ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES

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ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES CON

COEFICIENTES CONSTANTES

Alejandro Lugon

2008-1

1. Ecuaciones De Segundo Orden

Consideremos la ecuaci´on:

xt+2+ axt+1+ bxt = 0 (1)

la cual podemos escribir como:

xt+2= −axt+1− bxt

De esta ´ultima forma nos podemos dar cuenta que si conocemos x0y x1podemos calcular x2= −ax1−bx0

y luego x3= −ax2− bx1y de esta manera calcular cualquier xtde forma recursiva. Esto nos lleva a formular:

Teorema 1 Dada la ecuaci´on

xt+2+ axt+1+ bxt= 0

y los valores iniciales x0 y x1, existe una ´unica sucesi´on {x0, x1, x2, . . . } que la resuelve.

Entonces la ecuaci´on (??) tiene infinitas soluciones pero si nos dan x0 y x1 solo una de estas soluciones

cumple con dichas condiciones iniciales. Esta proposici´on nos asegura que, dadas x0 y x1, si encontramos

una soluci´on esta es la ´unica.

Otro resultado que es f´acil probar es:

Teorema 2 Dada la ecuaci´on

xt+2+ axt+1+ bxt= 0

si tenemos dos soluciones xt= f (t) y xt= g(t), con diferentes condiciones iniciales, entonces xt= Af (t) +

Bg(t) es tambi´en soluci´on de la ecuaci´_{on para A, B ∈ R.}

Si juntamos estos dos resultados vemos que basta encontrar dos soluciones independientes, xt= f (t) y

xt= g(t). Con estas dos soluciones podemos generar cualquier soluci´on de manera general: xt= Af (t)+Bg(t).

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que:

x0 = Af (0) + Bg(0)

x1 = Af (1) + Bg(1)

Un punto importante es que las soluciones deben ser independientes para poder resolver este sistema. Entonces el problema se limita a encontrar un par de soluciones. Para empezar probemos si una soluci´on del tipo xt= rtsatisface (??). Tenemos:

xt = rt xt+1 = rt+1= rtr1 xt+2 = rt+2= rtr2 reemplazando: rt+2+ art+1+ brt = 0 rtr2+ artr + brt = 0 rt(r2+ ar + b) = 0

vemos que r = 0 har´ıa que se cumpla la ecuaci´on , pero esto nos llevar´ıa a la soluci´on trivial xt= 0. La otra

posibilidad es que r cumpla:

r2+ ar + b = 0

pero esta ecuaci´on tiene dos soluciones:

r1 = −a +√a2_{− 4b} 2 r2 = −a −√a2_{− 4b} 2

Estas dos soluciones pueden caer en tres casos:

1. r1, r2∈ R con r16=2

2. r1, r2∈ R con r1= r2= r

3. r1, r2∈ C

Veamos cada caso por separado.

1.1. Ra´ıces reales diferentes (a

2

− 4b > 0)

Este es el caso más fácil, tenemos que xt= (r1)t y xt= (r2)t son solución de ??, entonces:

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también es solución de ??. Las dos constantes A y B serán las encargadas de que esta solución cumpla las condiciones iniciales:

x0= A + B

x1= Ar1+ Br2

Si nos dan x0y x1podremos encontrar A y B y tener la soluci´on buscada.

1.2. Ra´ıces reales iguales (a

2

_{− 4b = 0)}

Este caso es un poco m´as complicado, solo tenemos una soluci´on: xt= rt. Nos faltar´ıa otra para poder

aplicar los teoremas vistos. Esta otra es xt= trt, verifiquemos:

xt = trt xt+1 = (t + 1)rt+1= trtr + rtr xt+2 = (t + 2)rt+2= trtr2+ 2rtr2 reemplazamos en (??): trtr2+ 2rtr2+ a(trtr + rtr) + b(trt) = 0 t(rtr2+ artr + brt) + 2rtr2+ artr = 0 trt(r2+ ar + b) + rtr(2r + a) = 0 trt(0) + rtr(0) = 0

donde en el ´ultimo paso recordamos que r = −a/2 es ra´ız de r2+ ar + b = 0. Con esto podemos formar la soluci´on general:

xt= Art+ Btrt

Como antes las dos constantes A y B ser´an las encargadas de que esta soluci´on cumpla las condiciones iniciales:

x0 = A

x1 = Ar + Br

1.3. Ra´ıces complejas (a

2

− 4b < 0)

En este caso las ra´ıces son complejos conjugados: r1 = α + iβ y r2 = α − iβ con α = −a/2 y β =

√

4b − a2_/2.

Para usar estas ra´ıces en la construcci´on de las soluciones es m´as conveniente escribirlas de la forma:

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r2= R(Cos(θ) − iSen(θ)) donde R =pα2_{+ β}2₌ q (−a/2)2_{+ (}p_{4b − a}2_/2)2₌p_a2_{/4 + (4b − a}2_{)/4 =}√_b y θ es tal que

Cos(θ) = α/R = (−a/2)/√b = −a/(2√b) As´ı tenemos que:

(r1)t= Rt(Cos(θt) + iSen(θt))

(r2)t= Rt(Cos(θt) − iSen(θt))

y podr´ıamos formar la soluci´on

xt= C(Rt(Cos(θt) + iSen(θt))) + D(Rt(Cos(θt) − iSen(θt)))

la cual ordenando t´erminos nos da:

xt= Rt((C + D)Cos(θt) + i(C − D)Sen(θt))

el problema con esta posible solución es el término imaginario i. Podemos “ deshacernos”de este término si pensamos que C y D pueden ser también números complejos conjugados: C = A/2−iB/2 y D = A/2+iB/2, con lo cual C + D = A y i(C − D) = B. Con lo cual obtenemos finalmente nuestra solución:

xt= Rt(ACos(θt) + BSen(θt)) con R =√b y Cos(θ) = −a 2√b

Las constantes A y B se determinan con las condiciones iniciales:

x0 = A

x1 = R(ACos(θ) + BSen(θ))

2. Ecuaciones de dimensi´

on mayor que 2

Sea la ecuaci´on:

xt+n+ a1xt+n−1+ a2xt+n−2+ · · · + an−1xt+1+ anxt= 0

Su polinomio caracter´ıstico:

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tiene, tomando en cuenta la multiplicidad, n ra´ıces entre reales y complejas. Las ra´ıces reales pueden ser múltiples. Las ra´ıces complejas se presentan en pares conjugados los cuales también pueden ser simples o múltiples.

La solución general del sistema de ecuaciones diferenciales está determinada por una combinación lineal de n soluciones independientes. Estas soluciones corresponden a las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico, con-sideremos que tenemos M ra´ıces reales λj con multiplicidad mj y 2N ra´ıces complejas conjugadas por pares

(N pares), αl± iβl= R(Cos(θ) ± Sen(θ)) con multiplicidad ml cada par1.

La soluci´on se conforma la siguiente manera:

Cada ra´ız real, λj con multiplicidad mj, genera los mj t´erminos:

(λj)t, t(λj)t, t2(λj)t, . . . , tmj−1(λj)t

Cada par de ra´ıces complejas conjugadas R(Cos(θl) ± Sen(θl)) con multiplicidad ml, genera los 2ml

t´erminos:

RtCos(θlt), tRtCos(θlt), t2RtCos(θlt), . . . , tml−1RtCos(θlt)

RtSen(θlt), tRtSen(θlt), t2RtSen(θlt), . . . , tml−1RtSen(θlt)

De esta manera la solución, xtes una combinación lineal de todos los términos generados. Esta

combi-naci´on genera n constantes que se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales: x0, x1,. . . ,xn−2y

xn−1.

Si la ecuación no es homogenea, la solución particular se puede encontrar por el mismo método anterior.