ℎ − ) | ̅̅̅̅| = √( − ℎ)2+ ( − )2
La distancia entre ambos puntos es una constante llamada radio ( = | ̅̅̅̅| ) Luego: = √( − ) + ( − )
Elevando al cuadrado se tiene: = ( − ) + ( − ) llamada Ecuación Ordinaria. Por ejemplo: = ( − )2+ ( − )2
Es la ecuación de una circunferencia de centro (3,5) y radio igual a 5.
ECUACIÓN GENERAL
Se llama así al desarrollo de la ecuación ordinaria, es decir: = ( − ) + ( − )
= − − + − + Ordenando la ecuación 2+ 2− − 0 − = 0 Que puede escribirse + + + + =
¡Es fácil llegar a la ecuación general a partir de la ecuación ordinaria! P=(x,y)
y x
Lo contrario no es tan cierto, es decir si nos dan la ecuación general no siempre se tiene una circunferencia.
Ejemplo: sea + + − + = ¿es una circunferencia? Se trata de darle la forma y comprobar si es una circunferencia.
Ordenando: 2+ + 2− + = 0 ( + )2− + ( − )2− + = 0
( + )2+ ( − )2+ = 0 ( + )2+ ( − )2 = − No es una circunferencia ya que el radio no puede ser negativo.
Ejemplo: sea + + − + = ¿es una circunferencia? Nuevamente se trata de darle la forma y comprobar si es una circunferencia. Ordenando: 2+ + 2− + = 0
( + )2− + ( − )2− + = 0 ( + )2+ ( − )2 = 0
No es una circunferencia ya que no tiene radio, solo es un punto (-2,3) Ejemplo: sea + + − + = ¿es una circunferencia? Busque darle la forma y comprobar si es una circunferencia.
Ordenando: 2+ + 2− + = 0 ( + )2 − + ( − )2− + = 0
( + )2+ ( − )2− = 0 ( + )2+ ( − )2 = Sí es una circunferencia con radio (-2,3) y radio 2.
En resumen, no siempre se tiene una circunferencia, debe confirmarlo dando su centro y radio. Observe además el tipo de ecuación; puede ser una circunferencia, si tiene una característica, la presencia de las variables “x” e “y” ambas elevadas al cuadrado, del mismo signo e igual coeficiente.
Puede reconocer ¿cuál ecuación podría ser una circunferencia?:
a.- + + − + = b.- + + + + =
c.- − + − + = d.- + − + =
Rpta. La única que podría ser circunferencia es la “b”, por las características antes definidas Cuando encuentra una circunferencia puede hacer el trazo de la misma y observar que se puede encontrar en cualquier cuadrante.
y
( + )2+ ( − )2= ( − )2+ ( − )2=
( + )2+ ( + )2 = ( − )2+ ( + )2=
Dependiendo de donde se encuentra el centro, pero también existe una circunferencia especial que solo se encuentra en el centro de coordenadas, es decir de centro (0,0)
2+ 2 =
Su ecuación es llamada Ecuación Canónica: 2 + 2 = 2 (4,7)
(-3,5)
(-2,-5)
Formación de la ecuación de una circunferencia con tres puntos:
Existen dos métodos, basado en trazos con regla y compas y otra de manera analítica. Primer Método
Sean los puntos por donde pasa una circunferencia A(-6,-4) ; B(-2,2) y C(4,-2) Si graficamos los puntos:
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
1.- Trazamos un segmento por dos puntos ̅̅̅̅ = ( ) y calculamos su punto medio (-1,-3).
2.- Por este punto medio levantamos una perpendicular cuya ecuación tiene como punto de paso, el punto medio (-1,-3) y pendiente (-5).
3.- Hacemos lo mismo con otros dos puntos ̅̅̅̅ = ( ) trazamos otra recta perpendicular de ecuación con punto de paso “el punto medio (-4,-1)” y pendiente (-2/3)
4.- Ambas rectas se interceptan en un punto que es el centro de la circunferencia + = − ( + ) + = −
+ = − ( + ) + = −
Resolviendo el sistema de ecuaciones = − = − ; este es el centro de la circunferencia, el radio lo calcula hallando la distancia del centro a cualquier punto. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = √ , luego la ecuación es ( + ) + ( + ) = A(-6,-4) B(-2,2) C(4,-2) X Y (h,k) (𝑦 + ) = − (𝑥 + ) (𝑦 + ) = − (𝑥 + )
Segundo Método
Usando la ecuación general de la circunferencia es + + + + = Por lo tanto al reemplazar los puntos se debe cumplir la igualdad.
A(-6,-4) + − − + = 0 = + − ….(1) B(-2,2) + − + + = 0 = − − …(2)
C(4,-2) + + − + = 0 = − + − ….(3) Se forman 3 ecuaciones y 3 variables que debe encontrar, al resolver
De donde resulta:
A= 24/13, B=75/13 reemplazando en cualquier ecuación C= -2/13. Luego la ecuación general es + + + − =
Dada una Circunferencia y un punto.-
El punto puede pertenecer a la circunferencia o encontrarse dentro o al exterior de la misma, esto es importante teóricamente; ya que de no determinar la posición cometería errores al responder una pregunta.
Por ejemplo dada la circunferencia ( − )2+ ( − )2 = ¿Cuál sería la posición de un punto con respecto a la circunferencia A,B ó C?
Si reemplaza el punto en la ecuación puede suceder 3 casos:
a.- Que sea igual a nueve entonces pertenecería a la circunferencia sería el punto A. b.- Que sea mayor a nueve entonces estaría fuera de la circunferencia sería B. c.- Que sea menor a nueve en este caso estaría dentro de la circunferencia sería C.
B A
(1) – (2) 42 = 4A+ 6B (2) – (3) -12 = 6A-4B
Distancia de un punto a una circunferencia:
Se conoce el centro (2,-5) de la circunferencia por su ecuación, (x-2)2 + (y+5)2 = 9 y se conoce el radio = 3.
La distancia depende del punto, si fuera un punto exterior habría 2 distancias conocida como distancia mayor y distancia menor. “observe el grafico”.
Para encontrar estas distancias, debe calcular la distancia del punto al centro de la circunferencia.
Si el punto pertenece a la circunferencia:
Solo habría la distancia mayor que coincide con el diámetro de la circunferencia.
Si el punto se encuentra dentro de la circunferencia, no habría distancia
En resumen saber donde se encuentra el punto permite hallar su distancia. R
Distancia mayor Distancia menor
R
Si le suma el radio tendrá la distancia mayor. Si le resta el radio tendrá la distancia menor
1.- Sea la circunferencia ( − )2+ ( − )2 = y el punto Q= ( 4,-2) Hallar su distancia a la circunferencia.
Solución:
a.- Debemos saber donde se encuentra este punto reemplazando en la ecuación de la circunferencia.
( − )2+ (− − )2 = Es un punto exterior debe encontrarse 2 distancias mayor y menor. b.- Hallando la distancia del punto al centro.
( − ) − ( ) = ( − ) Luego: 5 + 3 = 8 distancia mayor; 5 – 3 = 2 Distancia menor.
2.- Sea la circunferencia ( + )2+ ( + )2 = y el punto Q= (-2,-2) Hallar su distancia a la circunferencia.
Solución:
a.- Debemos saber donde se encuentra este punto reemplazando en la ecuación de la circunferencia.
(− + )2+ (− + )2 = Es un punto interior. luego no existe distancia.
3.- Sea la circunferencia ( + )2+ ( − )2 = y el punto Q= (-4,-1) Hallar su distancia a la circunferencia.
Solución:
a.- Debemos saber donde se encuentra este punto reemplazando en la ecuación de la circunferencia.
(− + )2+ (− − )2 = =
Es un punto que pertenece a la circunferencia debe encontrar solo distancia mayor. b.- Esta distancia es el diámetro o 2 veces el radio.
Rectas tangentes a la circunferencia:
Que importante es determinar la posición de un punto respecto a la circunferencia, ya que de ser un punto interior no existe tangente, pero de ser un punto de la circunferencia existiría solo una recta tangente; de ser un punto exterior existirían 2 rectas tangentes, estos los veremos a continuación.
Tangente desde un punto de la circunferencia:
Dada la ecuación de una circunferencia se pide hallar la ecuación de la recta tangente en un punto de la circunferencia. “cuando el
punto pertenece a la circunferencia”
Se sabe que desde el centro nace una recta que pasa por el punto de tangencia y es perpendicular a la recta tangente, luego si las rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes es: m1.m2= -1.
El vector dirección de la recta es el vector que nace en el centro y termina en el punto de tangencia: (-4,-2) – (-2,-5) = (-2,3), luego su pendiente es -3/2.
(-3/2). 2 = -1 2= 2/3.
Luego: la recta tangente tiene ecuación.
Vectorial: ( ) = + ̅ ó punto pendiente − = ( − ). En ambos casos se tiene el punto de paso: = ( ) = (− − ) Se tiene la pendiente “m” ò el vector dirección ̅ = ( ).
( ) = (− − ) + ( 2) o también − (− ) = ( − (− )) + = ( + )
Por lo general se suele tomar la forma punto pendiente, pero a veces no es posible cuando no se puede hallar la pendiente y se busca la ecuación vectorial.
Recta que nace en el centro, pasa
por “P”, y es ortogonal a la tangente. Recta tangente; su punto de paso es “P”, solo falta hallar su vector dirección o su pendiente (m₁).
(𝑥 + )2+ (𝑦 + )2= Centro (-4,-2) y radio √ P = (-2,-5)
Tangente desde un punto exterior a la circunferencia:
Dada la ecuación de una circunferencia se pide hallar la ecuación de la recta tangente que nace en un punto exterior a la circunferencia.
Se observa el caso de dos rectas que nacen desde el punto (P) y el radio es perpendicular a ambas rectas, se forma un triángulo rectángulo donde se puede calcular la tangente; ( ) =
La recta verde es en realidad una bisectriz que parte al ángulo formado por ambas rectas tangentes en 2 ángulos iguales a
Se sabe que Tan = = = = + = − , luego resolviendo la ecuación m= 0 (indica que es una recta horizontal ó paralela al eje X.). Luego: una recta tangente tiene ecuación (7,8) + (1,0) ó (y-8)= 0(x-7). Ó y = 8.
La otra tangente se halla de la misma manera, pero en este caso por la posición de las rectas Tan = = = = + = − = − = − = −
Luego: la recta tangente tiene ecuación (7,8) + (1, -24/7) ó (y-8)= −2 (x-7).
Su ecuación general es 24x + 7y = 224.
Si se quiere hallar los puntos de tangencia de cada recta con la circunferencia, solo debe despejar una variable en la recta y reemplazarla en la ecuación de la circunferencia.
Dos Rectas tangentes; ambas con punto de paso “P”, solo falta hallar su vector dirección ó su pendiente (m₁).
(𝑥 + )2+ (𝑦)2 = Centro (-1,0) y radio 8
Recta que nace en el centro, pasa por “P”, tiene vector dirección (6,8) y su pendiente es 8/6. (1,0) 6 10 P = (7,8) 8 𝜷
Relación entre una circunferencia y una recta.-
Dada una circunferencia y una recta, gráficamente debe suceder una de las siguientes posiciones:
Por ejemplo, sea la circunferencia ( − )2+ ( + )2 = y una recta de ecuación general + = .
1.- Se despeja una variable en la recta por ejemplo = − 2.- Se reemplaza esta variable en la ecuación de la circunferencia
( − − )2+ ( + )2 = 3.- Al resolver 2 + + = 2+ − = 2+ −
2= 0
( + )2− = ( + − √ ) ( + + √ )
Al encontrar 2 soluciones la recta es una secante y los puntos de contacto son las soluciones Si la ecuación es irreductible significa que la recta es disjunta o exterior a la circunferencia. Si el radio de la circunferencia hubiera sido √ , la ecuación sería ( − )2+ ( + )2 = Al reemplazar en la circunferencia ( − − )2+ ( + )2 =
2+ + = 2+ + = 2+ + = 0 ( + )2 = 0 = − Se encontró solo un valor luego la recta es una tangente y el punto de contacto es (4.-1).
Tangente Secante
Posición relativa entre circunferencias.-
La distancia de cualquier centro a la recta es menor que su radio
Circunferencias Secantes
Circunferencias Exteriores
En ambos casos la distancia de cualquier centro a la recta es mayor que su radio Recta Radical
Circunferencias Interiores Circunferencias Concéntricas
La distancia entre centros es mayor a la suma de sus radios
La distancia entre centros es menor a la suma de sus radios
En ambos casos la distancia de cualquier centro a la recta es igual al radio respectivo
Recta Radical
Recta Radical
Tangentes exteriores Tangentes interiores
La distancia entre centros es igual a la suma de sus radios
La distancia entre centros es diferente a la suma de sus radios
El observar las gráficas no hay problema en poder identificar la posición relativa entre ellas, pero; si tenemos las ecuaciones lo primero a observar son los centros.
Por ejemplo sean las circunferencias: 1.- ( + )2+ ( + )2 =
2.- ( − )2+ ( + )2 = 3.-( + )2+ ( − )2 = 4.- ( + )2+ ( + )2 = Se puede apreciar por los centros que las circunferencias 1 y 4 son concéntricas, de ser iguales los radios se diría que son iguales las circunferencias.
En el resto de circunferencias ya no podemos decir lo mismo, pero la recta radical es la que nos ayuda a establecer su posición relativa. ¿Cómo encontramos esta recta radical?
Desarrollemos las ecuaciones generales de dos circunferencias por ejemplo (2) y (3) (2) 2+ 2 − + + y la otra circunferencia (3) 2+ 2+ − + Al restar ambas ecuaciones (3) – (2) ; 0 − 0 + = 0 − + = 0 Se obtiene la ecuación general de una recta llamada Radical.
Calculamos la distancia del centro de cualquier circunferencia a la recta, por ejemplo de la circunferencia (2)
| ( ) − (− ) + |
√ + =
√
Solo hay 3 posibilidades, que esta distancia sea mayor, menor o igual al radio.
Si es Mayor, pueden ser circunferencias interiores o exteriores, en este caso se calcula la distancia entre los centros y se calcula la suma de radios.
Si es mayor son exteriores, si es menor son interiores.
Si es igual, pueden ser circunferencias tangentes interiores o tangentes exteriores, en este caso se calcula la distancia entre los centros y se calcula la suma de radios.
Si son iguales son tangentes exteriores si son diferentes son tangentes interiores. Si es Menor, son circunferencias secantes.
En el caso de nuestro ejemplo 3.6 > √ , al ser mayor pueden ser tangentes exteriores o interiores.
Distancia entre centros:( − ) − (− ) = ( − ) √ 0 0 La suma de radios es 8; luego al ser mayor son interiores.
