Estad´ıstica poblacional.

Tema 6

Estad´ıstica poblacional.

Fen´ omenos demogr´ aficos

Variable estad´ıstica ”edad a la que ocurre un suceso”

Los fen´omenos demogr´aficos que inciden en una generaci´on son la mortalidad, nupcialidad, fecundidad, emigraci´on e inmigraci´on. Por ello estudiaremos tablas que presentan cada uno de

estos fen´omenos en una determinada generaci´on.

Hay que destacar que en el estudio por generaciones es necesario gran cantidad de datos, ya que utilizaremos la informaci´on de individuos a lo largo de toda su vida. Este tipo de an´alisis es

denominado an´alisis longitudinal.

En el caso de no conocer datos por generaci´on, supondremos que el comportamiento de los individuos en una generaci´on es similar al comportamiento de ´estos en el a˜no de nacimiento. De

esta forma estaremos creando una generaci´on ficticia.

Variable estad´ıstica ”edad a la que ocurre un suceso”

En cualquier estudio longitudinal sobre un fen´omeno podremos obtener dos medidas funda- mentales que nos indicar´an el comportamiento del mismo en una generaci´on:

ˆ Intensidad ,→ Es el n´umero de sucesos que ocurren a cada una de las personas de una generaci´on. (p.e.: la mortalidad tiene intensidad 1, es decir, es un suceso fatal y no renovable).

ˆ Calendario,→ Es la distribuci´on de frecuencias de la variableedad a la que los individuos son alcanzados por el fen´omeno en estudio. Un ´ındice del calendario suele ser la edad media a la que ocurre el suceso.

Para una mejor descripci´on del fen´omeno se construyen tablas de eliminaci´on en las que se suponen poblaciones cerradas a otros fen´omenos. En cualquiera de estas tablas aparecer´an como m´ınimo tres columnas: poblaci´on afectada, n´umero de sucesos y las probabilidades de ocurrencia.

Si consideramos intervalos de edad de amplitud 1, la tabla se denomina ”completa”; en caso contrario ser´a ”abreviada” (normalmente se utilizan intervalos de amplitud 5).

Variable estad´ıstica ”edad a la que ocurre un suceso”.

Sea X la variable estad´ıstica ”edad a la que ocurre un suceso demogr´afico” donde X ∈ [0, ω].

Consideremos su distribuci´on (calendario):

ˆ x ,→ extremos inferiores de los intervalos de edad considerados de amplitud n, es decir, intervalos del tipo [x, x + n).

ˆ e(x, x + n) ,→ eventos observados entre la edad x y x + n o frecuencia de aparici´on del fen´omeno dentro de cada intervalo de edad.

A partir de la distribuci´on de frecuencias anterior, se puede obtener laedad media a la que ocurre un suceso:

¯ x =

ω−n

P

x=0

x + ⁿ₂
e(x, x + n)

ω−n

P

x=0

e(x, x + n)

Por tanto, para cada componente demogr´afica tendremos una distribuci´on de frecuencias y po- dremos calcular la edad media a la que ocurre el suceso asociado a dicha componente.

Tablas de eliminaci´on: mortalidad

Vamos a particularizar lo anterior con el fen´omeno ”mortalidad”, ya que es el m´as utilizado y de mejor comprensi´on. La descripci´on natural de la mortalidad consiste en observar un grupo cerrado de individuos a los que se sigue desde su nacimiento hasta su extinci´on completa (0, ω).

Consideramos la variable estad´ıstica ”edad a la que fallecen los individuos de una cohorte” y obtenemos su distribuci´on:

ˆ x,→ sucesi´on de aniversarios (0, . . . , ω − n)

ˆ Sx ,→ n´umero de supervivientes de la generaci´on a la edad exacta x.

ˆ d(x, x + n),→ defunciones entre la edad x y x + n

ˆ nqx,→ probabilidad de fallecer antes de cumplir la edad x + n, supuesto que ha sobrevivido hasta la edad x).

nqx= d(x, x + n)

S_x = Sx− Sx+n

S_x = 1 −Sx+n

S_x

ˆ np_x,→ probabilidad de supervivencia a la edad x + n si se ha sobrevivido a la edad x.

npx= 1 −nqx= Sx+n

S_x

Tablas de eliminaci´on: mortalidad Gr´aficamente:

En la p´agina siguiente, se muestra una tabla de mortalidad (completa) para la generaci´on femenina francesa de 1820, en la que aparecen cuatro columnas: extremos inferiores de los inter- valos, supervivientes a cada edad exacta, n´umero de defunciones en cada intervalo y probabilidad de fallecer en dicho intervalo.

Tablas de eliminaci´on: mortalidad Respecto a laintensidadde este fen´omeno tenemos que:

I =

ω−n

P

x=0

d(x, x + n)

S₀ = 1

y elcalendario es la distribuci´on de frecuencias absolutas {(x, x + n), d(x, x + n)} o relativas:



(x, x + n),d(x, x + n) S₀



Como para cualquier variable estad´ıstica, es posible ofrecer una serie medidas que sinteticen la informaci´on que proporciona, como la media, moda o mediana.

Si obtenemos la media de la distribuci´on, estamos hallando laesperanza de vida al nacimiento (e0)que ofrece el n´umero medio de a˜nos que les queda por vivir a los reci´en nacidos. Tambi´en es posible hallar la esperanza de vida a las diferentes edades.

Tablas de eliminaci´on: mortalidad

C´alculo de la esperanza de vida al nacimiento

Supongamos (por simplicidad) que la amplitud de los intervalos de edad es la unidad. Entonces:

e₀=

ω−1

P

x=0

x + ¹₂
d(x, x + 1)

ω−1

P

x=0

d(x, x + 1)

=

ω−1

P

x=0

x +¹₂
d(x, x + 1)

S₀ =

1

S₀(0.5d(0, 1) + 1.5d(1, 2) + 2.5d(2, 3) + . . . + ((ω − 1) + 0.5)d(ω − 1, ω)) = 1

S0

(0.5(S₀− S1) + 1.5(S₁− S2) + 2.5(S₂− S3) + . . . + ((ω − 1) + 0.5)(S_ω−1− Sω)) = 1

S0

(0.5S0+ S1+ S2+ S3+ . . . + Sω−1)

ya que Sω= 0. Con todo ello, queda la siguiente expresi´on para la esperanza de vida al nacimiento en una tabla completa:

e₀= 0.5 +S₁+ S₂+ S₃+ . . . + S_ω−1 S0

Tablas de eliminaci´on: mortalidad

otra forma de c´alculo de la esperanza de vida al nacimiento

La obtenci´on de la esperanza de vida al nacimiento para intervalos de amplitud 1 es bastante simple, pero ¿qu´e ocurre si la tabla es abreviada e incluso si en la tabla se mezclan distintas ampli- tudes? ¿Y si queremos calcular la esperanza de vida a cualquier edad x?. El problema se complica.

Por este motivo, vamos a hallar una expresi´on de dicha esperanza aprovechando el hecho de que esta cantidad puede ser obtenida como el cociente del tiempo total vivido por todos los individuos de la generaci´on y el n´umero de individuos que la componen (bajo la hip´otesis de uniformidad en la ocurrencia de las defunciones):

e₀=T0

S₀

Entonces, pasemos a hallar T0. Si nos fijamos en el primer intervalo de edad(0,1)sabemos que todos los individuos de la generaci´on que han cumplido un a˜no S1, han vivido un a˜no, por lo que todos ellos habr´an vivido 1 · S1a˜nos. Por otro lado y bajo la hip´otesis de uniformidad, los que han fallecido en dicho intervalo habr´an vivido por termino medio la mitad del a˜no, as´ı que en conjunto tendremos 0.5 · d(0, 1) a˜nos.

Tablas de eliminaci´on: mortalidad

Si discurrimos de forma an´aloga en todos los intervalos, podemos obtener T0 de la siguiente forma:

T0= S1+ 0.5d(0, 1) + S2+ 0.5d(1, 2) + S3+ 0.5d(2, 3) + . . . + Sω+ 0.5d(ω − 1, ω) = S₁+ 0.5(S₀− S1) + S₂+ 0.5(S₁− S2) + S₃+ 0.5(S₂− S3) + . . . + S_ω+ 0.5(S_ω−1− Sω) =

0.5S0+ S1+ S2+ S3+ . . . + Sω−1

por lo que hemos llegado a la misma expresi´on de la esperanza de vida al nacimiento.

esperanza de vida a cualquier edad

Supongamos ahora que queremos hallar la esperanza de vida a los 20 a˜nos en una tabla de mortalidad generacional de amplitud 5; tendremos que e₂₀ = ^T_S²⁰

20, ya que deberemos obtener el n´umero medio de a˜nos vividos por cada individuo a partir los 20 a˜nos.

Si analizamos el primer intervalo(20,25)tendremos que todos los individuos que han sobrevivido a los 25 a˜nos, han vivido en dicho intervalo 5 a˜nos completos (en total, 5·S25); los fallecidos en este intervalo habr´an vivido en media 2.5 a˜nos (bajo hip´otesis de uniformidad) y entre todos contar´an 2.5 · d(20, 25).

Tablas de eliminaci´on: mortalidad

Razonando del mismo modo en todos los intervalos nos queda:

T20= 5S25+ 2.5d(20, 25) + 5S30+ 2.5d(25, 30) + 5S35+ 2.5d(30, 35) + . . . + 5Sω+ 2.5d(ω − 5, ω) = 5S₂₅+ 2.5(S₂₀− S25) + 5S30+ 2.5(S₂₅− S30) + 5S35+ 2.5(S₃₀− S35) + . . . + 5Sω+ 2.5(S_ω−5− Sω) =

2.5S20+ 5S25+ 5S30+ 5S35+ . . . + 5Sω−1

por lo que dividiendo por S20 nos aparece la expresi´on final de la esperanza de vida a los 20 a˜nos:

e₂₀= 2.5 +5 (S₂₅+ S₃₀+ S₃₅+ . . . + S_ω−5) S20

por lo que si decimos por ejemplo, que la esperanza de vida a los 20 a˜nos en una generaci´on es de 35 a˜nos, sabemos que un individuo de 20 a˜nos vivir´a en media 35 a˜nos m´as.

Tablas de eliminaci´on: mortalidad

En general para unatabla de mortalidad completa, tendremos:

e₀= 0.5 +S₁+ S₂+ S₃+ . . . + S_ω−1 S0

ex= 0.5 +Sx+1+ Sx+2+ Sx+3+ . . . + Sω−1

S_x

y para una tabla de mortalidad abreviada en la que la amplitud de ”todos” los intervalos es n, queda:

e0= n

"_S

0

2 + Sn+ S2n+ . . . + Sω−n

S0

#

ex= n

"_S

x

2 + Sx+n+ Sx+2n+ . . . + Sω−n

Sx

#

y en el caso de que los intervalos tengan distinta amplitud, habr´a que desarrollar y obtener la expresi´on de la esperanza de vida, con las amplitudes consideradas.

Tablas de eliminaci´on: mortalidad

Ejercicio: A partir de la siguiente informaci´on sobre mortalidad de una generaci´on:

x Sx

90 1150 91 844 92 607 93 427 94 295 95 200 96 133

97 86

98 35

99 14

100 0

1. Obtenga el n´umero de defunciones y el cociente de mortalidad en cada intervalo.

2. ¿Cu´al es la probabilidad de que un individuo con 91 a˜nos fallezca antes de los 92?

3. ¿Cu´al es la probabilidad de que un individuo con 90 a˜nos fallezca antes de los 92?

4. Calcule la esperanza de vida a los 90 a˜nos.

Tablas de eliminaci´on: mortalidad 1. Si calculamos las dos series que nos solicitan queda:

2. Observando los cocientes de la tabla anterior: 0,281

Tablas de eliminaci´on: mortalidad

3. En este caso, la probabilidad no aparece en la tabla, pero si observamos lo que nos solicitan:

2q₉₀= 306 + 237

1150 = 0, 472

4. La esperanza de vida a los 90 a˜nos ser´a, sustituyendo en la expresi´on:

e₉₀= 0.5 +S91+ S92+ . . . + S99

S₉₀ = 2, 83 a˜nos

Tablas de eliminaci´on: mortalidad

Ejercicio: Supongamos que de una generaci´on, conocemos que S25= 3500, S30= 3250, S60= 2280, S80= 990, S100= 0. Calcule la esperanza de vida a los 25 a˜nos.

En esta ocasi´on no podemos aplicar ninguna de las expresiones de c´alculo vistas anteriormente, por lo que pasamos a desarrollarla:

e₂₅=T25

S₂₅ ⇒ T₂₅= 5 · S₃₀+ 2.5 · d(25, 30) + 30 · S₆₀+ 15 · d(30, 60)+

20 · S₈₀+ 10 · d(60, 80) + 20 · S₁₀₀+ 10 · d(80, 100) =

= 5 · S30+ 2.5 · (S25− S30) + 30 · S60+ 15 · (S30− S60)+

+20 · S80+ 10 · (S60− S80) + 20 · S100+ 10 · (S80− S100) =

= 2.5 · S₂₅+ 17.5 · S₃₀+ 25 · S₆₀+ 20 · S₈₀+ 10 · S₁₀₀⇒ e25=2.5 · S25+ 17.5 · S30+ 25 · S60+ 20 · S80

S₂₅ = 40, 69 a˜nos

(ya que S100= 0)

Por tanto, una persona con 25 a˜nos tiene una esperanza de vida de 40, 69 a˜nos m´as.

Vamos a suponer que el comportamiento poblacional en lo que se refiere al fen´omeno mortal- idad en la generaci´on de t (an´alisis longitudinal), es similar al comportamiento en el a˜no de observaci´on t (an´alisis transversal):

En este segundo caso, no es posible la obtenci´on de los cocientes de mortalidad; solamente se pueden construir las tasas espec´ıficas de mortalidad por edad, ya que la ´unica informaci´on que tendremos son las defunciones por edad en un periodo y la poblaci´on (stock) por edad en un instante:

An´alisis estad´ıstico de la mortalidad: construcci´on de la tabla de mortalidad

Por este motivo, ser´a necesario estimar los cocientes de mortalidad por edad a partir de las tasas que se calculan con los datos observados en un periodo. La estimaci´on de estos cocientes se tratar´a m´as adelante. Veamos entonces las columnas que va a tener latabla de mortalidad de momento:

ˆ x,→ edad exacta a inicio del intervalo (x, x + n) donde x ∈ (0, ω − n) siendo n la amplitud de los intervalos considerados.

ˆ nP¯_x,→ poblaci´on media del periodo observado en el intervalo (x, x + n)

ˆ nD_x ,→ n´umero de defunciones observadas en el intervalo (x, x + n).

ˆ nm_x ,→ tasa espec´ıfica de mortalidad en el intervalo (x, x + n):

nmx=ⁿDx nP¯_x

ˆ nqˆ_x,→ cociente de mortalidad estimado en el intervalo (x, x + n).

ˆ npˆx,→ probabilidad de supervivencia estimada en el intervalo (x, x + n), siendonpˆx= 1 −nqˆx

Cuando los cocientes de mortalidad han sido estimados, se procede a generar las series o colum- nas de la tabla de mortalidad asociada a la generaci´on ficticia, debiendo escoger una ra´ız de la misma que suele tomarse como potencia de 10, es decir, l0= 10^k:

ˆ l_x ,→ n´umero de supervivientes a la edad exacta x, de forma que:

l0= 10^k lx+n= lx− (lx·nqˆx)

ˆ nd_x,→ n´umero de defunciones de individuos de la generaci´on ficticia en el intervalo de edad (x, x + n):

d = l − l

An´alisis estad´ıstico de la mortalidad: construcci´on de la tabla de mortalidad

ˆ a_x,→ coeficiente de reparto de las defunciones a la edad x (tambi´en llamado fracci´on media de a˜nos vividos en el intervalo (x, x + 1) ). En el caso de que supongamos que las defunciones ocurren uniformemente dentro del intervalo, este coeficiente es igual a 0.5. Normalmente su valor solamente var´ıa en los primeros y ´ultimos intervalos de edad, ya que por ejemplo, en el intervalo (0, 1), la mayor´ıa de las defunciones ocurren poco despu´es del nacimiento por lo que el tiempo medio vivido por estos ni˜nos en dicho intervalo ser´a bastante bajo (ax< 0.5).

Adem´as, cada Instituto de Estad´ıstica toma sus propios ax, como resultado de sus an´alisis emp´ıricos.

ˆ nAx ,→ coeficiente de reparto de las defunciones en el intervalo (x, x + n):

nAx= n · ax

ˆ nLx ,→ poblaci´on estacionaria de la tabla (o tiempo vivido por todos los individuos en el intervalo (x, x + n)). Esta serie representa la estructura por edad que tendr´ıa una poblaci´on cuya mortalidad fuera la de la tabla y para la que dicha mortalidad, as´ı como el n´umero de nacimientos se mantuviera constante en el tiempo.

nL_x= n · l_x+n+ n · a_x·_nd_x=

n · lx+n+nAx(lx− lx+n) = (n −nAx)lx+n+nAxlx= (n − nax)lx+n+ naxlx= n((1 − ax)lx+n+ axlx)

An´alisis estad´ıstico de la mortalidad: construcci´on de la tabla de mortalidad y en el caso de que ax= 0.5 queda:

nLx= nlx+n+ nⁿdx

2 = n



lx+n+lx− lx+n

2



= n l_x+ lx+n

2



ˆ Tx,→ tiempo vivido por todos los individuos desde la edad x hasta el final de la vida (ω):

T_x=

ω−n

X

i=x

(_nL_i)

ˆ ˆex,→ esperanza de vida estimada a la edad x (tiempo medio estimado que le queda por vivir a un individuo que ha alcanzado la edad x):

ˆ ex=T_x

lx

An´alisis estad´ıstico de la mortalidad: construcci´on de la tabla de mortalidad

En cualquier tabla de mortalidad real, nos vamos a encontrar con un intervalo de edad abierto (el ´ultimo); en este caso, se debe tener en cuenta lo siguiente:

qω= 1 d_ω= l_ω L_ω= lω

m_ω T_ω= L_ω e_ω= T_ω

lω

= L_ω lω

=

l_ω m_ω

lω

= 1 mω

En la estimaci´on de la esperanza de vida en el ´ultimo intervalo, a veces tambi´en cada Instituto de Estad´ıstica fija la esperanza de vida en el intervalo abierto; es usual ver en una tabla que termina en 100 a˜nos como la esperanza de vida se ha fijado en 0.5.

An´alisis estad´ıstico de la mortalidad: construcci´on de la tabla de mortalidad

Existen diversos procedimientos para estimar el cociente de mortalidad a partir de la tasa observada; todos ellos, propuestos por distintos autores son igualmente v´alidos y proporcionan resultados bastante semejantes, por lo que usualmente se utiliza aqu´el cuya expresi´on es m´as sencilla (m´etodo actuarial o lineal). Dicho m´etodo estima el cociente de mortalidad de la siguiente forma:

nqˆ_x= 2 · n ·nmx

2 + n ·_nm_x

Ejercicio: Construya la tabla de mortalidad de momento para una poblaci´on mediante el m´etodo actuarial o lineal con a_x= 0.5, utilizando como ra´ız de la misma 1000 individuos y conociendo los datos de poblaci´on y defunciones en las primeras edades (T₁₀= 65000).

An´alisis estad´ıstico de la mortalidad: construcci´on de la tabla de mortalidad

Con la informaci´on dada, calculamos las tasas espec´ıficas; a partir de ellas, estimamos el cociente de mortalidad aplicando la expresi´on del m´etodo actuarial. Hecho esto, tomamos l0= 1000, que multiplicamos por el cociente estimado (0, 00498753) para calcular las defunciones (redondeando, 5). A continuaci´on restamos l₀ = 1000 − 5, apareciendo el n´umero de supervivientes al a˜no de edad (995), que volveremos a multiplicar por el cociente (0, 03921569) y obtendremos las 39 defunciones del intervalo [1, 5). As´ı sucesivamente...A continuaci´on, calculamos el tiempo vivido en cada intervalo_nL_xa trav´es de su expresi´on. El tiempo vivido a partir de la edad x no se puede calcular, puesto que no tenemos los datos de toda la tabla; como s´ı sabemos que T10 = 65000, bastar´a ir acumulando dicha cantidad, agregando la columna denLx. Por ´ultimo, la esperanza de vida; en este caso, se ha obtenido una esperanza de vida al nacimiento de 74,6 a˜nos.