Bioelectricidad y Biomagnetismo

(1)

Contenido Ley de Faraday

Bioelectricidad y Biomagnetismo

Universidad Antonio Nari˜no

27 de mayo de 2014

(2)

Contenido

1

Ley de Faraday

Repaso del flujo de B.

Ley de Faraday.

Ley de Lenz

Ejemplos y aplicaciones.

Aplicaci´ on en medicina: Estimulaci´ on magn´ etica.

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Repaso del flujo de B.

Ley de Faraday.

Ley de Lenz Ejemplos y aplicaciones.

Aplicación en medicina: Estimulación magnética.

Flujo del campo magn´ etico (Repaso).

Flujo del campo magn´etico

B

A

A



Flujo Φ_B sobre una superficie A:

ΦB= ~B · ~A = BA cos θ.

Unidades: [Φ_B] = T .m²

A tiene asociado el vector normal

~A. θ es el ´angulo formado por ~A y ~B

El flujo es m´aximo para θ = 0 y nulo para θ = 90^◦.

996 C APÍTU LO 29 Inducción electromagnética

29.2Ley de Faraday

El elemento común en todos los efectos de inducción es el flujo magnético cambiante a través de un circuito. Antes de enunciar la ley física sencilla que resume todas las clases de experimentos descritos en la sección 29.1, revisemos primero el concepto de flujo magnético FB(que presentamos en la sección 27.3). Para un elemento de área infinitesimal en un campo magnético (figura 29.3), el flujo magnético dFBa tra- vés del área es

donde B'es la componente de perpendicular a la superficie del elemento de área, y f es el ángulo entre y (Al igual que en el capítulo 27, hay que tener cuidado en distinguir entre dos cantidades llamadas “fi”, f y FB.) El flujo magnético total FB

a través de un área finita es la integral de esta expresión sobre el área: (29.1) Si es uniforme sobre un área plana entonces

(29.2) La figura 29.4 repasa las reglas para el uso de la ecuación (29.2).

CUIDADO Al elegir la dirección de o En las ecuaciones (29.1) y (29.2) tenemos que ser cuidadosos para definir la dirección del área vectorial o sin ambigüedades. Siem- pre hay dos direcciones perpendiculares a cualquier área dada, y el signo del flujo magnético a través de ésta depende de cuál se elija como positiva. Por ejemplo, en la figura 29.3 se eligió que apuntara hacia arriba, por lo que f es menor que 90° y es positivo. En vez de lo anterior, hubiéramos podido elegir que apuntara hacia abajo, en cuyo caso f habría sido mayor que 90° y habría sido negativo. Cualquier opción es igualmente buena, pero una vez que se elige una, debemos respetarla.❚

La ley de Faraday de la inducción establece lo siguiente: La fem inducida en una espira cerrada es igual al negativo de la tasa de cambio del flujo magnético a través de la espira con respecto al tiempo.

En símbolos, la ley de Faraday es

(29.3) E 5 2dF_B

dt 1 ley de Faraday de la inducción 2 BS#^dA^S ^dA^S

B^S#dA^S dA^S

AS dA^S AS dA^S FB5B^S#A^S5BAcosf

A^S, BS

FB5 3B^S#dA^S5 3B dAcosf dA^S.

B^S B^S

dFB5B^S#dA^S5B' dA 5 B dAcosf B^S dA^S

Flujo magnético a través de un elemento de área dA: dFB 5 B •dA 5 B_!dA 5 B dA cos f.

S S S

dA B'

Bi

f B^S dA^S 29.3Cálculo del flujo magnético a través de un elemento de área.

A B

f 5 908 A^S

S

La superficie está de perfil al flujo magnético:

• B y A son perpendiculares (el ángulo entre B y A es f 5 908).

• El flujo magnético FB 5 B • A 5 BA cos 908 5 0.

S S S

SS S

A B

A f

S S

La superficie está inclinada un ángulo f con respecto a una orientación de frente:

• El ángulo entre B y A es f.

• El flujo magnético FB 5 B • A 5 BA cos f. S S

S S La superficie está de frente al flujo magnético:

• B y A son paralelos (el ángulo entre B y A es f 5 0).

• El flujo magnético FB 5 B • A 5 BA. SS

SS S S

A B

A f 5 0

S S

29.4Cálculo del flujo de un campo magnético uniforme a través de un área plana. (Compare con la figura 22.6, que muestra las reglas para calcular el flujo de un campo eléctrico uniforme.)

ΦB = B.A. ΦB = B.A. cos θ. ΦB= 0.

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Ley de Faraday.

Flujo del campo magn´ etico (Repaso).

B

A

A



29.2Ley de Faraday

a través de un área finita es la integral de esta expresión sobre el área: (29.1) Si es uniforme sobre un área plana entonces

La ley de Faraday de la inducción establece lo siguiente: La fem inducida en una espira cerrada es igual al negativo de la tasa de cambio del flujo magnético a través de la espira con respecto al tiempo.

(29.3) E 5 2dF_B

B^S#dA^S dA^S

AS dA^S AS dA^S FB5B^S#A^S5BAcosf

A^S, BS

B^S B^S

Flujo magnético a través de un elemento de área dA: dFB 5 B •dA 5 B_!dA 5 B dA cos f.

S S S

dA B'

Bi

A B

f 5 908 A^S

S

S S S

SS S

A B

A f

S S

• El flujo magnético FB 5 B • A 5 BA cos f. S S

S S La superficie está de frente al flujo magnético:

• El flujo magnético FB 5 B • A 5 BA. SS

SS S S

A B

A f 5 0

S S

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Ley de Faraday.

Flujo del campo magn´ etico (Repaso).

B

A

A



29.2Ley de Faraday

a través de un área finita es la integral de esta expresión sobre el área:

(29.1) Si es uniforme sobre un área plana entonces

La ley de Faraday de la inducción establece lo siguiente:

La fem inducida en una espira cerrada es igual al negativo de la tasa de cambio del flujo magnético a través de la espira con respecto al tiempo.

(29.3) E 5 2dF_B

B^S#dA^S dA^S

A^S dA^S A^S dA^S FB5B^S#A^S5BAcosf

A^S, BS

B^S B^S

Flujo magnético a través de un elemento de área dA:

dFB 5 B •dA 5 B_!dA 5 B dA cos f.

S S S

dA B'

Bi

A B

f 5 908 A^S

S

S S S

SS S

A B

A f

S S

• El flujo magnético FB 5 B • A 5 BA cos f.

S S S S La superficie está de frente al flujo magnético:

• El flujo magnético FB 5 B • A 5 BA.

SS SS

S S

A B

A f 5 0

S S

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Ley de Faraday.

Inducci´on electromagn´etica.

Un campo magn´etico con flujo variable genera una fuerza electromotriz ε (f.e.m.) o “voltaje inducido” de acuerdo a la siguiente ley:

Vind= ε = −∆Φ_B

∆t ; Unidades:T .m² s = V . Observaciones.

Advertencia: No confundir la f.e.m. ε con la permitividad el´ectrica. Se usa el mismo s´ımbolo pero son dos cantidades diferentes.

La ley de Faraday relaciona el magnetismo y la electricidad de una forma nueva: un flujo variable de campo magn´etico B origina un campo el´ectrico E .

Las l´ıneas de E circulan alrededor del campo magn´etico que genera el flujo variable.

El flujo de B puede variar por diversos motivos: variaci´on en el ´area, en el

´

angulo entre A y B y variaciones de B con el tiempo.

El voltaje inducido por N vueltas de corriente se obtiene multiplicando el flujo de una vuelta por N:

Vind= −N∆(B.A)

∆t .

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Ley de Faraday.

Inducción electromagnética.Un campo magnético con flujo variable genera una fuerza electromotriz ε (f.e.m.) o “voltaje inducido” de acuerdo a la siguiente ley:

∆t ; Unidades:T .m² s = V .

Observaciones.

´

Vind= −N∆(B.A)

∆t .

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Ley de Faraday.

´

Vind= −N∆(B.A)

∆t .

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Ley de Faraday.

La ley de Faraday relaciona el magnetismo y la electricidad de una forma nueva:

un flujo variable de campo magn´etico B origina un campo el´ectrico E .

´

Vind= −N∆(B.A)

∆t .

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Ley de Faraday.

un flujo variable de campo magnético B origina un campo eléctrico E . Las l´ıneas de E circulan alrededor del campo magnético que genera el flujo variable.

´

Vind= −N∆(B.A)

∆t .

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Ley de Faraday.

´

Vind= −N∆(B.A)

∆t .

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Ley de Faraday.

´

Vind= −N∆(B.A)

∆t .

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Ley de Faraday.

Demostraci´on de la ley de Faraday.La figura ilustra las situaciones en las que las variaciones del flujo magn´etico genera un voltaje inducido.

29.1Demostración del fenómeno de la corriente inducida.

notables resultados forman parte de un conjunto de fórmulas llamadas ecuaciones de Maxwell, las cuales describen el comportamiento de los campos eléctricos y magnéti- cos en cualquier situación y preparan el terreno para comprender las ondas electro- magnéticas, el tema del capítulo 32.

29.1 Experimentos de inducción

Durante la década de 1830 Michael Faraday en Inglaterra y Joseph Henry (1797- 1878), quien fuera director de la Smithsonian Institution en Estados Unidos, reali- zaron varios experimentos pioneros con la fem inducida por medios magnéticos. La figura 29.1 ilustra varios ejemplos al respecto. En la figura 29.1a, una bobina de alambre está conectada a un galvanómetro. Cuando el imán cercano está inmóvil, el medidor no indica corriente. Esto no es sorprendente, pues en el circuito no hay fuente de fem. Pero cuando el imán se mueve y se acerca o se aleja de la bobina, el medidor indica corriente en el circuito, pero sólo mientras el imán se halla en movi- miento (figura 29.1b). Si el imán permanece fijo y es la bobina la que se mueve, otra vez se detecta corriente durante el movimiento. Esto se llama corriente indu- cida, y la fem correspondiente que se requiere para generarla recibe el nombre de fem inducida.

En la figura 29.1c se ha sustituido el imán con una segunda bobina conectada a una batería. Cuando la segunda bobina está fija, no hay corriente en la primera bobina. Sin embargo, cuando movemos la segunda bobina acercándola o alejándola de la primera, o hacemos lo mismo con la primera bobina con respecto a la segunda, hay corriente en la primera bobina, pero, de nuevo, sólo mientras una de las bobinas se mueve con respecto a la otra.

Por último, en el sistema de dos bobinas que se ilustra en la figura 29.1d, se mantie- nen ambas inmóviles y se varía la corriente en la segunda, ya sea abriendo y cerrando el interruptor o cambiando la resistencia de la segunda bobina con el interruptor cerra- do (por ejemplo, modificando la temperatura de la segunda bobina). Se observa que al abrir y cerrar el interruptor hay un pulso momentáneo de corriente en el primer circui- to. Cuando se modifica la resistencia (y, por lo tanto, la corriente) de la segunda bobina, hay una corriente inducida en el primer circuito, pero sólo mientras está cambiando la corriente en el segundo circuito.

Para explorar más a fondo los elementos comunes a estas observaciones, conside- remos una serie más detallada de experimentos con la situación que se ilustra en la figura 29.2. Se conecta una bobina de alambre a un galvanómetro, luego se coloca la 13.9 Inducción electromagnética

O N L I N E

Sugerencia:Ver la simulaci´on del PHET de la ley de Faraday en el enlace: Lab Faraday.

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Ley de Faraday.

Ley de Lenz

La fuerza electromotriz (f.e.m) inducida tiene una polaridad opuesta al cambio del flujo magn´etico que la cre´o.

Esta ley es consecuencia del principio de conservaci´on de la energ´ıa. Ver las lineas del campo B inducido en la figura:

En la figura, el imán se está des- plazando de izquierda a derecha. Las lineas del campo B inducido se dirigen en sentido contrario al desplazamiento del imán. Si no fuera as´ı, este campo aumentar´ıa el flujo, lo cual aumentar´ıa el voltaje y la corriente inducida, lo que a su vez aumentar´ıa el flujo y la corriente y de nuevo el flujo y as´ı, indefinidamen- te.

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Ley de Faraday.

Ley de Lenz

Esta ley es consecuencia del principio de conservaci´on de la energ´ıa.

Ver las lineas del campo B inducido en la figura: En la figura, el im´an se est´a des-

plazando de izquierda a derecha. Las lineas del campo B inducido se dirigen en sentido contrario al desplazamiento del im´an. Si no fuera as´ı, este campo aumentar´ıa el flujo, lo cual aumentar´ıa el voltaje y la corriente inducida, lo que a su vez aumentar´ıa el flujo y la corriente y de nuevo el flujo y as´ı, indefinidamen- te.

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Ley de Faraday.

Ley de Lenz

Ver las lineas del campo B inducido en la figura:

En la figura, el imán se está des- plazando de izquierda a derecha. Las lineas del campo B inducido se dirigen en sentido contrario al desplazamiento del imán. Si no fuera as´ı, este campo aumentar´ıa el flujo, lo cual aumentar´ıa el voltaje y la corriente inducida, lo que a su vez aumentar´ıa el flujo y la corriente y de nuevo el flujo y as´ı, indefinidamen- te.

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Ley de Faraday.

Ley de Lenz

Ver las lineas del campo B inducido en la figura:

En la figura, el im´an se est´a des- plazando de izquierda a derecha.

Las lineas del campo B inducido se dirigen en sentido contrario al desplazamiento del im´an. Si no fuera as´ı, este campo aumentar´ıa el flujo, lo cual aumentar´ıa el voltaje y la corriente inducida, lo que a su vez aumentar´ıa el flujo y la corriente y de nuevo el flujo y as´ı, indefinidamen- te.

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Ley de Faraday.

Ejemplos y aplicaciones

Ejemplo 1.Calcular la f.e.m. inducida (voltaje inducido) y la corriente inducida en una espira conductora que encierra un área de 120 cm²si esta se encuentra en una región en la que hay un campo magnético uniforme que var´ıa a razón de 0.02 T /s. La resisitencia de la espira es de 5 Ω y el campo magnético está orientado de tal manera que es perpendicular al plano de la espira.

Sol.Voltaje inducido: El voltaje inducido se calcula por aplicaci´on directa de la ley de Faraday

ε = −∆ΦB

∆t = −A cos θ∆B

∆t = −∆B

∆tA cos(0^◦) ε = −(0,02T /s)0,012m²= 0,24mV

Corriente inducida: Con el voltaje inducido calculado utilizamos la ley de Ohm

ε = −IindR ; Iind= ε

R =0,24mV

5Ω = 0,048mA

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Ley de Faraday.

Ejemplos y aplicaciones

ε = −∆ΦB

∆t = −∆B

∆tA cos(0^◦) ε = −(0,02T /s)0,012m²= 0,24mV

R =0,24mV

5Ω = 0,048mA

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Ley de Faraday.

Ejemplos y aplicaciones

ε = −∆ΦB

∆t = −∆B

∆tA cos(0^◦)

ε = −(0,02T /s)0,012m²= 0,24mV

R =0,24mV

5Ω = 0,048mA

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Ley de Faraday.

Ejemplos y aplicaciones

ε = −∆ΦB

∆t = −∆B

∆tA cos(0^◦) ε = −(0,02T /s)0,012m²= 0,24mV

R =0,24mV

5Ω = 0,048mA

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Ley de Faraday.

Ejemplos y aplicaciones

ε = −∆ΦB

∆t = −∆B

∆tA cos(0^◦) ε = −(0,02T /s)0,012m²= 0,24mV

R =0,24mV

5Ω = 0,048mA

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Ley de Faraday.

Ejemplos y aplicaciones

ε = −∆ΦB

∆t = −∆B

∆tA cos(0^◦) ε = −(0,02T /s)0,012m²= 0,24mV

R =0,24mV 5Ω

= 0,048mA

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Ley de Faraday.

Ejemplos y aplicaciones

ε = −∆ΦB

∆t = −∆B

∆tA cos(0^◦) ε = −(0,02T /s)0,012m²= 0,24mV

R =0,24mV

5Ω = 0,048mA

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Ley de Faraday.

Ejemplos y aplicaciones

Ejemplo 2. Generador de corriente alterna.En un generador de corriente alterna se ubica un alambre de corriente con N vueltas, resistencia R, el cual encierra un área A, se encuentra en una región con un campo magnético uniforme y constante B. El alambre gira con frecuencia angular constante ω (θ = ωt). Calcule el voltaje y la corriente inducida.

Sol. La variación en el flujo de B proviene de la variación del ángulo.

ε = −∆ΦB

∆t = −NABd cos(ωt)

dt = NABω sen(ωt), ε_Max = NABω. La corriente inducida se calcula usando la ley de Ohm:

ε = IindR ; Iind= ε

R =NABω

R sen(ωt), IMax=NABω R

En este ejemplo vemos que la corriente inducida no es constante sino que var´ıa de forma peri´odica siguiendo una forma sinusoidal. Este tipo de corriente la conocemos como corriente alterna. Muchos motores simples funcionan en base a este principio.

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Ley de Faraday.

Ejemplos y aplicaciones

ε = −∆ΦB

dt = NABω sen(ωt), ε_Max = NABω. La corriente inducida se calcula usando la ley de Ohm:

R =NABω

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Ley de Faraday.

Ejemplos y aplicaciones

ε = −∆ΦB

dt = NABω sen(ωt), ε_Max = NABω.

La corriente inducida se calcula usando la ley de Ohm:

R =NABω

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Ley de Faraday.

Ejemplos y aplicaciones

ε = −∆ΦB

R =NABω

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Ley de Faraday.

Ejemplos y aplicaciones

ε = −∆ΦB

R =NABω

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Ley de Faraday.

Aplicaci´ on en medicina.

Estimulaci´on magn´etica transcraneal.

La estimulación magnética transcraneal (EMT) es una técnica que puede ser utilizada para el diagnóstico de enfermedades en el sistema nervioso central, para monitorear la actividad de células nerviosas motrices durante una cirug´ıa y para mapear la actividad motriz del cerebro. Es una técnica no invasiva y relativamente indolora, y gracias a ello puede ser utilizada para estudiar la actividad neuronal relacionada con los procesos de aprendizaje y plasticidad del cerebro (cambios en la organización del cerebro con el paso del tiempo). Algunos especialistas sugieren que el uso repetido de EMT puede ser útil para tratar la depresión y otros desórdenes emocionales. La figura representa esquematicamente el principio del funcionamiento de la EMT.

En la figura a la derecha se muestra una referencia a una pel´ıcula de ficción. El personaje acude a un centro médico poco convencional para mapear su actividad cerebral e identificar recuerdos de los que quiere deshacerse. Esta posibilidad, por supuesto, pertenece actualmente al dominio de la ficción.

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Ley de Faraday.

Aplicaci´ on en medicina.

Estimulaci´on magn´etica transcraneal.

La estimulación magnética transcraneal (EMT) es una técnica que puede ser utilizada para el diagnóstico de enfermedades en el sistema nervioso central, para monitorear la actividad de células nerviosas motrices durante una cirug´ıa y para mapear la actividad motriz del cerebro. Es una técnica no invasiva y relativamente indolora, y gracias a ello puede ser utilizada para estudiar la actividad neuronal relacionada con los procesos de aprendizaje y plasticidad del cerebro (cambios en la organización del cerebro con el paso del tiempo). Algunos especialistas sugieren que el uso repetido de EMT puede ser útil para tratar la depresión y otros desórdenes emocionales. La figura representa esquematicamente el principio del funcionamiento de la EMT.

En la figura a la derecha se muestra una referencia a una pel´ıcula de ficción. El personaje acude a un centro médico poco convencional para mapear su actividad cerebral e identificar recuerdos de los que quiere deshacerse. Esta posibilidad, por supuesto, pertenece actualmente al dominio de la ficción.

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Ley de Faraday.

Aplicaci´ on en medicina.

Ejemplo 3. En un ejemplo de aplicación de la técnica de estimulación magnética, se usa un solenoide en el cual se produce una variación del campo magnético de ∆B = 2T en un intervalo ∆t = 110 µs. Como resultado de la aplicación de este est´ımulo, se puede inducir el movimiento de un dedo en un paciente después de que el impulso nervioso viaja a través de los músculos del brazo. Para una región de radio a = 10 mm en un material de conductividad σ = 1Ω⁻¹.m⁻¹, calcule:

(a) El voltaje inducido por el dispositivo.

(b) El campo el´ectrico inducido alrededor del ´area que encierra el dispositivo.

(c) La densidad de corriente j = I /A.

(d) La corriente inducida a trav´es del regi´on indicada.

(e) Compare la I inducida con el valor t´ıpico de una corriente que circula en una neurona (Ineurona∼ 1µA − 1nA).

Sol. A continuación se desarrollan los pasos para la solución del problema. Los cálculos numéricos y algunos detalles se dejan para el taller.

(a) Este item se resuelve aplicando directamente la ley de Faraday:

V_ind= −∆B

∆tA = −∆B

∆tπa².

(b) El campo E “circula” alrededor del dispositivo. Para la región indicada, la trayectoria de E es un c´ırculo de radio a (per´ımetro L = 2πa). Se usa la relación entre voltaje y campo eléctrico (E = V /L):

E_ind=V_ind L = V_ind

2πa.

Esta relaci´on es v´alida si suponemos que E es uniforme a lo largo del c´ırculo.

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Ley de Faraday.

Aplicaci´ on en medicina.

V_ind= −∆B

∆tA = −∆B

∆tπa².

2πa.

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Ley de Faraday.

Aplicaci´ on en medicina.

V_ind= −∆B

∆tA = −∆B

∆tπa².

2πa.