Una función f con dominio D y co-dominio o rango R es una función uno-a-uno si satisface al menos una de la siguientes condiciones equivalentes.

F ^{UNCIONES INVERSAS}

Funciones Uno-a-Uno

• Una función f con dominio D y co-dominio o rango R es una función uno-a-uno si satisface al menos una de la siguientes condiciones

equivalentes.

1) Siempre que a ≠ b en D , f(a) ≠ f(b) en R . 2) Siempre que f(a) = f(b) en R, a = b en D .

Ejemplo:

• f(x) = x² NO es uno-a-uno,

ya que f(2) = f(-2) = 4 , pero 2 ≠ -2 .

Función uno-a-uno

 Cada valor de la función en R corresponde a exactamente un elemento en D .

 Los valores del

campo de valores no se comparten.

Ejemplo

Si f(x) = 3x + 2 , demuestre que f es uno-a-uno.

Solución:

a) Suponer que f(a) = f(b) para algún a y b en el dominio de f . (Salidas iguales.)

b) Entonces, 3a + 2 = 3b + 2 c) 3a + 2-2 = 3b + 2 – 2

3a = 3b

3𝑎

3 = ^3𝑏

3

Por consiguiente a = b .

d) Por lo tanto f es uno-a-uno, por la condición 2 de la definición.

Ejemplo (cont.)

b) Si g(x) = x² – 3 , demuestre que g NO es uno-a-uno.

Solución:

Aquí buscaremos dos números distintos en el dominio que producen el mismo valor para la función.

Como g es una función par, existen muchas posibilidades:

• g(-1) = g(1) = -2

• g(-2) = g(2) = 1

• etc.

• Por lo tanto, g(x) = x² – 3 , NO es uno-a-uno

Existe al menos un valor de y en el recorrido que corresponde a más de un valor de x en el dominio.

Prueba de la línea horizontal

• Esta prueba dice que una función f es uno-a- uno si cada línea horizontal interseca la gráfica de f en no más de un punto.

Aquí f NO uno-a-uno.

Ejemplo

Use la prueba de la línea horizontal para determinar si f(x) = 3x + 2 es uno-a-uno:

• Construir la gráfica de f…

• Luego realizar la prueba de la línea horizontal.

• f es uno-a-uno …

Ejemplo

Use la prueba de la línea horizontal para determinar si g(x) = x² – 3 es uno-a-uno.

• Construir la gráfica de f…

• Luego realizar la prueba de la línea horizontal.

• g NO es uno-a-uno, ya que existe al menos una línea horizontal que interseca la gráfica de g en dos puntos.

Funciones crecientes/decrecientes

• Una función que es creciente en todo su dominio es uno-a-uno;

• Una función que es decreciente en todo su dominio es uno-a-uno;

Funciones Inversas

• Si f es una función uno-a-uno, definida de D a R, y = f(x), entonces

podemos definir una función g de R a D mediante la regla x = g(y) .

• El diagrama muestra que g invierte la correspondencia definida por f :

• Llamaremos g la función inversa de f y escribimos 𝑔 = 𝑓⁻¹(𝑥) .

Teorema sobre funciones inversas

• Sea f una función uno-a-uno con dominio D y rango R .

• Si g es una función con dominio R y rango D , entonces g es la función inversa de f si y solo si se cumple lo siguiente :

– g(f(x)) = x para todo x en D – f(g(y)) = y para todo y en R

• A la función g que es la inversa de f, le designamos la notación f^-1 (x).

Ejemplo

Determinar si g(x) = ¹₄x – 3 es la función inversa de f(x) = 4x + 12.

Ejemplo

• Hallar la función inversa de f(x) = 3x - 5 :

Graficas de f

• Como una funcion y su inversa intercambian su dominio y rango,

– el punto (a, b) está en la gráfica de f si y solo si…

– el punto (b, a) está en la gráfica de f ^-1 .

• Las gráficas de f(x) y f ^-1(x) son reflexiones sobre la recta y = x.

Ejemplo: Trace las gráficas de

f(x) = 3x - 5 _𝑓⁻¹_{(𝑥) =} ^{𝑥 + 5}

3

x f^-1 (x) x f(x)

-3 -1 0 1 3

-14 -3

-8 -1

-5 0

-2 1

4 3

-14

-8 -5 -2 4

Ejemplo: Determine, f

(x), si existe,

para f(x) = 𝑥 + 3

Trace la gráfica de la función inversa de la función que se muestra.

Dominio f(x):

Rango f(x):

X Y

-7

0

1

2

9

[-7,9]

[-1, 3]

f(x)

3

2 1

0

-1

F ^UNCIONES

E XPONENCIALES

Funciones exponenciales

• Anteriormente han considerado ecuaciones de potencia que tienen la variable en la base y una potencia

constante.

(base variable) (potencia constante) , tales como x² , 4x³ , 8x , etc.

• Ahora, revisaremos ecuaciones con términos de la forma (base constante) ^{(potencia variable)} ,

tales como 2 ^x , 4^x , ½ ^x , etc.

Ejemplo

• Definimos f(x) = 2^x

• Mostramos algunos

valores para esta función

y una gráfica :

Notamos:

• f(x) es creciente en todo su dominio.

• Dominio: Todos los reales

• Campo de valores: (0,∞)

Ejemplo

• Definimos g(x) = ^𝟏_𝟐^𝒙

• Mostramos algunos valores para g:

Notamos:

• g(x) es decreciente en todo su dominio.

• Dominio: Todos los reales

• Campo de valores: (0,∞)

f(x) = 2^x g(x) = ^𝟏_𝟐^𝒙

Definición

• La función exponencial, f(x) = a^x, (para a , un número positivo diferente de 1 y x ,

cualquier número real) tiene las siguientes características

Gráficas de Funciones Exponenciales

• Se observa que si a>1, y= a^x es una gráfica creciente.

• Sean f(x) = a^x y g(x) = b^x

funciones exponenciales. Si a>1, b>1 y a>b, entonces^:

– g(x) > f(x) para x<0 – f(x)> g(x) para x>0

• Decimos que f(x) crece más rápido que g(x) para x > 1.

Teorema

• Las funciones exponenciales son crecientes o decrecientes en todo su dominio

(monotónicas).

• Una función monotónica es una función uno- a-uno.

• La propiedad uno-a-uno de las funciones exponenciales nos permite resolver

ecuaciones exponenciales sencillas.

Ejemplo

• Hallar x tal que 7^3x = 7^{2x + 5}.

Ejemplo

Resolver para x, 2

=

Solución:

Ejemplos

• Resolver para x, 3

= 9

Ejemplo

Obtener una ecuación de la forma f(x) = b(a^x ) para la gráfica

Solución: