MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS

MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS

UNIDADES EN EL ANILLO DE LAS SERIES FORMALES

FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ

Resumen. Demostramos una caracterizaci´on de las unidades del anillo de las series formales.

Enunciado

Sea A un anillo conmutativo y unitario y A[[X]] el anillo de las series formales S(X) =P

n≥0anXⁿ con coeficientes an∈ A. Demostrar que S(X) =X

n≥0

anXⁿ es unidad en A[[X]] ⇔ a0 es unidad en A.

Soluci´on

⇒) Si S(X) =P

n≥0anXⁿes una unidad de A[[X]], entonces existe T (X) = P

n≥0anXⁿ tal que

S(X) · T (X) =X

n≥0 n

X

k=0

a_n−kb_k

!

Xⁿ= 1 +X

n≥1

0Xⁿ lo cual implica que a₀b₀ = 1, luego a₀ es unidad en A.

⇐) Sea S(X) =P

n≥0a_nXⁿ∈ A[[X]] una serie formal tal que a₀ es unidad en A. Construyamos otra serie formal T (X) =P

n≥0bnXⁿ∈ A[[X]] tal que S(X) · T (X) = 1, es decir tal que

a0b0 = 1, y cn=

n

X

k=0

an−kbk = 0 si n ≥ 1. (∗)

Como a0 es unidad, b0 = a⁻¹₀ . Supongamos ahora que hemos elegido con- venientemente los coeficientes b_n para 0 ≤ n ≤ m. Entonces, c_m+1 ha de verificar

0 = c_m+1 =

m+1

X

k=0

a_m+1−kb_k= a₀b_m+1+

m

X

k=0

a_m+1−kb_k. Pero dado que a₀es unidad basta elegir b_m+1 = −a⁻¹₀ Pm

k=0a_m+1−kb_k. Que- da pues construida T (X) tal que S(X) · T (X) = 1. 

Key words and phrases. unidades, anillo, series formales.

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Monograf´ıas matem´c aticas por Fernando Revilla Jim´enez se dis- tribuye bajo la licencia Creative Commons Atribuci´on-NoComercial- SinDerivar 4.0 Internacional.

M´as material en http://www.fernandorevilla.es

Fernando Revilla Jim´enez. Jefe del Departamento de Matem´aticas del IES San- ta Teresa de Jes´us de la Comunidad de Madrid y Profesor de M´etodos Ma- tem´aticos de la Universidad Alfonso X El Sabio de Villanueva de la Ca˜nada, Madrid (Hasta el curso acad´emico 2008-2009).

E-mail address: frej0002@ficus.pntic.mec.es