Fundamentos de [Topología Algebraica]

(1)

(2)

[Topolog´ıa Algebraica]

(3)

(4)

[Topolog´ıa Algebraica]

Gustavo N. Rubiano O.

Profesor Titular

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Sede Bogot´a

(5)

ISBN 958-701-613-0

1. Topolog´ıa Algebraica Gustavo N. Rubiano O.

Fundamentos de Topolog´ıa Algebraica, 1a. edici´on.

Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogot´a.

Facultad de Ciencias, 2007

Mathematics Subject Classification 2000: 55-01.

Edici´on en castellano: Gustavo Nevardo Rubiano Orteg´onc Universidad Nacional de Colombia.

Diagramación y diseño interior en LÂTEX:Gustavo Rubiano Gráficas interiores: el autor.

Primera impresi´on, 2007 Impresi´on:

Pro-Offset Editorial S.A.

Bogot´a, D. C.

COLOMBIA

(6)

Pr´ologo V

1. Conjuntos 1

1.1. Operaciones entre conjuntos . . . 1

1.2. Funciones . . . 3

1.3. Relaciones . . . 5

1.3.1. Relaci´on de equivalencia . . . 5

1.3.2. Relaci´on de orden . . . 6

1.4. Cardinalidad . . . 6

2. ´Algebra 8 2.1. Grupos . . . 8

2.2. Homomorfismos . . . 11

2.3. Subgrupo normal . . . 11

2.3.1. Factorizaci´on de homomorfismos . . . 13

2.4. Grupos c´ıclicos . . . 14

2.5. Grupos generados . . . 15

2.5.1. El subgrupo conmutador . . . 16

2.6. Construcci´on de nuevos grupos . . . 17

2.7. Grupos libres . . . 17

2.7.1. Grupos libres abelianos . . . 20 i

(7)

2.7.2. Representaci´on de grupos libres . . . 21

2.8. Producto libre de grupos . . . 22

2.8.1. Producto amalgamado de dos grupos . . . 24

3. Topolog´ıa 25 3.1. Construcci´on de espacios topol´ogicos . . . 26

3.1.1. Suma topol´ogica o topolog´ıa de la uni´on libre . . . 26

3.1.2. Topolog´ıa cociente o identificaci´on . . . 30

3.2. Grupos topol´ogicos . . . 46

3.2.1. G-espacios y espacios ´orbita . . . 56

3.3. Espacios de funciones . . . 60

3.3.1. La topolog´ıa punto–abierto . . . 61

3.3.2. La topolog´ıa compacto–abierto . . . 63

3.3.3. ¿Z^X×Y ≈ (Z^Y)^X? . . . 66

3.4. Conexidad . . . 67

3.4.1. Subespacios conexos maximales . . . 71

3.5. Caminos . . . 72

3.5.1. Conexo por caminos . . . 72

3.5.2. Componentes conexas por caminos . . . 75

3.5.3. Localmente conexo por caminos . . . 76

4. Homotop´ıa 78 4.1. Deformaci´on continua de una funci´on . . . 78

4.2. Caminos hom´otopos . . . 83

4.2.1. El conjunto Π₀(Ω(X, x₀)) . . . 83

4.2.2. Caminos hom´otopos rel{0, 1} . . . 85

4.2.3. Clases de homotop´ıa . . . 87

4.2.4. Cambio del punto base . . . 94

4.2.5. Π₁(S¹), lo intuitivo . . . 96

(8)

4.3. El grupo fundamental y las funciones . . . 106

4.3.1. Homomorfismos inducidos . . . 106

4.3.2. Retracciones y retractos . . . 110

4.3.3. Equivalencias para homotop´ıa . . . 116

4.3.4. Retractos por deformaci´on . . . 119

4.4. Teorema de Seifert—Van Kampen . . . 127

4.5. Πn(X), una generalizaci´on . . . 134

5. Espacios recubridores 139 5.1. Teoremas de levantamiento de caminos . . . 145

5.2. Grupo fundamental y espacios recubridores . . . 150

5.2.1. Homomorfismo inducido por una proyecci´on recubri- dora. . . 150

5.3. Criterio para la existencia de levantamientos . . . 155

5.4. Clasificaci´on de los recubrimientos sobre un espacio . . . 158

5.4.1. Recubrimiento universal . . . 161

5.4.2. Transformaciones Deck y acciones de grupos . . . 168

6. Homolog´ıa 172 6.1. Complejos simpliciales . . . 173

6.2. Homolog´ıa sin orientaci´on, i.e. mod 2 . . . 178

6.2.1. Cadenas, ciclos y fronteras . . . 178

6.3. Homolog´ıa simplicial —coeficientes enZ— . . . 185

6.3.1. Grupos de homolog´ıa . . . 191

6.4. Homolog´ıa singular . . . 200

6.4.1. S´ımplices regulares . . . 200

6.4.2. Cadenas regulares . . . 201

6.4.3. Comportamiento funtorial . . . 204

(9)

(10)

El fin ´ultimo de la topolog´ıa algebraica es tener una manera de trasladar preguntas de la topolog´ıa conjuntista al ´algebra. La estructura algebraica que utilizamos en estas notas es la de grupo. El mecanismo consiste en “inventar”

una construcción que a cada espacio topológico X que consideremos le asigne un grupo G(X). A continuación extender este mecanismo a las funciones continuas, de suerte que a una función f : X → Y le sea asignado un homomorfismo de grupos G(f ) : G(F ) → G(Y ). Pero la construcción debe satisfacer condiciones de “buen comportamiento” como ser natural en la composición, G(f◦ g) = G(f) ◦ G(g) y que a cada homeomorfismo le corres- ponda un isomorfismo, entre otras. En general lo que pedimos es lo llamado un comportamiento functorial.

A manera de ilustración, en topolog´ıa la pregunta ¿R ≈ R²?, i.e. ¿es R topológicamente equivalente —homeomorfo— a R²? tiene una respuesta inmediata y negativa dentro del contexto de un curso de topolog´ıa general. Pero a una pregunta similar como ¿R² ≈ R³? no tiene respuesta con las propiedades usuales que conocemos de compacidad, conexidad, sepa- ración, metrizabilidad, etc. ver la página 114. Lo mismo sucede para ¿S² ≈ toro? ¿toro ≈ botella de Klein? La respuestas a estas preguntas son algebraicas: consiste en asignar el grupo fundamental de homotop´ıa o la cadena de homolog´ıa a cada uno de los espacios involucrados y observar que son diferentes, lo que implica que no son homeomorfos.

El texto requiere de conocimientos previos en conjuntos, topolog´ıa general y álgebra abstracta en el tópico de los grupos. Estos conocimientos son los básicos y por ello son incluidos de manera sucinta en los cap´ıtulos 1, 2 y 3 donde en general se omiten las demostraciones, pues de otra manera el texto se tornar´ıa extremadamente largo acercándose a lo ineficaz, pero a cambio se referencia en la bibliograf´ıa las fuentes que pueden ser consultadas. Las afirmaciones que al ser le´ıdas con poca atención se puedan prestar a mal

v

(11)

entendidos son marcadas con el s´ımbolo .

Los cap´ıtulos 4, 5 y 6 son la razón de este escrito y por tanto todo el esfuerzo está dirigido a hacer de ellos material auto contenido, explicado, demostrado en todo detalle y por supuesto, algo que no es común poder hacer en matemáticas en general pero en este caso s´ı: dibujar.

La sección de espacios de recubrimiento, muestra la hermosa conexión entre el álgebra y la topolog´ıa a través de preguntas en la una y respuestas en la otra.

Por supuesto, y como en casi todo libro de texto, todo lo dicho aqu´ı ya está dicho en alguna otra parte, de suerte que, lo único original es la elección de los temas y la presentación de los mismos. Como estas notas son a manera de exposición, he decidido no incluir los clásicos ejercicios.

Mi gratitud a la Universidad Nacional de Colombia por otorgarme ese tiempo extra con el cual ya no pueden existir disculpas para no escribir lo que he querido.

Gustavo Nevardo Rubiano Orteg´on

Departamento de Matem´aticas Universidad Nacional de Colombia Ciudad Universitaria, Bogot´a, Colombia.

[email protected] Septiembre de 2006

(12)

Conjuntos

Contenido

1.1. Operaciones entre conjuntos . . . . 1

1.2. Funciones . . . . 3

1.3. Relaciones . . . . 5

1.3.1. Relaci´on de equivalencia . . . . 5

1.3.2. Relaci´on de orden . . . . 6

1.4. Cardinalidad . . . . 6

En este primer cap´ıtulo presentamos de manera sucinta, los conceptos de la teor´ıa de conjuntos que el lector debe tener presente para la lectura de este texto, con la finalidad de establecer un lenguaje com´un entre el autor y el lector con respecto a la notaci´on.

1.1. Operaciones entre conjuntos

Algunas veces es muy conveniente adjudicar un nombre o ´ındice a cada elemento de una colecci´on A de conjuntos.

Un conjunto J y una correspondencia f : J −→ A definida por j 7→ Aj

—para cada j ∈ I, el conjunto f(j) ∈ A es notado como f(j) = Aj — que hace corresponder a cada j ∈ J un conjunto Aj constituye por definici´on una familia A indizada por J y brevemente la notamos

A = {Aj | j ∈ J}.

1

(13)

Siempre olvidamos como se definió f y lo único que registramos es que la familia quedó efectivamente indizada como A = {Aj}j∈J. Definimos los siguientes conjuntos:

1. Uni´on de una familia de conjuntos, [A = [

j∈J

A_j ={x | x ∈ Aj, alg´un j∈ J}.

2. Intersecci´on de una familia de conjuntos,

\A = \

j∈J

A_j ={x | x ∈ Aj, para cada j∈ J}.

3. Producto de una familia de conjuntos, Y

j∈J

A_j ={f : J −→ [

j∈J

A_j | f(j) ∈ Aj} .

4. Suma de una familia de conjuntos. Tambi´en se acostumbra notar como

`

j∈JA_j y llamarse entonces el coproducto de la familia.

X

j∈J

A_j ={(a, j) | a ∈ Aj, j ∈ J}.

SiA = {Aj | j ∈ J} es tal que cada Aj ⊆ X, decimos entonces que A es una familia de subconjuntos de X.

Si J =∅ —el conjunto vac´ıo— entonces 1. S

j∈JAj =∅.

2. T

j∈JA_j = X.

Decimos que la familiaA = {Aj | j ∈ J} es una partici´on de X si para todo i, j∈ J se tiene que

1. A_j 6= ∅.

2. i6= j implica Ai∩ Aj =∅.

(14)

3. S

j∈JA_j = X. Esta condici´on dice queA es un cubrimiento de X.

Dadas las familiasA = {Aj | j ∈ J}, B = {Bi| i ∈ I} en X se tienen las siguientes igualdades —A^c o {A denota el complemento de A en X—.

1. (S

j∈JA_j)^c =T

j∈JA^c_j. 2. (T

j∈JAj)^c =S

j∈JA^c_j. 3. (S

j∈JA_j) T (S

i∈IB_i) =S

i∈I(S

j∈J(A_jT B_i)).

4. (T

j∈JA_j) S (T

i∈IB_i) =T

j∈J(T

i∈I(A_jS B_i)).

El axioma de elecci´on dice que Q

j∈JAj 6= ∅ si y solo si Aj 6= ∅ para cada j ∈ J 6= ∅.

1. Q

j∈JA_j ⊆Q

j∈JB_j si y solo si A_j ⊆ Bj para cada j ∈ J.

2. Q

j∈JA_j T Q

j∈JB_j = Q

j∈J(A_jT Bj).

3. Q

j∈JA_j S Q

j∈JB_j ⊆ Q

j∈J(A_jS B_j).

4. (S

i∈IA_i)× (S

j∈JB_j) =S

(i,j)∈I×J(A_i× Bj).

1.2. Funciones

Dada la funci´on f : X −→ Y definimos la imagen de A ⊆ X por f como el conjunto

f (A) :={y ∈ Y | y = f(x) para alg´un x ∈ A}.

La imagen inversa de B ⊆ Y por f es el conjunto f⁻¹(B) ={x ∈ X | f(x) ∈ B}.

Sean {Ai | i ∈ I}, {Bj | j ∈ J} familias de conjuntos en X y Y respectivamente. Es un ejercicio verificar las siguientes propiedades:

1. f (T

i∈IA_i)⊆T

i∈If (A_i).

2. f (S

i∈IA_i) =S

i∈If (A_i).

(15)

3. f⁻¹(T

j∈JB_j) =T

j∈Jf⁻¹(B_j).

4. f⁻¹(S

j∈JB_j) =S

j∈Jf⁻¹(B_j).

5. f⁻¹(B_j^c) = [f⁻¹(B_j)]^c. 6. f (f⁻¹(B_i))⊆ Bi. 7. A_i⊆ f⁻¹(f (A_i)).

N´otese que el comportamiento de f⁻¹ —la imagen inversa por f — es impecable.

Una funci´on f : X −→ Y se dice sobre o sobreyectiva si f(X) = Y ; f se dice uno a uno, o inyectiva si x6= y implica f(x) 6= f(y).

Dada f : X−→ Y y cualesquiera A, B ⊆ X, C ⊆ Y tenemos que, 1. f es inyectiva si y solo si f (A∩ B) = f(A) ∩ f(B).

2. f es sobre si y solo si f⁻¹(C)6= ∅ para todo C 6= ∅.

3. Si f es inyectiva y sobre —biyecci´on— entonces f⁻¹ es una biyecci´on de Y en X.

4. Si f es biyecci´on entonces f (A^c) = f (A)^c. 5. f es sobre si y solo si f (f⁻¹(C)) = C.

6. f es inyectiva si y solo si f⁻¹(f (A)) = A.

7. f es biyecci´on si y solo si para cada y ∈ Y , f⁻¹(y) es un conjunto unitario de X. Caso para el cual f⁻¹ : Y −→ X es una funci´on bien definida.

La siguiente afirmaci´on utiliza el concepto de composici´on de funciones:

Sean f : X −→ Y , g : Y −→ X dos funciones tales que g ◦ f = idX donde id_X : X −→ X es la funci´on identidad, entonces g es sobre y f es uno a uno.

Tambi´en podemos considerar una familia H indizada de funciones H = {hi : X_i −→ Yi}i∈I.

La funci´on h =Q

i∈Ih_i:Q

X_i∈I −→Q

Y_i∈I definida por h((x_i)_i) := (h(x_i))_i es conocida como la funci´on producto.

(16)

1.3. Relaciones

Si X es un conjunto, una relaci´onR en X es un subconjunto de X × X.

Decimos que R es

1. Reflexiva: si (x, x)∈ R para todo x ∈ X — ∆(X) ⊆ R donde ∆(X) es la relaci´on id´entica o diagonal de X—.

2. Sim´etrica: si (x, y)∈ R implica (y, x) ∈ R —R⁻¹=R—.

3. Antisim´etrica: si (x, y), (y, x) ∈ R implica x = y —R⁻¹ ∩ R ⊆

∆(X)—.

4. Transitiva: si (x, y), (y, z) ∈ R implica (x, z) ∈ R —R ◦ R ⊂ R—.

1.3.1. Relaci´on de equivalencia

R es llamada de equivalencia si de manera simultánea es reflexiva, simétrica y transitiva. Cada relación de equivalencia determina una partición X/R = {[x] : x ∈ X} de X formada por las clases de equivalencia [x] = {y : xRy}; de manera natural existe una función sobreyectiva

q : X −→ X/R.

Toda función f : X −→ Y define una relación de equivalencia en X si definimos x∼ y si y solo si f(x) = f(y). En este caso notamos a la relación (y a la partición) como Rf con Rf ={f⁻¹(t) : t∈ f(X)}.

El siguiente diagrama es conmutativo, dondeRf

se encarga de igualar los puntos que tienen una misma imagen, con lo cual h_f definida como h_f([x]) := f (x) est´a bien definida, es un mo- nomorfismo y por su codominio es un epimorfis- mo, es decir tenemos un isomorfismo con inversa h_f⁻¹(y) = f⁻¹(y).

q

X Y

X/Rf f [X]

f -

? -

hf

-

≈

6

i

El anterior diagrama se conoce como el teorema de la factorizaci´on de funciones entre conjuntos o teorema del cociente para conjuntos.

(17)

1.3.2. Relaci´on de orden

R es llamada una relación de orden parcial si de manera simultánea es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Es común en este caso notar a R como ≤, de suerte que (x, y) ∈ R se nota x ≤ y y decimos que x es menor o igual a y. Un elemento m ∈ X es llamado maximal para X si m ≤ x implica m = x (cada vez que m esté relacionado, m debe ser entonces mayor o igual).

Un subconjunto P de X es totalmente ordenado o es una cadena si para cada par de elementos a, b∈ P se tiene que a ≤ b o b ≤ a; u ∈ X es una cota superior para P si x≤ u para todo x ∈ P .

Un resultado fundamental —y equivalente al axioma de elecci´on— cono- cido como el Lema de Zorn, nos asegura la existencia de elementos (exactamente de elementos maximales): si en un conjunto X ordenado

—parcial o total— todo subconjunto P totalmente ordenado posee una cota superior en X, entonces X tiene al menos un elemento maximal.

1.4. Cardinalidad

Definimos dos conjuntos X, Y como equivalentes si existe una biyec- ción f : X −→ Y . Esta es una relación de equivalencia y a cada clase de equivalencia la llamamos un número cardinal y la notamos #(X). El cardinal deN lo notamos de manera especial como ω o ℵ0. El cardinal de R como c.

X es finito si es equivalente al conjunto{1, 2, 3, 4, . . . , n} para alg´un n ∈ N. En caso contrario decimos que X es infinito. Si X es finito o equivalente aN decimos que X es enumerable o contable.

Sin duda alguna el problema irresoluble m´as famoso —desde los axiomas usuales de la teor´ıa de conjuntos— es el primer problema de Hilbert:

Hip´otesis del continuo (Cantor). Si X ⊆ R es no contable entonces existe una biyecci´on f : X −→ R.

Si J es enumerable y cada conjunto A_j es enumerable, entonces tambi´en lo esS

j∈JA_j.

Tenemos una gran diferencia entre uniones enumerables y productos enu-

merables: si J es enumerable infinito y cada A_j es enumerable, entonces Q

j∈JA_j es no enumerable.

(18)

Teorema de Cantor. Si

℘

_{(X) (o 2}^X) denota al conjunto de los subconjuntos de X 6= ∅, entonces el cardinal de X es menor que el cardinal de

℘

_(X).

Para una demostraci´on ver [21].

La aritm´etica de los n´umeros cardinales se puede resumir como:

1. Sean d, e n´umeros cardinales con d≤ e, d 6= 0 y e infinito. Entonces d + e = e y d· e = e.

2.

a^b m ℵ0 c n n^m c 2^c ℵ0 ℵ0 c 2^c

c c c 2^c

(19)

Algebra ´

Contenido

2.1. Grupos . . . . 8

2.2. Homomorfismos . . . . 10

2.3. Subgrupo normal . . . . 11

2.4. Grupos c´ıclicos . . . . 13

2.5. Construcci´on de grupos . . . . 14

2.6. Grupos generados . . . . 15

2.7. Factorizaci´on de homomorfismos . . . . 16

2.8. El subgrupo conmutador . . . . 17

2.9. Grupos libres . . . . 17

2.10. Grupos libres abelianos . . . . 19

2.11. Representaci´on de grupos libres . . . . 20

2.12. Producto libre de grupos . . . . 21

2.12.1. Producto amalgamado de dos grupos . . . 23

Este cap´ıtulo presenta los conceptos del álgebra abstracta que en ade- lante serán utilizados. Los hemos aislado en este cap´ıtulo con la finalidad que el lector tenga certeza de cuánto del álgebra (y no más) debe conocer.

2.1. Grupos

Definici´on 2.1 (monoide). Sea A un conjunto no vac´ıo. Una funci´on

∗ : A × A −→ A se llama una ley de composici´on interna o una operaci´on interna en A. Al par (A,∗) se le denomina un monoide.

8

(20)

Dados a, b, c ∈ A podemos calcular a ∗ (b ∗ c) y (a ∗ b) ∗ c, si queremos que este c´alculo sea igual, entonces lo que exigimos es que∗ sea asociativo, es decir que para todo a, b, c∈ A

a∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c.

Definici´on 2.2 (grupo). Un monoide asociativo se llama semigrupo. Un grupo (A,∗) es un semigrupo en el cual

1. Existe e∈ A tal que a ∗ e = a = e ∗ a para todo a ∈ A.

2. Para cada a∈ A, existe b ∈ A tal que a ∗ b = e = b ∗ a.

La propiedad en 1 garantiza la existencia de un único elemento neutro para la operación ∗. La propiedad 2 garantiza la existencia del elemento inverso para cada a ∈ A. Este elemento se acostumbra a notar −a ó a⁻¹ según utilicemos notación aditiva o multiplicativa, es decir a∗a = a+a := 2a

´

o a∗ a = aa := a².

En lo posible utilizaremos notaci´on multiplicativa: a⁻¹a⁻¹ = a⁻², e = 1, a⁰ = 1, a∗ b = ab.

Si ab = ba para todo a, b∈ A, decimos que el grupo A es abeliano. Un grupo arbitrario lo notamos (G,∗).

Ejemplo 2.3. SA. Dado un conjunto A el conjunto de todas las permutaciones (biyecciones) de A con la operación de composición forma un grupo llamado el grupo simétrico y notado SA.

Si en particular A = {1, 2, . . . , n} lo notamos Sn y cada permutación σ ∈ Sn se puede expresar como un producto de transposiciones (una transposición es una clase especial de permutación donde solo dos elementos son intercambiados y los demás n− 2 son dejados fijos) y el signo de σ es 1 ó −1 dependiendo que el número de transposiciones sea par o impar.

Definici´on 2.4. Sea (G,∗) un grupo. Si H ⊆ G es tal que ∗ : H ×H → H es una operaci´on de grupo, decimos que H es un subgrupo de G y lo notamos H ≤ G.

Ejemplo 2.5. El conjunto de todas las permutaciones pares en S_n forman un subgrupo con ^n!₂ elementos y llamado el subgrupo alternante de S_n.

Sea (G,∗) un grupo. Si A, B ⊆ G, definimos AB ={ab : a ∈ A, b ∈ B}.

(21)

(AB := A∗ B y como la operaci´on que utilizamos es multiplicaci´on notamos simplemente AB). Si A = {a}, entonces AB = aB. Notamos por A⁻¹ = {a⁻¹ : a ∈ A}. Con estas notaciones se verifica que H ⊆ G es un subgrupo si y solo si H6= ∅ y HH⁻¹⊆ H.

Cuando H es un subgrupo de G, los subconjuntos de la forma aH (Ha) son llamados coclases a izquierda (derecha). La palabra coclase la jus- tificamos si tenemos una partici´on de G. En efecto, si aH∩ bH 6= ∅ entonces aH = bH y por tanto

R := {aH : a ∈ G}

es una partici´on de G, donde la relaci´on∼ de equivalencia inducida es: a ∼ b si y solo si a⁻¹b∈ H. Si G es abeliano, cada coclase a izquierda aH es coclase a derecha Ha.

Si G es un grupo finito, entonces el orden |G| de G es el n´umero de elementos en G.

Definici´on 2.6. Sea H un subgrupo de un grupo G de orden finito. El

´ındice (G : H) de H en G es igual a|G|/|H|. As´ı, el ´ındice es el n´umero de coclases a izquierda (derecha) de H.

Ejemplo 2.7. Sean G =C − {0} (los n´umeros complejos no nulos) y ∗ la operaci´on (a, b)(c, d) := (ac− bd, ad + bc).

El elemento unidad es (1, 0).

(a, b)⁻¹ =

a

a²+ b², −b a²+ b²

.

Si z = (a, b), z⁻¹ = z

|z|² donde z denota al conjugado y|z| =√ a²+ b² es la distancia del punto al origen.

El subconjunto H ={z : |z| = 1}, es un subgrupo y se nota S¹ (la circunferencia unidad). Si x∈ G entonces xH es la circunferencia de cen- tro (0, 0) y radio |x| (para todo h ∈ H tenemos

|xh| = |x||h| = |x|1 = |x|; ver la figura).

xH

(22)

2.2. Homomorfismos

Una vez definidos los grupos, la pregunta natural es c´omo caracterizarlos:

¿cu´antos grupos “diferentes” existen? Por tanto definimos funciones entre los grupos que relacionen los conjuntos y sus estructuras.

Definición 2.8. Dados dos grupos G, H un homomorfismo es una función f : G→ H (como conjuntos) que satisface f(ab) = f(a)f(b) (la operación a la izquierda de la igualdad es en G y a la derecha es en H).

Esta definici´on puede ser representada diciendo que el siguiente diagrama conmuta. La exigencia para un homomorfismo de preservar la identidad y la inversa es intr´ınseca, f (e) = e, f (a⁻¹) = f (a)⁻¹. Adem´as la imagen de un subgrupo es un subgrupo, en particular f (G)≤ H.

G× G H× H

G H

f ×f-

?

∗

?

∗

-

f

Ejemplo 2.9. La funci´on f : (R, +) −→ (C − {0}, ·) dada por f (x) = (cos x, sen x) = e^ix

satisface

f (x + y) = (cos (x + y), sen(x + y))

= (cos x cos y− sen x sen y, sen x cos y + sen y cos x)

= (cos x, sen y)(cos y, sen x)

= f (x)f (y).

Si pensamos que en la circunferencia S¹ un punto en ella es un ángulo, entonces el producto f (x)f (y) es “geométricamente” la suma de los ángulos.

2.3. Subgrupo normal

Definici´on 2.10. Para cada homomorfismo f : G→ H el conjunto f⁻¹(1) es un subgrupo de G. f⁻¹(1)≤ G recibe el nombre de Ker(f) o n´ucleo de f .

Un homomorfismo es inyectivo si y solo si Ker(f ) ={1}. Este subgrupo n´ucleo goza de la propiedad

gKer(f )g⁻¹ = Ker(f ) para todo g∈ G.

(23)

De hecho, esta propiedad es nada trivial. Si un subgrupo H ≤ G es tal que gHg⁻¹ = H para todo g∈ G lo llamamos normal o invariante y notamos H E G.

Lo de invariante se justifica por lo siguiente: dado g ∈ G definimos i_g : G → G como ig(x) = gxg⁻¹ la cual es biyecci´on y homomorfismo

—isomorfismo (solo cambia los nombres de los elementos y preserva la estructura algebraica y usamos el s´ımbolo≈ para isomorfismo)— más aún, automorfismo (i. e. un isomorfismo de un grupo en s´ı mismo). Este automorfismo i_g es llamado el automorfismo interno de G dado por la conjugación con el elemento g. Por tanto, si H es normal tenemos que i_g(H) = H (no var´ıa) para cada automorfismo interior.

Teorema 2.11. Si H E G entonces el producto (aH)(bH) := abH define

una operaci´on de grupo sobre el conjunto G/H de las coclases a izquierda.

Podemos entonces tratar a las coclases como elementos individuales de un nuevo grupo m´as peque˜no.

Ejemplo 2.12. AnE Sn y Sn/An≈ Z2.

Ejemplo 2.13. El grupo (Z6, +) —el lector familiarizado reconocerá a los enteros módulo 6, ver ejemplo 5.7— tiene a {0, 3} como subgrupo. Como Z6 es abeliano, {0, 3} es normal y podemos formar el grupo cociente por este subgrupo el cual consta de las coclases {0, 3}, {1, 4}, {2, 5}. La figura 2.1 muestra la tabla para Z6 ordenada y coloreada según estas coclases.

El patr´on de color es entonces utilizado para mostrar a la izquierda un esquema del grupo cociente o grupo factor el cual corresponde aZ3 con lo queZ6/{0, 3} ≈ Z3.

Z6 0 3 1 4 2 5

0 0 3 1 4 2 5

3 3 0 4 1 5 2

1 1 4 2 5 3 0

4 4 1 5 2 0 3

2 2 5 3 0 4 1

5 5 2 0 3 1 4

∗

Figura 2.1:Z6/{0, 3} es isomorfo a Z³

Definici´on 2.14. Dos subgrupos H y K de un grupo G son conjugados si existe g∈ G tal que H = gKg⁻¹; es decir, si uno de los grupos es la imagen del otro mediante un automorfismo interno.

(24)

La conjugaci´on es una relaci´on de equivalencia sobre el conjunto de todos los subgrupos de G y un subgrupo H es normal en G si la clase de equivalencia [H] ={H}.

Teorema 2.15. Si H E G y a, b∈ H entonces ab ∈ H si y solo si ba ∈ H, y en este caso aH = b⁻¹H.

Dado un subconjunto S⊆ G de un grupo G, el conjunto N [S] ={x ∈ G | xSx⁻¹= S}

es un subgrupo de G. En particular, si H ≤ G entonces N[H] es el mayor subgrupo que tiene a H como un subgrupo normal, esto es H E N [H]≤ G o dicho de otra manera, N [H] es el subgrupo m´as grande entre H y G para el cual H es normal. Por esta raz´on N [H] es llamado el normalizador de H en G.

2.3.1. Factorizaci´on de homomorfismos

Si f : G → H y g : H → J son homomorfismos (isomorfismos) de grupos, la compuesta g◦ f : G → J tambi´en es un homomorfismo (isomorfismo). Recordemos que un homomorfismo f tiene un comportamiento ideal:

la identidad va a la identidad, la imagen inversa de un subgrupo (normal) es un subgrupo (normal), la preimagen de la identidad es el n´ucleo de f .

El siguiente teorema muestra c´omo factorizar homomorfismos utilizando un isomorfismo.

Teorema 2.16 (cociente para grupos). Sea f : G → H un homomorfismo de grupos. f tiene una única factorización f = i◦ r ◦ q donde q es la función cociente, r está definida como r ([g]) := f (g), i es la inclusión

G H

G/Ker(f ) Im(f )

f -

?

q

r--

≈

6

i

El teorema del cociente para conjuntos (pag. 5), nos dice que tal factorizaci´on existe, falta verificar entonces que las condiciones algebraicas se mantienen (homomorfismos). N´otese que para este diagrama el homomorfismo r es un isomorfismo G/Ker(f ) ≈ r(H) si f es sobreyectiva (Teorema fundamental de homomorfismo).

(25)

2.4. Grupos c´ıclicos

Dado un grupo G y un elemento a∈ G, todos los elementos de la forma aⁿ, n∈ Z tambi´en est´an en G.

Definici´on 2.17. Dado un grupo G y un elemento a∈ G, el conjunto hai := {aⁿ: n∈ Z} =\

i∈I

H_i, H_i ≤ G y a ∈ Hi

es un subgrupo de G, de hecho el subgrupo más pequeño que contiene al elemento a (recuérdese que la intersección de subgrupos es un subgrupo) y es llamado el subgrupo c´ıclico generado por el elemento a.

Si G =< a > para alg´un a, decimos que G es c´ıclico generado por a.

Ejemplo 2.18. Si G = (Z, +) entonces G = h1i; además, si H ≤ G, entonces H también es c´ıclico, es decir, H = hni para algún n ∈ Z, y lo notamos nZ := hni (recordemos que la operación es aditiva y que nZ := {nk : k ∈ Z}). Como nZ ≤ Z dado un a ∈ Z, la coclase a + nZ := {a + nk : k ∈ Z} es el conjunto de los enteros que tienen residuo a al dividirlos por n.

Hay exactamente n−coclases diferentes, a saber:

nZ, 1 + nZ, 2 + nZ, . . . , (n − 1) + nZ.

La relaci´on b⁻¹a ∈ H se traduce en a ∼ b := aH = bH. Como q : G → G/H debe ser un morfismo de nuestra teor´ıa de grupos, q⁻¹(0) = q⁻¹[H] = Ker(q) = H debe ser un subgrupo normal de G.

Nótese que los grupos c´ıclicos son abelianos. Una caracterización rec´ıpro- ca de la anterior implicación se tiene de manera parcial si el grupo es “sufi- cientemente pequeño”.

Un grupo c´ıclico puede tener un n´umero infinito de elementos (el orden de un grupo G es o(G) := #(G) cardinal de G), caso en el cual G≈ (Z, +), es decir, existe una funci´on f : G→ Z biyectiva y homomorfismo de grupos.

Si G es c´ıclico y tiene un n´umero finito de elementos, entonces G≈ (Zn, +) para alg´un n∈ Z.

Nota. Zn:=ha : aⁿ= 0i, el grupo generado como en la siguiente definici´on.

(26)

2.5. Grupos generados

Dados los elementos a_i ∈ G con i ∈ I, la intersección de todos los subgrupos de G que contienen a todos los ai con i∈ I es de nuevo un subgrupo notado h{ai : i∈ I}i. Nótese que h{ai : i∈ I}i es el subgrupo más pequeño de G que contiene a {ai : i∈ I}.

Definici´on 2.19. Si G =h{ai: i∈ I}i, decimos que G es generado por el conjunto{ai: i∈ I} y que los aison los generadores de G. Si #(I) es finito, entonces G es generado finitamente.

N´otese que un elemento g ∈ h{ai : i ∈ I}i es un producto finito de potencias enteras de elementos a_i. Si el grupo no es abeliano, las potencias de un a_i pueden ocurrir varias veces.

Ejemplo 2.20. Z × Z2 es generado por{(1, 0), (0, 1)}.

Definici´on 2.21. El orden o(a) de un elemento de un grupo a ∈ G, es el menor entero n tal que aⁿ= e. Si tal n no existe, decimos que el orden de a es infinito y en cierta manera a es “libre” de generar tantos elementos como quiera.

Si en un grupo G cada elemento tiene orden finito, decimos que G es un grupo con torsi´on.

Si ning´un elemento en G (excepto la identidad) tienen orden finito, decimos que G es libre de torsi´on (por ejemplo Z).

Definici´on 2.22. Si un grupo G es abeliano, el conjunto T_Gde los elementos de orden finito es un subgrupo de G llamado el subgrupo torsi´on de G.

Ejemplo 2.23. Si G =Z × Z2, entonces T_G={(0, 0), (0, 1)}.

Lema 2.24 (Factorización). Si G es abeliano y generado finitamente entonces G≈ TG× F , donde TG es el subgrupo de torsión de G y F ≤ G es libre de torsión.

Lema 2.25. Si G es abeliano, finitamente generado y libre de torsi´on (no le quedan muchas posibilidades a G) G≈ Z × · · · × Z (m−veces, m ∈ Z⁺).

Lema 2.26. Si G es abeliano y de orden finito, entonces G es isomorfo a un producto directo de grupos c´ıclicos

G≈ Zp^r1₁ × · · · × Zp^rnn ,

(27)

donde los p_i son primos (no necesariamente distintos).

A´un tenemos esta otra caracterizaci´on:

G≈ Zm1 × · · · × Zmn,

donde m_i|mi+1 (y esta caracterización es única). Los enteros m_i se llaman los coeficientes de torsión.

Ejemplo 2.27. Z5× Z5× Z96≈ Z5²× Z9≈ Z225.

Teorema 2.28 (Fundamental de los grupos abelianos finitamente generados). Si G es abeliano y finitamente generado entonces

G≈ Z_p^r1₁ × · · · Zp^rnn × Z × · · · × Z ≈ T × F con los pi primos, o,

G≈ Zm1× · · · Zmn × Z × · · · × Z,

donde m_i|mi+1; en ambos casos el n´umero de factores de Z se llama el n´umero de Betti ¹ de G.

2.5.1. El subgrupo conmutador

Si partimos de un grupo G no abeliano, es posible obtener una versión abelianizada de G requiriendo que ab = ba para todo a y b en G de la nueva versión. Es decir, aba⁻¹b⁻¹ = 1 en el nuevo grupo. Un elemento de la forma aba⁻¹b⁻¹se llama conmutador y por tanto lo requerido en la abelianización es que todos los conmutadores se identifiquen con el elemento unidad.

Definici´on 2.29. Dado un grupo G, el subgrupo generado por el conjunto de todos los elementos commutadores,

[G; G] :=haba⁻¹b⁻¹: a, b∈ Gi es normal y es llamado el subgrupo conmutador.

El grupo cociente G/[G; G] es abeliano y se considera la versi´on abelianizada de G.

1En honor al matem´atico italiano Enrico Betti (1823-1892).

(28)

2.6. Construcci´ on de nuevos grupos

Definici´on 2.30. Si G1, G2, . . . , Gn son grupos, al producto cartesiano Yn

k=1

G_k= G₁× · · · × Gn

le damos una estructura de grupo al operar las n−tuplas ordenadas operando componente a componente,

(a1, . . . , an)∗ (b1, . . . , bn) := (a1b1, . . . , anbn)

y se le llama el producto directo externo de los grupos Gi. Esta definici´on es extendible a cualquier familia de grupos no necesariamente finita.

N´otese que cada G_kes isomorfo de una manera natural (sin esfuerzo) a un subgrupo Gk de

Qn k=1

G_k cuando identificamos cada g∈ Gk con el elemento (e₁, . . . , e_k−1, g, e_k+1, . . . , e_n) ∈ Qⁿ

k=1

G_k. Entonces decimos que Qⁿ

k=1

G_k es el producto directo interno de estos subgrupos Gk a cambio de decir que era el producto directo externo de los G_k.

Ejemplo 2.31. Si m, n∈ Z⁺sin factores comunes diferentes de 1, entonces Zm× Zn≈ Zmn; más general aún, si m₁, m₂, . . . , m_n∈ Z⁺ con un máximo común denominador MCD(m₁, . . . , m_n) = 1, entonces Qn

k=1Zmk es c´ıclico y se tiene

Yn k=1

Zmk ≈ Zm1···mn.

Ejemplo 2.32. Z8× Z9 ≈ Z72.

Ejemplo 2.33 (Teorema fundamental). Si n = pⁿ₁¹ · pⁿ2² · · · pⁿr^r se escribe como potencia de primos diferentes entoncesZn≈ Z_pⁿ¹

1 × · · · × Zp^nrr .

2.7. Grupos libres

Sea A un conjunto de cardinalidad a cuyos elementos a, b, c . . . ∈ A pueden ser s´ımbolos abstractos o pueden ser objetos provenientes de alg´un otro contexto matem´atico.A es llamado un alfabeto y sus elementos letras.

(29)

Por una s´ılaba entendemos un s´ımbolo aⁿ donde a ∈ A y n ∈ Z. Una palabra es definida como una sucesi´on ordenada de s´ılabas.

Por ejemplo b⁻³a⁰a¹c²c²a⁰c¹ es una palabra de siete (7) s´ılabas. En una palabra las s´ılabas son escritas una tras de otra a la manera de un producto formal. Cada s´ılaba en s´ı misma es una palabra (una uno–s´ılaba). Existe una ´unica palabra que no tiene s´ılabas, la llamamos la palabra vac´ıa y se denota por el s´ımbolo 1. As´ı que tenemos las siguientes condiciones:

1. Si A = {ai}i∈I es un alfabeto de letras a_i, cualquier s´ımbolo de la forma aⁿ_i con n∈ Z es una s´ılaba.

2. Una sucesi´on finita de s´ılabas es una palabra.

3. La palabra vac´ıa es la palabra sin s´ılabas y notada por 1.

Notación: a¹_i := a_i, a⁰_i := 1, a^m_i aⁿ_i := a^m+n_i . Estas dos últimas condiciones conducen a las llamadas palabras reducidas, es decir, aquellas donde no es posible reducir más.

Ejemplo 2.34. a³₂a⁻¹₂ a₃a²₁a⁻⁷₁ a⁰₀= a²₂a₃a⁻⁵₁ .

El conjunto de todas las palabras reducidas del alfabeto A lo notamos L[A].

N´otese que L[A] tiene de manera natural una estructura de grupo: dadas las palabras w₁, w₂ ∈ L[A] definimos : L[A] × L[A] → L[A] donde w1 w2

es la simple yuxtaposici´on de w₁ con w₂.

Ejemplo 2.35. Para w₁= a³₂a⁻⁵₁ a²₃, w₂= a⁻²₂ , entonces w₁w2= a³₂a⁻³₁ a₃a⁻²₂ . Pareciera obvio que esta función está bien definida, es asociativa, y tiene a la palabra vac´ıa 1 como elemento idéntico. La inversa de una palabra w es la palabra w⁻¹ obtenida al revertir el orden de las s´ılabas y cambiar el signo del exponente en cada s´ılaba.

Ejemplo 2.36. Para w = a³₂a⁻⁴₁ a₂ tenemos w⁻¹= a⁻¹₂ a⁴₁a⁻³₂ . Definici´on 2.37. (L[A], ) es el grupo libre generado por A.

Si A = ∅ entonces L[A] = {e}.

Si A = {a} entonces L[A] es c´ıclico infinito.

(30)

Recordemos (ver sección 2.5) que si G es un grupo y E ⊆ G, entonces existe el menor subgrupo de G que contiene a E y lo notamos hEi. Un elemento g ∈ hEi si y sólo si g = eⁿ₁¹eⁿ₂²· · · eⁿ_k^k, para elementos e_i ∈ E, n_i ∈ Z. Si G = hEi, decimos que E es un subconjunto generador de G; si además G = hEi para un conjunto E finito, decimos que G es generado finitamente.

Dado un grupo G y un conjunto generador A ={ai|i ∈ I} de G, podemos preguntarnos si G es libre sobre el conjunto A ={ai|i ∈ I}, es decir, si G es

“esencialmente” el grupo libre L[A].

Definici´on 2.38. Si G es un grupo tal que G =hAi y existe un isomorfismo φ : G−→ L[A] tal que φ(a^≈ i) = a_i, decimos que G es libre sobre A, y que los elementos a_i son los generadores libres de G. Un grupo es libre si es libre sobre alg´un conjunto{ai}i.

Nótese que en la anterior definición intervienen G, A y φ. Si A tiene más de un elemento entonces L(A) no es abeliano. De manera más general, tenemos el siguiente hecho: Un grupo G es libre si y solo si G es isomorfo a L(A) para para algún A.

Ejemplo 2.39. Z = hAi es libre sobre A para A = {1}. El isomorfismo φ se define como:

φ :Z −→ L[A]

n7−→ 1ⁿ:= n· 1 donde en particular φ(1) = 1¹ := 1.

Por supuesto todo grupo libre es infinito a menos que A = ∅ y en este caso L[A] ={1}. En un grupo libre, ningún elemento excepto el elemento neutro tiene orden finito (i.e. la representación de la unidad e es única por la palabra vac´ıa). Además, “es claro” que los grupos libres son en efecto libres de torsión, pero lo contrario no es cierto: Z × Z es libre de torsión pero no es un grupo libre, pues es abeliano y no es c´ıclico.

Adem´as, si G es libre tanto sobre A como sobre B, entonces #A = #B (#A denota el cardinal de A) y este cardinal se llama el rango del grupo libre G. (Algunos autores denominan al conjunto A una base libre).

Proposición 2.40 (Clasificación). Dos grupos libres son isomorfos si y sólo si tienen el mismo rango.

(31)

Teorema 2.41. Dados un conjunto A, un grupo H y una funci´on f : A −→ H, existe un ´unico homomorfismo f : L[A]−→ H tal que para todo a, b ∈ A y todo n, m ∈ N se tiene que f(a) = f (a) y f (a^mbⁿ) = f (a)^mf (b)ⁿ.

A

H L[A]

@@@R

g

f

p p p p p p p p p p p p

p

f

“Un homomorfismo es determinado por las im´agenes de un conjunto generador”.

2.7.1. Grupos libres abelianos

Los grupos libres como han sido definidos no son en general conmuta- tivos, pero al obtener la versi´on abelianizada de este grupo libre, es decir, al formar el grupo cociente por el subgrupo conmutador L[A]/ [L[A]; L[A]],

´este resulta libre abeliano.

Definici´on 2.42. Un grupo G es un grupo libre abeliano si G≈ L[A]/ [L[A]; L[A]] ,

para alg´un grupo libre L[A]. G se nota entonces como Ab{A}.

Obs´ervese que para este cociente, i. e. para G, los elementos se pueden

escribir como productos finitos Q

j∈N

aⁿ_i_j^j, donde cada aij aparece una sola vez.

Es com´un notar en este caso a los elementos de manera aditiva:

n₁a_i₁+ n₂a_i₂+· · · + nka_i_k.

Para A = {ai}i la colecci´on de las coclases [a_i] se llama una base en L[A]/ [L[A]; L[A]].

Ejemplo 2.43. Zⁿ=Z × Z × · · · × Z (n-veces) es un grupo libre abeliano.

Ejemplo 2.44. Si A ={a, b}, L[A] puede ser representado como {aⁿb^m : n, m∈ Z} y ab 6= ba.

Por su parte Ab{A} = Z × Z.

Si recordamos que para G ≈ H se tiene que G/[G; G] ≈ H/[H; H], podemos clasificar los grupos abelianos libres de orden finito.

(32)

2.7.2. Representaci´on de grupos libres

El objeto de esta secci´on es definir un grupo por medio de generadores y relaciones entre los generadores. Por supuesto el conjunto de generadores siempre existe, luego el m´erito es encontrar las relaciones.

Ejemplo 2.45. Si G =hAi para A = {x, y} y deseamos que G sea abeliano entonces la relaci´on entre los generadores es xyx⁻¹y⁻¹= 1.

Ejemplo 2.46. Si G =hAi para A = hai y aⁿ= 1, obtenemos que G≈ Zn. Sean H un grupo y K un subgrupo de H. Definimos K la clausura normal de K como el menor subgrupo normal que contiene a K; en otras palabras, K es la intersecci´on de todos los subgrupos normales de H que contienen a K,

K =\

{M : M E H y K ≤ M}.

De manera particular, dado R⊆ L[A] notemos por R la intersecci´on de todos los subgrupos normales de L[A] que contienen a R. R es un subgrupo normal y el grupo cociente L[A]/R se conoce como el grupo generado por A sujeto a las condiciones R. En este nuevo grupo notado como [A; R]

para toda palabra r ∈ R se tiene r = 1.

Definici´on 2.47. Si un grupo G es tal que G≈ [A; R] (isomorfos), decimos que [A; R] es una representaci´on de G.

Ejemplo 2.48. Por supuesto, la representaci´on de un grupo en general no es ´unica:

[{x}; ] = [{x, y}; x] son presentaciones para el grupo c´ıclico infinito.

[{x, y}; xyx⁻¹y⁻¹] es una presentaci´on para el grupo libre abeliano con dos generadores.

[{a}; a²] = [{a, b}; a², b] son presentaciones para Z2.

[{x, y}; xyx⁻¹y⁻¹, x², y³] = [{a}; a⁶] son presentaciones para Z6. La primera describe la estructura de Z6 como Z2× Z3.

[{x, y}; x², y², (xy)ⁿ] es una presentaci´on para el grupo dih´edrico de orden 2n.

K = [{i, j} : i⁴ = 1, i² = j², ji = i³j] es una presentaci´on del grupo, en realidad cuerpo, de los cuaterniones de Hamilton (donde k = ij).

(33)

Sean G un grupo, [A, R] una presentación de un grupo y φ : L[A] → G un homomorfismo tal que ker(φ) = hRi. Entonces φ determina una representación de G (ver el siguiente diagrama, donde q es la proyección natural y ψ es definida de la manera obvia):

L[A]

[A, R] G

?

q

@@

@@R

φ

ppppp-pp

ψ

Una presentaci´on [X, R] es generada finitamente si X es finito y es relacionada finitamente si R es finito. [X, R] es finita si tanto X como R son finitos.

2.8. Producto libre de grupos

Supongamos que nos es dada una colecci´on {Gα} de grupos y deseamos construir a partir de ella un grupo que contenga a cada grupo de la colecci´on como un subgrupo. Una manera de hacer esto es tomar el grupo producto Q

αGα, cuyos elementos son las funciones α7→ gα∈ Gαcon la multiplicación definida por (g_α)(f_α) = (g_αf_α) —esta definición generaliza a la definición 2.30—. O podemos restringirnos a funciones que toman un valor diferente a la unidad a lo más en un número finito de ´ındices, formando el grupoL

αG_α llamado la suma directa.

Dados homomorfismos Θα: Gα → Hα, la funci´on M

α

Θ_α :M

α

G_α →M

α

H_α definida por M

Θ_α(g_α) = (Θ_α(g_α))

es un homomorfismo, y si cada Θ_α es un isomorfismo, as´ı lo esL

αΘ_α. Cada una de las dos construcciones anteriores produce un grupo con- teniendo a cada uno de los G_α como un subgrupo pero con la propiedad de que elementos en diferentes subgrupos Gα conmutan; por ejemplo (g₁, e, e, . . .)∗ (e, g2, e, . . .) = (g₁, g₂, e, . . .) = (e, g₂, e, . . .)∗ (g1, e, e, . . .) (al fin y al cabo se multiplica en esa coordenada por la unidad). Pero fuera del contexto de los grupos abelianos esta conmutatividad es no natural, y por tanto requerimos una versi´on no abeliana de Q

αG_α o L

αG_α. Como la suma en el segundo grupo es más pequeña y simple que en el primero, construimos la versión para L

αG_α, y es lo que llamaremos el producto libre (externo)∗αG_α de los G_α.

(34)

Definici´on 2.49. El producto libre de una colecci´on {Gα} de grupos es el conjunto ∗αG_α, el cual consta de todas las palabras g₁g₂· · · gm de longitud m para cualquier m∈ Z, donde cada letra gi pertenece a uno de los grupos G_α y sujeto a las siguientes dos condiciones:

1. Dos t´erminos de la palabra que sean sucesivos pertenecen a grupos diferentes, y

2. Ningún término es el elemento identidad de algún G_α.

As´ı que si hay términos sucesivos que pertenecen al mismo grupo los multi- plicamos, y si hay términos que son identidades los cancelamos, para obtener las palabras reducidas. La palabra vac´ıa es también permitida y será la identidad de ∗αG_α.

La operación ∗ de grupo es definida por yuxtaposición (hemos decidido obviar las comas y paréntesis cuando la notación sea clara)

g₁g₂· · · gm∗ h1h₂· · · hn= g₁g₂· · · gmh₁h₂· · · hn

donde en este producto reducimos si es necesario, es decir, si g_m, h₁ pertenecen al mismo grupo G_α, ellos son remplazados por el ´unico elemento g_mh₁ en Gα, y si llegare a ser la identidad, la cancelamos. El inverso de g1g2· · · gm

ser´a la palabra g_m⁻¹· · · g1⁻¹.

Ejemplo 2.50. (Un producto libre de grupos que no es un grupo libre.) Sean G₁ ={1, a}, G2 ={1, b} grupos c´ıclicos de orden 2 (cada uno de ellos homeomorfo aZ2). Cada elemento g6= 1 ∈ Z2∗ Z2 puede ser escrito solo como palabras con a y b (puesto que las potencias mayores de 1 no son necesarias ya que a² = 1 = b²), con los factores a y b de manera alternante:

a, ab, aba, abab, etc., o b, ba, bab, baba, etc. N´otese que los elementos ab, ba son ambos de orden infinito, y son diferentes.

Por supuesto queZ2∗ Z26= Z2⊕ Z2, pues este último (el producto débil o producto directo) es un grupo abeliano de orden 4, mientras que el grupo libreZ2∗Z2 es no abeliano con elementos de orden infinito. TambiénZ2∗Z2

es diferente del grupo libre L[a, b].

Si consideramos las aplicaciones θ_α : G_α ,→ ∗αG_α con θ_α(g) = g, cada subgrupo G_α est´a inmerso de manera natural en ∗αG_α como el subgrupo formado por la palabra vac´ıa m´as las 1–palabras g∈ Gα.

(35)

Dada una colecci´on de homomorfimos Θ_α : G_α → H, ella se extiende a un homomorfismo Θ :∗αG_α→ H definido por

Θ(g_α₁g_α₂· · · gαm) = Θ(g_α₁)Θ(g_α₂)· · · Θ(gαm).

Por ejemplo, las inclusiones G₁ ,→ G1 × G2, G₂ ,→ G1 × G2 inducen un homomorfismo sobreyectivo G1∗ G2→ G1× G2.

Tenemos una relaci´on importante entre presentaciones y producto libre:

Teorema 2.51. Si{x1, . . . , x_m; r₁, . . . , r_n} y {y1, . . . , y_p; s₁, . . . , s_q} son re- presentaciones de los grupos G y H, respectivamente, entonces G∗H es isomorfo al grupo con representaci´on{x1, . . . , x_m, y₁, . . . , y_p; r₁, . . . , r_n, s₁, . . . , s_q}.

2.8.1. Producto amalgamado de dos grupos

A manera de ejemplo, y por su utilidad en la demostraci´on del Teorema de Seifert—VanKampen de la secci´on 4.62, estudiaremos en detalle el producto amalgamado de dos grupos, el cual es un grupo cociente del producto libre de los grupos obtenido al “amalgamar” o identificar subgrupos.

Dados los grupos G₀, G₁, G₂ y los morfismos ϕ₁ : G₀ → G1, ϕ₂ : G₀ → G2, consideremos el menor subgrupo normal N ≤ G1∗G2que contiene todos los elementos de la forma ϕ₁(g)ϕ₂(g)⁻¹ y ϕ₂(g)ϕ₁(g)⁻¹ para g ∈ G0 (para g ∈ G0 los elementos ϕ₁(g) y ϕ₂(g) se han igualado).

G₀

G₁ G₂

@@R

ϕ2

ϕ1

El grupo cociente G₁∗ G2/N := G₁∗G0G₂ se llama el producto de G₁ y G₂ amalgamado por G₀.

Si q : G₁∗ G2 → G1∗ G2/N es la función cociente, para las aplicaciones θ₁ : G₁ ,→ G1 ∗ G2 y θ₂ : G₂ ,→ G1 ∗ G2 tenemos que los homomorfismos q₁= q◦ θ1 : G₁,→ G1∗ G2 → G1∗ G2/N y q₂ = q◦ θ2 satisfacen la relación q₁◦ ϕ1 = q₂◦ ϕ2 ya que para g∈ G0 tenemos que los elementos θ₁(ϕ₁(g)) y θ₂(ϕ₂(g)) difieren en un elemento que está en N = ker(q).

G₁

G0 G1∗ G2 G₁∗ G2/N

G2

HH^θHH¹ HHj

XXXXXXXX

XXXXXz

q1

HHHH

HHj

ϕ2

*

ϕ1

q-

_θ*

2

:

q2

(36)

Topolog´ıa

Contenido

3.1. Construcción de espacios topológicos . . . . 26 3.1.1. Suma topológica o topolog´ıa de la unión libre . . . 26 3.1.2. Topolog´ıa cociente o identificación . . . 29 3.2. Grupos Topológicos . . . . 44 3.2.1. Espacios órbita . . . 52 3.3. Espacios de Funciones . . . . 56 3.3.1. La topolog´ıa punto–abierto . . . 56 3.3.2. La topolog´ıa compacto–abierto . . . 59 3.3.3. ¿(Z^Y)^X ≈ Z^X×Y? . . . 61 3.4. Conexidad . . . . 62 3.4.1. Subespacios conexos maximales. . . 65 3.5. Caminos . . . . 66 3.5.1. Conexo por caminos . . . 67 3.5.2. Componentes conexas por caminos . . . 69 3.5.3. localmente conexo por caminos . . . 70

En este cap´ıtulo (que puede ser considerado el cimiento de este texto) presentamos los conceptos de la topolog´ıa de conjuntos requeridos en la parte de la topolog´ıa algebraica que desarrollaremos en los cap´ıtulos siguientes.

Suponemos que el lector ya ha tomado un primer curso en topolog´ıa general.

25

(37)

3.1. Construcci´ on de espacios topol´ ogicos

Esta sección está dedicada a presentar las construcciones que permiten la creación de nuevos espacios topológicos a partir de espacios dados.

Recordemos que si f : X → Y es continua entonces sus restricciones f|A a A ⊆ X son continuas si damos las correspondientes topolog´ıas de subespacios.

3.1.1. Suma topológica o unión libre de espacios topológicos Definición 3.1. Si{(Xα, T_α)}α∈Λ es una colección de espacios topológicos disyuntos, para el conjunto

X = a

α∈Λ

X_α= [

α∈Λ

X_α =X

X_α (el s´ımbolo a

por lo disyuntos)

definimos una topolog´ıa T = P

T_α como: U ⊆ X es abierto si y s´olo si U∩ Xα es abierto en X_α para cada α∈ Λ.

Esta topolog´ıa es conocida como la topolog´ıa de la uni´on disyunta, o la uni´on libre de los espacios X_α, y el espacio P

X_α es llamado la suma de los espacios X_α.

Ejemplo 3.2. Usando la topolog´ıa usual de Rⁿ en cada uno de los subespacios.

= + = S

En X el subconjunto Y es abierto.

El requerir que los espacios involucrados sean disyuntos entre s´ı puede ser evitado, dado que cualquier colecci´on de conjuntos puede ser reempla- zada por una colecci´on disyunta. En efecto, si {Xα}α∈Λ es una familia de conjuntos, para cada α∈ Λ definimos

Xα:= X_α× {α} (X es pintado de color α).

La familia {Xα}α∈Λ es disyunta y los espacios respectivos X_α y Xα son homeomorfos siXαtiene la topolog´ıa producto, es decir, U_α×{α} es abierto si y s´olo si U_α es abierto en X_α.

(38)

La uni´on libre (o uni´on disyunta) de la familia{Xα}α∈Λ es entonces el espacio

aX_α :=X

X_α = [

α∈Λ

Xα ={(xα, α) : x_α∈ Xα, α∈ Λ}.

N´otese que las inclusiones i_β : X_β ,→`

Xα definidas por x7→ (x, β) tambi´en definen los abiertos de `

X_α como aquellos subconjuntos para los cuales todas sus preim´agenes por las inclusiones i_α son abiertas.

Esta topolog´ıa es la final, la más fina o más grande (mayor número de abiertos), o la “mejor” para la cual todas las inclusiones i_α son continuas;

de hecho, las i_α son inmersiones y sus im´agenes son tanto abiertas como cerradas en `

X_α.

Topolog´ıa coherente con una colecci´on

Si X es un conjunto que es la unión de una familia de conjuntos A = {Aα}α∈Λ donde cada A_α tiene su propia topolog´ıa, pero no son necesariamente disyuntos, y tampoco queremos dar a X la anterior topolog´ıa de la unión disyunta, entonces, para dejar a X intacto como conjunto, es posible dar a X otra topolog´ıa llamada la topolog´ıa suma débil o coherente con la colección A, la cual tendrá la propiedad de preservar las topolog´ıas de los Aα, es decir que cuando Aα obtenga la topolog´ıa de subespacio de X,

´esta coincida con la que ten´ıa al inicio.

Pero para poder considerar la existencia y poder definir esta topolog´ıa, requerimos cierto buen comportamiento entre los espacios A_α; precisamente requerimos que:

1. Las topolog´ıas de A_α y A_β coincidan sobre A_α∩Aβ para todo α, β ∈ Λ, es decir, que la topolog´ıa de A_α∩ Aβ como subespacio de A_α sea la misma que como subespacio de A_β y,

2. O bien suceda que:

a) Aα∩ Aβ sea abierto tanto en Aα como en A_β para todo α, β∈ Λ, o,

b) Aα∩ Aβ sae cerrado tanto en Aαcomo en A_β para todo α, β∈ Λ.

Si 1 y 2 se satisfacen, la colecci´on

T(A) = {U ⊆ X : U ∩ Aα es abierto en A_α, para todo α∈ Λ}