12. Números naturales y enteros. Congruencias y sistemas de numeración

(1)

12. Números naturales y enteros. Congruencias y sistemas de numeración

Ejercicios resueltos

ü Ejercicio 1.

Calcular en

1001

el inverso de 271 êêêêê .

Solución:

Para ello calculamos el máximo común divisor y la identidad de Bezout, a

partir del programa 11.2.

(2)

Clear[valor1,valor2];

n1=271;

n2=1001;

If[Abs[n1]>Abs[n2], temp=n1; n1=n2; n2=temp];

Signo1=n1/Abs[n1];

a=Abs[n1];

b=Abs[n2];

If [a<b,a=b;

b=Abs[n1];

n3=a;

n4=b;

];

If[Mod[n2,n1]==0,Valoru=0;Valordev=Signo1;a=b;, r=1;

cocientes={};

s=0;

While[r>0,

q=Quotient[a,b];

r=Mod[a,b];

a=b;

b=r;

s=s+1;

AppendTo[cocientes,q];

];

listam=Table[0,{i,s}];

listam[[1]]=valor1;

For [f=3,f<s+1,f++,

listam[[f]]=listam[[f-2]]-(listam[[f-1]]*cocientes[[f-2]]) ];

Bezout:=Simplify[listam[[s-1]]-(listam[[s]]*cocientes[[s-1]])];

valor1=1;

valor2=0;

Valoru=Bezout;

valor1=0;

valor2=1;

Valordev=Bezout;

Valoru=Valoru*Signo2;

Valordev=Valordev*Signo1;

]

Print["m.c.d.{",n1,",",n2,"}=",a]

Print["m.c.m.{",n1,",",n2,"}=",(n3*n4)/a]

Print["Identidad de Bezout: ",a," = ",n2,"·(",Valoru,") + ",n1,"·(",Valordev,")."]

m.c.d.8271,1001<=1

m.c.m.8271,1001<=271271

Identidad de Bezout: 1 = 1001⋅H111L + 271⋅H−410L.

Por tanto, en inverso que nos piden es -410 êêêêêêêê

; es decir,

(3)

Mod@−410, 1001D 591

ü Ejercicio 2.

Calcular en

10000

el inverso de 275 êêêêê .

Solución:

Para ello calculamos el máximo común divisor y la identidad de Bezout, a

partir del programa 11.2.

(4)

n1=275;

n2=10000;

a=Abs[n1];

b=Abs[n2];

If [a<b,a=b;

b=Abs[n1];

n3=a;

n4=b;

];

cocientes={};

s=0;

While[r>0,

r=Mod[a,b];

a=b;

b=r;

s=s+1;

];

For [f=3,f<s+1,f++,

valor1=1;

valor2=0;

Valoru=Bezout;

valor1=0;

valor2=1;

]

Print["m.c.d.{",n1,",",n2,"}=",a]

Print["m.c.m.{",n1,",",n2,"}=",(n3*n4)/a]

m.c.d.8275,10000<=25

m.c.m.8275,10000<=110000

Como no son primos relativos, no existe el inverso que nos piden.

(5)

ü Ejercicio 3.

Resolver la siguiente ecuación en congruencias:

3x ª 21 mod 101

Solución:

Para ello, despejamos en

101

, 3 êêêê x

= 21 êêêê

y tenemos x êê = 21 êêêê êê 3

-1

Calculamos el inverso del 3 en

101

(6)

n1=3;

n2=101;

a=Abs[n1];

b=Abs[n2];

If [a<b,a=b;

b=Abs[n1];

n3=a;

n4=b;

];

cocientes={};

s=0;

While[r>0,

r=Mod[a,b];

a=b;

b=r;

s=s+1;

];

For [f=3,f<s+1,f++,

valor1=1;

valor2=0;

Valoru=Bezout;

valor1=0;

valor2=1;

]

Print["m.c.d.{",n1,",",n2,"}=",a]

Print["m.c.m.{",n1,",",n2,"}=",(n3*n4)/a]

m.c.d.83,101<=1

m.c.m.83,101<=303

Identidad de Bezout: 1 = 101⋅H−1L + 3⋅H34L.

(7)

Así el inverso del 3 es el 34.

Por tanto, x êê = 21 êêêê êê 3

-1

= 21 êêêê 34 êêêê

Mod@21∗34, 101D 7

luego la ecuación es equivalente a x ª 7 mod 101 y una solución es x = 7.

ü Ejercicio 4.

Resolver el siguiente sistema de congruencias:

x ª 2 mod 3 x -2 ª 3 mod 7

x ª -27 mod 10

Solución:

En primer lugar simplificamos el sistema de congruencias:

Mod@3+2, 7D 5

Mod@−27, 10D 3

x ª 0 mod 3 x ª 5 mod 7 x ª 3 mod 10

Una vez que comprobamos que se verifican las condiciones del teorema

chino del resto, aplicamos el algoritmo que hemos implementado en el

programa 12.1.

(8)

n=3;

a=Table@0, 8i, n<D;

m=Table@0, 8i, n<D;

a@@1DD =0;

a@@2DD =5;

a@@3DD =3;

m@@1DD =3;

m@@2DD =7;

m@@3DD =10;

M=Table@0, 8i, n<D;

M@@1DD =1;

For@f=2, f<n+1, f++, M@@fDD =M@@f−1DD ∗m@@f−1DD;D;

u=Table@0, 8i, n<D;

For@k=1, k<n+1, k++, cont=1;

While@Mod@cont∗M@@kDD, m@@kDDD >1, cont=cont+1;D;

u@@kDD =cont;

D;

b=Table@0, 8i, n<D;

w=Table@0, 8i, n<D;

b@@1DD =Mod@a@@1DD, m@@1DDD;

For@f=2, f<n+1, f++,

w@@fDD = Mod@Ha@@fDD −b@@f−1DDL ∗u@@fDD, m@@fDDD;

b@@fDD =b@@f−1DD +w@@fDD ∗M@@fDD;D;

Print@"Sistema de congruencias:"D;

For@f=1, f<n+1, f++, Print@"x ≡ ", a@@fDD, " mod ", m@@fDDD;D;

Print@"Solución: \!\Hx\_0\L = ", b@@nDDD;

Print@"Solución general: x = ", b@@nDD, " + t ", M@@nDD ∗m@@nDD D;

Sistema de congruencias:

x ≡ 0 mod 3

x ≡ 5 mod 7

x ≡ 3 mod 10

Solución: x0 = 33

Solución general: x = 33 + t 210

ü Ejercicio 5.

Calcular la tabla del algoritmo chino del resto para el sistema de congruen-

cias del ejercicio anterior:

(9)

Solución:

Para ello usaremos el procedimiento 12.1. Lo cargamos en el núcleo:

CHINO@a_, m_D:=Module@8<, n=Length@aD;

tabla=Table@0,8i, n+1<,8j, 7<D;

tabla@@1DD = 8"i", "\!\Ha\_i\L", "\!\Hm\_i\L", "\!\HM\_i\L",

"\!\Hu\_i\L", "\!\Hw\_i\L", "\!\Hb\_i\L"<; For@k=2,

k≤n+1, k++, tabla@@k, 1DD =k−1; tabla@@k, 2DD =a@@k−1DD;

tabla@@k, 3DD =m@@k−1DDD;

M=Table@0, 8i, n<D;

M@@1DD =1;

tabla@@2, 4DD =1;

For@f=2, f<n+1, f++, M@@fDD =M@@f−1DD ∗m@@f−1DD;

tabla@@f+1, 4DD =M@@fDD;D;

u=Table@0, 8i, n<D;

For@k=1, k<n+1, k++, cont=1;

u@@kDD =cont;

tabla@@k+1, 5DD =u@@kDDD;

b=Table@0, 8i, n<D;

w=Table@0, 8i, n<D;

tabla@@2, 7DD =b@@1DD;

tabla@@2, 6DD ="−";

For@f=2, f<n+1, f++,

tabla@@f+1, 6DD =w@@fDD;

b@@fDD =b@@f−1DD +w@@fDD ∗M@@fDD;

tabla@@f+1, 7DD =b@@fDD;D;

Print@"Solución general: x = ", b@@nDD, " + t ", M@@nDD ∗m@@nDDD;

Print@"Tabla de cálculos:"D;

Print@TableForm@tablaDD;D

Ahora lo utilizamos con los datos de nuestro problema

(10)

CHINO@80, 5, 3<,83, 7, 10<D

x ≡ 0 mod 3

x ≡ 5 mod 7

x ≡ 3 mod 10

Solución: x0 = 33

Tabla de cálculos:

i ai mi Mi ui wi bi

1 0 3 1 1 − 0

2 5 7 3 5 4 12

3 3 10 21 1 1 33

ü Ejercicio 6.

En una olimpida de invierno se quiere conocer el número de atletas que participan. En la villa olímpica hay apartamentos de 5 personas. Después de ser ocupados por los atletas quedan algunos apartamentos libres y uno de ellos ocupado tan sólo por dos personas. El primer día de competición en el comedor desayunan los atletas y los jueces juntos, entrando 81 perso- nas en cada turno y se sabe que para el último turno sólo quedan 54 perso- nas. Para trasladar a los atletas al estadio olímpico se utilizan vehículos monovolumen de 9 plazas cuyo conductor es una persona contratada por la organización. Se sabe que en el último de los coches hay 3 plazas libres.

Sabiendo que hay un juez por cada cuatro atletas y que participan menos de

1000, ¿cuántos atletas participan?

(11)

Solución:

Consideremos x = nº de atletas e y = nº de jueces,

los datos del problema se traducen en el siguiente sistema de congruencias:

x ª 2 mod 5

x + y ª 54 mod 81

x ª -3 mod 8

Sabiendo que hay un juez por cada cuatro atletas y que participan menos de 1000 atletas:

4 y = x ï y = 4

^-1

x x < 1000

Sustituyendo el valor de y quedaría

x + 4

^-1

x ª 54 mod 81; o bien x ª H1 + 4

^-1

)

^-1

54 mod 81

Calculamos primero el inverso del 4 en

81

:

(12)

n1=4;

n2=81;

a=Abs[n1];

b=Abs[n2];

If [a<b,a=b;

b=Abs[n1];

n3=a;

n4=b;

];

cocientes={};

s=0;

While[r>0,

r=Mod[a,b];

a=b;

b=r;

s=s+1;

];

For [f=3,f<s+1,f++,

valor1=1;

valor2=0;

Valoru=Bezout;

valor1=0;

valor2=1;

]

Print["m.c.d.{",n1,",",n2,"}=",a]

Print["m.c.m.{",n1,",",n2,"}=",(n3*n4)/a]

m.c.d.84,81<=1

m.c.m.84,81<=324

El inverso del 4 es el -20, así

x ª (1 +

(13)

4

^-1

)

^-1

54 mod 81 ª H 1 - 20)

^-1

54 mod 81 ª H -19)

^-1

54 mod 81.

Por tanto necesitamos ahora calcular el inverso del -19 en

81

:

n1=-19;

n2=81;

a=Abs[n1];

b=Abs[n2];

If [a<b,a=b;

b=Abs[n1];

n3=a;

n4=b;

];

cocientes={};

s=0;

While[r>0,

r=Mod[a,b];

a=b;

b=r;

s=s+1;

];

For [f=3,f<s+1,f++,

valor1=1;

valor2=0;

Valoru=Bezout;

valor1=0;

valor2=1;

]

Print["m.c.d.{",n1,",",n2,"}=",a]

Print["m.c.m.{",n1,",",n2,"}=",(n3*n4)/a]

m.c.d.8−19,81<=1

m.c.m.8−19,81<=1539

Identidad de Bezout: 1 = 81⋅H4L + −19⋅H17L.

(14)

El inverso de -19 es 17 y, por tanto

x ª H -19)

^-1

54 mod 81 ª H 17 L 54 mod 81ª 27 mod 81 pues

Mod@17∗54, 81D 27

Además podemos simplificar la tercera congruencia pues:

Mod@−3, 8D 5

El sistema queda:

x ª 2 mod 5 x ª 27 mod 81

x ª 5 mod 8

Sabiendo que x < 1000

(15)

n=3;

a=Table@0, 8i, n<D;

m=Table@0, 8i, n<D;

a@@1DD =2;

a@@2DD =27;

a@@3DD =5;

m@@1DD =5;

m@@2DD =81;

m@@3DD =8;

M=Table@0, 8i, n<D;

M@@1DD =1;

For@f=2, f<n+1, f++, M@@fDD =M@@f−1DD ∗m@@f−1DD;D;

u=Table@0, 8i, n<D;

For@k=1, k<n+1, k++, cont=1;

u@@kDD =cont;

D;

b=Table@0, 8i, n<D;

w=Table@0, 8i, n<D;

For@f=2, f<n+1, f++,

b@@fDD =b@@f−1DD +w@@fDD ∗M@@fDD;D;

Print@"Solución general: x = ", b@@nDD, " + t ", M@@nDD ∗m@@nDD D;

x ≡ 2 mod 5

x ≡ 27 mod 81

x ≡ 5 mod 8

Solución: x0 = 837

Como la cota para x es: x < 1000, damos a t el valor 0 y obtenemos:

837+0∗3240

837

(16)

Por tanto, el número de atletas participantes es 837.

ü Ejercicio 7.

Expresar 189 en base 7.

Solución:

Aplicamos el programa 12.2. de la forma:

n=189;

b=7;

n1=n;

numb="";

While@n>0,

If@Mod@n, bD <10, numb=StringJoin@ToString@Mod@n, bDD, numbD;

n=Quotient@n, bD;, If@Mod@n, bD ≥10,

numb=StringJoin@FromCharacterCode@55+Mod@n, bD, numbDD;

n=Quotient@n, bD;

D;

D;D

Print@n1, " = ", "H", numb, \!\H"L" \_b\LD;

189 = H360L₇

ü Ejercicio 8.

Expresar 12345 en base 2,4,8 y16.

Solución:

En base 2:

(17)

n=12345;

b=2;

n1=n;

numb="";

While@n>0,

numb=StringJoin@FromCharacterCode@55+Mod@n, bDD, numbDD;

D;

12345 = H11000000111001L₂

En base 4:

n=12345;

b=4;

n1=n;

numb="";

While@n>0,

D;

12345 = H3000321L₄

En base 8:

(18)

n=12345;

b=8;

n1=n;

numb="";

While@n>0,

D;

12345 = H30071L₈

En base 16:

n=12345;

b=16;

n1=n;

numb="";

While@n>0,

D;

12345 = H3039L₁₆

ü Ejercicio 9.

Escribir los siguientes números en base 10:

I. (ade)

₁₆

II. (10203)

₄

Solución:

I. (ade)

16

(19)

numero="ade";

base=16;

numero=ToUpperCase@numeroD;

num=Characters@numeroD;

cont=0; numdec=0; n=Length@numD;

For@j=n, j>0, j−−, If@ToCharacterCode@num@@jDDD@@1DD >57,

numdec= HHToCharacterCode@num@@jDDD −55L ∗ Hbase ^ contLL +numdec;

cont=cont+1;,

cont=cont+1;D;D;

Print@"H", numero, \!\H"L" \_base\L, " = ", numdec@@1DDD;

HADEL₁₆ = 2782

II. (10203)

4

numero="10203";

base=4;

numero=ToUpperCase@numeroD;

num=Characters@numeroD;

cont=0; numdec=0; n=Length@numD;

cont=cont+1;,

cont=cont+1;D;D;

Print@"H", numero, \!\H"L" \_base\L, " = ", numdec@@1DDD;

H10203L₄ = 291

ü Ejercicio 10.

Utilizar el procedimiento 12.2. para expresar el número 259a9 dado en base 12, en base 7.

Solución:

Introducimos la función/procedimiento 12.2 en el núcleo

(20)

CAMBIOBASE@numero_, base1_, base2_D:=

Module@8num, cont, n, numdec, numero2<, numero2=ToUpperCase@numeroD;

num=Characters@numero2D;

cont=0;

numdec=0;

n=Length@numD;

numdec= HHToCharacterCode@num@@jDDD −55L ∗ Hbase1 ^ contLL +numdec;

cont=cont+1;

,

numdec= HHToCharacterCode@num@@jDDD −48L ∗ Hbase1 ^ contLL +numdec;

cont=cont+1;

D;

n=numdec@@1DD;

numbase2="";

While@n>0,

If@Mod@n, base2D <10,

numbase2=StringJoin@ToString@Mod@n, base2DD, numbase2D;

n=Quotient@n, base2D;

,

If@Mod@n, base2D ≥10, numbase2=

StringJoin@FromCharacterCode@55+Mod@n, base2DD, numbase2DD;

n=Quotient@n, base2D;D;

D;

Print@"H", numero2, \!\H"L" \_base1\L, " = ",

numdec@@1DD, " = ", "H", numbase2, \!\H"L" \_base2\LD;D;

A continuación, cargamos los datos del problema

CAMBIOBASE@"259a9", 12, 7D

H259A9L₁₂ = 51537 = H303153L₇