Funciones de Varias Variables

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MAT - 002 1

UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS Profesor: Nicolás Ibaceta Alarcón

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MATEMÁTICA MAT - 005

Sesión 001

Funciones de Varias Variables

Segundo Semestre 2013 MAT - 005 2

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Funciones de Varias Variables.

Hasta ahora sólo se había visto funciones de una sola variable (independiente) como las que se estudió en Cálculo I. Sin embargo, muchos problemas comunes son funciones de dos o más variables.

Por ejemplo, el trabajo realizado por una fuerza ( = ) y el volumen de un cilindro circular recto son funciones de dos variables ( = ℎ ). El volumen de un sólido rectangular es una función de tres variables ( = ℎ ). La notación para una función de dos o más variables es similar a la utilizada para una función de una sola variable. Aquí se presentan dos ejemplos.

, = 3 + + 1 Función de dos variables.

, , = + + 2 + 3 + 5 Función de tres variables.

Funciones de Varias Variables.

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Definición de una Función de dos Variables.

Sea un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a

cada par ordenado , de le corresponde un único

número real , , entonces se dice que es una función de

y . El conjunto es el dominio de , y el correspondiente

conjunto de valores , es el rango de .

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MAT - 002 3

Funciones de Varias Variables.

Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma manera que las funciones de una sola variable.

Por ejemplo, se puede formar la suma, la diferencia, el

producto y el cociente de funciones de dos variables como

sigue.

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Funciones de Varias Variables.

No se puede formar la composición de dos funciones de varias variables. Sin embargo, si ℎ es una función de varias variables y es una función de una sola variable, puede formarse la función compuesta como sigue.

El dominio de esta función compuesta consta de todo , en el dominio de ℎ tal que ℎ , está en el dominio de .

Curvas de Nivel

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Curvas de Nivel.

Una segunda manera de visualizar una función de dos variables es usar un campo escalar en el que el escalar = , se asigna al punto , . Un campo escalar puede caracterizarse por sus curvas de nivel (o líneas de contorno) a lo largo de las cuales el valor de , es constante. Por ejemplo, el mapa climático en la figura a) muestra las curvas de nivel de igual presión, llamadas isobaras. Las curvas de nivel que representan puntos de igual temperatura en mapas climáticos, se llaman isotermas, como se muestra en la figura b).

Curvas de Nivel.

a) b)

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Curvas de Nivel.

Los mapas de contorno suelen usarse para representar regiones de la superficie de la Tierra, donde las curvas de nivel representan la altura sobre el nivel del mar. Este tipo de mapas se llama mapa topográfico. Por ejemplo, la montaña mostrada en la figura c) se representa por el mapa topográfico de la figura d). Un mapa de contorno representa la variación de respecto a y mediante espacio entre las curvas de nivel. Una separación grande entre las curvas de nivel indica que cambia lentamente, mientras que un espacio pequeño indica un cambio rápido en . Además, en un mapa de contorno, es importante elegir valores de uniformemente espaciados, para dar una mejor ilusión tridimensional.

Curvas de Nivel.

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c)

d)

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Curvas de Nivel.

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Limites de Funciones de Dos Variables

Limites de Funciones de Dos Variables.

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Limites de Funciones de Dos Variables.

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Limites de Funciones de Dos Variables.

La definición del límite de una función en dos variables es similar a la definición del límite de una función en una sola variable, pero existe una diferencia importante. Para determinar si una función en una sola variable tiene límite, sólo se necesita ver que se aproxime al límite por ambas direcciones: por la derecha y por la izquierda. Si la función se aproxima al mismo límite por la derecha y por la izquierda, se puede concluir que el límite existe.

Limites de Funciones de Dos Variables.

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Sin embargo, en el caso de una función de dos variables, la expresión , → , significa que el punto , puede aproximarse al punto , por cualquier dirección.

Si el valor de

, → , , no es el mismo al aproximarse por cualquier dirección, trayectoria o camino a

, el límite no existe.

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Continuidad de Funciones de Dos Variables

Continuidad de Funciones de Dos Variables.

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Continuidad de Funciones de Dos Variables.

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Derivadas Parciales

Derivadas Parciales.

Definición.

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Derivadas Parciales.

Pendiente en la dirección x.

Derivadas Parciales.

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Derivadas Parciales.

Pendiente en la dirección y.

Derivadas Parciales.

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Notación de DDPP de Primer Orden.

Notación de DDPP de Segundo Orden.

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Derivadas Parciales.

Artículos Sustitutos y Complementarios.



Se dice que dos artículos son sustitutos si un aumento de la demanda de cualquiera de ellos provoca una disminución de la demanda del otro. Los artículos sustitutos son competitivos, como la mantequilla y la margarina.



Por otra parte, se dice que dos artículos son complementarios si una

disminución de la demanda de cualquiera de ellos provoca una disminución

de la demanda del otro. Un ejemplo de esto se ve con las cámaras

digitales y las memorias SD. Si los consumidores compran menos cámaras

disminuirá la compra de memorias SD.

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Derivadas Parciales.



Las derivadas parciales pueden ser utilizadas para obtener un criterio que permita determinar si dos artículos son sustitutos o complementarios.

Derivadas Parciales.

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Diferenciales

Diferenciales.

Incrementos y Diferenciales.

En esta sección se generalizan los conceptos de incrementos y diferenciales a funciones de dos o más variables. Recuérdese de Cálculo I, dada = se definió la diferencial de como = .

Terminología similar se usa para una función de dos variables, = , . Es

decir, ∆ y ∆ son los incrementos en y en , y el incremento en está dado

por:

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Diferenciales.

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Diferenciales.

Regla de la Cadena para Funciones de Varias Variables

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Regla de la Cadena.

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Regla de la Cadena.

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Regla de la Cadena.

Extremos de funciones de Dos Variables

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MAT - 002 25

Extremos de Funciones de Dos Variables.

Extremos Absolutos y Extremos Relativos.

Considérese la función continua de dos variables, definida en una región acotada cerrada . Los valores , y , tales que:

Para todo , en se conocen como el mínimo y máximo de en la región . Recuerde que una región en el plano es cerrada si contiene todos sus puntos frontera. El teorema del valor extremo se refiere a una región en el plano que es cerrada y acotada. A una región en el plano se le llama acotada si es una subregión de un disco cerrado en el plano.