30 puntos 3. Efectúa las integrales. 10 puntos 2. Obtén si 15 puntos 1. Mediante el criterio del cociente determina el carácter de la serie TIPO “ C ”

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS CÁLCULO INTEGRAL

PRIMER EXAMEN FINAL COLEGIADO

TIPO “ C ”

27 de mayo de 2019 Semestre 2019-2

INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2 horas.

1. Mediante el criterio del cociente determina el carácter de la serie

1

4

n

n n!

=





15 puntos

2. Obtén

x 2

d F

d x

⁼

e

^si

( )

1

x

F x =



ln w d w

10 puntos

3. Efectúa las integrales.

( )

3

2

) 1 ) ) 1

1

a x x dx b sen x dx c x dx

x x + +

  

+

30 puntos

1EF19-2 C

4. Calcula el área de la región limitada por la gráfica de

x

0

y = e , y = e

y

x =

. Representa gráficamente la región.

15 puntos

5. Obtén la ecuación de las curvas de nivel de la función

( )

^{2 2}

¹

f x, y = x + y −

, para

z = 1

y

z = 8

, y represéntalas gráficamente.

15 puntos

6. Calcula la derivada direccional de la función

f

en la dirección del vector v = −i j, en el punto

^P ( ^{ , − } )

( )

^{sen x}

⁽

^y

⁾

f x, y ⁼ e

⁺

15 puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL

1221

Solución del Primer Examen Final Tipo “C”

Semestre 2019 – 2

1.

Sea:

( )

( )

( ( ) )

1

1

4

1 4 4

1 1

4 4

4 0

1 1





+

+

→ →

 

= + =    +   = +

 

 =   +   = =

n

n

n n

n n

n ! n !

r n ! n

n !

lim r lim n

como < , la serie es convergente

15 Puntos

2.

Del Teorema fundamental del Cálculo:

( ) ^{= } ( ) ( ) ^{2 = 2 = 2}

F ' x ln x F ' e ln e

10 puntos 3.

Solución:

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

12

32

32

3 3 5

a) Por partes

1

2 1

3

2 2 2 4

1 1 1 1

3 3 3 15

= +

= 

= = +

= + −  + = + − + +

dv x dx

u x

du dx v x

I x x x dx x x x x C

S1EF19-2C

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( )

3 2

2

3

b) Por identidades trigonométricas:

3

= −

= + −

= − + +

 

sen x sen x cos x sen x

I sen x dx cos x sen x dx

cos x

I cos x C

( )

( ) ^{( )}

( )

2 2

2

2 2 2

2

c) Por descomposición en fracciones parciales Sea 1

1 1

1 1

0 1

1

1 2

1 1

1 1

1 1 1

1

+ +

= + + +

+ = + + +

 =  =

 =  = −

 

  = −  − = −

  =

   = −



 −   

=   − +   = −   +   + +

= − + +

   

x A Bx C

x x ; x x

x A x x Bx C

si x A

si x B C

si x B C

C B

x dx x dx

I dx dx

x x x x x

I ln x ln x ang t ( )

2

( )

1

+

 

 =    +    + + an x C

I ln x ang tan x C

x

30 Puntos

S1EF19-2C 4.

La región es:

( )

1

0

1 0

2

0 1 1

 

=  − 

 

=  − 

= − − −

=



^x

x

A e e dx

A ex e A e e

A u

5.

2 2

2 2

1 2

8 9

=  + =

=  + =

Si z x y

Si z x y

Circunferencias concéntricas:

15 Puntos

15 Puntos

S1EF19-2C 6.

( ) ( ) ^{( )} ( )

( )

( )

( )

Sea:

1 1

1 1

2 2

1 1 1 1

1 1 0

2 2 2 2

+ +

= 

 

 = +

 

 = + +

 =

 

=   −  

 

=   −   = − =

P

P P

sen x y sen x y

P P

P

v

df f u

ds

f ˆ f ˆ

f i j

x y

f e cos x y ,e cos x y

f ,

u ,

df , ,

ds

15 Puntos