Métodos Numéricos: Solución de los ejercicios Tema 3: Integración Numérica

Tema 3: Integración Numérica

Francisco Palacios

Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña

Febrero 2008, versión 1.4

Ejercicio 1 Consideramos la fórmula de cuadratura Z 1

0 f (x) dx ' F (f) con

F (f ) = α₁f (a) + α₂f (1) .

Determina α1, α2 y a para que la fórmula de cuadratura tenga el mayor grado de precisión posible.

Tenemos 3 parámetros, impondremos 3 condiciones.

Z 1 0

1 dx = [x]¹₀ = 1

F (1) = α1+ α2

⎫⎪

⎪⎬

⎪⎪

⎭

⇒ α1+ α2 = 1.

Z 1 0

x dx =

∙x² 2

¸1 0

= ¹₂

F (x) = α₁a + α₂

⎫⎪

⎪⎬

⎪⎪

⎭

⇒ α₁a + α₂ = 1 2. Z 1

0

x²dx =

∙x³ 3

¸1 0

= 1 3 F¡

x²¢

= α₁a²+ α₂

⎫⎪

⎪⎬

⎪⎪

⎭

⇒ α₁a²+ α₂ = 1 3.

Resulta un sistema de ecuaciones no lineales con incógnitas a, α1, α2.

⎧⎨

⎩

α₁+ α₂ = 1 α₁a + α₂ = ¹₂ α1a²+ α2 = ¹₃

1

(2^a− 1^a) →¡ 2^a¢ (3^a− 1^a) →¡

3^a¢

⎧⎨

⎩

α1+ α2= 1 α₁a − α1 = −¹₂ α₁a²− α1 = −²₃ Despejamos a en la 2^a ecuación

a = α1− 1/2 α₁ y sustituimos en la 3^a

α₁

µα1− 1/2 α₁

¶2

− α1= −2 3, (α1− 1/2)²

α₁ − α¹ = −2 3, (α1− 1/2)²− α²1= −2

3α1,

−α¹+1 4 = −2

3α1, 1

3α1= 1

4 ⇒ α1 = 3

4. Sustituyendo en la 1^a ecuación,

α1+ α2 = 1, obtenemos

α2 = 1 4. Finalmente, sustituyendo en

a = α₁− 1/2 α1

, resulta

a = 1/3.

La fórmula de cuadratura es F (f ) = 3

4f (1/3) +1 4f (1) y tiene grado de precisión 2. ¤

Ejercicio 2 Consideramos la integral I =

Z 0.2 0

e^−x2dx.

1. Aproxima el valor de I usando la fórmula del trapecio simple.

2. Aproxima el valor de I usando la fórmula de Simpson.

3. Calcula el valor de la integral con Maple.

4. Calcula los errores absolutos que resultan al aplicar la fórmula del trapecio y de Simpson.

1. Aproximación por trapecio.

Tenemos

a = 0, b = 0.2, f (x) = e^−x2, F_T(f ) = 0.2 − 0

2

¡1 + e^−0.04¢

= 0. 1960789.

2. Aproximación por Simpson.

Tenemos

h = 0.2 − 0 2 = 0.1, x₀ = 0, x₁ = 0.1, x₂ = 0.2,

F_S(f ) = 0.1

3 [f (0) + 4f (0.1) + f (0.2)]

= 0.1 3

¡1 + 4e^−0.01+ e^−0.04¢

= 0. 19736 63.

3. Valor exacto y errores

Podemos calcular el valor de la integral con Maple con la orden

> int(exp(-x^2),x=0..0.2);

el resultado con 7 decimales es I =

Z 0.2 0

e^−x2dx = 0. 19736 50.

|ET (f )| = |I − FT(f )| = |0. 19736 50 − 0. 19607 89| = 0.00 12861.

|ES(f )| = |I − FS(f )| = |0. 19736 50 − 0. 19736 63| = 0.00000 13.

Con la fórmula del trapecio hemos obtenido 2 decimales exactos y con la de Simpson 5 decimales exactos. ¤

Ejercicio 3 Consideramos la integral I =

Z 1.5 1

x²ln x dx.

1. Aproxima el valor de I usando la fórmula del trapecio simple.

2. Calcula una cota superior de error.

3. Calcula manualmente el valor exacto de la integral y verifica el resul- tado.

4. Calcula una primitiva con Maple.

5. Calcula con Maple el valor exacto de la integral.

1. Aproximación trapecio.

Tenemos

a = 1, b = 1.5, h = 1.5 − 1 = 0.5, f (x) = x²ln x, FT(f ) = 0.5

2 h

1 ln 1 + (1.5)²ln (1.5) i

= 0. 2280741.

2. Cota de error.

|ET(f )| ≤ h³

12M₂, M₂= max

x∈[1,1.5]

¯¯f⁽²⁾(x)¯

¯ .

Calculamos las derivadas

f⁰(x) = 2x ln x + x, f⁰⁰(x) = 2 ln x + 3, observamos que f⁰⁰(x) es positiva si x ∈ [1, 1.5].

Función objetivo

g(x) =

¯¯

¯f⁽²⁾(x)

¯¯

¯ = 2 ln x + 3, g⁰(x) = 2

x.

Vemos que g⁰(x) es positiva en el intervalo [1, 1.5], por lo tanto g(x) es creciente en el intervalo.

M2 = max

x∈[1,1.5]

¯¯

¯f⁽²⁾(x)

¯¯

¯ = g(1.5) = 2 ln (1.5) + 3 = 3. 81093.

Cota de error

|ET(f )| ≤ h³

12M₂ = (0.5)³

12 × 3. 81093 = 0.03 9697.

Podemos asegurar un decimal exacto.

3. Valor exacto y error.

Calculamos una primitiva de f (x) Z

x²ln x dx = integramos por partes

⎛

⎜⎝

u = ln x, du = 1 xdx.

dv = x²dx, v =x³ 3 .

⎞

⎟⎠

=x³ 3 ln x −

Z x³ 3

1 xdx

=x³

3 ln x −1 3

Z x²dx

=x³

3 ln x −x³ 9 + c.

Una vez obtenida la primitiva, calculamos el valor de la integral definida Z 2

1

x ln x dx =

∙x³

3 ln x −x³ 9

¸x=1.5 x=1

=

Ã(1.5)³

3 ln (1.5) − (1.5)³ 9

!

− µ1

3ln 1 − 1 9

¶

= 0. 1922594.

Error trapecio

|E^T (f )| = |I − F^T(f )| = |0. 1922594 − 0. 2280741| = 0.0358147.

La cota superior de error calculada anteriormente es

|ET(f )| ≤ 0.039697.

Vemos que el error obtenido es inferior a la cota de error calculada, por lo tanto, el resultado es coherente¹. Para los otros apartados, ver Resolución con Maple. ¤

Ejercicio 4 Consideramos la integral I =

Z 0.5 0

x sin x dx.

1. Aproxima el valor de I usando la fórmula del trapecio simple.

1¿Por qué no podemos afirmar que el resultado es correcto?

2. Usando las propiedades del valor absoluto, calcula una cota superior para |f⁰⁰(x)| sobre [0, 0.5].

3. Determina una cota superior de error.

4. Calcula manualmente el valor exacto de la integral y verifica el resul- tado.

5. Verifica con Maple la cota de |f⁰⁰(x)| . 6. Calcula una primitiva con Maple.

7. Calcula con Maple el valor exacto de la integral.

1. Aproximación trapecio.

Tenemos

a = 0, b = 0.5, h = 0.5 − 0 = 0.5, f (x) = x sin x, F_T(f ) = 0.5

2 [0 sin 0 + 0.5 sin (0.5)] = 0.059928.

2. Cota superior para ¯

¯f⁽²⁾(x)¯

¯ . Calculamos las derivadas

f⁰(x) = sin x + x cos x, f⁰⁰(x) = 2 cos x − x sin x.

Aplicamos las propiedades del valor absoluto para obtener una cota superior de ¯

¯f⁽²⁾(x)¯

¯.

¯¯

¯f⁽²⁾(x)

¯¯

¯ = |2 cos x − x sin x| ≤ |2 cos x| + |−x sin x|

≤ 2 |cos x| + |x| |sin x| . si x ∈ [0, 0.5], resulta

¯¯

¯f⁽²⁾(x)

¯¯

¯ ≤ 2 · 1 + 0.5 sin 0.5 = 2. 23971 3.

3. Cota superior de error.

Tenemos

|ET(f )| = h³ 12

¯¯f⁽²⁾(t)¯

¯ , t ∈ [0, 0.5], de donde resulta

|ET(f )| ≤ (0.5)³

12 × 2. 23971 3 = 0.02333.

4. Valor exacto y error.

Calculamos una primitiva de f (x).

Z

x sin x dx = integramos por partes.

µ u = x, du = dx.

dv = sin x dx, v =− cos x .

¶ = −x cos x + Z

cos x dx

= −x cos x + sin x + c.

Calculamos el valor de la integral definida.

Z 0.5

0 x sin x dx = [−x cos x + sin x]^x=0.5x=0

= −0.5 cos (0.5) + sin(0.5)

= 0.04 0634.

Error

|E^T (f )| = |I − F^T(f )| = |0.04 0634 − 0.05 9928| = 0.019294, cota error trapecio

|ET(f )| ≤ 0.02 333.

Vemos que el resultado es coherente. Para los otros apartados, ver Resolu- ción con Maple. ¤

Ejercicio 5 Consideramos la integral I =

Z 1.5 1

x²ln x dx.

1. Aproxima el valor de I usando la fórmula de Simpson.

2. Calcula una cota superior de error y verifica el resultado.

1. Aproximación por Simpson.

Tenemos

a = 1, b = 1.5, h = 1.5 − 1

2 = 0.25, f (x) = x²ln(x), x₀ = 1, x₁ = 1.25, x₂ = 1.5.

Valor de la aproximación.

F_S(f ) = 0.25 3

³

1 ln 1 + 4 · (1.25)²ln (1.25) + (1.5)²ln (1.5)´

= 0. 19224 531.

Cota de error.

|E^s(f )| ≤ h⁵

90M4, M4 = max

x∈[1,1.5]

¯¯f⁽⁴⁾(x)¯

¯ . Empezamos por calcular M4. Calculamos las derivadas,

f⁰(x) = 2x ln x + x, f⁰⁰(x) = 2 ln x + 3,

f⁽³⁾(x) = 2 x, f⁽⁴⁾(x) = −2 x².

Observamos que la derivada f⁽⁴⁾(x) es negativa si x ∈ [1, 1.5], por lo tanto, la función objetivo es

g(x) =

¯¯

¯f⁽⁴⁾(x)

¯¯

¯ = 2 x², g⁰(x) = −4

x³.

Vemos que g⁰(x) es negativa en [1, 1.5], por lo tanto g(x) es decreciente en el intervalo.

M₄ = max

x∈[1,1.5]

¯¯

¯f⁽⁴⁾(x)

¯¯

¯ = g(1) = 2.

Cota de error

|ES(f )| ≤ h⁵

90M₄= (0.25)⁵

90 2 = 0.2 1701 × 10⁻⁴, podemos asegurar 4 decimales exactos.

3. Valor exacto y errores.

El valor de la integral definida es I =

Z 1.5 1

x²ln x dx = 0. 19225 936, de donde resulta el error

|ES(f )| = |I − FS(f )| = |0. 19225 936 − 0. 19224 531| = 0.00001405.

El valor de la cota de error que hemos calculado anteriormente es

|ES(f )| ≤ 0.2 1701 × 10⁻⁴. ¤ Ejercicio 6 Consideramos la integral

I = Z 0.5

0

x sin x dx.

1. Aproxima el valor de I usando la fórmula de Simpson.

2. Calcula una cota superior para ¯

¯f⁽⁴⁾(x)¯

¯ sobre [0, 0.5].

3. Determina una cota superior de error.

4. Verifica con Maple la cota de ¯

¯f⁽⁴⁾(x)¯

¯ . 5. Calcula con Maple el valor del error.

1. Aproximación por Simpson.

Tenemos

a = 0, b = 0.5, h = 0.5 − 0

2 = 0.25, f (x) = x sin x, x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.5.

Valor de la aproximación F_S(f ) = 0.25

3 (0 sin 0 + 4 · (0.25) sin (0.25) + (0.5) sin (0.5)) = 0.04 05930.

2. Cota superior para ¯

¯f⁽⁴⁾(x)¯

¯ . Calculamos las derivadas

f⁰(x) = sin x + x cos x, f⁰⁰(x) = 2 cos x − x sin x, f⁽³⁾(x) = −3 sin x − x cos x, f⁽⁴⁾(x) = −4 cos x + x sin x.

Aplicamos las propiedades del valor absoluto y obtenemos

¯¯

¯f⁽⁴⁾(x)

¯¯

¯ = |−4 cos x + x sin x| ≤ |−4 cos x| + |x sin x|

≤ 4 |cos x| + |x| |sin x| . Si x ∈ [0, 0.5], resulta

¯¯

¯f⁽⁴⁾(x)

¯¯

¯ ≤ 4 · 1 + 0.5 sin 0.5 = 4. 2397.

3. Cota de error.

|ES(f )| = h⁵ 90

¯¯

¯f⁽⁴⁾(x)

¯¯

¯ , x ∈ (0, 0.5) ,

|ES(f )| ≤ (0.25)⁵

90 4. 2397 = 0.4 6004 × 10⁻⁴. Podemos asegurar 4 decimales exactos.

Como

I = Z 0.5

0

x sin x dx = 0.04 06342, el error es

|ES(f )| = |I − FS(f )| = |0.04 06342 − 0.04 05930 | = 0.0000 412.

Para los otros apartados, ver Resolución con Maple. ¤ Ejercicio 7 Consideramos la integral

I = Z 1.5

1

x²ln x dx.

1. Aproxima el valor de I con 3 decimales exactos usando la fórmula del trapecio compuesto.

2. Verifica el valor de la aproximación con el comando trapezoid de la librería student de Maple.

3. Verifica el resultado calculando el error con Maple.

1. Cálculo del número de intervalos

a = 1, b = 1.5, f (x) = x²ln x.

Tenemos la acotación

¯¯

¯ET C⁽ⁿ⁾

¯¯

¯ ≤ b − a

12 h²M2, h = b − a n , M2 = max

x∈[a,b]

¯¯

¯f⁽²⁾(x)

¯¯

¯ . Hemos visto en el Ejercicio 3, que

M₂ = max

x∈[1,1.5]

¯¯

¯f⁽²⁾(x)

¯¯

¯ = 3. 81093, entonces ¯¯¯E⁽ⁿ⁾T C

¯¯

¯ ≤ 0.5

12h²× 3. 81093.

Para 3 decimales exactos, exigimos

¯¯

¯ET C⁽ⁿ⁾

¯¯

¯ ≤ 0.5

12h²× 3. 81093 ≤ 0.5 × 10⁻³. Entonces resulta

h² ≤ 12 ·¡

0.5 × 10⁻³¢

0.5 × 3. 81093 = 0.003149, h ≤√

0.003 149 = 0.056116.

Como

h = 1.5 − 1 n = 0.5

n , resulta

0.5

n ≤ 0.05 6116 ⇒ n ≥ 0.5

0.05 6116 = 8. 910.

Por lo tanto, si tomamos 9 subintervalos podemos asegurar 3 decimales exactos.

Valor de la aproximación.

Con n = 9, resulta

h = 0.5

9 = 0.055556, x0= 1 f (x0) = 0

x9= 1. 5 f (x9) = 0. 91229 6

P 0. 91229 6

x1= 1.05 5556 f (x1) = 0. 06 0242 x₂= 1. 111111 f (x₂) = 0. 13007 46 x₃= 1. 166667 f (x₃) = 0. 20981 67 x₄= 1. 22222 4 f (x₄) = 0. 29977 04 x₅= 1. 27778 f (x₅) = 0. 40021 96 x₆= 1. 33333 6 f (x₆) = 0. 51144 04 x₇= 1. 38889 2 f (x₇) = 0. 63369 56 x₈= 1. 44444 8 f (x₈) = 0. 76723 72

P 3. 01249 7

F_{T C}⁽⁵⁾ = h

2[f (x0) + f (x9)] + h X8 j=1

f (xj) , en concreto

F_{T C}⁽⁵⁾ = 0.05 5556

2 × 0. 91229 6 + 0.05 5556 × 3. 01249 7

= 0. 192704.

Error exacto

El valor de la integral es I =

Z 1.5 1

x²ln x dx = 0. 19225 94, de donde resulta el error

¯¯

¯ET C⁽⁹⁾

¯¯

¯ =

¯¯

¯I − FT C⁽⁹⁾

¯¯

¯ = |0. 19225 9 − 0. 19270 4| = 0.000445.

Vemos que, efectivamente, hemos obtenido una aproximación con 3 deci- males exactos. Para el resto de los apartados, ver Resolución con Maple.

¤

Ejercicio 8 Consideramos la integral I =

Z 1.5 1

x²ln x dx.

1. Aproxima el valor de I con 6 decimales exactos usando la fórmula de Simpson compuesto.

2. Verifica el valor de la aproximación con el comando simpson de la librería student de Maple.

3. Verifica el resultado calculando el error con Maple.

1. Cálculo del número de intervalos.

a = 1, b = 1.5, f (x) = x²ln x.

Tenemos la acotación de error

¯¯

¯ESC^(m)

¯¯

¯ ≤ b − a

180 h⁴M4, h = b − a 2m , M4 = max

x∈[a,b]

¯¯

¯f⁽⁴⁾(x)

¯¯

¯ . Hemos visto en el Ejercicio 5 que

M₄ = max

x∈[1,2]

¯¯

¯f⁽⁴⁾(x)¯¯¯ = 2, entonces ¯¯¯ESC^(m)

¯¯

¯ ≤ 0.5 180h⁴· 2,

para obtener 6 decimales exactos, exigimos

¯¯

¯ESC^(m)

¯¯

¯ ≤ 0.5

180h⁴· 2 ≤ 0.5 × 10⁻⁶, de donde resulta

h⁴≤ 180 ·¡

0.5 × 10⁻⁶¢

= 0.00009, h ≤√⁴

0.0000 9 = 0.0974.

Como

h = 0.5 2m, resulta

0.5

2m ≤ 0.09 74 ⇒ m ≥ 0.5

2 · 0.09 74 = 2. 5667.

Necesitamos tomar m = 3. Se trata de Simpson triple, con 2m = 6 subin- tervalos.

Valor de la aproximación.

Con m = 3, resulta el step

h = 0.5

6 = 0.08333333.

Valores en los nodos extremos

x0 = 1. f (x0) = 0

x6 = 1. 5 f (x6) = 0. 91229 649

P 0. 91229 649

Valores en los nodos pares interiores

x₂= 1. 16666 67 f (x₂) = 0. 20981 625 x₄= 1. 33333 33 f (x₄) = 0. 51143 473

P 0. 72125 098

Valores en los nodos impares

x1= 1. 08333 33 f (x1) = 0.09 39389 6 x3= 1. 25 f (x3) = 0. 34866 180 x5= 1. 41666 67 f (x5) = 0. 69903 227

P 1. 14163 303

Valor de la aproximación

F_SC⁽³⁾ = h 3

⎡

⎣f (x0) + f (x₄) + 2 X2 j=1

f (x_2j) + 4 X3 j=1

f (x_2j−1)

⎤

⎦

= h

3{f (x0) + f (x₄) + 2[f (x₂) + f (x₄)] + 4 [f (x₁) + f (x₃) + f (x₅)]}

en concreto

F_SC⁽³⁾ = 0.08 333333

3 (0. 91229 649 + 2 · 0. 72125 098 + 4 · 1. 14163 303)

= 0. 19225 9175.

Error exacto.

El valor de la integral (con 9 decimales) es I =

Z 1.5 1

x²ln x dx = 0. 192259358, resulta el error

¯¯

¯ESC⁽³⁾

¯¯

¯ =

¯¯

¯I − FSC⁽³⁾

¯¯

¯ = |0. 192259358 − 0. 192259175| = 0.1 83 × 10⁻⁶.

Vemos que, en efecto, hemos obtenido 6 decimales exactos en la aproximación. ¤ Ejercicio 9 Consideramos la integral

I = Z 1

0

e^x2dx.

1. Determina el número de intervalos necesario para aproximar el valor de I con 4 decimales exactos usando la fórmula del trapecio compuesto.

2. Escribe un programa con Maple que te permita calcular el valor de la aproximación.

3. Verifica el resultado del apartado anterior con el comando trapezoid de la librería student de Maple.

4. Verifica el resultado calculando el valor exacto con Maple.

1. Cálculo del número de intervalos.

a = 0, b = 1, f (x) = e^x2. Tenemos la acotación del error

¯¯

¯ET C⁽ⁿ⁾

¯¯

¯ ≤ b − a

12 h²M₂, h = b − a n , M2 = max

x∈[a,b]

¯¯

¯f⁽²⁾(x)

¯¯

¯ .

Empezamos por calcular M₂. Las derivadas son f⁰(x) = 2xe^x2, f⁰⁰(x) = 2e^x2 + 4x²e^x2.

Observamos que f⁰⁰(x) es positiva, por lo tanto, resulta la función objetivo g(x) =

¯¯

¯f⁽²⁾(x)

¯¯

¯ = 2e^x2 + 4x²e^x2. Calculamos

g⁰(x) = 12xe^x2+ 8x³e^x2.

Vemos que g⁰(x) es positiva en [0, 1], por lo tanto g(x) es creciente en el intervalo y resulta

M₂ = max

x∈[0,1]

¯¯

¯f⁽²⁾(x)

¯¯

¯ = g(1) = 6e = 16.30969 1 Obtenemos ¯¯¯E⁽ⁿ⁾T C

¯¯

¯ ≤ 1

12h²× 16. 309691, para 4 decimales exactos, exigimos

¯¯

¯ET C⁽ⁿ⁾

¯¯

¯ ≤ 1

12h²× 16. 309691 ≤ 0.5 × 10⁻⁴ y resulta

h² ≤ 12 ·¡

0.5 × 10⁻⁴¢

16. 30969 1 = 3. 67879 441 × 10⁻⁵, h ≤p

3. 67879 441 × 10⁻⁵= 6. 06530 66 × 10⁻³. Como

h = 1 − 0 n = 1

n, resulta

1

n ≤ 6. 06530 66 × 10⁻³ ⇒ n ≥ 1

6. 06530 66 × 10⁻³ = 164. 87212 7.

Necesitamos 165 subintervalos.

Para el resto del ejercicio, ver Resolución con Maple. ¤ Ejercicio 10 Consideramos la integral

I = Z 1

0

e^x2dx

1. Determina el número de intervalos necesario para aproximar el valor de I con 6 decimales exactos usando la fórmula de Simpson.

2. Calcula el valor de la aproximación con el comando simpson de la librería student de Maple.

3. Verifica el resultado calculando el valor exacto con Maple.

1. Cálculo del número de intervalos

a = 0, b = 1, f (x) = e^x2. Tenemos la acotación del error

¯¯

¯ESC^(m)

¯¯

¯ ≤ b − a

180 h⁴M₄, h = b − a 2m , M4 = max

x∈[a,b]

¯¯

¯f⁽⁴⁾(x)

¯¯

¯ . Empezamos por determinar M4. Las derivadas son

f⁰(x) = 2xe^x2, f⁰⁰(x) = 2e^x2 + 4x²e^x2, f⁽³⁾(x) = 12xe^x2+ 8x³e^x2, f⁽⁴⁾(x) = 12e^x2+ 48x²e^x2 + 16x⁴e^x2. Vemos que f⁽⁴⁾(x) es positiva, resulta la función objetivo

g(x) =

¯¯

¯f⁽⁴⁾(x)

¯¯

¯ = 12e^x2 + 48x²e^x2 + 16x⁴e^x2, g⁰(x) = 120xe^x2 + 160x³e^x2 + 32x⁵e^x2, g⁰(x) es positiva en [0, 1], por lo tanto g(x) % en [0, 1] y resulta

M4 = max

x∈[0,1]

¯¯

¯f⁽⁴⁾(x)

¯¯

¯ = g(1) = 76e = 206. 59,

¯¯

¯ESC^(m)

¯¯

¯ ≤ 1

180h⁴× 206. 59.

Para 6 decimales exactos, exigimos

¯¯

¯ESC^(m)

¯¯

¯ ≤ 1

180h⁴× 206. 59 ≤ 0.5 × 10⁻⁶, h⁴ ≤ 180 ·¡

0.5 × 10⁻⁶¢

206. 59 = 4. 35645 481 × 10⁻⁷,

h ≤p⁴

4. 35645 481 × 10⁻⁷= 0.02 5691.

Como

h = 1 − 0 2m = 1

2m, resulta

1

2m ≤ 0.02 5691 ⇒ m ≥ 1

2 · 0.02 5691 = 19. 46206 84 Necesitamos 20 simpsons simples, es decir, 40 subintervalos.

Para el resto del ejercicio, ver Resolución con Maple. ¤ Ejercicio 11 Consideramos la integral

I = Z b

a

f (x) dx

y supongamos que cuando la aproximamos usando la fórmula de Simpson, la cota de error

|ES| ≤ h⁵

90M₄, M₄ = max

x∈[a,b]

¯¯

¯f⁽⁴⁾(x)

¯¯

¯ nos garantiza al menos t decimales exactos.

1. Demuestra que la fórmula de Simpson nos proporcionará al menos t decimales exactos en todas las integrales

Z b1

a1

f (x) dx, a ≤ a¹< b1≤ b.

2. ¿Será cierto un resultado análogo para la fórmula del trapecio?

3. ¿Y para las fórmulas compuestas?

1. Para la integral

I =ˆ Z b1

a1

f (x) dx tendremos la cota de error

¯¯

¯ ˆES

¯¯

¯ ≤ ˆh⁵ 90Mˆ4, donde

h =ˆ b1− a¹

2 < b − a 2 = h,

Mˆ₄ = max

x∈[a1,b1]

¯¯

¯f⁽⁴⁾(x)

¯¯

¯ ≤ max

x∈[a,b]

¯¯

¯f⁽⁴⁾(x)

¯¯

¯ = M⁴. Por lo tanto

¯¯

¯ ˆE_S¯¯¯ ≤ ˆh⁵ 90

Mˆ₄ ≤ h⁵

90M₄ ≤ 0.5 × 10^−t

y, en consecuencia, podemos asegurar también t decimales exactos en todas las integrales

I =ˆ Z b1

a1

f (x) dx. ¤ Ejercicio 12 La longitud del arco de la curva

y = f (x)

desde el punto P = (a, f (a)) , hasta Q = (b, f (b)) se define como L =

Z b a

q

1 + [y⁰(x)]²dx.

Queremos calcular la longitud del arco de parábola y = x²

desde el punto P = (0, 0) , hasta Q = (1, 1) .

1. Representa gráficamente el arco y plantea la integral que da su longitud.

2. Supongamos que queremos calcular el valor de la longitud de arco con 6 decimales exactos. Usa para ello la fórmula de Simpson compuesta F_SC^(m) hasta que el error estimado

E¯_SC^(m) =

¯¯

¯FSC^(m)− FSC^(m−1)

¯¯

¯

sea inferior a 0.5 × 10⁻⁸. Para calcular los valores de F_SC^(m), usa la librería student de Maple.

3. Verifica el resultado calculando el valor exacto con Maple.

Ver Resolución con Maple.