Análisis estructural con el método del elemento finito asistido por computadora

       

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

 

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y AR QUITECTURA  UNIDAD Z ACAT E NCO

               

“ANÁLISIS ESTRUCTURAL CON EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO ASISTIDO POR COMPUTADORA”

       

T  E  S  I  S

 

Par a Obtener  El Titulo De:

 

INGENIERO CIVIL  

     

PRESENTA: PÉREZ VILLAR LUIS ALBERTO.

           

ASESOR: ELIU ROSETE CARRANCO.

         

México D. F.        Febr er o/2003.

           

ANÁLISIS   ESTRUCTURAL   CON   EL   MÉTODO   DEL ELEMENTO   FINITO   ASISTIDO   POR   COMPUTADORA

   

CONTENIDO          

Agradecimientos  

I.      Introducción y Objetivo.       

 

1.1 Objetivo.      

1.2 Introducción.      

1.3 Breve Historia del Elemento Finito.       

1.4 Aplicaciones.      

 

II.       Método del Elemento Finito.       

 

2.1 Armaduras.      

 

2.1.1       Obtención de la Matriz de Rigideces.      

2.1.2       Ejemplo Numérico de Armaduras.      

     

2.2 Marcos.       

 

2.2.1       Obtención de la Matriz de Rigideces.      

2.2.2       Ejemplo Numérico de Marcos.       

2.2.3       Obtención de la Matriz de Rigideces para Vigas.       

2.2.4       Ejemplo Numérico de Vigas.      

 

2.3 Esfuerzos y Deformaciones en el Plano.       

 

2.3.1       Matriz de Rigideces para Elementos Triangulares.      

2.3.2       Ejemplo Numérico.       

2.3.3       Matriz de Rigideces para Elementos Rectangulares. 

2.3.4        Ejemplo Numérico.      

 

III.      Programas de Computadora

 

3.1 Diagramas del Programa.      

 

3.2 Manual del Usuario.      

 

3.3 Ejemplos Calculados por Programas.

 

3.3.1       Ejemplo Armadura.      

3.3.2       Ejemplo Marco.       

3.3.3       Ejemplo Viga.       

3.3.4       Ejemplo Placa Triangular.       

3.3.5       Ejemplo Placa Rectangular.       

 

IV.       Comentarios y Recomendaciones.       

 

V.      Listado del Programa.       

 

VI.       Ejemplos Complementarios       

 

6.1 Ejemplo de Placa Triangular de 64 Elementos.      

6.2 Ejemplo de Placa Rectangular de 16 Elementos.      

 

VII.      Bibliografía.      

                 

             

AGRADECIMIENTOS

     

    Ante todo mis padres serán siempre las personas con quienes yo estaré muy agradecido, por su apoyo en mis decisiones, y  porque  siempre estuvieron a mi lado aun cuando hubiese cometido errores, nunca faltó una palabra de aliento. Ellos fueron mi  guía pero más que eso una bendición en mi camino. En mi vida podré decir que algo me falto. Ahora con todo orgullo presento  ante ellos el resultado de tantos años de esfuerzo y dedicación. 

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         Por otro lado mis profesores quienes fueron otra parte esencial para mi formación Profesional también tienen un lugar  especial en mi vida aun cuando varios de ellos no me logren recordar.

       

         Mis compañeros Ana, J ulio, Héctor, Nely, Omar, quienes compartieron junto conmigo momentos inolvidables los llevaré en  mi corazón para toda mi vida. 

 

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C  C C  a  a a  p  p p  i it  i  t  t u  u u  l l l  o  o  o  I  I I  I  I  I n  n n  t  t t  r   r r   o  o o  d  d d  u  u u  c  cc  c  c  c i i i  ó  ó ó  n  n y  n  y  y  o  ob  o  b  b j  j j  e  et  e  t  t i iv  i  v  vo  o  o 

Introducción y Objetivo 

OBJ ETIVO 

Ya  que  en  la  actualidad  existen  programas  de  Análisis  y  Diseño  Estructural  muy  sofisticados tales como STAAD III, SAP 2000, Tricalc 5.2, etc., la finalidad de esta Tesis, al  crear  un  programa,  no  es  la  de  igualar  ni  mucho  menos  superar  la  capacidad  de  estos  programas,  por  el  contrario  se  pretende  ayudar  al  aprovechamiento  de  estos.  Esto  se  pretende lograr a través de dos pasos fundamentales. El primero paso es dar a conocer los  conceptos básicos y el Método del Elemento Finito, método con el cual la mayoría de los  programas trabajan. 

La otra parte importante que se requiere para el cumplimiento de este objetivo es la  Programación del Método, esto con la finalidad de esclarecer el concepto de cada dato que  se da para el  funcionamiento de estos programas, así como la  interpretación de resultados  que estos proporcionan, en cuanto a Análisis se refiere. 

INTRODUCCIÓN 

El  acelerado  desarrollo  de  las  computadoras  ha  revolucionado  tanto  la  práctica  como  la  investigación  en  los  campos  de  la  ciencia  y  la  ingeniería.  En  la  década  de  los  noventa  las  computadoras  se  modificaron  rápidamente  adquiriendo  potencialidad  en  memoria  y  graficación.  El  sueño    de  que  cada  firma  de  ingeniería  tendría  un  equipo  completo  de  computación  ha  llegado  a  ser  una  realidad.  En  la  década  de  los  noventa  las  computadoras llegaron a ser tan populares tanto como las calculadoras de bolsillo lo fueron  en la década de los ochenta y a su vez como las reglas de cálculo lo fueron en los sesentas y  setentas.  Esta tendencia  ha  incluido  los  Métodos  de  Análisis  y  Diseño    que  proporcionan  una  solución  computarizada  a  los  problemas  de  ciencias  e  ingeniería,  convirtiéndose  ésta  práctica  en  una  rutina  diaria.  Esta  Tesis  se  concentrará  en  el  significativo  método  del  Elemento  F inito.  Aunque  éste  método  es  aplicable  a  muchos  campos  de  las  Ciencias  e  Ingeniería, el enfoque será hacia el análisis estructural. 

El  método  del  elemento  finito  ha  sido  fértil  en  el  campo  de  la  investigación. 

También se le ha  utilizado como una herramienta de la investigación en los experimentos  numéricos.  Más  importante  aún,  el  método  del  elemento  finito  ha  llegado  a  ser  una  herramienta  para  el  diseño  y  análisis  estructural,  la  cual  es  empleada  por  los  ingenieros  especialistas en estructuras. Por lo anterior, es necesario que los Ingenieros tomen un curso  formal  de  éste  método,  mientras  que  los  Arquitectos  deben  de  recibir  un  curso  elemental  enfocado a  la modelación de estructuras tanto en el plano como en el espacio. El objetivo  en esta Tesis es incluir ambas necesidades. 

El método del elemento finito en el análisis estructural es una técnica que discretiza  una  estructura  en  un  conjunto  o  diferentes  conjuntos  de  componentes  estructurales,  llamados elementos finitos, que poseen similaridad tanto en propiedades geométricas como  en  el  comportamiento  físico.  Por  ejemplo  una  estructura  compuesta  de  trabes,  columnas,  muros y losas, puede modelarse usando elementos finitos tipo barra para trabes y columnas,  elementos  finitos  tipo  placa  para  losas  y  elementos  finitos  tipo  panel  para  muros;  en  éste

puntos llamados nodos. 

En  todos  los  puntos  nodales  se  aplican  fuerzas  y  todos  los  nodos  están  sujetos  a  desplazamientos, conocidos como grados de libertad. En general, a los nodos no solo se les  aplican  fuerzas  y  desplazamientos.  También  es  posible  aplicar  cantidades  físicas  relacionadas  a  calor,  fluidos,    electricidad,  y  otras  más.  Así,    se  genera  un  conjunto  de  ecuaciones  lineales  simultaneas  que  representan  las  variables  físicas.  Físicamente,  el  ensamble  de  todos  esos  elementos  finitos  representa  el  planteamiento  de  las  ecuaciones  matemáticas  que  rigen  el  problema.  Al  imponer  condiciones  de  frontera  al  modelo  de  la  estructura, se conocen las incógnitas o desplazamientos en el caso de estructuras, que a su  vez  son  utilizadas  para  determinar  los  elementos  mecánicos  o  los  esfuerzos  y  deformaciones en los nodos y/o en el interior de cada elemento finito. 

BREVE HISTORIA DEL ELEMENTO FINITO 

Los conceptos de discretización  y  aproximación  numérica para resolver  problemas  de ciencias e ingeniería son la base para la formulación del método del elemento finito. La  aproximación geométrica más antigua lleva a  las pirámides egipcias, hace 5000 años. Por  otro lado, la aproximación numérica más antigua podría ubicarse en los registros históricos  de China, Egipto y Grecia. 

Los  registros  muestran  que  los  Chinos  calcularon  el  valor  aproximado  de p  en  el  primer siglo de nuestra era, con un valor de 3.1547, siendo usado para calcular el volumen  de un cilindro. En el segundo siglo E.C.  el Astrónomo Chang Heng aproximó el valor de p  como  3.1466  (730/232)    y ¨10.  Para  el  año  230  E.C.  Wang  Fan  usó p  como  3.1466  (142/45).  En  la  dinastía  del  oriental  Jihn  (265­317  E.C.),  Liu  Hui  en  su  Comentario  de  Matemáticas  ,  usó  un  polígono  regular  inscrito    en  un  circulo  para  aproximar  la  circunferencia  y  encontró que  el  valor para p  igual a 3.1416 (3927/1250); es  interesante  notar que él usó 3072 lados iguales en el polígono citado, es decir , 3072 elementos finitos. 

En la dinastía de Sung y Chi, el Matemático Tzu Tzon Tze(429­500 E.C.), usó un polígono  de 24576 lados iguales para obtener una mejor aproximación, siendo el valor  3.1415926 <

p < 3.1415927. 

De acuerdo con el manuscrito Ahmes, se muestra que para 1500 A.C. , los Egipcios  usaban ¨10  como  valor  de p.  Un  papiro  de  tiempos    mas  tempranos,  ahora  en  Moscú,  indica que los egipcios usaron la fórmula para el volumen de una pirámide y el área de un  círculo  de  manera  aproximada  en  1800  A.  C..  Arquímedes,  uno  de  los  primeros  Matemáticos e  inventores, utilizó el concepto de elemento finito para calcular  el  volumen  de sólidos. 

De forma mas rigurosa, en el contexto estructural, las soluciones tanto en elasticidad  como  en  análisis  estructural  tuvieron  un  inicio  del  Método  del  Elemento  Finito  con  Timoshenko, pero si se considera que el análisis de marcos establece el inicio del método  del  Elemento  Finito,  entonces  los  pioneros  fueron  Castigliano,  Mhor  y  Maxwell,  entre  otros, en el periodo 1850­1875. 

En  1915,  Maney  de  los  Estados  Unidos  de  Norteamérica,  presentó  el  Método  Pendiente­Deformación, expresando los momentos en términos de desplazamientos lineales

Introducción y Objetivo 

y angulares en los nodos de la estructura, lo cual es una de las formulaciones  para plantear  el  Método  de  las  Rigideces  y  un  desarrollo  similar,  fue  planteado  por  Ostenfeld  en  Dinamarca.  En  el  año  1929,  Hardy  Cross  hizo  público  un  Método  para  analizar  marcos  basado en distribuciones angulares, el cual se utilizó por los siguientes 35 años. 

En forma paralela a los primeros trabajos sobre análisis de estructuras reticulares, se  resolvieron  problemas  de  Mecánica  del  Medio  continuo  usando  una  analogía  con  estructuras formadas por barras diagonales para generar mallas con elementos triangulares. 

A  principios  de  los  años  cuarenta  Courant  propuso  funciones  de  interpolación  polinomionales por secciones para formular subregiones triangulares como un caso especial  del Método Variacional de Rayleigh­Ritz, que obtiene soluciones aproximadas. 

Actualmente,  el  Método  del  Elemento  Finito  es  utilizado  con  la  ayuda  de  las  computadoras, lo cual ha contribuido a su desarrollo al mismo ritmo que las computadoras. 

Las publicaciones clásicas por Argyris y Kelsey a mediados de los 50´s, hicieron surgir los  conceptos  de  análisis  de  marcos  discretizando  no  solo  en  nodos  sino  además  en  puntos  intermedios de las barras y análisis de un continuo, lo que marcó un crecimiento explosivo  en el Método del Elemento Finito. 

Basándose  en  el  planteamiento  estático  del  Elemento  Finito,  se  han  ampliado  las  aplicaciones  que  incluyen  diversos  efectos  físicos  y  vibraciones  en  el  Análisis  Dinámico,  pandeo  y  post­pandeo,  no  linealidades  en  la  geometría  y  en  el  material,  efectos térmicos,  interacción  entre  fluidos  y  estructuras,  aeroelasticidad,  interacción  acústica­estructura,  teoría  de  la  fractura,  estructuras  laminadas,  propagación  de  oleaje,  dinámica  estructural,  respuesta dinámica aleatoria, y muchas más aplicaciones. Como una consecuencia de tantos  campos  de estudio, el uso de los programas de computadora orientados a cada caso, se han  convertido en una práctica en los sitios involucrados en el análisis estructural. 

APLICACIONES 

Aquí  se  describen  varias  clases  de  elementos  finitos:  barras  de  armadura  (bajo  el  efecto de carga axial), barras de marcos (bajo los efectos de carga axial, fuerza cortante y  momento  flexionante),  esfuerzos  y  deformaciones  en  el  plano  con  elementos  finitos  triangulares y rectangulares. Cabe mencionar que otros tipos de elementos finitos, fuera del  alcance de ésta Tesis son elementos tipo placa bajo cortante y flexión, elementos curvos de  cascaron  delgado  con  geometría  triangular  rectangular  y  trapecial,  elementos  tridimensionales para esfuerzos y deformaciones con geometría de tetraedros y hexaedros y  algunos más. 

Para  ilustrar  la  aplicabilidad  del  método  en  casos  prácticos,  se  presentan  algunos  ejemplos con la ayuda de algunas figuras. La figura 1.1 muestra la modelación  del fuselaje  y  el  ala  de  un  avión,  usando  elementos  finitos  de  los  tipos  barra,  placa  y  cascarón.  El  modelo detallado de una sección que tiene un hueco, demuestra la versatilidad del método. 

Este  modelo  puede  ser  usado  para  un  análisis  estático  de  esfuerzos,  vibración  libre,  respuesta al impacto en aterrizaje, movimientos bruscos e irregulares en los paneles y alas,  y optimización de peso mínimo y resistencia máxima.

La figura 1.2 muestra un ejemplo del modelo de un edificio alto de 30 o 40 niveles,  usando  elementos  viga,  columna  y  placa.  Este  modelo  puede  ser  usado  para  análisis  estático, vibración libre, análisis dinámico y análisis aleatorio de viento. 

Figura 1.1 

Figura 1.2

Introducción y Objetivo 

La figura 1.3 muestra el modelo exterior de un antiguo generador que usando vapor  genera combustible. El modelo, que consiste de una estructura metálica que sostiene al  generador, usa elementos finitos viga, columna y placa, con un total de 1860 grados de  libertad. Se observa en la figura que la estructura está vibrando en su tercer modo de 

vibración, con una frecuencia natural de 1.1 Hertz. Tanto las frecuencias de vibración como  los modos, se utilizan para un análisis de la respuesta sísmica. 

La figura 1.4 muestra el modelo de una torre de enfriamiento con una imperfección  o falla local. Las columnas se modelan con elementos barra que consideran los efectos de  axial, cortante, flexión y torsión. El cascaron hiperbólico se modela con elementos curvos  de cascaron con geometría de cuadriláteros. En  la zona de  falla se requieren cuadriláteros  pequeños.  Cuadriláteros  grandes  y  pequeños  se  unen  con  elementos  triangulares  curvos. 

Este modelo puede usarse para análisis dinámico bajo sismos y análisis aleatorio de viento. 

Si la falla inicial se considera en el análisis el comportamiento llega a tener no linealidad en  la geometría. 

Figura 1.3

La  figura  1.5  muestra  una  estructura  reticular  espacial  larga  y  flexible,  con  una  geometría repetitiva en las celdas. La estructura puede modelarse con una gran cantidad de  barras tipo armadura o con un número relativamente pequeño de elementos tipo placa, cuyo  continuo  contenga  las  propiedades  de  unas  pocas  celdas.    El  modelo  se  usa  para  análisis  dinámico.

La  figura  1.6  muestra  el  modelo  del  cinturón  radial  de  un  neumático  usando  elementos  de  cascarón  asimétricos  laminares.  El  modelo  puede  ser  usado  para  análisis  estático  con  grandes  desplazamientos  al  inflar  el  neumático,  vibración  libre  de  un  neumático  inflado  y  respuesta  dinámica.  Para  cargas  durante  la  operación  de  rodado    se  requieren  cuadriláteros. 

Figura 1.4 

Figura 1.5

Introducción y Objetivo 

Con  el  propósito  de  ilustrar  el  poderío  gráfico  y  la  utilidad  de  éste  para  modelar  estructuras  de  geometría  compleja,  la  figura  1.7  muestra  superficies  curvas  ajustadas  por  funciones B­spline. Los nodos de la malla y sus coordenadas se almacenan en una base de  datos  para  ser  utilizados  en  un  modelo  con  elementos  finitos.  Dicha  estructura  puede  ser  modelada  con  una  gran  cantidad  de  elementos  planos  tipo  placa  o  con  un  número  relativamente pequeño de elementos curvos tipo cascaron delgado. 

Figura 1.6 

Figura 1.7

C  C C  a  a a  p  p p  i i i  t  t t  u  u u  l lo  l  o  o  I  I I  I  I I  I  I P  I  P  P r   r r   o  o o  g  g g  r   r r   a  a a  m  m m  a  a a  s  s  s 

Diagr ama de bloques del Pr ogr ama. 

Manual del Usuar io. 

Programas 

Diagrama y Manual 

PROGRAMA

 

DIAGRAMA DE BLOQUES DEL PROGRAMA 

Rutina principal:  Entrada  de  Datos  /  Lectura  de  Datos,  Verificación  de  la  Geometría,  Rigideces y Propiedades Elásticas, Ensamble, Solución de sistema de  ecuaciones, Fuerzas Finales, Diagramas (opcional), Salida (opcional),  Fin del Programa. 

Entrada de datos:  Opción para la creación de un archivo y guardarlo en disco, o Abrir  uno existente. Definición del número de grados de libertad por nodo. 

Calculo  de  las  propiedades  geométricas  y  mecánicas  de  cada  Elemento y asignación de Fuerzas a cada Nodo. 

Verificación de la geometría:  Opción  para  continuar  o  salir  después  de  haber  verificado la geometría en forma visual. 

Rigidez:  Calculo  de  Matriz  de  Rigideces  y  Propiedades  Elásticas  para  cada  Elemento según sea el tipo de estructura. 

Ensamble:  Obtención  del  número  de  ecuaciones.  Tamaño  de  la  Matriz  total  de  Rigideces y generación del Vector Cargas. 

Solución del sistema de ecuaciones:  La solución del sistema se obtiene por el método de  Cholesky. 

F uerzas F inales:  Calculo  de  Elementos  Mecánicos  /  Esfuerzos  por  Elemento  y  transformación del sistema global al local. 

Diagramas:  Opción  para  la  presentación  de  los  diagramas  de  Cortantes  y  Momentos (opción solo aplicable estructuras de tipo Marco) 

Salida:  Opción para imprimir los resultados obtenidos en un archivo. 

F in del programa. 

Nota: El listado del programa se puede encontrar en el Apéndice I

MANUAL DEL USUARIO

 

ALCANCE. 

Este  programa  esta  capacitado  solo  para  el  análisis  estructural  de  Armaduras  y  Marcos en el plano así como el caculo de esfuerzos en placas planas del tipo Triangular y  Rectangular. 

MENÚ. 

Debido  a  que  las  personas  tenemos  ciertas  preferencias  en  cuanto  al  modo  de  trabajar  el  programa  tiene  dos  opciones  para  ingreso  de  datos  (figura  3.1.1):  la  primera  consiste  en  abrir  un  archivo  ya  existente  en  el  que  se  pueden  proporcionar  los  datos  en  forma  escrita,  en  la  segunda  opción  se  crea  un  archivo  por  medio  del  programa  para  ser  utilizado  más  tarde  las  veces  que  se  desee.  Cabe  aclarar  que  la  segunda  opción  es  más  grafica, sin embargo, aún sabiendo esto algunas personas prefieren la primera. 

Figura 3.1.1

Programas 

Diagrama y Manual 

PRIMERA OPCIÓN PARA LA ENTRADA DE DATOS 

Para  este  se  recomienda  la  creación  del  archivo  con  la  ayuda  del  Bloc  de  notas  o  cualquier otro editor de texto que permita tener las propiedades de “solo texto”. 

En primera instancia se hará el listado general del tipo de datos a proporcionar. 

A.  Tipo de Estructura a analizar. 

B.  Número de Nodos. 

C.  Número de Elementos. 

D.  Indicador de Apoyo. 

E.  Incidencias. 

F.  Coordenadas. 

G.  Modulo de elasticidad. 

H.  Sección transversal (sólo para los casos de Armaduras yMarcos). 

I.  Momento de Inercia (sólo para el caso de Marcos). 

J.  Espesor (para los casos de Placas Plana Triangulares o Rectangulares). 

K.  Modulo de Poisson (Placas Planas). 

L.  Numero de Cargas. 

M.  Indicadores de la Carga. 

A. Tipo de Estructura a analizar. 

Este se indica con un carácter del cual se tienen las opciones siguientes: 

a  Indica  que  la  estructura  se  analizará  como  una  Armadura  (solo  se  considerará Fuerza Axial). 

m  La  estructura  se  analizará  como  un  Marco  (se  considerará  Fuerza  Axial  Cortante y Flexión). 

t  La  estructura  se  analizará  como  Placa  Plana  del  tipo  Triangular  (se  calcularán Esfuerzos). 

r  Al  igual  que  el  anterior  hace  referencia  a  una  Placa  pero  del  tipo  Rectangular. 

Nota:  Para el caso de vigas el programa se puede usar en modo Marcos.  B. Número de nodos. 

Continuamos con el número de Nodos, este es igual al numero de puntos incidentes  entre los elementos de la estructura.

C. Número de Elementos. 

Hace referencia al número de Barras o Placas según sea el tipo de estructura que se  halla declarado anteriormente. 

D. Indicador de Apoyo. 

Este se declara como un numero entero y tiene dos opciones a elegir que se aplican  a  cada  Nodo  por  lo  que  el  número  de  indicadores  será  igual  al  número  de  nodos.  A  continuación se describen estas dos opciones: 

1  Indica que el Nodo referido se encuentra apoyado lo que significa que tiene ciertos  grados  de  libertad  restringidos.  En  otras  palabras  tiene  restricciones  de  desplazamiento en determinados ejes (Xó Y) o impedimento de giro. 

Esto  da  cabida  a  indicar  el  tipo  de  apoyo  a  usar  en  este  nodo.  Se  declara  con  un  valor entero y tiene los siguientes valores y características:

·  1  Tipo de apoyo: Empotrado. 

Restricciones: Ejes “X”, “Y” y Giro. 

Número de Grados de Libertad: 0.

·  2  Tipo de apoyo: Simplemente apoyado.  Restricciones: Ejes “X” y “Y”. 

Número de Grados de Libertad: 1.

·  3  Tipo de apoyo: Simplemente apoyado con desplazamiento en el eje “ X”.  Restricciones: Eje “Y”. 

Número de Grados de Libertad: 2. 

Nota: El indicador “Tipo de apoyo” se coloca en forma consecuente al indicador de apoyo. 

2  Indica que el nodo no tiene ningún tipo de apoyo por lo que el Número de Grados  de  libertad  es  3  y  las  restricciones  son  0,  en  otras  palabras  no  hay  ninguna  restricción al desplazamiento. 

E. Incidencias. 

Estas  son  equivalentes  a  las  condiciones  de  frontera  de  cada  elemento  y  son  indicadas  por  el  número  de  nodo,  por  lo  que  el  número  de  estas  dependerá  del  tipo  de  elemento. Por ejemplo para un elemento Barra solo se tienen dos nodos el inicial y el final,  esto genera cierta controversia en este tipo de elementos por la indecisión de cual es cual. 

Sin  embargo,  estos  pueden  ser  colocados  en  cualquier  forma.  A  diferencia  del  elemento

Programas 

Diagrama y Manual

 

placa en el que la colocación de cada nodo debe ser secuencial en el sentido contrario a las  manecillas del reloj. A continuación se presentan algunos ejemplos: 

Para un elemento Barra.  Para un elemento Placa del tipo Triangular. 

Secuencia  3     4  4     3  ó 

3  4 

{ 

nodos  nodos 

{ 

3     5     7 

Secuencia 

3  7 

5 

Figura 3.1.2  Figura 3.1.3 

Para un elemento Placa del tipo Rectangular. 

2     3     8     7 

{ 

nodos 

Secuencia  7 

3  8 

2 

Figura 3.1.4  F. Coordenadas. 

Las coordenadas corresponden a cada  nodo. Estas se refieren solo a los ejes  “X”  y 

“Y”. 

G. Modulo de Elasticidad. 

Estas propiedades Elásticas se debe escribir en igual número de veces que el número  de elementos que se tiene. 

H. Sección Transver sal. 

Estos valores se refieren al área transversal del elemento para el caso exclusivo de  Armaduras yMarcos, y se deben colocar en igual número de elementos. 

I. Momento de Inercia. 

El Momento de Inercia es de uso exclusivo para estructuras de tipo Marcos.

J . Espesor. 

El espesor se debe indicar para Placas Planas en igual número de elementos. 

K. Modulo de Poisson. 

Este se proporciona de igual forma que el espesor. 

L. Número de cargas 

Se  indica  con  un  valor  entero  indicando  el  número  de  cargas  que  afectan  la  estructura no importando el tipo de estas. 

M. Indicadores de la Carga. 

El número de indicadores depende del tipo de carga que se esté indicando. Los tipos  de carga que el programa acepta son los siguientes: 

1  Carga Puntual Sobre Nodo (Figura 3.1.5). Requiere tres indicadores: 

Magnitud de la Carga: valor absoluto. 

Angulo de la Carga: valor referido al eje global y se mide de 0°­360°. 

Nodo a Cargar: valor entero. 

2 ton  7 

45°  Nodo 

Carga 

Angulo 

2  Carga Puntual Sobre Elemento (Figura 3.1.6). Requiere de cuatro hasta seis  indicadores: 

Magnitud de la Carga: valor absoluto. 

Angulo de la Carga: valor referido al eje local de la barra y se mide de 0°­360°. 

Localización de la Carga sobre el elemento: distancia medida desde nodo inicial  hasta la ubicación de la carga. 

Elemento a Cargar: valor entero. 

Figura 3.1.5

Programas 

Diagrama y Manual 

Nodo  Inicial:  Este  valor  es  entero  y  debe  ser  indicado  solo  en  elementos  Triangulares yRectangulares. 

Nodo  Final:  Este  valor  es  entero  y  debe  ser  indicado  solo  en  elementos  Triangulares yRectangulares. 

45

° 

2 ton  Angulo 

Carga 

8  Nodo Inicial  7 

Nodo final 

Loc. Carga = 3,76  Barra 3 

2  Carga Distribuida (Figura 3.1.7). Requiere de dos hasta cuatro indicadores: 

Magnitud de la Carga:  valor que depende de un signo para indicar  la dirección  deseada. 

Elemento a Cargar: valor entero. 

Nodo  Inicial:  Este  valor  es  entero  y  debe  ser  indicado  solo  en  elementos  Triangulares yRectangulares. 

Nodo  Final:  Este  valor  es  entero  y  debe  ser  indicado  solo  en  elementos  Triangulares yRectangulares. 

­2 ton 

Nodo final  3 

Carga 

Nodo Inicial  Barra 4 

7  (+)  (­) 

(+) (­) 

Una vez creado el archivo se procede a ejecutar el programa y elegir la primera de  tres opciones esta es la de Abrir y se activa con la letra “a”. Después de elegir esta opción el  programa  pide  el  nombre  del  archivo,  este  debe  contener  la  ubicación  y  la  extensión  del  mismo para poder ser abierto. 

SEGUNDA OPCIÓN PARA LA ENTRADA DE DATOS 

En  esta  opción  se  lleva  al  usuario  de  la  mano  para  ir  recopilando  los  datos  necesarios  para  que  el  programa  opere.  El  primer  paso  es  elegir  la  opción  Nuevo  con  la 

Figura 3.1.6 

Figura 3.1.7

letra  “n”.  A  continuación  el  programa  pide  el  nombre  que  debe  de  llevar  el  archivo,  este  también debe de llevar ubicación y extensión. 

En  esta  opción  se  dará  una  clasificación  diferente  a  los  datos  de  entrada,  estos  se  reducen es secciones y se enlistan de la siguiente manera: 

A.  Tipo de estructura. 

B.  Número de Nodos y Elementos. 

C.  Coordenadas e Indicador de Apoyo. 

D.  Propiedades de los Elementos. 

E.  Tipos de Cargas. 

F.  Indicadores de la Carga. 

A.  Tipo de estructura. 

El  siguiente  paso  es  elegir  el  modo  de  análisis  para  la  estructura.  El  programa  presenta  cuatro opciones  en  pantalla  (Figura  3.1.8)  y  se  accionan  con  las  letras  “a”,  “m”, 

“t”, “r”. 

B.  Número de Nodos y Elementos. 

Al  igual  que  se  explicó  en  la  primera  opción  se  declara  el  número  de  nodos  y  elementos. 

C.  Coordenadas e Indicador de Apoyo. 

En  esta sección el programa va pidiendo las coordenadas y tipo de apoyo nodo por  nodo. Figura 3.1.9. 

Figura 3.1.8

Programas 

Diagrama y Manual

 

D.  Propiedades de los Elementos. 

Los primeros valores, en  la clasificación de propiedades, son  las  incidencias, estas  aparecen con la legenda de Limite 1 y Limite 2 en los casos de Armaduras y Marcos. Pero  para los casos de Placas Planas la legenda cambia a Vértice 1, Vértice 2, etc. Figura 3.1.10. 

Los valores siguientes aparecen según el tipo de estructura: 

Modulo de elasticidad. 

Sección transversal (sólo para los casos de Armaduras yMarcos). 

Momento de Inercia (sólo para el caso de Marcos). 

Espesor (para los casos de Placas Plana Triangulares o Rectangulares). 

Modulo de Poisson (Placas Planas). 

E.  Tipo de Cargas. 

El menú para la selección del Tipo de cargas se presenta después de haber declarado  las propiedades de los elementos. En esta opción no se requiere la declaración del número  de  cargas  ya  que  el  programa  permite  continuar  o  salir  de  esta  sección  una  vez  que  se  a  asignado  por  lo  menos  un  tipo  de  carga  a  la  estructura.  Las  opciones  son  1,  2,y3.  Figura  3.1.11. 

Figura 3.1.9 

Figura 3.1.10

F.  Indicadores de la Carga. 

1  Carga Puntual Sobre Nodo (Figura 3.1.12). Requiere tres indicadores: 

Magnitud de la Carga: valor absoluto. 

Angulo de la Carga: valor referido al eje global y se mide de 0°­360°. 

Nodo a Cargar: valor entero. 

2 ton  7 

45°  Nodo 

Carga 

Angulo 

2  Carga Puntual Sobre Elemento (Figura 3.1.13). Requiere de cuatro hasta seis  indicadores: 

Magnitud de la Carga: valor absoluto. 

Angulo de la Carga: valor referido al eje local de la barra y se mide de 0°­360°. 

Localización de la Carga sobre el elemento: distancia medida desde nodo inicial  hasta la ubicación de la carga. 

Elemento a Cargar: valor entero. 

Nodo  Inicial:  Este  valor  es  entero  y  debe  ser  indicado  solo  en  elementos  Triangulares yRectangulares. 

Nodo  Final:  Este  valor  es  entero  y  debe  ser  indicado  solo  en  elementos  Triangulares yRectangulares. 

Figura 3.1.11 

Figura 3.1.12

Programas 

Diagrama y Manual

 

45

° 

2 ton  Angulo 

Carga 

8  Nodo Inicial  7 

Nodo final 

Loc. Carga = 3,76  Barra 3 

2  Carga Distribuida (Figura 3.1.14). Requiere de dos hasta cuatro indicadores: 

Magnitud de la Carga:  valor que depende de un signo para indicar  la dirección  deseada. 

Elemento a Cargar: valor entero. 

Nodo  Inicial:  Este  valor  es  entero  y  debe  ser  indicado  solo  en  elementos  Triangulares yRectangulares. 

Nodo  Final:  Este  valor  es  entero  y  debe  ser  indicado  solo  en  elementos  Triangulares yRectangulares. 

­2 ton 

Nodo final  3 

Carga 

Nodo Inicial  Barra 4 

7  (+)  (­) 

(+) (­) 

VERIF ICACIÓN DE LA GEOMETRÍA 

Después de haber asignado los datos al programa, con la primera o segunda opción,  se despliega una ventana en la que se muestra la geometría para una verificación visual de  esta.  Se  tienen  dos  opciones  Continuar  o  Repetir  (Figura  3.1.15)  y  estas  se  accionan  al  presionar  las  teclas  C  o  R  respectivamente.  Si  se  elige  la  opción  Repetir  el  programa  termina y los datos del archivo creado se pueden corregir en cualquier editor de texto. 

Figura 3.1.13 

Figura 3.1.14

DESPLIEGUE DE RESULTADOS 

Una vez elegida la opciónContinuar el primer bloque de resultado que aparece es el  de los Desplazamientos Nodales seguido del bloque de las Fuerzas Finales (Figura 3.1.16). 

Figura 3.1.15 

Figura 3.1.16

Programas 

Diagrama y Manual 

DIAGRAMA DE CORTANTES Y MOMENTOS 

Este diagrama solo puede ser desplegado para los casos de Marcos y es opcional. Si  la opción elegida es Si, el programa le pedirá el número de elemento que desea ver. En el  caso  de  que  la  estructura  tenga  la  apariencia  de  una  Viga  Continua  en  programa  la  reconocerá y desplegará los diagramas de todos los elementos en una sola ventana. Figura  3.1.17. 

CREACIÓN DEL ARCHIVO DE SALIDA 

El archivo de salida también es opcional. Si se desea esta opción se presiona la letra 

“s” sino la letra “n”. Para la primera opción se requiere nuevamente el nombre del archivo,  la ubicación y la extensión. Se recomienda no escribir el nombre de un archivo existente ya  que el programa sobrescribirá en este perdiendo así toda su información. 

Figura 3.1.17

C  C C  a  a a  p  p p  i i i  t  t t  u  u u  l l l  o  o  o  I  I I  I  I  I  M  M M  é  é é  t  t t  o  o o  d  d d  o  o  o  d  d d  e  e e  l l  l  E  E E  l l l  e  e e  m  m m  e  e e  n  n n  t  t t  o  o  o  F  F F  i i i  n  n n  i i i  t  t t  o  o  o 

Obtención de la Matr iz de Rigideces par a Mar cos. 

Tr ansfor mación del sistema Local al Global de r efer encia. 

Obtención del vector  Car gas. 

Calculo de desplazamientos. 

Obtención de los Elementos Mecánicos. 

Tr ansfor mación del sistema Global al local de r efer encia. 

Ejemplo numér ico. 

Método del Elemento Finito 

Marcos

 

MARCOS  OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDECES 

Comenzando  nuevamente  con  el  análisis  del  elemento  barra  (figura  2.2.1.1),  pero  ahora considerando los elementos mecánicos: momentos, cortantes y giros, el campo de los  desplazamientos se define de la siguiente manera: 

3  4  2  3  2 

1  x  x  x 

V = a + a × + a × + a ×

pero: 

x  V

¶

= ¶ f 

2  4  3 

2 + 2 a × x + 3 a × x  a

= f

ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê

ë é

a a a a ú û ù ê ë

= é ú û ù ê ë é f 

4  3  2  1 

2  3  2 

x  3  x  2  1  0 

x  x  x  V 1 

[ ][ ] 

P  _i  V ú = a

û ù ê ë é

f  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­(2.2.1)  Aplicando condiciones de frontera setiene:

î í ì

f

= f

= = î í

ì f

= f

=  =

2  2  1 

1  V  V 

0  x  V  ; 

L  V  x  si 

X  Y 

V1  M1  M2 

x1=0      x2=L  V2 

V2,f2  V1,f1 

Figura 2.2.1.1

sustituyendo para cada limite: 

Para x = L:

( ) ( )

4 

( ) 

³ 

2  3  2 

1  L  L  L 

V = a + a × + a × + a ×

( )

₄ 

( ) 

² 

3 

2 + 2 a × L + 3 a × L  a

= f  Para x = 0:

( ) ( )

4 

( ) 

³ 

2  3  2 

1  0  0  0 

V = a + a × + a × + a ×

( )

₄ 

( ) 

² 

3 

2 + 2 a × 0 + 3 a × 0  a

= f 

en forma matricial: 

V 1 f 1 V 2 f 2

æ ç ç ç ç ç è

ö ÷

÷

÷

÷

÷ ø 

1  0  1  0 

L  1  0  1 

L ²  2L  0  0 

L ³  3L ² 

0  0

æ ç ç ç ç è

ö ÷

÷

÷

÷ ø

a 1 a 2 a 3 a 4

æ ç ç ç ç ç è

ö ÷

÷

÷

÷

÷ ø

×

:=  ,     es decir: 

V 1 f 1 V 2 f 2

æ ç ç ç ç ç è

ö ÷

÷

÷

÷

÷ ø 

=[C] [ai] 

de donde:

[ ]

_ú

û ù ê ë é

= f

a ^- 

1  1  i  i 

C  V  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­(2.2.2) 

donde la matriz [C] ^­1 desarrollada es:

[ ]

ú ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê ê

ë é

- -

- -

= -

- 

2  3 

2  3 

2  2 

1 

L  1  L  2  L  1  L  2 

2 L  L 

L  3  1  L  3 

0  0 

1  0 

0  0 

0  1 

C 

se sustituye la ecuación (2.2.2) en la (2.2.1) y se tiene:

[ ][ ]

_ú

û ù ê ë é

= f ú û ù ê ë é f

-  i  i  1  V  C  V P 

Método del Elemento Finito 

Marcos

 

es decir:

ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê

ë é

f f ú ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê ê

ë é

- -

- -

ú - û ù ê ë

= é ú û ù ê ë é f

- 

2  2  1  1 

C 

2  3 

2  3 

2  2 

P 

2  3  2 

V  V 

1 L  2 L 

1 L  2 L 

2 L  L 

L  3  1  L  3 

0  0 

1  0 

0  0 

0  1 

x  3  x  2  1  0 

x  x  x  V  1 

1 

4 4 4 4

4 3

4 4 4 4

4 2

1 4 4 4 3 4

4 4 2 1 

con la relación:

[ ] [ ]

_ú

û ù ê ë é

= f

Π V 

L  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­(2.2.3)

[ ] [ ][ ][ ]

_ú

û ù ê ë é

= f

Î ^- 

i  1  V i 

C  P  L

[ ] [ ][ ]

_ú

û ù ê ë é

= f Π

i 

V i 

N  L 

de donde:

[ ]

ú ú ú û ù ê

ê ê ë é

¶ f

¶

¶

¶

= ú ú ú û ù ê

ê ê ë é

¶

¶

¶

¶

= 

0  x  x  0  V  x 

0  V  x  0  V  L 

2  2  2  2 

3  3  2  2 

reduciendo se tiene:

[ ]

ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê

ë é

f f ú ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê ê

ë é

- -

- -

ú - û ù ê ë

= é Î

-

×  2 

2  1  1 

C 

2  3 

2  3 

2  2 

P  L 

V  V 

L  1  L  2  L  1  L  2 

2 L  L 

L  3  1  L  3 

0  0 

1  0 

0  0 

0  1 

6  0  0  0 

x  6  2  0  0 

1 

4 4 4 4

4 3

4 4 4 4

4 2

1 4 4 3 4

4 2 1 

Pero:  B(2x4) L N = L P C ^­1 

B  6  L ² 

12 x  L ³

× - 

12 - 

L ³ 

2 - 

L  6  x  L ²

× + 

6  L ² 

6 -  L ² 

12 x  L ³

× + 

12 L ³ 

4 - 

L  6  x  L ²

× + 

6  L ²

æ ç ç ç ç è

ö ÷

÷

÷

÷ ø [  ]:= 

y finalmente: ^k e = 

ò [ ] [ ][ ]

^{B T D  B dvol .} 

En este caso:

ú û ù ê ë

= é

0  0 

0  D EI 

ú ú ú û ù ê

ê ê ë é

¶ f

¶

¶

¶ ú û ù ê ë

= é ú û ù ê ë é 

x  x  V  0  0 

0  EI  V 

M 

2  2 

2  2

[ ] [ ][ ]

B  D  B d x A  ;  A  cte  k  A 

[ ] [ ][ ] 

B  D  B d x  k 

L 

0  T  e 

L 

0  T 

e ⁼ 

ò

^{= Þ =}

ò

haciendo operaciones se tiene: 

[ke] = E I ×  12 L ³  6 -  L ² 

12 - 

L ³  6 -  L ² 

6 -  L ² 4  L  6  L ² 2  L 

12 - 

L ³ 6  L ²  12 L ³ 6  L ² 

6 -  L ² 2  L  6  L ² 4  L

æ ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è

ö ÷

÷

÷

÷

÷

÷

÷

÷

÷

÷ ø

×

Método del Elemento Finito 

Marcos

 

FUNCIONES DE FORMA PARA UN ELEMENTO VIGA

[ ] [ ] [ ] 

N  =  P  C ^{- 1}

[N] =  1  0 

x  1 

x ²  2 x × 

x ³  3 x × ²

æ ç ç è

ö ÷

÷ ø 

0  0  3  L ²  2 -  L ³ 

0  0  1 - 

L  1  L ² 

1  0  3 -  L ² 2  L ³ 

0  1  2 - 

L  1  L ²

æ ç ç ç ç ç ç ç è

ö ÷

÷

÷

÷

÷

÷

÷ ø

× 

V f

æ ç è

ö ÷ ø 

3 x ²  L ²

×  2 x ³  L ³

×

æ -

ç è

ö

÷ ø 

6  x  L ²

×  6 x ²  L ³

×

æ -

ç è

ö

÷ ø 

x ² - 

L  x ³  L ²

æ +

ç è

ö

÷ ø 

2 - 

L × x 3 x ²  L ²

×

æ +

ç è

ö

÷ ø 

1  3 x ²  L ²

×

-  2 x ³ 

L ³

×

æ +

ç è

ö

÷ ø 

6 -  x 

L ²

×  6 x ² L ³

×

æ +

ç è

ö

÷ ø 

x  2 x ² L

×

-  x ³ 

L ²

æ +

ç è

ö

÷ ø 

1  4  L × x

-  3 x ² 

L ²

×

æ +

ç è

ö

÷ ø é ê

ê ê ê ê ë

ù ú ú ú ú ú û 

V 1 f 1  V 2 f 2

æ ç ç ç ç ç è

ö ÷

÷

÷

÷

÷ ø

× :=

[ ]

_ú

û ù ê ë é

= f ú û ù ê ë é

f  _i 

V i 

V  N 

considerando que:  V = f ₁ ( x ) V ₁ + f ₂ ( x ) f ₁ + f ₃ ( x ) V ₂ + f ₄ ( x ) f ₂  de donde: ^{f 1 ( x ) =}

(

^3 x 2 _L ^{2 - 2 x 3} _L ³ 

) 

^{= N 1} 

(

^{2  3  2} 

) 

² 

2  N 

L  L  x  )  x 

x  ( 

f = - + =

(

3 

) 

3 

3  2  2 

3  N 

L  x  2  L  x  1  3  )  x  ( 

f = - + =

(

^{2  3  2} 

) 

⁴ 

4  N 

L  L  x  x  x  2  )  x  ( 

f = - + =

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE FORMA  Propiedad número 1 (figura 2.2.1.2) 

0  U 

1 

U ₁ =  Þ f ₁ = ₂ = f ₂ =

0  U 

U 

1  _{1  2  2} 

1 = Þ = = f =

f 

0  U 

1 

U ₂ =  Þ ₁ = f ₁ = f ₂ =

0  U 

U 

1  _{1  2  1} 

2 = Þ = = f =

f 

Nota: en cualquier punto x

å

^N i = 0 

Propiedad número 2.

( ) ( ) ( ) ( )

å å å

= +

- + +

- + +

- + -

=

= + + +

=

= 

L  1  L  x  x  x  2  L  x  2  L  x  1  3  L  L  x  x  L 

x  2  L  x  N  3 

;  1  N  N  N  N  N 

;  1  N 

2  3  2  3 

3  2  2  2 

3  2  3 

3  2  2  i 

4  3  2  1  i  i 

U1=1

f 

U2=1

f 

F1(x) 

F2(x) 

F3(x) 

F4(x) 

Figura 2.2.1.2

Método del Elemento Finito 

Marcos

 

OBTENCIÓN  DE  LA  MATRIZ  DE  TRANSFORMACIÓN  PARA  EL  SISTEMA LOCAL 

De la figura 2.2.1.3 podemos obtener las siguientes expresiones:

ú ú ú û ù ê

ê ê ë é

b

× + b

×

b

× - b

×

= ú ú ú û ù ê ê ê ë é 

m 

cos  Py  sen 

Px 

sen  Py  cos  Px 

'  m 

y  '  P 

x  '  P

b 

Px 

X' 

Y'  X 

Py

b  Y 

P'y 

P'x 

en forma matricial:

[ ] [ ][ ] 

^{P = '  T  P} 

ú ú ú û ù ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê

ê ê ë é

b b

b - b

= ú ú ú û ù ê ê ê ë é 

m  Py  Px 

1  0  0 

0  cos  sen 

0  sen  cos 

'  m 

y  '  P 

x  '  P 

por lo que, para marcos en el plano, el transformador tiene la siguiente forma:

[ ]

ú ú ú û ù ê

ê ê ë é

b b

b - b

= 

1  0  0 

0  cos  sen 

0  sen  cos 

T  y

[ ]

ú ú ú û ù ê

ê ê ë é

b b

-

b b

= 

1  0  0 

0  cos  sen 

0  sen  cos 

T ^T  Figura 2.2.1.3

b 

Ux 

X' 

Y'  X 

Uy  Y 

U'y 

U'x 

de la figura 2.2.1.4 podemos saber que:

[ ] [ ] [ ] 

U = T ^T U ' , 

de donde:  U = vector desplazamiento del sistema local, y  U’ = vector desplazamiento del sistema global. 

De la matriz [T], el termino m, que es el momento flexionante alrededor del eje Z,  para este caso coinciden los ejes Z y Z’ (figura 2.2.1.5), por lo que m = m’. 

Y'  X 

X' b 

Y 

m 

Figura 2.2.1.4 

Figura 2.2.1.5

Método del Elemento Finito 

Marcos

 

Si  a  la  matriz  [k]  le  agregamos  los  efectos  de  carga  axial  se  puede  obtener  una  matriz de la siguiente forma:

[ ]

ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê

ë é

- - -

-

- -

-

-

= 

EI L  4  L 

EI  0  6 

EI L  2  L  EI  0  6 

L  EI  6  L  EI  0  12 

L  EI  6  L  EI  0  12 

0  L  0 

0  EA  L  0 

EA 

EI L  2  L 

EI  0  6 

EI L  4  L  EI  0  6 

L  EI  6  L  EI  0  12 

L  EI  6  L 

EI  0  12 

0  L  0 

0  EA  L  0 

EA 

k 

2  2 

2  3 

2  3 

2  2 

2  3 

2  3 

e 

de la cual podemos desglosar a:

[ ]

ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê

ë é

-

-

= 

EI L  4  L  EI  0  6 

L  EI  6  L  EI  0  12 

0  L  0 

EA  k 

2 

2 

11 3 

[ ]

ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê

ë é

- -

-

= 

EI L  2  L 

EI  0  6 

L  EI  6  L  EI  0  12 

0  L  0 

EA  k 

2 

2  12 3 

[ ]

ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê

ë é

- - -

= 

EI L  2  L  EI  0  6 

L  EI  6  L  EI  0  12 

0  L  0 

EA  k 

2 

2 

21 3 

[ ]

ú ú ú ú

û ù

ê ê ê ê

ë é

= 

EI L  4  L  EI  0  6 

L  EI  6  L  EI  0  12 

0  L  0 

EA  k 

2 

2  22  3 

Recordando  que:

[ ] [ ][ ] 

^{P = '  T  P}  y  premultiplicando,  previamente,  a  las  ecuaciones  fuerza­desplazamiento por [T] para despejar a P1 y P2 se tiene:

[ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ] 

2  21  1  22  2 

2  12  1 

11  1 

U  k  T  U  k  T  P  T 

U  k  T  U  k  T  P  T

+

=

+

= 

y sustituyendo la relación

[ ] [ ] [ ] 

U = T ^T U '  junto con:

[ ] [ ][ ] 

P = '  T  P 

[ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] 

_{2  21}  ^T  _{1  22}  ^T  ₂ 

2  T  12  1 

T  11  1 

'  U  T  k  T  '  U  T  k  T  '  P 

'  U  T  k  T  '  U  T  k  T  '  P

+

=

+

=