C´ alculo Diferencial e Integral Lista de ejercicios 4
Profesor: Vladimir Vega
1. Integraci´ on directa
Ejercicio 1. Calcular las siguientes integrales hallando una antiderivada:
1.
Z
8x + 9x2+ 10x3 dx
2.
Z
x2− 4√ x dx
3.
Z 8√3
x + 5
√x− 12x4
dx
4.
Z
(2 cos x − 3 sen x) dx
5.
Z
12 sec2x − 3 x+ ex
dx
6.
Z
−4 senh x + 5 cosh x +5
6sec x tan x
dx
7.
Z x4− 6x3− 7x x
dx
8.
Z a + b c
√ax − c a + b
√1 ax
dx
9.
Z senx
2
cosx 2
dx
10.
Z cos2x
2
− sen2x 2
dx
11.
Z
(nx)1−nn dx
12.
Z
(a2/3− x2/3)3dx
En cada uno de los casos anteriores, comprube su soluci´on por derivaci´on.
2. Integraci´ on por cambio de variable o sustituci´ on
Ejercicio 2. Hacer un cambio de variable conveniente para calcular las siguientes integrales:
1.
Z a dx a − x 2.
Z 2x + 3 2x + 1dx
3.
Z x2+ 1 x − 1dx
4.
Z x4+ x2+ 1 x − 1 dx 5.
Z b
√1 − ydy
6.
Z x
√
x2+ 1dx 7.
Z dx
(a + b) − (a − b)x2 8.
Z 2x − 5 3x2− 2dx 9.
Z 3x + 1
√
5x2+ 1dx 10.
Z x
√a2− x4dx
11.
Z x2 1 + x6dx 12.
Z
ae−mxdx
13.
Z (ax− bx)2 axbx dx
14.
Z e1/x x2 dx 15.
Z 5
√xdx
√x
En cada uno de los casos anteriores compruebe su resultado por derivaci´on.
Ejercicio 3. Calcule las siguientes integrales mediante la sustituci´on indicada.
1.
Z dx
x√
x2− 2, x = 1/t;
2.
Z dx
ex+ 1, x = − ln t;
3.
Z
x(5x2− 3)7dx, 5x2− 3 = t;
4.
Z xdx
√x + 1, t =√ x + 1;
5.
Z cos x dx
√1 + sin x, t = sin x.
1
En cada uno de los casos anteriores compruebe su resultado por derivaci´on.
Ejercicio 4. Hallar las integrales siguientes, empleando para ello las sustituciones m´as adecuadas:
1.
Z
x(2x + 5)10dx.
2.
Z 1 + x 1 +√
xdx.
3.
Z dx
x√ 2x + 1.
4.
Z dx
√ex− 1.
5.
Z ln 2x ln 4x·dx
x.
6.
Z (arcsin x)2
√1 − x2 dx.
7.
Z e2x
√ex+ 1dx.
8.
Z sin3x
√cos xdx.
9.
Z dx
x√ 1 + x2.
En cada uno de los casos anteriores compruebe su resultado por derivaci´on.
3. Integraci´ on por sustituci´ on trigonom´ etrica e hiperb´ olica
1. Si la integral contiene el radical p
a2− x2, generalmente se hace x = a sen t; de donde dx = a cos tdt y pa2− x2= a cos t.
2. Si la integral contiene el radical p
x2− a2, generalmente se hace x = a sec t; de donde dx = a sec t tan tdt y pa2− x2= a tan t.
3. Si la integral contiene el radical p
a2+ x2, generalmente se hace x = a tan t; de donde dx = a sec2tdt y pa2− x2= a sec t.
Hay que advertir, que las sustituciones trigonom´etricas no siempre son las m´as convenientes. En ciertos casos, en lugar de las sustituciones trigonom´etricas es preferible emplear las sustituciones hiperb´olicas, que requieren sustituciones an´alogas.
Ejercicio 5. Usando el m´etodo de integraci´on por sustituci´on trigonom´etrica, calcule las siguientes integrales:
1.
Z x2
√
1 − x2dx.
2.
Z x3
√2 − x2dx.
3.
Z √ x2− a2
x dx.
4.
Z dx
x√ x2− 1.
5.
Z √ x2+ 1
x dx.
6.
Z dx
x2√ 4 − x2.
7.
Z
1 − x25/2
dx.
8.
Z dx
x2√
x2− 25.
9.
Z x2
√x2− 9dx.
2
