1. Calcular el valor medio de la función f x ( ) = −2 ( x−1 )

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(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS CÁLCULO INTEGRAL

PRIMER EXAMEN FINAL COLEGIADO

TIPO “C”

31 de Mayo de 2010 Semestre 2010-2

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 7 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas.

1. Calcular el valor medio de la función f x ( ) = − 2 ( x 1 )

3

en el intervalo

[ ] 0 2 , y obtener el o los valores de C tal que cumplan con el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral

10 puntos

2. Obtener

1 x

dy

dx

=

si

ln x

y e =

x

10 puntos

3. Determinar si la siguiente integral converge o diverge

0

1

2 1

dx x

∫ +

10 puntos

(2)

1EF10-2C

4. Efectuar

2

2 2

2 1

2 3

sen x cos x x

a ) dx b ) dx c ) dx

sen x cos x x x x

+ −

− + +

∫ ∫ ∫

20 puntos

5.

Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar alrededor del eje de las abscisas la región limitada por las gráficas de las funciones f ( ) x = − x

2

+ 2 g x ( ) = x

2

15 puntos

6.

Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie de ecuación

2 2

4

z = x + y − en el punto ( 2 1 1 , , )

20 puntos

7.

Obtener el dominio de la función f

y representarlo gráficamente

( ) (

2

) 1

f x ,y = ln x + y −

15 puntos

(3)

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL

Solución del Primer Examen Final Tipo “C”

Semestre 2010 – 2

1.

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

3 0

4 2

0

3

2 1

2

1 1 1 1 1 1

2 4 0 4 2

2 4 2 4 4 2

2

2 1 2 1

1

x d x

E l v a l o r m e d i o e s f c

f c x x

f c , e n t o n c e s

f c C C

R e s u l t a d o C

=

= = = =

=

= = =

=

10 puntos

2. Si la función la escribimos como y = x1x

( )

( )

( )

( )

1

2

2

2

1

1

1

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1 1 0

1

x

x

x

l n y l n x

x

y ' l n x

y x x x

y ' y l n x

x

y ' x l n x

x y '

R e s u l t a d o y '

=

=

=

= +

=

=

=

= i

(4)

S1EF10-2C 3.

Es impropia

( )

12

0 0

0 0 1

1

0

1 1

1 2 1

2 2

1 1

1

I l im x d x li m x

I l im p o r lo q u e la in t e g r a l c o n v e r g e R e s u lt a d o

I p o r lo q u e la in t e g r a l c o n v e r g e

ε ε ε

ε

ε ε

− +

− +

 

= + =  + 

 

=  −  =

=

10 puntos

4. a)

( )

( )

s e n x c o s x

d x d ir e c t a s e n x c o s x

I ln s e n x c o s x C

R e s u lta d o

I ln s e n x c o s x C +

= − +

= − +

b)

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

2

2 2

2 1

2 3

2 2 1 2

2 1 2 1

1 2

2 2

2 2

2 1

1 2

1 2

d x s e p u e d e e s c r ib ir d x

x x

x x

p o r fr a c c io n e s p a r c ia le s

A B

A x B x

x x x x

S i x S i x

B A

I d x

x x

I ln x ln x C

R e s u lta d o

I ln x C

x

+ +

+ +

= + = + + +

+ + + +

= − = −

= = −

= +

+ +

= + + +

+

= +

+

∫ ∫

(5)

c)

2 2

2

1

P o r s u s t i t u c i ó n t r i g o n o m e t r í c a x s e n

x c o s c o s

d c o t d c s c d

s e n

I c o t a n g s e n C θ

θ

θ θ θ θ θ θ

θ

θ θ

=

− =

⇒ = = −

= − − +

∫ ∫ ∫

5.

(

1 1

1 0

3

2 2 4 4

8 8

3 3 3

V x x d x x d x

V x x u

π π

π π π

= =

= = =

∫ ∫

6.

( )

(

0

) (

0 0

, , 0 , 4 0

2 , 1 , 1

P P

Sea F x y z x y z

la ecuación del plano está dada por

a x x b y y c z z donde

F F F

a b c P

x y z

a b c

= + − − =

− + − + − =

∂ ∂ ∂

= = =

∂ ∂ ∂

= = =

( )

2 2

2

1

1 P o r s u s t i t u c i ó n t r i g o n o m e t r í c a

d c o t d c s c d

I c o t a n g s e n C

R e s u l t a d o

I x a n g s e n x C

x

θ θ θ θ θ

θ θ

= = −

= − − +

= − − − +

∫ ∫ ∫

) ( ) ( )

1 1

2 2

2 2 2

1 0

3 1

3

0

3

2 2 4 4

2 1 6

8 8

3 3 3

R e 1 6

3

V x x d x x d x

V x x u

s u lta d o

V u

π π

π π π

π

= =

= = =

=

∫ ∫

) ( )

( )

2 2 2

0 0 0

, , 0 , 4 0

0

2 , 1 , 1 2 , 1 , 1

P P P

Sea F x y z x y z

la ecuación del plano está dada por

a x x b y y c z z donde

F F F

a b c P

x y z

= + − − =

− + − + − =

∂ ∂ ∂

= = =

∂ ∂ ∂

S1EF10-2C

I = − − a n g s e n x + C

20 puntos

3

15 puntos

(6)

[ ]

( ) (

2 2 2

4 , 2 , 2

4 2 2 1 2 1 0

4 8 2 2 2 2 0

4 2 2 8 0

2 4 0

P

F xi yj zk

F

x y z

x y z

x y z por lo que la ecuación es x y z

∇ = + −

∇ = −

⇒ − + − − − =

− + − − + =

+ − − =

+ − − =

7.

( ) (

{

(

2

)

2 2

1 D

f

x, y ln x y

ln x y

x y e por lo que y e x

= + − ≥

⇒ + ≥

⇒ + ≥ ≥ −

) ( )

2 2 2

4 2 2 1 2 1 0

4 8 2 2 2 2 0

4 2 2 8 0

Re

2 4 0

F xi yj zk

x y z

x y z

x y z por lo que la ecuación es

sultado x y z

− + − − − =

− + − − + =

+ − − =

+ − − =

) }

2

2 2

1 0 1

D x, y ln x y

x y e por lo que y e x

= + − ≥

+ ≥

+ ≥ ≥ −

S1EF10-2C

2 4 0

20 puntos

15 puntos

Figure

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