Demostración matemática de las leyes de Képler
Recibido 5-IX-05, aprobado 5-X-05
Tobías Álvarez1
Resumen
No sin antes presentar una breve biografía de Képler, a partir de la “ley de gravitación universal” el autor procede a desarrollar tres leyes fundamentales del científico alemán acerca de la dinámica planetaria; para ello procede a despejar una serie de fórmulas que van generando como resultado la comprobación de cada una de tales leyes.
Palabras y expresiones claves
Gravitación universal, ecuación, masa, planetas, movimiento planetario, elipse, sol.
MATHEMATICAL DEMONSTRATIONS OF KEPLER’S LAWS By Tobías Álvarez
ABSTRACT
Before the author introduces a brief biographical statement of Kepler, starting from the “universal gravity law,” he will develop three key laws of this German scientist about the planetary dynamics, in order to do this, he finds a series of formulae which generate as a result of the verification of such laws.
1 Físico al servicio docente de la USB Medellín, Politécnico Jaime Isaza y U de A.
- Revista Universidad de San Buenaventura (Rev.USB Medellín), N° 23, vol.1, julio-diciembre 2005,
Revista@usbmed.edu.co,ISSN: 0121-7887, Medellín-Col, semestral. Canje: remitirse al siguiente correo:
dora.bedoya@usbmed.edu.co Suscripción o adquisición: hacer la solicitud al siguiente correo: revista@usbmed.edu.co
Key words and expressions: Universal gravity, equation, mass, lanets, Planetary movement, ellipse, sun.
Quién fue Képler
Antes de entrar a deducir y demostrar tres de sus leyes, es bueno conocer un poco acerca de quié|n era este personaje.
Johann Képler era un astrónomo alemán (1571-1630) que pertenecía a una humilde familia. Tenía seis años cuando comenzó la escuela, pero dos años más tarde tuvo que abandonarla para ayudar a sus padres en los trabajos de campo y en una posada. En 1584 fue admitido gratuitamente en el seminario de Adelberg, del que pasó en 1588 al de Maulbrúnm, y en 1589 a la Facultad de Teología de Gotinga. Sin embargo, como sus ideas independientes en materia religiosa le apartaban de la carrera eclesiástica, comenzó el estudio de las matemáticas con Maestin, quien lo inició en las ciencias exactas y le inculcó los doctrinas de Copérnico. En 1594 fue nombrado profesor de Matemáticas en Graz, siendo encargado al mismo tiempo de la redacción del almanaque; al año siguiente publicó un almanaque con la “reforma gregoriana”. Poco después apareció su Prodomus (1596), que le dio gran fama y le ayudó a entablar amistad con Ticho Brahe, quien le hizo repetidas proposiciones en el sentido de asociarse para la redacción de sus tablas rudolfinas. Képler no aceptó hasta 1600, año en que fue expulsado de Graz a causa de sus opiniones religiosas, pero el acuerdo no duro mucho entre ellos, a causa de las profundas diferencias de carácter. La muerte de Ticho Brahe ocurrida al año siguiente, evitó una ruptura entre los dos sabios; Kepler sucedió a éste como astrónomo de Rodolfo II. Ticho Brahe había observado muy detenidamente el movimiento del planeta Marte, cuya órbita posee una excentricidad considerable. Después de muchas observaciones a dicho plantea, Képler descubrió las dos primeras leyes del movimiento planetario que llevan su nombre y que generalmente se enuncian así: “Los planetas se mueven en un plano, describiendo una trayectoria elíptica alrededor del Sol, con éste en uno de sus focos” ; el radio vector que va desde el Sol hasta el planeta, barre áreas iguales en tiempos iguales” Más tarde, en 1619, en su obra “La armonía de los mundos”
(Harmonices mundi libri V) publica la ley de proporcionalidad de los cuadrados de los períodos y el cubo de lo radios, que enuncia así “Los cuadros de los períodos de los planetas alrededor del Sol es directamente proporcional al cubo de las distancia promedio de los planetas al Sol.
Ley de gravitación universal
Una de las mayores contribuciones de Newton a la ciencia es el descubrimiento de la ley de gravitación universal, la cual establece que dos masas (m1 y m2) se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, y va en la dirección de la línea que une las dos masas:
r r Fρ GMm)
− 2
= Ecuación 1
Si bien como se verá más adelante, Képler descubre cómo es el movimiento de los planetas, o sea, descubre la cinemática del movimiento de los planetas.
Newton por su parte, es quien logra explicar a través de esta ley el porqué de ese movimiento, es decir, descubre la dinámica del movimiento planetario.
F12 F21
Figura 1. Interacción gravitacional entre dos masas ( m1 y m2 ) F12 es la fuerza sobre la masa m1 debido a m2 , y F21 es la fuerza sobre m2 debido a m1.
m1 m2
Tres leyes de Képler
Primera : “Los planetas giran en órbitas elípticas alrededor del Sol, con este en uno de sus focos”.
Figura 2. El Sistema Solar de acuerdo con las leyes de képler. Está conformado por el Sol, Mercurio, Venus, la Tierra con su Luna, Marte, Júpiter y Saturno (para la época no se conocían los demás planetas).
Demostración
De acuerdo con la ley de gravitación universal, la fuerza entre el Sol y un planeta viene dada por
r r Fρ GMm)
− 2
= Ecuación 2
donde M es la masa del Sol y m la masa del planeta; el planeta se mueve con una aceleración dada por
dt v r d r a GM
) ρ
ρ=− 2 = Ecuación 3
Que también podemos escribir como
r r GM dt
v
a dρ ρ
ρ
− 3
=
= Ecuación 4
Si se define el momento angular instantáneo Lρ
de una partícula, relativo al origen 0 (cero), por medio del producto vectorial entre el vector de posición instantáneo y la cantidad de movimiento instantánea que lleva la partícula y considerando el Sol y los planetas como partículas (esto es válido y se puede demostrar matemáticamente que se comportan como tales), tenemos:
v r m p r
Lρ ρ ρ ρ ρ
⊗
=
⊗
= Ecuación 5
...donde r es el vector de posición que va desde el Sol hasta el planeta y p la cantidad de movimiento o momento lineal que se define como el producto de la masa, por la velocidad que lleva el planeta. Ver figura
fig. 1 Momento angular
x y
z
v r m L
angular momento
ρ ρ ρ
⊗
=
rρ
Veamos primero que los plantas se mueven en un plano alrededor del Sol; para hacerlo, derivamos el momento angular.
dt v r md dt
p r d dt
L
dρ (ρ ρ) (ρ ρ)
= ⊗
= ⊗ Ecuación 6
⊗ +
⊗
= dt
v r d dt v
r m d dt
L
d ρ
ρ ρ ρ
ρ
Ecuación 7
pero como la velocidad es v dt
r dρ ϖ
= , luego... vρ⊗ vϖ=0, y como también la aceleración es radial y está dada por a
dt v dρ ρ
= , se tiene que rρ⊗ aρ=0, lo que implica que la derivada del momento angular es cero y por lo tanto ésta es una constante del movimiento e indica que el movimiento de los planetas es central y en un plano:ver figura 1.
fig. 2: El movimiento de los planetas es en un plano formado por el vector de posición y el vector velocidad
Ahora: si multiplicamos vectorialmente a izquierda por la aceleración, tenemos (r p) ma (r v)
a L
aρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ
⊗
⊗
=
⊗
⊗
=
⊗ Ecuación 8
Reemplazando al lado derecho por la ecuación 4 se llega a (r v)
r r L GM
aρ ρ ρ ρ ρ
⊗
⊗
−
=
⊗ 3 Ecuación 9
z
x y
( )
⊗
⊗
=
⊗
⊗ dt
r r d r v r r
ρ ρ ρ ρ ρ
ρ Ecuación 10
Si escribimos el vector de posición del planeta con respecto al Sol, como la distancia entre el planeta y el Sol, se tiene:
( )
⊗
⊗
=
⊗
⊗ dt
r r r d r v r
rρ ρ ρ ρ ρ ( ˆ) Ecuación 11
...donde rˆrepresenta el vector unitario en la dirección del Sol, al planeta y desarrollando la derivada del producto se tiene
( )
+
⊗
⊗
=
⊗
⊗ dt
rdr dt
r r rd r v r
rρ ρ ρ ρ ρ ˆ ˆ Ecuación 12
luego
( )
⊗ + ⊗
⊗
=
⊗
⊗ dt
rdr dt r
r r rd r v r
rρ ρ ρ ρ ρ ˆ ρ ˆ Ecuación 13 Pero rρ rρ
⊗ es cero,ya que son vectores paralelos; por lo tanto,
( )
⊗
⊗
=
⊗
⊗ dt
r r rd r v r
rρ ρ ρ ρ ρ ˆ Ecuación 14
Desarrollando este triple producto vectorial, se tiene
− •
•
−
=
⊗ ˆ ˆ(ˆ ˆ)
3 r r
dt r rd dt
r r d r r
L GM
aρ ρ ρ ρ Ecuación 15
( ) 2 2
3 vr
r mGM r
r r v L GM
aρ ρ ρρ ρ ρ
=
•
=
⊗ Ecuación 16
r v L GM a
ρ ρ
ρ⊗ = Ecuación 17
Ahora reemplacemos la velocidad por su definición, tenemos que:
dt r d r L GM a
ρ ρ
ρ⊗ = Ecuación 18
Y si reemplazamos la aceleración por su definición
dt r d r L GM dt
v
dρ ρ ρ
=
⊗ Ecuación 19
Pero como el momento angular es constante, entonces se tiene que
dt r d r GM dt
L v
d ρ ρ ρ
⊗ ) =
( Ecuación 20
Simplificando el tiempo a ambos lados de la ecuación 11, se obtiene
r r d L GM v
d ρ ρ ρ
=
⊗ )
( Ecuación 21
Integrando ambos lados, la ecuación que resulta es
r c r L GM
vρ ρ ρ ϖ
+
=
⊗ )
( Ecuación 22
... donde cρc es la constante de integración, y es una cantidad vectorial.
Si escribimos el vector, la longitud del “vector-posición” por el “vector unitario”
en la dirección del Sol al planeta, luego. Si pos multiplicamos escalarmente por el vector de posición, tenemos:
r c r r
r r GM L
v ρ ρ ϖ ρ
ρ ρ
ρ⊗ )• = • + •
( Ecuación 23
Pero
m r L L v
2
)
(ρ⊗ ρ •ρ= , y por lo tanto podemos escribir
θ
2 cos
cr GmMr
L = + Ecuación 24
... donde θ es el ángulo que forman r y c, como se ve en la figura; al despejar r se tiene que
fig. 3 Constante vectorial c y el vector de posición
cρ rρ
θ
x
y z
( cosθ)
2 r GmM c
L = + Ecuación 25
Despejando
( cosθ)
2
c GmM r L
= + Ecuación 26
+
=
θ cos 1
2
GmM c L GmM
r Ecuación 27
(1 cosθ)
2
e L mGM
r = + Ecuación 28
donde
GmmM e= c
La ecuación 28 es la ecuación polar de una cónica; si e está entre cero y la unidad, la cónica es una elipse, como efectivamente como lo había observado cualitativamente Képler.
Segunda : “El radio vector Barre áreas iguales en
tiempos iguales”
fig. 4 Ley de la áreas
rS A 2
≈ 1
∆ Ecuación 29
t v
S ≈∆ ∆ Ecuación 30
t v r A≈ ∆ ∆
∆ 2
1 Ecuación 31
v t r
A≈ ∆
∆
∆ 2
1 Ecuación 32
luego
dt rv dA t Lim A
t 2
1
0 = =
∆
∆
→
∆ Ecuación 33
Pero L = mrv luego rv = L/m, y por lo tanto
m L dt
dA 2
= 1 .
Pero como L es constante y la masa del planeta es constante, se tiene por tanto que la razón de cambio á es constante, así que tambiénla segunda ley de Képler se cumple.
r r
∆s
∆r dA
Tercera:”El cuadrado del período de revolución del planeta es directamete proporcional al cubo de la distancia que separa al planeta, del Sol”.
Demostración
Aplicando la segunda ley de Newton y teniedo en cuenta que la ley de gravitación universal es una fuerza de tipo central, y que además la ecentricidad de los planetas (con exepción de Mercurio y Plutón) es casi cero (es dcir la trayectoria de los planestas se aproxima mucho a una circunferencia), se puede establecer que:
r r mv r r
Fρ GMm) 2 )
2 =−
−
= Ecuación 34
ya que la fuerza es el producto de la masa por la aceleración centrípeta, f = mv2. Y por lo tanto
mv2
r GMm =
Pero v=( rω )y
f Tπ π
ω =2 = 2 , donde T es período de revolución del planeta;
luego...
( )r 2
r
GM = ω Ecuación 35
( )2r2
r
GM = ω Ecuación 36
( )2r3
GM = ω Ecuación 37
3
2 2
T r
GM
= π
Ecuación 38
3 2
2 4
GM r
T
= π
Ecuación 39
Con lo que queda demostrado la tercera ley, ya que el coeficiente del cubo de r es una constante.
