aplicaciones Longitud de arco Integrales de línea y

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(1)

C

ÁLCULO DE VARIAS VARIABLES

F

ORMACIÓN POR

C

OMPETENCIAS

Longitud de arco Integrales de línea y

aplicaciones

(2)

Objetivos

 Calcular la longitud de arco de una curva.

 Definir y calcular la integral de línea de campos escalares.

 Definir y calcular la integral de línea de campos vectoriales.

 Aplicar las integrales de línea a diferentes

problemas de contexto real.

(3)
(4)

Integral de línea de campos escalares

Sean 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ una función continua definida en 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 ; una curva 𝐶 suave y simple tal que 𝐶 ⊂ 𝐷

parametrizada por 𝛼 𝑡 = (𝛼1(𝑡); 𝛼2(𝑡)), donde 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 entonces la integral de línea de 𝑓, a lo largo de 𝐶, es:

𝒇 𝒙 𝒅𝒔

𝑪

= 𝒇 𝜶(𝒕) 𝜶′(𝒕) 𝒅𝒕

𝒃 𝒂

Cuando 𝑓 es la función constante uno ( 𝑓 𝑥 = 1 ) la integral de línea anterior resulta en la longitud del arco 𝐶.

𝐋𝐨𝐧𝐠𝐢𝐭𝐮𝐝 𝐝𝐞𝐥 𝐚𝐫𝐜𝐨 𝑪 = 𝜶′(𝒕) 𝒅𝒕

𝒃 𝒂

Observación

(5)

Ejemplo

Integral de línea de campos escalares

1

Evalúe 𝑥 + 2𝐶 𝑑𝑠, donde 𝐶 es la curva parametrizada por 𝛼 𝑡 = 𝑡; 4

3𝑡3/2; 𝑡2

2 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2

Solución

𝛼′ 𝑡 = (1; 2𝑡

12

; 𝑡), entonces 𝛼′ 𝑡 = 1 + 4𝑡 + 𝑡

2

𝑓 𝑥; 𝑦 𝑑𝑠

𝐶

= (𝑡 + 2) 1 + 4𝑡 + 𝑡

2 2

0

𝑑𝑡

(𝑥 + 2)𝑑𝑠

𝐶

= 1

3 13 13 − 1 ≈ 15,29

(6)

Ejercicio 1

Calcule (𝑥𝐶 2+𝑦2)𝑑𝑠, donde 𝐶 es la circunferencia

𝑥2 + 𝑦2 = 4, recorrida en sentido contrario a las manecillas del reloj, desde (2; 0) a 0; 2 .

Solución

(7)
(8)

Masa de un cable

Considere un cable que tiene la forma dada por una curva 𝐶 y cuya densidad está dada por una función continua

𝜌: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ donde 𝐶 ⊂ 𝐷; entonces la masa 𝒎 del cable está dada por

𝒎 = 𝝆 𝒙 𝒅𝒔

𝑪

𝒙

𝒚 𝒛

(9)

Ejemplo

Aplicaciones

1

Calcule la masa de un alambre que tiene densidad constante igual a 8 y que tiene la forma de la hélice circular 𝛼 𝑡 =

cos 4𝑡 ; sen(4𝑡) ; 𝑡 , donde 𝑡 ∈ [0; 2𝜋]

Solución

(10)

Ejercicio 1

Calcule la masa de un alambre con densidad lineal 𝜌 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑥𝑦

2 + 𝑦 − 𝑧, cuya forma está definida por las ecuaciones:

𝑦 = 𝑥 𝑧 = 𝑥2

2

desde el punto (0;0;0) hasta el punto (1; 1; 2

2 ).

Solución

(11)

Área lateral

Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ, una función continua sobre 𝐷 que contiene a la curva 𝐶, tal que 𝑓(𝑥; 𝑦) ≥ 0. El área de la superficie lateral de la región comprendida entre la superficie 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) y la curva 𝐶 ,es dada por:

𝑨 = 𝒇 𝒙; 𝒚 𝒅𝒔

𝑪

= 𝒇 𝜶(𝒕) 𝜶′(𝒕) 𝒅𝒕𝒃

𝒂

Curva 𝐶 Gráfica de 𝑓

𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦)

𝒙

𝒚

𝒛

(12)

Ejemplo

Área lateral

1

Miguel pintará una cerca de un parque por ambos lados. La cerca tiene como base la curva 𝐶: 𝑥2/3 + 𝑦2/3 = (40)2/3, con 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 y la altura, para cada punto (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐶, está dada por la función 𝑓 𝑥; 𝑦 = 4 + 𝑦

2. Se le proporcionan la pintura y se le pagará S/.100 por cada 20𝑚2. Determine el total de

dinero que recibirá.

Solución

(13)

Ejercicio 1

Sea la curva 𝐶 que se obtiene al intersectar las superficies de ecuaciones:

𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 y 𝑧 = 𝑥

a.- Si una cuerda está descrita por la curva 𝐶 y su densidad en un punto 𝑥; 𝑦; 𝑧 de ella es proporcional a la distancia entre 𝑥; 𝑦; 𝑧 y el plano 𝑋𝑌, calcule la masa total de la cuerda, en términos de la constante de proporcionalidad.

b.- Determine el área lateral de la porción del cilindro limitado inferiormente por la proyección dela curva 𝐶 sobre el plano 𝑋𝑌 y superiormente por la gráfica de la función

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2

Solución

(14)

OBSERVACIONES

Si 𝐶 es una curva compuesta por curvas suaves 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3,…, 𝐶𝑛 y 𝑓 es una función continua sobre 𝐶 entonces:

𝒇 𝒙 𝒅𝒔

𝑪

= 𝒇(𝒙)

𝑪𝟏

𝒅𝒔 + 𝒇(𝒙)

𝑪𝟐

𝒅𝒔 + ⋯ + 𝒇(𝒙)

𝑪𝒏

𝒅𝒔

𝒙 𝒚

𝑪𝟏

𝑪𝟐 𝑪𝟑

(15)

Ejemplo

OBSERVACIONES

1

Calcule la integral

𝑥

𝐶

𝑑𝑠

donde 𝐶 es la curva suave por partes dada por la figura adjunta

Solución

(16)

OBSERVACIONES

La orientación de la curva no afecta a la integral de línea de campos escalares.

𝒇 𝒙 𝒅𝒔

−𝑪

= 𝒇(𝒙)

𝑪

𝒅𝒔

𝒙 𝒚

𝒙 𝒚

𝑪 −𝑪

−𝑪 es la curva con orientación contraria a la de 𝑪

(17)

Ejercicio 1

Evalúe las integral de línea de campos escalares donde 𝐶 es la curva dada:

𝑎. − 𝑥𝑦𝑑𝑠𝐶 donde 𝐶: 𝑥 = 𝑡2

𝑦 = 2𝑡 ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2

𝑏. − 𝑥𝑦𝐶 4𝑑𝑠 donde 𝐶 es la mitad de la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 = 16, para 𝑥 ≥ 0.

𝑐. − 𝑥𝑦𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦𝐶 , donde 𝐶 está formada por los segmentos que van de 0,0 a 2; 0 y de 2; 0 a (3; 2)

Solución

(18)
(19)

Campo vectorial

Un campo vectorial en ℝ𝑛 es una función 𝐹: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑛 que asigna a cada punto 𝑥 en 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 el vector 𝐹(𝑥 ).

𝒙 𝒚

(𝟐; 𝟐)

𝑭 𝟐; 𝟐 = (𝟒; 𝟐) (𝟒; 𝟒)

𝑭 𝟒; 𝟒 = (𝟐; 𝟒)

Para cada punto 𝑷, el vector 𝑭(𝑷) se dibuja con el origen en el punto 𝑷

(20)

Campo vectorial

Un campo vectorial 𝐹 consta de infinitos vectores. Para representarlo solo se dibujan unos cuantos vectores

representativos de la misma longitud que ayudan a visualizar el comportamiento del campo

Ejemplos:

𝐹 𝑥; 𝑦 = 3𝑥 − 𝑦; 𝑥 + 2𝑦 𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑥

2

; 𝑦

2

; 𝑧

2

Los pasos sugeridos en ℝ

2

son:

1.- Se dibujan las curvas de nivel, que son las que se

obtienen de la ecuación:

𝐹(𝑥; 𝑦) = 𝑘

2.- Se ubican puntos (𝑥; 𝑦) representativos en las curvas

de nivel y su correspondiente vector 𝐹(𝑥; 𝑦)

(21)

Ejemplo

Campos vectoriales

1

Represente gráficamente el campo vectorial 𝐹 𝑥; 𝑦 = −𝑦; 𝑥

Solución

Hallamos las curvas de nivel

𝒙 𝒚

𝐹(𝑥; 𝑦) = 𝑘 → 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑘2 Obtenemos circunferencias de radio 𝑘

En circunferencias de radio 𝑘 los vectores tienen longitud 𝑘

Para cada punto (𝑥; 𝑦) el vector

𝐹(𝑥; 𝑦) = (−𝑦; 𝑥) es ortogonal a (𝑥; 𝑦)

(22)

Ejercicio 1

Represente gráficamente el campo vectorial 𝐹 𝑥; 𝑦 = − 1

𝑥2 + 𝑦23 𝑥; 𝑦

Solución

(23)

Integral de línea de campos vectoriales

Sea 𝐹: 𝐷 ⊂ ℝ

𝑛

→ ℝ

𝑛

un campo vectorial continuo en 𝐷 ⊂ ℝ

𝑛

, 𝐶 ⊂ ℝ

𝑛 una curva suave con 𝐶 ⊂ 𝐷 con

parametrización 𝛼: 𝑎; 𝑏 → ℝ

𝑛

. La integral de 𝐹 a lo largo de 𝐶, está dada por

𝑭. 𝒅𝜶

𝑪

= 𝑭 𝜶(𝒕) ⋅ 𝜶′(𝒕)𝒅𝒕

𝒃 𝒂

(24)

Ejemplo

Integral de campos vectoriales

1

Calcule la integral de línea del campo vectorial dado por

𝐹 𝑥; 𝑦; 𝑧 = (𝑦 − 𝑥2; 𝑧 − 𝑦2; 𝑥 − 𝑧2)a lo largo de la curva 𝐶 con parametrización

𝛼 𝑡 = (𝑡; 𝑡2; 𝑡3) desde (0; 0; 0) hasta (1; 1,1).

𝐹 𝛼 𝑡 = (0; 𝑡

3

− 𝑡

4

; 𝑡 − 𝑡

6

) 𝛼′ 𝑡 = (1; 2𝑡; 3𝑡

2

)

𝐹 𝛼(𝑡) . 𝛼′(𝑡)𝑑𝑡

1 0

= 29 60 Solución:

𝐹 𝛼(𝑡) . 𝛼

𝑡 = 2𝑡

4

− 2𝑡

5

+ 3𝑡

3

− 3𝑡

8

(25)

Ejercicio 1

Calcule la integral de línea del campo vectorial 𝐹 𝑥; 𝑦 = (𝑥2 − 2𝑥𝑦; 𝑦2 − 2𝑥) a lo largo de la parábola de ecuación 𝑦 = 𝑥2 a.- Desde (−2; 4) hasta (1; 1)

b.- Desde (1; 1) hasta (−2; 4)

Solución:

(26)

Forma diferencial de la integral

Si 𝐹 = 𝑀𝒊 + 𝑁𝒋 + 𝑃𝒌 es un campo vectorial continuo definido en una curva suave 𝐶 dada por una función vectorial 𝛼 𝑡 = 𝑥(𝑡)𝒊 + 𝑦(𝑡)𝒋 + 𝑧 𝑡 𝒌, donde 𝑡 ∈ 𝑎; 𝑏 la integral de 𝐹 a lo largo de 𝐶, también se expresa como:

𝑭. 𝒅𝜶

𝑪

= 𝑴𝒅𝒙 + 𝑵𝒅𝒚 + 𝑷𝒅𝒛

𝑪

En la integral de la derecha:

• Se reemplazan las funciones componentes de 𝛼 en 𝑀, 𝑁 y 𝑃

• Se calculan los diferenciales 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 y 𝑑𝑧

• Se integra la función resultante desde 𝑎 hasta 𝑏

(27)

Ejemplo

Integral de campos vectoriales

1

Calcule la integral de línea

𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 − 𝑥 𝑑𝑦

𝐶

a lo largo de la curva 𝐶 con ecuaciones paramétricas:

𝑥 = 2𝑡2 + 𝑡 + 1

𝑦 = 𝑡2 + 1 ; 𝑡 ∈ 0; 1

Solución:

(28)

Ejercicio 1

Calcule la integral de línea − 1

2𝑥𝑑𝑥 − 1

2 𝑦𝑑𝑦 + 1 4 𝑑𝑧

𝐶

donde 𝐶 es la curva curva 𝛼 𝑡 = cos 𝑡 ; sen 𝑡 ; 𝑡 desde el punto (1; 0; 0) hasta el punto (−1; 0; 3𝜋)

Solución:

(29)

OBSERVACIONES

Si 𝐶 es una curva compuesta por curvas suaves 𝐶

1

, 𝐶

2

, 𝐶

3

,…, 𝐶

𝑛

y 𝐹 es un campo vectorial continuo sobre 𝐶 entonces

𝑭 𝒙 ⋅ 𝒅𝜶

𝑪

= 𝑭 𝒙 ⋅ 𝒅𝜶

𝑪𝟏

+ 𝑭 𝒙 ⋅ 𝒅𝜶

𝑪𝟐

+ ⋯ + 𝑭 𝒙 ⋅ 𝒅𝜶

𝑪𝒏

𝒙 𝒚

𝑪𝟏

𝑪𝟐 𝑪𝟑

(30)

OBSERVACIONES

La orientación de la curva si afecta a la integral de línea de campos vectoriales.

𝑭 𝒙 ⋅ 𝒅𝜶

−𝑪

=

𝑭 𝒙 ⋅ 𝒅𝜶

𝑪

𝒙 𝒚

𝒙 𝒚

𝑪 −𝑪

−𝑪 es la curva con orientación contraria a la de 𝑪

(31)

Ejemplo

Integral de campos vectoriales

1

Calcule la integral de línea − 1

2 𝑥𝑑𝑥 − 1

2𝑦𝑑𝑦 + 1 4 𝑑𝑧

𝐶

a lo largo de la curva 𝐶 mostrada en la figura

𝒙

𝒚

𝒛 (𝟎; 𝟒; 𝟐)

(𝟏; 𝟐; 𝟎)

Solución:

𝑦 = 𝑧2

(32)
(33)

Trabajo realizado por una fuerza

El trabajo realizado por el campo de fuerza continuo 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) sobre una partícula que se mueve a lo largo de una curva suave 𝐶, es

𝑾 = 𝑭. 𝒅𝜶

𝑪

𝒙 𝒚

Campo de fuerza 𝐹 actuando sobre la curva 𝐶 Curva 𝐶

(34)

Ejemplo

Trabajo

1

Determine el trabajo realizado por el campo de fuerza 𝐹 𝑥; 𝑦 = 𝑥; 𝑥 + 𝑦

sobre una partícula que se desplaza a lo largo de la curva 𝑦 = 𝑥2, 𝑥 ∈ −1; 2 en sentido horario

Solución:

(35)

Ejercicio 1

Se aplica una fuerza 𝐹 𝑥; 𝑦 = (𝑥 + 𝑦; 𝑥 − 𝑦) sobre una partícula para trasladarla desde el punto (0; −3) hasta el punto (−2; 0) en sentido antihorario a lo largo de la elipse

𝑥2

4 + 𝑦2

9 = 1

a.- Determine una curva paramétrica que represente el recorrido de la partícula.

b.- Grafique la curva obtenida en la parte (a).

c.- Formule una integral definida simple para el trabajo realizado por la fuerza 𝐹 para trasladar la partícula según se ha enunciado en el problema.

d.- Calcule el trabajo realizado por la fuerza 𝐹

Solución:

(36)

BIBLIOGRAFÍA

• [1] Larson, R.; Hostetler, R. y Edwards,B. (2010)

Cálculo Esencial 1ª ed. México: Cengage Learning

• [2] Stewart, J. (2010) Cálculo de varias variables conceptos y contextos. 4ª ed. México. Cengage Learning

• [3] Anton, H. (2009) Cálculo Multivariable. 2ª ed. México:

Limusa Wiley.

• [4] Edwards, H. y Penney, D. (2008) Cálculo con trascendentes tempranas. 7ª ed. México: Pearson Educación.

• [5] Thomas, G. (2006) Cálculo varias variables. 11ª ed.

México: Pearson

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Referencias

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