UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS CÁLCULO INTEGRAL
PRIMER EXAMEN FINAL COLEGIADO
TIPO “C”
31 de Mayo de 2010 Semestre 2010-2
INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 7 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas.
1. Calcular el valor medio de la función f x ( ) = − 2 ( x − 1 )
3en el intervalo
[ ] 0 2 , y obtener el o los valores de C tal que cumplan con el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral
10 puntos
2. Obtener
1 x
dy
dx
=si
ln x
y e =
x10 puntos
3. Determinar si la siguiente integral converge o diverge
0
1
2 1
dx x
−
∫ +
10 puntos
1EF10-2C
4. Efectuar
2
2 2
2 1
2 3
sen x cos x x
a ) dx b ) dx c ) dx
sen x cos x x x x
+ −
− + +
∫ ∫ ∫
20 puntos
5.
Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar alrededor del eje de las abscisas la región limitada por las gráficas de las funciones f ( ) x = − x
2+ 2 g x ( ) = x
215 puntos
6.
Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie de ecuación
2 2
4
z = x + y − en el punto ( 2 1 1 , , )
20 puntos
7.
Obtener el dominio de la función f
y representarlo gráficamente
( ) (
2) 1
f x ,y = ln x + y −
15 puntos
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL
Solución del Primer Examen Final Tipo “C”
Semestre 2010 – 2
1.
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
3 0
4 2
0
3
2 1
2
1 1 1 1 1 1
2 4 0 4 2
2 4 2 4 4 2
2
2 1 2 1
1
x d x
E l v a l o r m e d i o e s f c
f c x x
f c , e n t o n c e s
f c C C
R e s u l t a d o C
− −
=
−
⇒ = − = − − − = =
⇒ =
= − − = ⇒ =
=
∫
10 puntos
2. Si la función la escribimos como y = x1x
( )
( )
( )
( )
1
2
2
2
1
1
1
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1 1 0
1
x
x
x
l n y l n x
x
y ' l n x
y x x x
y ' y l n x
x
y ' x l n x
x y '
R e s u l t a d o y '
=
=
⇒ =
⇒ = + −
⇒ = −
⇒ = −
= −
= i
S1EF10-2C 3.
Es impropia
( )
120 0
0 0 1
1
0
1 1
1 2 1
2 2
1 1
1
I l im x d x li m x
I l im p o r lo q u e la in t e g r a l c o n v e r g e R e s u lt a d o
I p o r lo q u e la in t e g r a l c o n v e r g e
ε ε ε
ε
ε ε
−
→ → − +
− +
→
= + = +
= − =
=
∫
10 puntos
4. a)
( )
( )
s e n x c o s x
d x d ir e c t a s e n x c o s x
I ln s e n x c o s x C
R e s u lta d o
I ln s e n x c o s x C +
−
= − +
= − +
∫
b)
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
2
2 2
2 1
2 3
2 2 1 2
2 1 2 1
1 2
2 2
2 2
2 1
1 2
1 2
d x s e p u e d e e s c r ib ir d x
x x
x x
p o r fr a c c io n e s p a r c ia le s
A B
A x B x
x x x x
S i x S i x
B A
I d x
x x
I ln x ln x C
R e s u lta d o
I ln x C
x
+ +
+ +
= + ⇒ = + + +
+ + + +
= − = −
⇒ = ⇒ = −
−
⇒ = +
+ +
= + − + +
+
= +
+
∫ ∫
∫
c)
2 2
2
1
P o r s u s t i t u c i ó n t r i g o n o m e t r í c a x s e n
x c o s c o s
d c o t d c s c d
s e n
I c o t a n g s e n C θ
θ
θ θ θ θ θ θ
θ
θ θ
=
− =
⇒ = = −
= − − +
∫ ∫ ∫
5.
(
1 1
1 0
3
2 2 4 4
8 8
3 3 3
V x x d x x d x
V x x u
π π
π π π
−
= − − = −
= − = =
∫ ∫
6.
( )
(
0) (
0 0, , 0 , 4 0
2 , 1 , 1
P P
Sea F x y z x y z
la ecuación del plano está dada por
a x x b y y c z z donde
F F F
a b c P
x y z
a b c
= + − − =
− + − + − =
∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂
= = =
( )
2 2
2
1
1 P o r s u s t i t u c i ó n t r i g o n o m e t r í c a
d c o t d c s c d
I c o t a n g s e n C
R e s u l t a d o
I x a n g s e n x C
x
θ θ θ θ θ
θ θ
= = −
= − − +
= − − − +
∫ ∫ ∫
) ( ) ( )
1 1
2 2
2 2 2
1 0
3 1
3
0
3
2 2 4 4
2 1 6
8 8
3 3 3
R e 1 6
3
V x x d x x d x
V x x u
s u lta d o
V u
π π
π π π
π
= − − = −
= − = =
=
∫ ∫
) ( )
( )
2 2 2
0 0 0
, , 0 , 4 0
0
2 , 1 , 1 2 , 1 , 1
P P P
Sea F x y z x y z
la ecuación del plano está dada por
a x x b y y c z z donde
F F F
a b c P
x y z
= + − − =
− + − + − =
∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂
S1EF10-2C
I = − − a n g s e n x + C
20 puntos
3
15 puntos
[ ]
( ) (
2 2 2
4 , 2 , 2
4 2 2 1 2 1 0
4 8 2 2 2 2 0
4 2 2 8 0
2 4 0
P
F xi yj zk
F
x y z
x y z
x y z por lo que la ecuación es x y z
∇ = + −
∇ = −
⇒ − + − − − =
− + − − + =
+ − − =
+ − − =
7.
( ) (
{
(
2)
2 2
1 D
fx, y ln x y
ln x y
x y e por lo que y e x
= + − ≥
⇒ + ≥
⇒ + ≥ ≥ −
) ( )
2 2 2
4 2 2 1 2 1 0
4 8 2 2 2 2 0
4 2 2 8 0
Re
2 4 0
F xi yj zk
x y z
x y z
x y z por lo que la ecuación es
sultado x y z
− + − − − =
− + − − + =
+ − − =
+ − − =
) }
2
2 2
1 0 1
D x, y ln x y
x y e por lo que y e x
= + − ≥
+ ≥
+ ≥ ≥ −
S1EF10-2C
2 4 0
20 puntos
15 puntos
