Algoritmos para la reducción de ruido en imágenes de fase

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(1)Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica Departamento de Telecomunicaciones y Electrónica. TRABAJO DE DIPLOMA Algoritmos para la reducción de ruido en imágenes de fase. Autora: Sandra Noroña Hernández. Tutores: MSc, Héctor Cruz Enríquez Dr, Juan Lorenzo Ginori. Santa Clara 2006 "Año de la revolución energética en Cuba".

(2) Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica Departamento de Telecomunicaciones y Electrónica. TRABAJO DE DIPLOMA Algoritmos para la reducción de ruido en imágenes de fase Autora: Sandra Noroña Hernández snorona@uclv.edu.cu. Tutores: MSc, Héctor Cruz Enríquez hcruz@uclv.edu.cu. Dr, Juan Lorenzo Ginori juanl@uclv.edu.cu Santa Clara 2006 "Año de la revolución energética en Cuba".

(3) Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica, autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la Universidad.. Firma del Autor Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.. Firma del Tutor. Firma del Jefe de Departamento donde se defiende el trabajo. Firma del Responsable de Información Científico-Técnica.

(4) i. PENSAMIENTO. El principio de la sabiduría es el temor a Jehová Salomón.

(5) ii. DEDICATORIA. A mi Padre por sostenerme cuando me faltaron las fuerzas y a mi esposo por estar siempre a mi lado..

(6) iii. AGRADECIMIENTOS. Agradezco a mi familia por su apoyo, a mi esposo por su paciencia, a mis tutores por su incansable ayuda y excelente tutoría y por todas las horas que me dedicaron, a todos mis profesores y a los amigos que me han estado a mi lado..

(7) iv. TAREA TÉCNICA. 1. Búsqueda bibliográfica sobre las características, aplicaciones y métodos de reducción de ruido de las imágenes de fase. 2. Análisis de los algoritmos existentes. 3. Obtención de algoritmos de filtrado de imágenes de fase con el empleo de las transformadas Wavelet y Wavelet Packets así como filtros no lineales de orden estadístico en el dominio wavelet. 4. Simulación en Matlab de los algoritmos propuestos y evaluación de su desempeño, realizando un estudio comparativo con otros resultados anteriores reportados en la literatura.. Firma del Autor. Firma del Tutor.

(8) v. RESUMEN. Existen diversos sistemas de imaginología que generan imágenes complejas, tales como: las Imágenes de Densidad de Corriente (IDC), las Imágenes Interferométricas de Radar de Apertura Sintética del inglés Interferometric Synthetic Aperture Radar (IFSAR) y las Imágenes de Resonancia Magnética (IRM). Algunas aplicaciones utilizan exclusivamente la información de fase para sus propósitos. Las imágenes generadas por estos sistemas se caracterizan por tener una pobre relación señal a ruido. La presencia de ruido afecta la percepción visual de la imagen de fase e introduce un gran número de residuos de fase que afectan el proceso de desenrollado de la misma. La mayoría de los métodos existentes en la actualidad para la reducción de ruido en imágenes complejas están basados en el tratamiento de la imagen de magnitud. Los avances en la reducción de ruido (denoising) de la imagen de fase aún son insuficientes para lograr la calidad que exigen las aplicaciones donde se emplean.. En este trabajo se presentan varios algoritmos de filtrado para la. reducción de ruido en imágenes de fase, tanto en el dominio wavelet como wavelet packets y filtros no lineales de orden estadístico en el dominio wavelet. Todos los algoritmos desarrollados aquí proporcionan un incremento de la relación señal a ruido, reducen el número de residuos de fase y mejoran la percepción visual de la imagen de fase con respecto a métodos anteriores..

(9) vi. TABLA DE CONTENIDOS. PENSAMIENTO .....................................................................................................................i DEDICATORIA .................................................................................................................... ii AGRADECIMIENTOS ........................................................................................................ iii TAREA TÉCNICA................................................................................................................iv RESUMEN .............................................................................................................................v INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................1 Organización del informe ...................................................................................................3 CAPÍTULO 1.. INTRODUCCIÓN A LA REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES. DE FASE. 4. 1.1. Transformada Wavelet ...........................................................................................4. 1.1.1. Técnica de umbral en el dominio wavelet ......................................................6. 1.2. Transformada Wavelet Packets..............................................................................6. 1.3. Filtrado vectorial no lineal de orden estadístico .....................................................8. 1.4. Análisis en señales complejas ruidosas ................................................................11. 1.5. Desenrollado de fase.............................................................................................13. CAPÍTULO 2.. ALGORITMOS PARA LA REDUCCIÓN DE RUIDO..........................14. 2.1. Descripción del experimento ................................................................................14. 2.2. Imagen compleja simulada ...................................................................................15. 2.3. Variables de calidad a medir.................................................................................16.

(10) vii 2.4. Modelos de ruido empleados ................................................................................17. 2.5. Algoritmos de filtrado...........................................................................................18. 2.5.1. Estimado de ruido .........................................................................................19. 2.5.2. Filtros en el dominio wavelet........................................................................20. 2.5.3. Filtros en el dominio wavelet packets...........................................................22. 2.5.4. Filtros no lineales de orden estadístico en el dominio wavelet.....................23. CAPÍTULO 3.. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS ......................................................25. 3.1. Filtros en el dominio wavelet................................................................................25. 3.2. Filtros en el dominio wavelet packets..................................................................28. 3.3. Filtros no lineales de orden estadístico en el dominio wavelet.............................31. 3.3.1. Desempeño ante condiciones críticas de ruido .............................................32. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ...................................................................34 Conclusiones.....................................................................................................................34 Recomendaciones .............................................................................................................34 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................35.

(11) INTRODUCCIÓN. 1. INTRODUCCIÓN. Existen diversos sistemas de imaginología que centran sus aplicaciones en la información de fase obtenida de sus datos. Dentro de los más conocidos se encuentran las Imágenes de Densidad de Corriente (IDC), empleadas en la medición del vector densidad de corriente en un volumen dado de sustancia, especialmente aplicadas en el estudio de tejidos biológicos; las Imágenes Interferométricas de Radar de Apertura Sintética del inglés Interferometric Synthetic Aperture Radar (IFSAR) para la obtención de levantamientos topográficos del terreno y las Imágenes de Resonancia Magnética (IRM) para la medición del flujo sanguíneo por las venas del cuerpo humano, detección del cáncer en algunos órganos y control de la hipertermia utilizada en el tratamiento del cáncer para visualizar los cambios de temperatura durante la terapia. Las imágenes generadas por estos sistemas se caracterizan por una pobre relación señal a ruido. La presencia de ruido afecta la percepción visual de la imagen de fase e introduce un gran número de residuos de fase que dificultan el proceso de desenrollado de la misma. Se hace necesario implementar técnicas de reducción de ruido (denoising) que incrementen la relación señal a ruido, reduzcan el número de residuos de fase y preserven los bordes en aras de obtener una percepción visual con la calidad requerida. La mayoría de los trabajos reportados en la literatura sobre la reducción de ruido en imágenes complejas utilizan fundamentalmente a la imagen de magnitud para sus propósitos. La Transformada Wavelet se ha empleado tradicionalmente en la reducción de ruido de la imagen de magnitud, proponiendo algunos filtros que son modelados de acuerdo a una distribución de ruido Rician, utilizando técnicas de umbral suave y duro, así como el empleo del clásico filtro Wiener..

(12) INTRODUCCIÓN. 2. La reducción de ruido en las imágenes de fase aún constituye una temática novedosa y poco abordada. Los resultados más relevantes en este sentido se han obtenido aplicando filtros no lineales de orden estadístico a imágenes de fase procedentes de IRM [3] y utilizando la Transformada Wavelet con el empleo de técnicas de filtrado de umbral suave [4]. Se continúa trabajando en la búsqueda de algoritmos para la reducción de ruido en imágenes de fase, que logren una adecuada preservación de bordes y mantengan su efectividad ante la presencia de altos niveles de ruido. En este trabajo se presentan una serie de algoritmos para la reducción de ruido en imágenes de fase, empleando la Transformada Wavelet, Wavelet Packets y filtros no lineales de orden estadístico en el dominio wavelet. Los filtros desarrollados aquí proporcionan un sustancial incremento en la relación señal a ruido, la reducción del número de residuos de fase y una mejor percepción visual de la imagen de fase respecto a métodos anteriores. El éxito de los algoritmos propuestos no solo implica novedad científica, sino que se traduce directamente en la posibilidad de incrementar la calidad y confiabilidad de los servicios de salud en el país, vinculados a las IRM y a otros sistemas de imaginología. Objetivo general: Obtener algoritmos para reducir el ruido presente en imágenes de fase, con el empleo de las transformadas Wavelet y Wavelet Packets y métodos no lineales de orden estadístico en el dominio wavelet. Objetivos específicos: 1. Realizar una búsqueda de información sobre imágenes de fase y sus aplicaciones, así como los métodos de reducción de ruido en las mismas, reportados en la literatura. 2. Crear algoritmos de filtrado con el empleo de las transformadas Wavelet y Wavelet Packets y métodos no lineales de orden estadístico en el dominio wavelet para la reducción del ruido (denoising) en imágenes de fase. 3. Evaluar mediante la simulación en Matlab los algoritmos obtenidos para medir su eficacia, en términos del incremento de la relación señal a ruido, la reducción de los residuos de fase y la disminución del error cuadrático medio normalizado. 4. Comparar los resultados obtenidos con los reportados en la literatura..

(13) INTRODUCCIÓN. 3. Organización del informe El informe ha sido organizado en tres capítulos: “Introducción a la reducción de ruido en imágenes de fase”, “Algoritmos para la reducción de ruido” y “Análisis de resultados”. En el primer capítulo se proveen una serie de herramientas teóricas que preparan al lector para la comprensión del problema del denoising en las imágenes de fase. En el capítulo dos se presentan los algoritmos de filtrado de imágenes de fase que se proponen y además se describe el procedimiento experimental utilizado para evaluar la eficacia de estos algoritmos. El tercer y último capítulo muestra un análisis comparativo de los resultados obtenidos para los diferentes algoritmos en términos de: la relación señal a ruido, el error cuadrático medio normalizado, los residuos de fase y la percepción visual de la imagen de fase..

(14) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES DE FASE. 4. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA REDUCCIÓN DE. RUIDO EN IMÁGENES DE FASE. En este capítulo se da una breve introducción sobre algunos tópicos que se han considerado importantes para la comprensión de la temática abordada en este trabajo relacionada con la reducción de ruido en imágenes de fase proveniente de imágenes complejas. El mismo se ha organizado en. cinco epígrafes donde se recogen una serie de aspectos teóricos. relacionados con las Transformadas Wavelet y Wavelet Packets, los filtros vectoriales no lineales de orden estadístico, señales complejas ruidosas y el desenrollado de fase. 1.1. Transformada Wavelet. La Transformada Wavelet (TW) es una herramienta matemática que posibilita el análisis de series temporales no estacionarias, proporcionando simultáneamente información temporal y espectral de las mismas. La TW descompone una señal sobre un conjunto de funciones básicas wavelets, obtenidas mediante dilataciones y traslaciones de la wavelet generadora, produciendo una representación de la señal en tiempo-frecuencia. La Transformada Wavelet Discreta Bidimensional aplicada a imágenes, proporciona una matriz que contiene cuatro tipos de coeficientes wavelets: aproximaciones, detalles horizontales, detalles verticales y detalles diagonales. La aproximación contiene la mayor parte de la energía de la imagen, es decir, la información más importante, mientras que los detalles tienen valores próximos a cero. Generalmente, la energía de las imágenes se concentra en las frecuencias bajas. Una imagen tiene un espectro que se reduce con el incremento de las frecuencias. Una imagen se representa como una secuencia bidimensional de números distribuidos en el espacio donde cada número representa el nivel de gris de un píxel. El tipo más sencillo de.

(15) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES DE FASE. 5. análisis multirresolución descompone la imagen calculando el promedio de cada par de píxeles adyacentes, obteniendo una imagen de menor resolución. La reconstrucción aproximada a partir de la imagen de baja resolución se logra repitiendo cada uno de los píxeles de la misma. Sin embargo, para lograr una reconstrucción perfecta es necesario guardar cierta información adicional, que sumada con la imagen. de baja resolución,. permita recuperar la imagen original. El primer nivel de análisis multirresolución divide la imagen (A0) en dos partes: la imagen de baja resolución o aproximación (A1) y los detalles de alta frecuencia (D1), también conocidos como coeficientes wavelets de Haar [2]. Iterando este mecanismo se obtiene la descomposición wavelet de la imagen como se muestra en la figura 1.1.1:. A0. A1. A2. A3. D1. D2. D3. Figura 1.1.1 Diagrama de la descomposición wavelet.. Para el caso de las imágenes digitales, donde los píxeles son muy parecidos a sus vecinos, el promedio entre dos píxeles adyacente es prácticamente igual a los píxeles promediados, por lo que un gran número de detalles se aproximan a cero. Esta característica que se presenta con el empleo de la Transformada Wavelet ha sido muy utilizada por diversas.

(16) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES DE FASE. 6. aplicaciones en el procesamiento de imágenes entre las que se encuentra la reducción de ruido. 1.1.1. Técnica de umbral en el dominio wavelet. Una vez aplicada la Transformada Wavelet y obtenidos los coeficientes, se aplican las reglas de umbral con el objetivo de reducir los coeficientes ruidosos en el dominio transformado. Se puede aplicar una regla de umbral suave sobre los coeficientes c a ,b = f ,ψ a ,b :. cˆa ,b. ⎧ca ,b − t a ⎪ ⎪ = ⎨0 ⎪c + t ⎪⎩ a ,b a. ca ,b ≥ t a ca ,b ≤ t a. (1.1.1.1). ca ,b ≤ −t a. donde: − ta es un umbral que depende del nivel de ruido en la i-ésima escala.. Posteriormente la imagen es entonces reconstruida por la Transformada Wavelet Inversa (TWI) de los coeficientes cˆa ,b .. En el caso de aplicar un umbral duro (método más simple) si t denota el umbral, la señal de salida conservará el mismo valor que la señal de entrada x si. x >t. y cero si. x ≤t. .. La aplicación del umbral suave presenta propiedades matemáticas más adecuadas, pues elimina la presencia de discontinuidades presentadas por el umbral duro en x = ±t . 1.2. Transformada Wavelet Packets. El primer nivel de análisis multirresolución empleando la Transformada Wavelet Packets divide la imagen en dos partes: la imagen de baja resolución o aproximación y los detalles de alta frecuencia. A diferencia de la Transformada Wavelet, el segundo nivel de análisis multirresolución descompone la imagen de baja resolución o aproximación del primer nivel (A1) en aproximación (AA2) y detalles (DA2), pero además descompone los detalles del.

(17) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES DE FASE. 7. primer nivel (D1) del mismo modo. El árbol de descomposición wavelet packets se muestra en la figura 1.2.1:. A0. A1. D1. AA2. AAA3. DAA3. AD 2. DA2. ADA3. DDA3. AAD3. DD2. DAD3. ADD3. DDD3. Figura 1.2.1 Diagrama de la descomposición wavelet packets.. El procedimiento para la reducción de ruido con el empleo de la Transformada Wavelet Packets se divide en cuatro etapas. En la primera se obtiene un árbol de descomposición de. la imagen en n niveles, como el de la figura 1.2.1. En la segunda se determina el árbol de la descomposición óptima siguiendo el criterio de mínima entropía. En la tercera etapa se aplican técnicas de umbral similar a las descritas en el epígrafe 1.1.1 para reducir los coeficientes ruidosos, excepto a los coeficientes de aproximación y en la cuarta etapa se reconstruye la imagen a partir de los coeficientes de aproximación originales del nivel n y los coeficientes modificados. El criterio de mínima entropía consiste en calcular la entropía de un nodo N y compararla con la suma de las entropías de los nodos originados a partir de este en el próximo nivel. Si la suma de las entropías de estos nodos es menor que la entropía del nodo que le da origen entonces resulta útil descomponerlo. En caso contrario el nodo N no se descompone [5]..

(18) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES DE FASE. 1.3. 8. Filtrado vectorial no lineal de orden estadístico. Los filtros vectoriales de orden estadístico han sido utilizados ampliamente en el procesamiento de imágenes multicanales como son las imágenes a color. Una serie de técnicas en este sentido pueden ser encontradas en [6, 7]. Este tipo de filtros emplea criterios de similaridad que se definen en términos de vectores n-dimensionales. La medida de similaridad puede ser expresada en términos de fasores, como vectores bidimensionales, cuando se procesa una imagen compleja [3]. Si se tiene que: − W es la ventana de procesamiento de tamaño n. − {xi}, i=1, 2,…, n, son los números complejos (fasores) en W.. Se puede definir la expresión correspondiente a los fasores como: x i = ρ i e jϕ i. (1.3.1). En el siguiente análisis, las representaciones polar y cartesiana de los números complejos pueden ser utilizadas indistintamente. Si {xi} representa el grupo de señales de entrada, se define a Di como la distancia acumulativa correspondiente a xi en la siguiente expresión: n. D(i ) =. ∑ x −x i. j =1. j. , i= 1, 2, . . . , n. (1.3.2). donde: −. || . || es la norma del vector asociado.. El fasor xi que cumple: D(i ) ≤ D( j ) ∀ j = 1, 2, ..., n. (1.3.3). es la salida correspondiente al filtro de mediana vectorial, del inglés Vector Median Filter (VMF). Los criterios de distancia más utilizados en este tipo de filtro son la norma L1 (City Block) y la norma L2 (Euclidiana). Estas pueden ser expresadas en términos de fasores. como:.

(19) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES DE FASE. 9. n. D1 (i ) =. ∑ Re(x − x ) + Im(x − x ) i. j. i. j. j =1. (1.3.4). n. D2 (i ) =. ∑ x −x i. j. (1.3.5). j =1. Este concepto de vector de distancia se utiliza con el objetivo de establecer una forma de ordenamiento para los fasores {xi}. Si las distancias obtenidas se ordenan como:. D (1) ≤ D ( 2) ≤ . . . ≤ D ( n ). (1.3.6). queda definido el orden de los fasores {xi}: {x(i)} = x(1), x(2), . . . , x(n). (1.3.7). Como ya se había mencionado, x(1) representa la salida del VMF. Ahora, los primeros r fasores en el grupo de vectores {x(i)} pueden ser seleccionados utilizando una función de membresía apropiada para obtener la salida de filtro por medio de alguna operación matemática [6]. Este es el caso del filtro fuzzy de mediana vectorial del inglés Fuzzy Vector Median Filter (FVMF) [3].. De forma similar, un filtro direccional vectorial del inglés Vector Directional Filters (VDF) puede definirse si se utilizan medidas de la distancia angular. La distancia acumulativa está definida como: α (i ) =. n. ∑ A(x , x ) i. j. i = 1, 2, . . . , n. j =1. (1.3.8). En este caso la medida de distancia queda definida por un valor escalar: A(xi , x j ) = arg(xi x j ) , 0 ≤ A(xi , x j ) ≤ π ,. (1.3.9). donde: −. x j es la conjugada de x j .. La forma de ordenamiento para los fasores tiene en cuenta las distancias acumulativas ordenadas de acuerdo a: α (1) ≤ α ( 2) . . . ≤ α ( n). (1.3.10).

(20) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES DE FASE. 10. El filtro direccional vectorial básico del inglés Basic Vector Directional Filter (BVDF) tiene como salida x(1), y el filtro direccional vectorial generalizado del inglés Generalized Vector Directional Filter (GVDF) define su salida como el conjunto correspondiente a los. primeros r fasores del conjunto {x(i)}: {x(i)} = x(1), x(2), . . . , x(n). (1.3.11). donde: −. {. }. x (i ) ∈ x j , j = 1, 2, . . , n. ∀ i = 1, 2 . . . , r. (1.3.12). El valor de r puede determinarse atendiendo a ciertas reglas de membresía para definir el filtro fuzzy en cuestión. En el filtro fuzzy la salida será calculada utilizando el valor de esos r fasores con el empleo de alguna operación matemática. Un filtro fuzzy direccional vectorial basado en la distancia de magnitud del inglés Fuzzy Vector Directional filter based on Magnitude distance (FVDMAG), diseñado en [3] fue implementado y adecuado. para su utilización en el dominio wavelet. En este filtro la salida se encuentra definida por la media recortada de los r fasores seleccionados dentro de la ventana. La definición general para un filtro fuzzy adaptativo es la siguiente [6]: r. yˆ =. ∑w. (k )xk. (1.3.13). k =1. Aquí w(k) es la k-ésima función de membresía normalizada, dada por: w( k ) =. f (µ k ) r. ∑ f (µ k =1. k. ). donde: −. f ( µ k ) = µ kλ es una función adaptativa determinada sobre el contexto local [6].. −. µ k es la función de membresía de entrada xj.. −. λ ∈ [0, ∞ ) es un parámetro.. (1.3.14).

(21) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES DE FASE. 11. Para el filtro FVDMAG aplicado en el dominio wavelet a la imagen compleja, se emplea la estrategia de centro de gravedad (λ=1), donde la función de membresía se corresponde con la siguiente expresión: µk =. d max − d k d max − d min. (1.3.15). donde: − d es el criterio de distancia empleado. − dmax y dmin denotan los valores máximos y mínimos de distancia. 1.4. Análisis en señales complejas ruidosas. Una imagen compleja z puede ser representada como: z = ρ cos ϕ + jρsenϕ. (1.4.1). donde:. ρ es el módulo o magnitud. ϕ es el argumento o fase. Considerando la presencia de ruido blanco gaussiano aditivo, la señal compleja ruidosa ẑ se define como:. zˆ = ( ρ cos ϕ + η r ) + j ( ρsenϕ + η i ). (1.4.2). donde:. η = η r + jη i es la componente de ruido gaussiano complejo aditivo con media cero y varianza σ . Expresando la señal compleja ruidosa en su forma polar zˆ = ρˆ∠ϕˆ , la magnitud de dicha señal puede ser representada por la siguiente expresión:. ρˆ = [ρ 2 cos 2 ϕ + 2 ρ cos ϕη r + η r2 + ρ 2 sen 2ϕ + 2 ρsenϕη i + η i2 ]. 1. 2. (1.4.3).

(22) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES DE FASE. 12. Representando la magnitud cuadrática ruidosa en lugar de la magnitud ruidosa y agrupando términos, se obtiene que:. ρˆ 2 = ρ 2 + 2 ρ (cos ϕη r + senϕη i ) + (η r2 + η i2 ) 144444 42444444 3 inf luencia ruidosa. (1.4.4). 2 2 Lo deseado es que ρˆ ≅ ρ . Por tanto, el resto de la expresión es considerado como la. influencia ruidosa. El término considerado como influencia ruidosa además de tener las componentes de ruido gaussiano aditivo en la parte real e imaginaria también está formado por las componentes de fase y magnitud de la señal libre de ruido, mezcladas con las componentes de ruido. Lo planteado anteriormente demuestra como la eliminación del término correspondiente a la influencia ruidosa constituye una de las limitaciones fundamentales a la hora de obtener una imagen de magnitud filtrada que se aproxime más a la imagen de magnitud libre de ruido. En los algoritmos propuestos se utiliza una estrategia que permite evadir la influencia adversa provocada por la componente de magnitud ruidosa. Si se representa la señal compleja ruidosa en su forma cartesiana y en función de su magnitud y fase ruidosa, se tiene que:. ) ) ) ) zˆ = ρ cos ϕ + jρsenϕ. (1.4.5). Nótese que el nivel de afectación provocado por el ruido presente en la señal de magnitud, afecta de cierta forma la realización del proceso de denoising a los componentes real e imaginario. Para solventar este problema se simplifica este efecto provocado por la magnitud ruidosa con la formación de fasores de magnitud unitaria, es decir, se sustituye la magnitud ruidosa por un valor constante, en este caso, la unidad. Si se tiene que: zˆ = ρˆ∠ϕˆ. (1.4.6). Entonces: zˆ u = 1∠ϕ̂. (1.4.7). ˆ ˆ Como en este caso solo interesa la información de fase se puede plantear que: z ≡ z u , El fasor ruidoso de magnitud unitaria en su forma cartesiana es:.

(23) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA REDUCCIÓN DE RUIDO EN IMÁGENES DE FASE. zˆ u = cos ϕˆ + jsenϕˆ. 13 (1.4.8). De este modo, al aplicar el denoising sobre los canales real e imaginario, existe una relación más directa con los componentes de fase sin la presencia de la influencia ruidosa de la magnitud. 1.5. Desenrollado de fase. El desenrollado de fase es un problema conocido desde hace varias décadas, pero aún en la actualidad no se ha resuelto del todo. Desde el punto de vista matemático el desenrollado de fase es imposible de resolver debido a varios factores como: ruidos, interferencias y la conversión de una señal continua a discreta a través del muestreo, que obligan a hacer ciertas consideraciones y por tanto, la fase reconstruida es una aproximación de la fase real muestreada. La fase de cualquier señal compleja representa una rotación con dirección y amplitud. Sin embargo, dado un dato complejo cualquiera, esta rotación se enrolla en el intervalo [-π, π] y para obtener una medida del parámetro de interés, los múltiplos de 2π perdidos deben ser recuperados. Este proceso es conocido como desenrollado de fase (phase unwrapping). Es decir, la fase solo se puede obtener dentro de un intervalo de 2π lo que da un valor escalar (conocido como valor principal) y la rotación de la fase real no se puede obtener sin ambigüedades partiendo de este. La fase no es una señal real sino más bien una propiedad de dicha señal. Esta propiedad está relacionada con la posición en tiempo y espacio de la forma de onda e influye en la señal solo a través de los valores de fase principales, es decir, aquellos valores que pertenecen al intervalo [-π, π]. Estos valores principales son conocidos como fase enrollada porque la fase absoluta está enrollada alrededor de ±π. Las imágenes de fase presentan residuos o discontinuidades, ya sea por la contaminación con ruido o producto del propio proceso de adquisición. La presencia de estos residuos afecta el proceso de desenrollado de la fase. La existencia de algoritmos para la reducción de ruido, que disminuyan el número de residuos de fase, constituye una formidable ventaja para el proceso de desenrollado de fase..

(24) CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA REDUCCIÓN DE RUIDO. 14. CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA REDUCCIÓN DE RUIDO. El presente capitulo describe una serie de algoritmos para el filtrado de imágenes de fase con el empleo de la transformadas wavelet, wavelet packets y métodos no lineales en el dominio wavelet. Se describe además el experimento propuesto con el fin de validar los algoritmos diseñados mediante la simulación con Matlab. 2.1. Descripción del experimento. El experimento diseñado para medir la eficacia de los algoritmos propuestos, consiste en contaminar la imagen compleja con diferentes modelos de ruido y aplicar a la imagen ruidosa los distintos filtros diseñados, de donde se obtiene la imagen de fase filtrada. Luego se determinan los valores de la relación señal a ruido, la cantidad de residuos de fase, la desviación estándar y el error cuadrático medio normalizado. A fin de validar el experimento se itera 20 veces y se promedian los resultados. Este proceso se muestra en la figura 2.1.1..

(25) CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA REDUCCIÓN DE RUIDO. Imagen. Imagen. +. compleja. Filtro. ruidosa. Ruido. 15. Imagen de fase filtrada. Cálculo de parámetros de calidad. Figura 2.1.1 Esquema del experimento. 2.2. Imagen compleja simulada. La imagen compleja simulada es construida de forma similar a la utilizada en trabajos anteriores [1, 3] como se muestra en la figura 2.2.1. Consiste en una imagen de magnitud formada por un cuadrado de dimensión 64 x 64 píxeles, de intensidad 210 unidades (región brillante); el cual se encuentra centrado en otro cuadrado de 128 x 128 píxeles con una intensidad de 90 unidades (región oscura). La imagen de fase original “desenrollada” se obtiene a través de una función gaussiana bidimensional dada por: ⎛ (u − 64)2. ϕ uv = A exp⎜⎜ ⎝. σ u2. +. (v − 64)2 ⎞⎟ σ v2. ⎟ ⎠. donde: − “u” y “v” son las posiciones para los ejes coordenados (x ,y). −. A = 7π. −. σ u2 = 3500. −. σ v2 = 1000. (2.2.1).

(26) CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA REDUCCIÓN DE RUIDO. 16. Fig. 2.2.1 Imagen compleja simulada. La imagen se modela considerando una resolución de 8 bits para la representación de los valores numéricos. 2.3. Variables de calidad a medir. A modo de demostrar la eficacia de los algoritmos diseñados y realizar un análisis comparativo con trabajos previos reportados en la literatura, se realizan un conjunto de mediciones utilizadas en [3]. En estas se determinan los valores del error cuadrático medio normalizado del inglés Normalized Mean Square Error (NMSE), la relación señal a ruido del inglés Signal to Noise Ratio (SNR) y la cantidad de residuos de fase (RES). A continuación se definen dichos parámetros : ). NMSE =. ∑∑ ϕ (i, j ) − ϕ (i, j ) i. j. ∑∑ i. j. ϕ (i, j ). 2. 2. (2.3.1).

(27) CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA REDUCCIÓN DE RUIDO. 17. donde: −. ϕ es la fase “desenrollada” original.. −. ϕ es la fase “desenrollada” recuperada después de filtrar.. ). − (i , j) son los valores de los píxeles en la dirección (u , v). ⎛ 1 ⎞ SNR = 10 log10 ⎜ ⎟ ⎝ NMSE ⎠. (2.3.2). La cantidad de residuos de fase presentes tanto en la imagen ruidosa como en la recuperada después del proceso de denoising son calculados mediante la aplicación sistemática de la expresión:. ϕ (r ) = ∫ ∇ϕ (r ) ⋅ dr = 2 Kπ. (2.3.3). C. donde:. ϕ (r ) es la fase de la señal. − ∇ϕ (r ) es el gradiente de la fase. −. − K es un entero que cuenta la cantidad de residuos de fase encerrados en la región C.. 2.4. Modelos de ruido empleados. Los modelos de ruido que se emplean para contaminar la imagen de compleja original están compuestos por ruido gaussiano aditivo y una combinación de este con ruido impulsivo. En general se conciben nueve modelos considerando una resolución de 8 bits para la representación de los valores numéricos. El modelo de ruido impulsivo se concibe de la misma forma que en [3]. La probabilidad de ocurrencia de un impulso para cualquiera de los canales real o imaginario responde a: p = 1 − 1 − Pi. (2.4.1). El valor de “p” es dividido a partes iguales para la contribución de impulsos negativos y positivos..

(28) CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA REDUCCIÓN DE RUIDO. 18. La tabla 2.4.1 muestra los valores de la desviación estándar para una distribución de probabilidad gaussiana con media cero y los respectivos por cientos de ruido impulsivo. Los modelos uno, dos y tres se emplean para comparar los algoritmos propuestos con métodos anteriores mientras que los restantes forman dos baterías de ruido que permiten diferenciar el comportamiento de los filtros no lineales de orden estadístico en el dominio wavelet ante la presencia de ruido impulsivo. Tabla 2.4.1 Modelos de ruido Modelos de ruido. σ*. PI , %. 1. 60. 0. 2. 70. 3. 3. 90. 5. 4. 90. 0. 5. 120. 0. 6. 130. 0. 7. 90. 5. 8. 120. 20. 9. 130. 50. *. 2.5. Desviación estándar.. Algoritmos de filtrado. Todos los procedimientos de filtrado comienzan con la aplicación de la Transformada Wavelet Discretra 2D (DWT-2D) o la Transformada Wavelet Packets (DWPT-2D) a cada uno de los canales real e imaginario de la imagen compleja ruidosa “z”. De aquí se obtienen los coeficientes wavelets complejos ruidosos c chj ,o donde el término "ch" indica si el coeficiente pertenece al canal real “re” o imaginario “im”. Los términos “j” y “o” se refieren al nivel de descomposición y a la orientación (horizontal, vertical y diagonal) respectivamente. Las expresiones de análisis que caracterizan la descomposición wavelet y wavelet packets de la imagen compleja ruidosa “z” son representadas de la siguiente manera:.

(29) CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA REDUCCIÓN DE RUIDO. 19. c chj ,o = T [z ]DWT − 2 D. (2.5.1). c chj ,o = T [z ]DWPT − 2 D. (2.5.2). Las expresiones de síntesis correspondientes para la obtención de la señal compleja filtrada, se observan en (2.5.3) y (2.5.4).. [ ]. ) ) z = T −1 c jch,o. DWT − 2 D. ) z = T. [c) ]. −1. ch j ,o. (2.5.3). DWPT. −2D. .. (2.5.4). donde: ) − ( c jch,o ) son los coeficientes ruidosos filtrados.. 2.5.1. Estimado de ruido. Existe todo un conjunto de métodos para obtener de los datos ruidosos el valor estimado de la desviación estándar de ruido y con esto, determinar el valor del umbral que debe ser empleado en el proceso de recorte de los coeficientes wavelets. Claro que para la mayoría de las aplicaciones el ruido presente se puede considerar no correlacionado e independiente de cada nivel de descomposición, así como de la orientación en cada nivel. Teniendo en cuenta esto, escoger una base wavelet de gran ancho de banda para estimar el ruido y hacerlo en la escala más fina (primer nivel de descomposición), resulta la alternativa más adecuada. Empleando como estimado el valor absoluto de la mediana propuesto en [4], se obtiene un valor de umbral que responde a la siguiente expresión:. thr =. 2 ⋅ log(n) ⋅ median( c1ch,o ). 0.6745. (2.5.1.1).

(30) CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA REDUCCIÓN DE RUIDO. 20. Donde “n” es el número total de píxeles de la imagen, y “ median( c1ch,k ,o ) ” es el valor de la. mediana estadística del arreglo formado por el valor absoluto de los coeficientes wavelets obtenidos del primer nivel de descomposición. Para el caso del estimado de ruido cuando se emplea una descomposición wavelet Packets. thr =. median( c1ch,o ). (2.5.1.2). 0.6745. El umbral global para el denoising se obtiene por una regla de selección de los coeficientes wavelet packets usando el método de penalización propuesto por Birge Massart [5].. 2.5.2 Filtros en el dominio wavelet. El primer método de filtrado que se describe (nombrado SOFT aquí), se basa esencialmente en la aplicación clásica de la técnica de umbral suave a cada uno de los coeficientes wavelets de los canales real e imaginario de forma independiente: ) c jch,o. SOFT. [ ]. = T c chj ,o. (2.5.2.1). THR _ SOFT. O sea:. ) c jch,o. ( ) (. SOFT. ⎧sgn c chj ,o × c chj ,o − thr =⎨ 0 ⎩. ). c chj ,o ≥ thr c chj ,o < thr. (2.5.2.2). donde: − thr es el valor del umbral planteado en la expresión (2.5.1.1).. Teniendo en cuenta el análisis hecho en el epígrafe 1.4 se logra una extensión del método anterior (SOFT_UN), pero en este caso aplicado a los coeficientes wavelets obtenidos de los fasores de magnitud unitaria:.

(31) CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA REDUCCIÓN DE RUIDO. z u = T [z ]U = z / ρ. 21. (2.5.2.3). donde:. ρ es la imagen de magnitud correspondiente a la imagen compleja “z”.. −. Se obtienen los coeficientes de magnitud unitaria:. c. ch. u j ,o. = T [z u ]DWT − 2 D. (2.5.2.4). Ahora se aplica la ecuación (2.5.2.2) sobre estos coeficientes y se obtiene:. ) c jch,o. SOFT _ UN. ch = T ⎡c ⎤ ⎢⎣ u j ,o ⎥⎦ THR _ SOFT. (2.5.2.5). Otro de los filtros (HARD) consiste en la aplicación de la clásica técnica de umbral duro a los coeficientes wavelets de cada uno de los canales real e imaginario de la señal ruidosa compleja: ) c jch,o. HARD. [ ]. = T c chj ,o. THR _ HARD. (2.5.2.6). O sea:. ) c jch,o. HARD. ⎧c ch = ⎨ j ,o ⎩ 0. c chj ,o ≥ thr c chj ,o < thr. (2.5.2.7). Las diferentes combinaciones de las técnicas de umbral descritas anteriormente dan origen a una serie de filtros compuestos. El primero de ellos (COMP_UN) concatena la aplicación de una técnica de umbral duro seguida por una de umbral suave sobre los fasores de magnitud unitaria..

(32) CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA REDUCCIÓN DE RUIDO. ) c jch,o. COMP _ UN. [[ [. ) = T ⎡T T T −1 c jch,o ⎢⎣. ]. ]]. HARD DWT − 2 D U DWT − 2 D. 22. ⎤ ⎥⎦ THR _ SOFT. (2.5.2.8). Si en lugar de aplicar la técnica de umbral duro a los coeficientes wavelets de los canales real e imaginario de forma independiente, se aplica a la magnitud de los coeficientes wavelets, definida como:. (c ) + (c ) RE 2 j ,o. c j ,o =. IM 2 j ,o. (2.5.2.9). Se logra entonces el filtro AB_HARD: ) c j ,o = T c j ,o. [ ]. (2.5.2.10). THR _ AB _ HARD. AB _ HARD. O sea: ) c j ,o. AB _ HARD. ) c j ,o ≥ thrG ) c j ,o < thrG. ⎧ c) j ,o =⎨ ⎩ 0. (2.5.2.11). donde: − thrG es la suma de las contribuciones de ruido de los canales real e imaginario.. [. thrG = (thrRE ) + (thrIM ) 2. 2. ]. 1. 2. (2.5.2.12). Combinando esta técnica de umbral aplicada a la magnitud de los coeficientes wavelets con otras técnicas de umbral descritas anteriormente que trabajan sobre los coeficientes wavelets de los canales real e imaginario de forma independiente se obtiene otro tipo de filtro compuesto conocido como AHSU. En este caso se parte de una técnica de umbral duro, aplicada a la magnitud de los coeficientes wavelets; seguida por una técnica de umbral suave sobre los coeficientes wavelets de los canales real e imaginario de los fasores de magnitud unitaria. ) c j ,o. 2.5.3. AL _ HARD _ SOFT _ UN. ⎡ ⎡ ⎡ ) = T ⎢T ⎢T ⎢T −1 ⎡ c j ,o ⎢⎣ ⎣ ⎣ ⎢⎣. ⎤ ⎤ ⎤ ⎤ ⎥ ⎥ AL _ HARD ⎥ ⎦ DWT − 2 D ⎥⎦ U ⎦ DWT − 2 D ⎥⎦ SOFT. (2.5.2.13). Filtros en el dominio wavelet packets. Se proponen dos nuevos algoritmos que a diferencia de los mencionados anteriormente, operan en el dominio wavelet packets. El primero de ellos conocido como SOFT_WP se basa en la aplicación de la clásica técnica de umbral suave a cada uno de los coeficientes wavelet packets de los canales real e imaginario de forma independiente..

(33) CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA REDUCCIÓN DE RUIDO. ) c jch,o. SOFT _ WP. ( ) (. [ ]. = T c chj ,o. THR _ SOFT _ WP. ⎧sgn c chj ,o × c chj ,o − thr =⎨ 0 ⎩. ). c chj ,o ≥ thr c chj ,o < thr. 23. (2.5.3.1). donde: − thr es el valor del umbral planteado en la expresión (2.5.1.2). El segundo filtro nombrado A_SOFT_WP aplica la técnica de umbral suave a la magnitud de los coeficientes wavelet packets en lugar de aplicarla a los coeficientes wavelet packets de los canales real e imaginario de forma independiente.. ) c jch,o. A _ SOFT _ WP. [ ]. = T c j ,o. THR _ SOFT _ WP. ( )(. ⎧sgn c chj ,o × c chj ,o − thr =⎨ 0 ⎩. ). c j ,o ≥ thrG c j ,o < thrG. (2.5.3.2). 2.5.4 Filtros no lineales de orden estadístico en el dominio wavelet. A continuación se muestran cuatro filtros que aplican el filtrado vectorial no lineal de orden estadístico en el dominio wavelet. En el primero de ellos, nombrado AHSUF1A, luego de aplicar una técnica de umbral duro a la magnitud de los coeficientes wavelets de detalle, se conforma una matriz compleja con las matrices de los coeficientes de aproximación procedentes de los canales real e imaginario. La matriz compleja de los coeficientes de aproximación es procesada con el filtro no lineal de orden estadístico FVDMAG [3]. Una vez concluida esta primera etapa de filtrado y de forma similar a lo realizado en el filtro AHSU descrito anteriormente, se aplica una técnica de umbral suave a los coeficientes wavelets de los canales real e imaginario de los fasores de magnitud unitaria. El segundo filtro nombrado AH_F1AD es muy similar al filtro descrito anteriormente. La diferencia fundamental radica en que el filtro no lineal de orden estadístico FVDMAG [3] es aplicado tanto a la matriz de aproximación compleja como a las tres matrices complejas de detalles..

(34) CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA REDUCCIÓN DE RUIDO. 24. En la confección del tercer filtro nombrado WFMAG_S se toman las matrices complejas de aproximación y de detalles. A la matriz compleja de aproximación y a las tres de detalles se les aplica el filtro no lineal de orden estadístico FVDMAG [3]. El proceso de filtrado termina con una técnica de umbral suave aplicada de forma independiente a los coeficientes wavelets de los canales real e imaginario de los fasores de magnitud unitaria. El cuarto y último filtro desarrollado (FAHSUAS) utiliza en su ejecución las matrices complejas de aproximación y de detalles. A la matriz compleja de aproximación y a las tres de detalles se les aplica el filtro no lineal de orden estadístico FVDMAG [3], de forma similar a la primera etapa del filtro anterior. Posterior a esto se aplica el filtro AHSU..

(35) CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS. 25. CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS. Luego de realizar el trabajo experimental descrito en el capítulo anterior, se hace un análisis comparativo del desempeño de los algoritmos propuestos. Para esto se hace referencia a los resultados numéricos obtenidos de los diferentes parámetros de calidad y a la percepción visual de la imagen. 3.1. Filtros en el dominio wavelet.. En la tabla 3.1.1 se muestran los resultados obtenidos con los filtros diseñados en el dominio wavelet. De izquierda a derecha aparecen el NMSE y la SNR expresada en dB para los modelos de ruido uno, dos y tres. La tabla 3.1.2 muestra el número de residuos de fase para los mismos modelos de ruido. Tabla 3.1.1 Relación señal a ruido aplicando los filtros en el dominio wavelet. Modelo Filtro. NMSE. SNR(dB). NMSE. SNR(dB). NMSE. SNR(dB). NINGUNO. 0.5397. 3.37. 0.9144. 0.97. 1.2821. -0.61. SOFT. 0.0010. 31.24. 0.0046. 24.82. 0.0278. 15.98. SOFT_UN. 0.0006. 32.82. 0.0018. 28.56. 0.0139. 19.10. HARD. 0.0011. 31.98. 0.0185. 22.94. 0.0149. 19.06. COMP_UN. 0.0010. 32.93. 0.0181. 23.32. 0.0137. 19.47. AB_HARD. 0.0005. 34.48. 0.0021. 29.11. 0.0085. 22.39. A_H_S_U. 0.0004. 35.13. 0.0018. 30.41. 0.0079. 22.78. 1. 2. 3.

(36) CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS. 26. Tabla 3.1.2 Residuos de fase después de filtrar en el dominio wavelet. 1. Modelo Filtro. 2. 3. NRES. STDV. NRES. STDV. NRES. STDV. NINGUNO. 885.90. 43.93. 1396.80. 47.75. 2149.70. 44.17. SOFT. 0.50. 0.89. 4.10. 2.79. 11.80. 3.55. SOFT_UN. 0.50. 0.89. 1.95. 1.73. 9.90. 4.23. HARD. 1.80. 2.67. 6.80. 3.27. 13.95. 5.28. COMP_UN. 1.50. 2.59. 6.50. 3.30. 12.35. 4.85. AB_HARD. 0.30. 0.98. 2.50. 2.67. 5.10. 3.08. A_H_S_U. 0.30. 0.98. 2.00. 2.43. 4.40. 2.56. Para todos los casos se emplea la base bior2.6 y cuatro niveles de descomposición (j=4). Nótese que la relación señal a ruido de la imagen compleja ruidosa está por debajo de 5dB en todos los casos. En la figura 3.1.1 se muestra en la parte superior y de izquierda a derecha la imagen de fase original enrollada, la ruidosa y la filtrada. En la parte inferior análogamente se observa la fase desenrollada de cada una de ellas. Con el objetivo de probar la calidad referida a la percepción visual de los algoritmos ante otro tipo de imagen compleja, estos fueron aplicados a una imagen de phantom proveniente de un equipo de resonancia magnética. La figura 3.1.2 muestra de izquierda a derecha la imagen de fase ruidosa, la imagen de fase filtrada y la imagen de magnitud original. Los resultados obtenidos tanto para la imagen simulada como para la imagen de phantom muestran una mejora considerable. Para el caso de la imagen simulada, se utiliza un gran número de filtros, solo aquí se muestran los más representativos. Es de destacar como en todos los casos, para el primer modelo de ruido, se obtienen valores de ganancia alrededor de los 30dB, siendo de 31,76dB para el filtro AHSU que muestra los mejores resultados. De forma similar ocurre con los residuos de fase que resultan suprimidos prácticamente en su totalidad..

(37) CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS. Fig. 3.1.1 Filtrado de la imagen simulada, modelo de ruido dos, filtro COMP_UN.. Fig. 3.1.2 Filtrado de la imagen de phantom, filtro AB_HARD.. 27.

(38) CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS. 28. Si se comparan estos resultados con los obtenidos en [3], se puede apreciar fácilmente las ventajas que ofrecen los esquemas de filtrado en el dominio wavelet. Tanto la relación señal a ruido como la reducción de residuos de fase alcanzan mejores resultados, siendo notable en los modelos más ruidosos. Las tablas 3.1.3 y 3.1.4 muestran los resultados obtenidos con el filtro de mediana vectorial y el filtro direccional vectorial fuzzy basado en la magnitud. Tabla 3.1.3 Relación señal a ruido aplicando los filtros no lineales. Modelo Filtro. 1. 2. 3. SNR(dB). SNR(dB). SNR(dB). NINGUNO. 3.71. 1.29. 0.36. VMF. 19.76. 13.82. 9.76. FVDMAG. 28.67. 23.39. 16.78. Tabla 3.1.4 Residuos de fase después de aplicar filtros no lineales.. 3.2. Modelo Filtro. 1. 2. 3. NRES. NRES. NRES. NINGUNO. 884.70. 1300.65. 1675.75. VMF. 28.40. 76.00. 149.80. FVDMAG. 2.40. 11.70. 36.65. Filtros en el dominio wavelet packets.. Los filtros obtenidos utilizando la descomposición wavelet packets consiguen una mayor relación señal a ruido que todos los filtros obtenidos con la descomposición wavelet. La caída de la SNR entre los modelos de ruido uno y dos es apenas de 1dB para el filtro SOFT_WP, mientras que para el mejor de los filtros wavelets. la diferencia es. aproximadamente de 5dB. Los algoritmos diseñados empleando wavelet packets son más resistentes al incremento de ruido. Por otra parte los filtros wavelets también son superados en la eliminación de residuos de fase. Las tablas 3.2.1 y 3.2.2 corroboran lo antes expuesto..

(39) CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS. 29. Tabla 3.2.1 Relación señal a ruido para los filtros en el dominio wavelet packets. Filtro. NMSE. SNR(dB). NMSE. SNR(dB). NMSE. SNR(dB). NINGUNO. 0.5397. 3.37. 0.9144. 0.97. 1.2821. -0.61. SOFT_WP. 0.0003. 35.83. 0.0004. 34.11. 0.0027. 27.50. A_SOFT_WP. 0.0003. 35.02. 0.0006. 32.88. 0.0068. 23.49. Tabla 3.2.2 Residuos de fase para los filtros en el dominio wavelet packets. Filtro. NRES. STDV. NRES. STDV. NRES. STDV. NINGUNO. 885.90. 43.93. 1396.80. 47.75. 2149.70. 44.17. SOFT_WP. 0.00. 0.00. 0.00. 0.45. 2.10. 1.52. A_SOFT_WP. 0.00. 0.00. 0.20. 0.62. 4.10. 2.55. Fig. 3.2.1 Filtrado de la imagen simulada, modelo de ruido dos, filtro SOFT_WP..

(40) CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS. 30. La figura 3.2.1 muestra el desempeño del proceso de filtrado utilizando el filtro SOFT_WP. En la parte superior y de izquierda a derecha, aparecen la imagen de fase original enrollada, la ruidosa y la filtrada. En la parte inferior análogamente se observa la fase desenrollada de cada una de ellas. Las ventajas del filtrado wavelet packets pueden ser apreciadas en la figura 3.2.2. En la parte superior aparecen la imagen de fase original enrollada, la ruidosa y las filtradas con AHSU y SOFT_WP respentivamente. En la parte inferior análogamente se observa la fase desenrollada de cada una de ellas. Nótese como el filtro SOFT_WP reduce el efecto de distorsión de bordes y elimina mayor número de residuos de fase en comparación con el filtrado wavelet.. Fig. 3.2.2 Filtrado de la imagen simulada, modelo de ruido dos, filtros AHSU y SOFT_WP..

(41) CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS. 3.3. 31. Filtros no lineales de orden estadístico en el dominio wavelet.. Los filtros no lineales de orden estadístico aplicados en al dominio wavelet exhiben excelentes resultados en cuanto a la relación señal a ruido que logran y la eliminación de residuos de fase. La tabla 3.3.1 y 3.3.2 muestran los resultados obtenidos sobre la imagen simulada. Tabla 3.3.1 Relación señal a ruido para los filtros no lineales de orden estadístico en el dominio wavelet. Modelo Filtro. NMSE. SNR(dB). NMSE. SNR(dB). NMSE. SNR(dB). NINGUNO. 0.6160. 2.94. 0.7563. 1.52. 1.3984. 0.90. AHSUF1A. 0.0003. 34.92. 0.0006. 32.63. 0.0048. 24.44. AH_F1AD. 0.0003. 34.92. 0.0006. 32.62. 0.0048. 24.44. WFMAG_S. 0.0002. 37.58. 0.0002. 36.06. 0.0009. 32.69. FAHSUAS. 0.0002. 38.08. 0.0002. 36.79. 0.0022. 32.02. 1. 2. 3. Tabla 3.3.2 Residuos de fase para los filtros no lineales de orden estadístico en el dominio wavelet. 1. Modelo Filtro. 2. 3. NRES. STDV. NRES. STDV. NRES. STDV. NINGUNO. 883.70. 38.25. 1391.85. 42.33. 2155.85. 47.52. AHSUF1A. 0.00. 0.00. 0.20. 0.62. 2.70. 1.87. AH_F1AD. 0.00. 0.00. 0.20. 0.62. 2.70. 1.87. WFMAG_S. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.30. 0.73. FAHSUAS. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.80. 1.51. Esta combinación de técnicas de filtrado no lineal en el dominio wavelet supera el desempeño de cada una ellas por separado. Lo resultados obtenidos son una muestra de ello, alcanzando por primera vez una ganancia en la relación señal a ruido superior a 30dB para el tercer modelo de ruido. La reducción de los residuos de fase se hace más notable, la figura 3.3.1 muestra una mayor preservación de bordes y detalles de la imagen superior a todos los algoritmos de filtrado abordados anteriormente..

(42) CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS. 32. Fig. 3.3.1 Reducción de Filtrado de la imagen simulada, modelo de ruido dos, filtros WFMAG_S y FAHSUAS.. 3.3.1 Desempeño ante condiciones críticas de ruido. En las. tablas 3.3.3. y 3.3.4 se muestra el comportamiento de los filtros de mejor. desempeño en las técnicas ante condiciones críticas de ruido, en este caso la imagen es contaminada con los modelos de ruido del cuatro al nueve. Se evidencia claramente como el filtro WFMAG_S tiene un comportamiento mucho más robusto ante una alta contaminación de ruido gaussiano en los modelos del cuatro al seis. Su comportamiento ante el ruido impulsivo sigue siendo superior. Tabla 3.3.3 Relación señal a ruido para los modelos de ruido del cuatro al nueve. Modelo Filtro. 4. 5. 6. 7. 8. 9. SNR(dB). SNR(dB). SNR(dB). SNR(dB). SNR(dB). SNR(dB). NINGUNO. -0.89. 1.52. -2.40. -1.17. -3.05. -3.90. AHSU. 14.32. 10.25. 8.34. 13.82. 6.97. 2.10. WFMAG_S. 34.64. 28.06. 24.90. 34.10. 22.66. 9.64. FAHSUAS. 24.52. 16.87. 15.45. 22.52. 14.22. 7.99.

(43) CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS. 33. Tabla 3.3.4 Residuos de fase para los modelos de ruido del cuatro al nueve. Modelo Filtro. 4. 5. 6. 7. 8. 9. NRES. NRES. NRES. NRES. NRES. NRES. NINGUNO. 2023.10. 2833.20. 3040.45. 2150.60. 3260.35. 4272.15. AHSU. 11.00. 22.30. 29.50. 12.95. 35.15. 31.45. WFMAG_S. 0.00. 1.70. 3.05. 0.00. 5.05. 28.85. FAHSUAS. 2.20. 6.65. 8.25. 3.20. 11.05. 31.15.

(44) CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. 34. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. Conclusiones. Luego de analizar lo resultados obtenidos en el presente trabajo se arriban a las siguientes conclusiones: 1. El filtrado de imágenes de fase con el empleo algoritmos en el dominio wavelet y wavelet packets, así como el empleo de metódos no lineales de orden estadístico en el dominio wavelet, reducen significativamente la contaminación de ruido en términos del aumento de la relacion señal a rudio y la reducción de los residuso de fase en comparación con otros métodos reportados en la literatura.. 2. Los filtros que utilizan métodos no lineales de orden estadístico en el dominio wavelet presentan mayor robustez y un desempeño superior en todos los parametros de calidad medidos aquí, así como en la preservación de bordes y detalles de la imagen.. Recomendaciones. La posibilidad de incluir las recomendaciones permite al diplomante sugerir qué hacer con sus resultados y aportes. 1. Aplicar los algoritmos propuestos en este trabajo a otros tipos de imágenes complejas.. 2. Desarrollar algoritmos de filtrado no lineal en el dominio wavelet packets.. 3. Realizar un estudio sobre la influencia de las diferentes distribuciones de ruido presentes en las imágenes complejas sobre estos algorimos de filtrado..

(45) REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 35. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. [1] Alexander M.E., Baumgartner R., Summers A.R., Windischberger C., Klarhoefer M., Moser E., Somorjai R.L. (2000). A Wavelet-based Method for Improving Signal-tonoise Ratio and Contrast in MR Images, En: Magnetic Resonance Imaging, 18:169-180.. [2] Dana Mackenzie (2001).. Wavelets: ver el bosque y los árboles, Más allá del. descubrimiento: El camino desde la investigación hasta el beneficio humano. En http://www7.nationalacademies.org/spanishbeyonddiscovery/mat_00827604.html Accedido el lunes 22 de mayo de 2006, 1: 40 PM.. [3] Lorenzo-Ginori, J. V., Plataniotis, K. N. and Venetsanopoulos, A. N ( Octubre 2002). Non linear filtering for phase image denoising, IEE Proc.-Vis. Image Signal Process, 49, (5): 290-296.. [4] H.Braunisch, W. Bae-ian, and J. A.Kong (2000). Phase unwrapping of SAR interferograms after wavelet de-noising En: IEEE Geoscience and Remote Sensing Symposium, IGARSS 2000, 2: 752-754.. [5] M. Misiti et al (2000), Wavelet Toolbox user’s guide, The MathWorks Inc., Natick,. MA..

(46) REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 36. [6] Plataniotis, K. N., Androutsos, D. and Venetsanopoulos, A. N (1999).Adaptive Fuzzy Systems for Multichannel Signal Processing, IEEE, 87, (9) : 1601-1622.. [7] Plataniotis, K. N. and Venetsanopoulos, a. N (2000).Color Image Processing and Applications . 1ra Edicion, Springer, Berlin, New York.

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