Universidad De Santiago De Chile Algebra B-08

Universidad De Santiago De Chile Algebra B-08

Prof: Eugenio Rivera M.

Control N

4 para PEP 2 A˜ no 2011

1. Definida en Q

la relaci´on dada por

q

Rq

⇔ (∃p ∈ Z) : q

(q

)

= 3

a) Demuestre que es relaci´on de equivalencia.

b) Determine µ 2

3

¶

=

½ a

b ∈ Q

: a b R 2

3

¾

2. Considere la funci´on h : R

→ R

tal que

h(x, y, z) = (λx + y + z, x + λy + z) Si llamamos S = {λ ∈ R : h es inyectiva}. Demuestre que S = ∅ 3. Considere la funci´on h : R

→ R

tal que

T (x, y, z) = (x − λy + z, λx + y + z, x − y + λz) a) ¿Es T un homomorfismo?

b) Determine el conjunto S = {λ ∈ R : T es inyectiva}

c) Para λ ∈ S, determine T

Soluci´ on Control N ^o 4.

1. Definida en Q

la relaci´on dada por

q

Rq

⇔ (∃p ∈ Z) : q

(q

)

= 3

a) Demuestre que es relaci´on de equivalencia.

An´alisis de Reflexi´on:

Sea q

∈ Q

arbitrario, entonces

q

Rq

⇔ (∃p; p ∈ Z : q

(q

)

= 1 = 3

)

de donde tenemos que para cada q

∈ Q

, al tomar p = 0 ∈ Z se cumple la condici´on requerida. Luego la relaci´on es refleja.

An´alisis de Simetr´ıa:

Sean q

, q

∈ Q

tal que

q

Rq

⇐⇒ (∃p; p ∈ Z : q

(q

)

= 3

)

⇐⇒ (∃p; p ∈ Z : (q

)

q

= 3

)

=⇒ (∃ − p; −p ∈ Z : q

(q

)

= 3

)

⇐⇒ q

Rq

Luego la relaci´on es sim´etrica.

An´alisis de Transitividad:

Sean q

, q

, q

∈ Q

tales que

q

Rq

⇐⇒ (∃p; p ∈ Z : q

(q

)

= 3

) q

Rq

⇐⇒ (∃k; k ∈ Z : q

(q

)

= 3

)

=⇒ ¡

∃z = p + k; z ∈ Z : q

(q

)

q

(q

)

= q

(q

)

= 3

= 3

¢

⇐⇒ q

Rq

Luego la relaci´on es transitiva.

Con esto tenemos que R es relaci´on de equivalencia.

b) Determine µ 2

3

¶

=

½ a

b ∈ Q

: a b R 2

3

¾

µ 2 3

¶

=

½ a

b ∈ Q

: a b R 2

3

¾

= (

a

b ∈ Q

: ∃p; p ∈ Z : ³a b

´ µ2 3

¶

= 3

)

= na

b ∈ Q

: ∃p; p ∈ Z : a = 2 · 3

b

o

2. Considere la funci´on h : R

→ R

tal que

h(x, y, z) = (λx + y + z, x + λy + z) Si llamamos S = {λ ∈ R : h es inyectiva}. Demuestre que S = ∅

Recordemos que h es inyectiva si h(x, y, z) = h(a, b, c) ⇒ (x, y, z) = (a, b, c), veamos si esto es posible.

h(x, y, z) = h(a, b, c) ⇔ (λx + y + z, x + λy + z) = (λa + b + c, a + λb + c) Igualdad que equivale al sistema dado por

λx + y + z = λa + b + c x + λy + z = a + λb + c O equivalentemente, el sistema homog´eneo

λ(x − a) + (y − b) + (z − c) = 0 (x − a) + λ(y − b) + (z − c) = 0 Sea u = (x − a), v = (y − b) y w = (z − c), entonces

λu + v + w = 0 u + λv + w = 0

Para verificar la inyectividad, debemos probar que el sistema posee ´unica soluci´on y esta debe ser la trivial, es decir, u = v = w = 0. De lo contrario concluimos que h no es inyectiva.

Consideremos el sistema

λu + v + w = 0 u + λv + w = 0

Si restamos estas ecuaciones obtenemos (1 − λ)(u − v) = 0, en consecuencia debemos escoger λ 6= 1, esto nos lleva a que u = v y aqu´ı ya es evidente que el sistema no posee soluci´on ´unica.

Y finalmente en el caso en que λ = 1 se tiene u + v + w = 0 que posee infinitas soluciones.

De esta manera probamos que S = ∅.

Observaci´on: Ver otra soluci´on en los apuntes oficiales del curso, precisamente en “rudimentos de funciones”.

3. Considere la funci´on h : R

→ R

tal que

T (x, y, z) = (x − λy + z, λx + y + z, x − y + λz) a) ¿Es T un homomorfismo de grupo?

La demostraci´on es rutinaria, y f´acilmente se verifica que

T (x + a, y + b, z + c) = T (x, y, z) + T (a, b, c)

Por lo tanto T es homomorfismo de grupo.

b) Determine el conjunto S = {λ ∈ R : T es inyectiva}

En virtud a que T es homomorfismo, analicemos la inyectividad mediante el sistema

x − λy + z = 0 (1)

λx + y + z = 0 (2)

x − y + λz = 0 (3)

Analicemos los casos siguientes Caso 1: λ = 0

x − 0 + z = 0 (1) 0 + y + z = 0 (2) x − y + 0 = 0 (3)

De aqu´ı deducimos que x = y = −z por lo tanto, si λ = 0, T no es inyectiva.

Caso 1: λ 6= 0

Si multiplicamos las ecuaciones 1 y 3 por λ y las restamos a la ecuaci´on 2 se tiene (1 + λ)y + (1 − λ

)z = 0 (1)

(1 + λ

)y + (1 − λ)z = 0 (2)

Ahora multiplicamos la nueva ecuaci´on 1 por (1 + λ

) y la 2 por (1 + λ) y despejamos z, obteniendo

(1 − λ)(1 + λ)λ

z = 0 De donde resulta que T ser´a inyectiva si

S = R − {−1, 0, 1}

c) Para λ ∈ S, determine T

Para obtener T

, debemos demostrar primero que T es sobreyectiva. Entonces, sea (a, b, c) ∈ R

, y estudiemos es sistema dado por

x − λy + z = a (1)

λx + y + z = b (2)

x − y + λz = c (3)

Siguiendo los mismos pasos del item anterior, se tiene

(1 + λ)y + (1 − λ

)z = b − λc (*) (1 + λ

)y + (1 − λ)z = b − λa (*)

(1 + λ)(1 + λ

)y + (1 − λ

)(1 + λ

)z = (b − λc)(1 + λ

) (1) (1 + λ)(1 + λ

)y + (1 − λ

)z = (b − λa)(1 + λ) (2) Despejando obtenemos z = (1 − λ

)(b − λc) − (1 + λ)(b − λa)

λ

(1 − λ

)

Nuevamente trabajamos el sistema (∗) y lo escribimos como

(1 + λ)y + (1 − λ

)z = b − λc (1)

(1 + λ)(1 + λ

)y + (1 − λ

)z = (b − λa)(1 + λ) (2)

De donde y = (b − λa)(1 + λ) − (b − λc) λ

(1 + λ)

Solo nos falta encontrar x, del sistema inicial podemos multiplicamos la ecuaci´on 2 por λ y la sumamos a la ecuaci´on 1 y se obtiene

(1 + λ)x + (1 + λ)z = (a + λb) de donde se tiene

x = a + λb

(1 + λ) − z = a + λb

(1 + λ) − (1 − λ

)(b − λc) − (1 + λ)(b − λa) λ

(1 − λ

)

Con esto se prueba que T es sobreyectiva para cada λ ∈ S.

Y con estas expresiones de x, y y z se puede construir T

.... Se deja como ejercicio...