No entrarem en detalls ni en definicions massa formals sinó que veurem únicament aquells conceptes que necessitarem durant el curs.

(1)

2.- Àlgebra lineal

2.1 Espais vectorials

Un espacio vectorial es una estructura algebraica que incluye dos tipos de elementos que cumplen una serie de propiedades y axiomas. Éstos elementos son los escalares y los vectores.

En general, los escalares serán el conjunto de números reales o complejos.

Los vectores son objetos abstractos que cumplen una serie de propiedades y no tienen porque ser únicamente los vectores geométricos que conocemos. El término vector también se usa para describir entidades como matrices, polinomios o funciones. Por ejemplo, los vectores que se usan en mecánica cuántica son funciones.

2.2 Combinación lineal, independencia lineal y base

Supongamos un conjunto de N vectores de un espacio vectorial determinado

{

v₁,v₂,...,v_N

}

.

Una combinación lineal de dichos elementos se define como la suma siguiente

∑

= +

+ ^N

i i i

N

Nv av

a v a v

a₁ ₁ ₂ ₂ ...

donde a1, a2,.., an son escalares.

El conjunto de N vectores es linealmente independiente si se cumple que

=0

∑

^N

i i iv a

únicamente cuando a1 = a2 =...= an = 0.

Esto implica que ningún vector del conjunto

{

v₁,v₂,...,v_N

}

puede expresarse como combinación lineal de los demás.

El conjunto de vectores será un conjunto generador del espacio vectorial si cualquier

(2)

vector w que pertenezca al espacio vectorial puede expresarse como combinación lineal de ellos

∑

= +

+

= ^N

i i i N

Nv av

a v a v a

w ₁ ₁ ₂ ₂ ...

.

Además, si esta combinación es única el conjunto generador será una base del espacio.

En este caso, los vectores del conjunto serán además linealmente independientes.

Los coeficientes escalares a1, a2,.., an serán las componentes del vector w en la base.

El numero de vectores de una base determina la dimensión del espacio vectorial. En realidad, los espacios vectoriales pueden ser de dimensión finita o infinita⁵. El conjunto de todos los vectores de n componentes reales conforma el espacio vectorial Rⁿ, cuya dimensión es precisamente n.

Por ejemplo, para el espacio Euclidiano tridimensional, R³. el conjunto de vectores {(1,2,3), (0,1,2), (−1,1/2,3), (1,1,1)},

son generadores del espacio pero no son base, porque no son linealmente independientes. Una base del espacio la forman los vectores

{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.

Sin embargo, los vectores

{(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)}

no son generadores (ni base) de R³ porque los vectores cuya tercera componente sea diferente de cero no pueden expresarse como combinación lineal de ellos.

2.3 Producte escalar

Aparte de las propiedades propias del espacio vectorial se define también un producto interno que permite introducir las nociones de distancia, ángulo y norma, llamado producto escalar.

Un producto escalar debe cumplir también una serie de propiedades y de hecho su definición depende del tipo de espacio vectorial.

(3)

Para el espacio vectorial Rⁿ se define el producto escalar entre dos vectores como

∑

= +

+

=

⋅ ⁿ

i i i

n n

Tv wv w v w v wv

w v

w ₁ ₁ ₂ ₂ ...

es a dir, la suma dels productes de les components dels vectors.

A partir del producte escalar entre un vector amb si mateix

2 2

)

(w v

v

v ^N

i

i r

r

r⋅ =

∑

=

trobem el concepte de norma

( )

v v ¹² vr = r⋅r

Direm que un vector està normalitzat quan la seva norma és la unitat

=1 vr

Es demostra també que el producte escalar entre dos vectors també cumpleix α

cos v w v w⋅ =

a on α és l’angle que formen ambdós vectors. Per tant, quan dos vectors són ortogonals entre si, el seu producte escalar s’anula

v w si v

wr⋅r =0 r ⊥ r

Si els vectors d’una base

{ }

vr són ortogonals ente si i estan normalitzats direm que la _i base és ortonormal o que està ortonormalitzada.

Podem escriure ambdues condicions al meteix temps fent servir la funció delta de Kronecker

ij j

i v

vr ⋅ r =δ on





=

= ≠

j i

ij 1

δ 0

(4)

2.4 Matrius: propietats i operacions

Definicions i propietats elementals.

Una matrius és una taula rectangular de generalment números que poden ésser sumats o multiplicats. Les línies horitzontals de números es diuen fileres i les verticals columnes. Una matriu composada per n files i m columnes en diem una matriu de dimensió n x m.

Donada una matriu A de dimensió n x m , representem l’element que ocupa la i-éssima fila i j-éssima columna com Aij o bé A(i,j).

Un vector no és més que una matriu on una de les dimensions és 1. Així, un vector filera és una matriu de dimensió 1 x m i un vector columna una matriu de dimensió n x 1.

Suma de matrius

Donades dues matrius de dimensió n x m, A i B, podem definir la seva suma C = A + B com la matriu de dimensió n x m els elements de la qual venen donat per la suma dels elements corresponents de les matrius suma A i B.

j i B A

C_ij = _ij + _ij ∀,

Per poder sumar dues matrius, aquestes han de tenir les mateixes dimensions. La matriu resultant tindrà també les mateixes dimensions.

Producte de matriu per escalar

Donada una matriu A qualsevol i un escalar α definim el producte escalar de α per A, B = α·A com el producte de α per cada element de la matriu A

j i A B_ij =α _ij ∀, Producte de matrius

El producte matricial entre dos matrius A i B només es pot dur a terme quan el numero de columnes de la matriu A és igual al número de files de la matriu B. En aquest cas,

(5)

p j m i B A B

A B

A B A

C ⁿ

k

kj ik nj

in j

i j i

ij = ₁ ₁ + ₂ ₂ +...+ =

∑

∀ ∈1, ∧∀ ∈1,

El producte de matrius no és conmutatiu, per tant, en general A·B ≠ B·A

De fet, en l’exemple anterior el producte B·A no és possible perquè el nombre de fileres de B no coincideix amb el nombre de columnes de A.

Tipus de matrius

Matriu quadrada

Matriu on el nombre de fileres és igual al nombre de columnes. El producte enter dues matrius quadrades és una altra matriu quadrada. Amb matrius quadrades els productes matricials A·B i B·A són possible, tot i que en general no donen el mateix resultat.

Matriu simètrica

Una matriu quadrada A és simètrica si compleix que j i A

A_ij = _ji ∀,

Matriu diagonal

Una matriu quadrada A és diagonal si els elements de fora de la diagonal principal són zero

j i A_ij = 0 ∀ ≠

Matriu identitat

La matriu identitat és una matriu quadrada diagonal on els elements de la diagonal principal són la unitat. Per tant , podem escriure els seus elements a partir d’una delta de Kronecker

ij

Iij =δ

La matriu identitat fa el paper d’element neutre per la suma de matrius. És a dir, el producte d’una matriu quadrada per la matriu identitat (i viceversa) és la pròpia matriu.

A·I = I·A = A

(6)

Matriu transposada

Donada una matriu A de dimensió n x m , definim la seva matriu transposada, A^T, que serà de dimensió m x n intercanviant les seves fileres i columnes,

















=

















=

nm m

m

n n T

nm n

n

m m

a a

a

a a

a

a a

a A a

a a

a

a a

a A

...

2 1

2 22

12

1 21

11

2 1

2 22

21

1 12

11

Per una matriu simètrica es compleix

A = A^T Per altra banda, en general

(A^T)^T = A (A + B)^T = A^T + B^T

(A·B)^T = B^T· A^T

Per tant, el producte d’una matriu qualsevol per la seva transposada resulta en una matriu simètrica

B = A^T·A → B^T = (A^T·A)^T = A^T·(A^T)^T= A^T·A =B

Matriu Inversa

Donada una matriu quadrada A de dimensió n, es defineix la seva matriu inversa A^-1 com la matriu que compleix que

A^-1·A = A·A^-1·= I

on I és la matriu identitat de dimensió n. Al matriu inversa A^-1 és única.

En general

(A^-1)^-1 = A (A·B)^-1 = B^-1· A^-1

Matriu singular

Una matriu és singular quan no existeix la seva inversa. Quan el determinant d’una matriu quadrada és zero (veure avall) la matriu és singular.

(7)

Una matriu és ortogonal si i només si els seus vectors columna son ortonormals, és a dir, representa una base ortonormalitzada.

Traça d’una matriu

Es defineix la traça d’una matriu quadrada de dimensió n com la suma dels elements de la diagonal principal

∑

= ^N

i Aii

A tr )(

Determinant d’una matriu

El determinant d’una matriu quadrada es pot veure com una funció d’aquesta que retorna un escalar (número)

det(A) = α

Quan el determinant d’una matriu és zero, aquesta matriu és singular (no invertible).

També vol dir una o més fileres o columnes de la matriu es pot expressar com a combinació lineal de les altres; per tant, indica dependència lineal dels vectors filera o columna que composen la matriu.

Es compleixen les següents propietats

det(AB) = det(A) det(B) = det (BA) det(A^T) = det(A)

det(U) = 1 A més

• Si intercanviem dues fileres o columnes d’una matriu el seu determinant canvia de signe

• Multiplicant una filera o columna per un escalar α multiplica el valor del determinant per α

• Afegir un multiple d’una filera o columna a una altra no afecta al valor del determinant

En seccions següents veurem com es determina el determinant d’una matriu quadrada.

(8)

2.5 Canvis de base.

Donades dues bases

{ }

wr i _i

{ }

wr d’un espai vectorial R_i ⁿ, podem escriure cada vector de la base

{ }

wr en com a combinació lineal dels vectors de la base _i

{ }

wr . _i











+ + +

=

+ + +

=

+ + +

=

n nn n

n n

v a v

a v a w

v a v

a v a w

v a v

a v a w

r r

...

2 2 1 1

2 2

22 1 21 2

1 2

12 1 11 1

Els coeficients de la combinació lineal es poden escriure en forma de matriu, que representa el canvi de base.

















=

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

...

2 1

2 22

21

1 12

11

Podem escriure el procés de canvi de base de la següent manera A

V W = ⋅

on W i V son matrius que contenen, en columnes, les components dels vectors de les bases

{ }

wr i _i

{ }

wr , respectivament _i

( )

















≡

nn n

n

n n

n

w w

w

w w

w

w w

w w W

...

...;

;

2 1

2 22

21

1 12

11 2

1 r r

r

Per tant, podem escriure

































=

















nn n

n

n n

nn n

n

n n

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a

v v

v

v v

v

v v

v

w w

w

w w

w

w w

w

...

2 1

2 22

21

1 12

11

2 1

2 22

21

1 12

11

2 1

2 22

21

1 12

11