GEOMETRÍA DESCRIPTIVA: EJERCICIOS RESUELTOS Y BIBLIOGRAFÍA COMENTADA

(1)

Dr. Juan Carlos Gómez Vargas Departamento de Expresión Gráfica, Arquitectónica y en la Ingeniería.

UNIVERSIDAD DE GRANADA

EJERCICIOS RESUELTOS Y BIBLIOGRAFÍA COMENTADA

Edición revisada y ampliada

Incluye Ejercicios Resueltos de Diédrico Directo

(2)

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA:

EJERCICIOS RESUELTOS Y BIBLIOGRAFÍA COMENTADA

Edición revisada y ampliada Incluye Ejercicios Resueltos de Diédrico Directo

Dr. Juan Carlos Gómez Vargas Departamento de Expresión Gráfica, Arquitectónica y en la Ingeniería.

UNIVERSIDAD DE GRANADA

(3)

Dr. Juan Carlos Gómez Vargas | 2

No está permitida la reproducción total o parcial de esta obra, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por ningún medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, u otros medios, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

©Juan Carlos Gómez Vargas

Primera edición: Septiembre de 2016 www.jcgomvar.es

[email protected]

ISBN: 978-84-617-4565-4 Depósito Legal: GR 1052-2016

Foto de la portada: Juan Carlos Gómez Vargas Maquetación: Juan Carlos Gómez Vargas

(4)

Dr. Juan Carlos Gómez Vargas | 3

“Puedes llegar a cualquier parte siempre que andes lo suficiente”

Lewis Carroll (1832 – 1898) Dedicado a mi familia

Mi agradecimiento a todos los compañeros del Departamento de

Expresión Gráfica, Arquitectónica y en la Ingeniería de la Universidad de

Granada y muy especialmente a aquellos con los que comparto con

ilusión la tarea de transmitir el cariño por el estudio de la Geometría

Descriptiva, en cualquiera de sus denominaciones y en las distintas escuelas

donde se imparte, pues este libro es también un poco suyo.

(5)

Dr. Juan Carlos Gómez Vargas | PRÓLOGO A LA PRESENTE EDICIÓN 4

PRÓLOGO A LA PRESENTE EDICIÓN

De todos los Sistemas de Representación, el Diédrico se considera básico para poder estudiar, con posterioridad, los demás. Por este motivo, goza de un mayor peso específico en el programa de la asignatura de Geometría Descriptiva y, por consecuencia, en el presente documento lo que conlleva una mayor dedicación. No obstante, también se ha prestado especial interés al resto de sistemas que estructuran el índice.

Se incluye un capítulo dedicado en exclusividad al Sistema Diédrico, más aún cuando son cada día más las carreras y disciplinas técnicas que apuestan por su enseñanza y, en particular, las escuelas de Arquitectura.

Continuando con la trayectoria de los textos origen, se han obviado las referencias teóricas, consciente el

autor de la multitud de bibliografía de calidad existente donde se pueden consultar y ampliar los conocimientos,

algo fundamental y previo a la realización de cualquier ejercicio, para que el alumno o usuario de este cuaderno se

centre en la resolución de la práctica, razonando cada paso y visualizándolo espacialmente.

(6)

Es por ello que, para facilitar esta labor, se incluye, complementario a la bibliografía de base, una bibliografía donde se comentan algunos de los textos de referencia de esta disciplina desde el punto de vista del autor y sin querer en ningún caso realizar una crítica ni tan siguiera somera de ninguno de ellos.

Se insiste en que la realización de los ejercicios se produzca entendiendo, profundamente, cada una de las construcciones realizadas y su correspondiente visión espacial. En muchos casos, requerirá el repaso de conceptos previos de Geometría, volviendo a lo comentado anteriormente referente a la utilización de libros de consulta.

Los ejercicios se realizarán siempre en los formatos y según las condiciones dispuestas en los enunciados y

los dibujos han de realizarse a lápiz sin borrar los trazados auxiliares.

(7)

En referencia a la notación empleada, los elementos del espacio aparecen con letra mayúscula (Punto A, Recta R y Plano P), las proyecciones de los puntos con letra minúscula (llamamos a a la proyección horizontal de A y a’ a su proyección vertical), las proyecciones de la recta también con letra minúscula (r proyección horizontal de R, r’ proyección vertical de R), los abatimientos entre paréntesis ((A) abatimiento del punto A). Cuando se trata de un punto A, B,… podemos referirnos a sus proyecciones (a, a’), (b, b’),…

El presente documento se ha elaborado con la intención de ser una herramienta útil para los estudiantes de carreras técnicas y, en general, para todos aquellos que se aventuran en el conocimiento de la Geometría Descriptiva.

“No entre nadie que no sepa Geometría”

Frase ubicada en el frontal de la Academia,

fundada por Platón alrededor del 388 a.C

(8)

Dr. Juan Carlos Gómez Vargas | ÍNDICE 7

ÍNDICE

PRÓLOGO A LA PRESENTE EDICIÓN ... 4

ÍNDICE ... 7

1. SISTEMA DIÉDRICO ... 9

1.1 PUNTO, RECTA Y PLANO ... 10

1.2 INTERSECCIONES DE PLANOS ... 14

1.3 PARALELISMO ... 19

1.4 PERPENDICULARIDAD ... 23

1.5 DISTANCIAS ... 26

1.6 VERDADERAS MAGNITUDES ... 29

1.6.1 ABATIMIENTOS, GIROS Y CAMBIOS DE PLANO... 30

1.6.2 FORMAS PLANAS ... 34

1.6.3 POLIEDROS SOBRE PLANOS ... 36

1.7 ÁNGULOS ... 43

1.7.1 ÁNGULO DE RECTA Y PLANO ... 44

1.7.2 ÁNGULO DE DOS PLANOS ... 46

1.8 SECCIONES PLANAS ... 48

1.9 SECCIONES CÓNICAS ... 53

1.10 INTERSECCIÓN DE RECTA CON SUPERFICIES ... 58

1.11 INTERSECCIONES DE SUPERFICIES ... 61

1.12 SOMBRAS ... 72

1.13 ASÓLEO ... 77

2. SISTEMA DIÉDRICO DIRECTO ... 80

2.1 PROCEDIMIENTOS ... 81

(9)

Dr. Juan Carlos Gómez Vargas | ÍNDICE 8

3.1 RESOLUCIÓN DE CUBIERTAS ... 97

3.2 REPRESENTACIÓN DE TERRENOS ... 107

4. SISTEMA AXONOMÉTRICO ... 113

4.1 AXOMETRÍA ORTOGONAL ... 114

4.2 AXOMETRÍA OBLICUA ... 119

5. SISTEMA CÓNICO ... 122

5.1 PERSPECTIVA CÓNICA ... 123

6. BIBLIOGRAFÍA DE BASE ... 130

7. BIBLIOGRAFÍA COMENTADA ... 132

7.1 INTRODUCCIÓN ... 133

7.2 RESEÑAS BIBLIOGRÁFICAS ... 136

ÍNDICE ALFABÉTICO ... 166

(10)

Dr. Juan Carlos Gómez Vargas | SISTEMA DIÉDRICO 9

1. SISTEMA DIÉDRICO

(11)

1.1 PUNTO, RECTA Y PLANO

(12)

EJERCICIO SD_PRP_1

Determinar la traza que le falta al plano P dado por una traza y un punto A que pertenece al plano, según las figuras que se esquematizan.

Formato A4 vertical

Solución Ejercicio SD_PRP_1

(13)

EJERCICIO SD_PRP_2

Determinar las trazas del plano dado por las rectas R y S.

Formato A4 vertical

(14)

EJERCICIO SD_PRP_3

Dada la recta R, definida por los puntos A y B, y la recta S, definida por los puntos C y N, siendo N un punto de la recta R.

Determinar las trazas del plano P dado por estas rectas.

A(0,22,43); B(0,63,13) C(40,65,55); N(0,Y,37)

Formato A4 vertical. Línea de tierra y origen centrados. Medidas en mm.

(15)

1.2 INTERSECCIONES DE PLANOS

(16)

EJERCICIO SD_IP_1

Dados los puntos A(-42,6,40), B(20,28,70) y C(47,82,10) que definen un triángulo, se pide:

1. Hallar la intersección que el plano P con vértice a la derecha en el punto O(85,0,0) formando sus trazas con la línea de tierra un ángulo de 45º, produce sobre la superficie del triángulo.

2. Determinar la verdadera magnitud del triángulo y de la intersección con el plano P.

Solución Ejercicio SD_IP_1

(17)

EJERCICIO SD_IP_2

Determinar la intersección entre los triángulos ABC y DEF representando la visibilidad entre ambos.

A(-67,11,77) D(-56,106,62)

B(0,14,75) E(0,21,99)

C(35,130,37) F(31,49,7)

Formato A4 vertical. Línea de tierra centrada y origen a 130 mm del borde izquierdo del mismo. Medidas en mm.

(18)

EJERCICIO SD_IP_3

Determinar la intersección entre los triángulos ABC y DEF.

A(-74,46,8) D(15,75,44)

B(-31,10,53) E(55,15,70)

C(-6,92,26) F(77,35,5)

Formato A4 vertical. Línea de tierra centrada y origen centrados. Medidas en mm.

(19)

EJERCICIO SD_IP_4

La recta R, definida por los puntos A(30,-40,20) y

B(50,-60,10), es la línea de máxima inclinación de un plano.P.

Hallar la intersección de la recta S dada por los puntos C(0,30,16) y D(60,50,-27) con el citado plano P.

Formato A4 vertical. Línea de tierra centrada y origen centrados. Medidas en mm.

(20)

1.3 PARALELISMO

(21)

EJERCICIO SD_PARAL_1

Dado el plano P definido por los puntos A(-40,0,0), B(0,30,0) y C(0,0,-60), hallar las proyecciones de la recta R dado por los puntos M(20,20,20) y N(30,0,Z), teniendo en cuenta que la recta es paralela al plano.

Solución Ejercicio SD_PARAL_1

(22)

La recta A(0,10,30) B(0,30,20) está contenida en un plano P paralelo a la línea de tierra.

Trazar por el punto M(-30,-20,20) otro plano Q paralelo al anterior.

(23)

Los puntos A(0,17,27) y B(0,-12,66) definen una recta.

Se pide:

1. Representar por sus trazas el plano P paralelo a la línea de tierra y que pase por la recta AB.

2. Dibujar el plano Q paralelo al P y que pase por el punto K(78,51,30).

3. Dibujar las trazas del plano R definido por la recta AB y el punto C(82,24,-44).

4. Dibujar el plano S paralelo al R y que pase por el punto D(-19,43,38).

Formato A4 vertical. Línea de tierra centrada. Origen a 80 mm del borde izquierdo del papel. Medidas en mm.

(24)

1.4 PERPENDICULARIDAD

(25)

EJERCICIO SD_PERP_1

Dado el plano P(-70,85,56) y el segmento A(-58,60,63);

B(-5,40,45), se pide representar la proyección ortogonal del segmento AB sobre el plano P.

Solución Ejercicio SD_PERP_1

(26)

EJERCICIO SD_PERP_2

Dada la recta A(-35,35,30); B(0,20,85) y el punto C(30,50,65) se pide:

1. Dibujar una recta paralela a la dada que pase por el punto C.

2. Determinar la proyección vertical del punto K(0,40,Z) del que se conoce su proyección horizontal y que está contenido en el plano definido por las dos rectas paralelas.

3. Levantar en el punto K una perpendicular a este plano de 40 mm de longitud.

Solución Ejercicio SD_PERP_2

(27)

1.5 DISTANCIAS

(28)

EJERCICIO SD_DIST_1

Dada la recta A(-30,72,26); B(65,105,90) y la paralela a ella por el punto C(40,48;255) se pido:

Dibujar la perpendicular común a ambas rectas trazada por el punto C y determinar su verdadera magnitud.

Solución Ejercicio SD_DIST_1

(29)

EJERCICIO SD_DIST_2

Determinar la distancia entre las rectas AB y CD que se cruzan.

A(0,20,44) C(-37,10,41)

B(-45,54,16) D(-6,6,18)

Solución Ejercicio SD_DIST_2

(30)

1.6 VERDADERAS MAGNITUDES

(31)

1.6.1 ABATIMIENTOS, GIROS Y CAMBIOS DE PLANO

(32)

EJERCICIO SD_VM_1

Los puntos A(-12,22,29); B(-84,53,58) y C(-41,85,11) son los vértices de un triángulo del que se pide determinar su verdadera magnitud hallando las trazas del plano que define el triángulo y abatiendo el mismo.

Formato A4 vertical. Línea de tierra a 110 mm del borde superior del formato y origen centrado. Medidas en mm.

Solución Ejercicio SD_PERP_1 Solución Ejercicio SD_VM_1

(33)

EJERCICIO SD_VM_2

Los puntos A(30,22,29); B(-42,53,58) y C(0,85,11) son los vértices de un triángulo del que se pide determinar su verdadera magnitud mediante giro alrededor de una horizontal que pase por el vértice C hasta colocarlo paralelo al plano horizontal de proyección.

Solución Ejercicio SD_VM_2

(34)

EJERCICIO SD_VM_3

Los puntos N(-64,0,0) y A(0,0,60) pertenecen a la traza vertical de un plano P y su traza horizontal pasa por el punto D(0,66,0). En dicho plano se halla un punto B(X,60,18) y otro C(Y,42,76).

Determinar la verdadera magnitud del triángulo ABC mediante dos cambios de plano.

Formato A4 vertical. Línea de tierra centrada y origen a 75 mm del borde derecho del formato. Medidas en mm.

(35)

1.6.2 FORMAS PLANAS

(36)

EJERCICIO SD_VM_4

Las trazas H(-38,30,0) y V(0,0,50) definen la recta de máxima pendiente de un plano P. En el mismo, se halla el punto C de alejamiento 40 y cota 35 que es el centro de un triángulo contenido en dicho plano, de 60 mm de lado y que tiene uno en posición horizontal.

Se pide dibujar todas las soluciones posibles de este triángulo.

(37)

1.6.3 POLIEDROS SOBRE PLANOS

(38)

EJERCICIO SD_VM_5

Los puntos E(-95,0,0); M(0,74,0) y N(0,0,62) determinan un plano P. En el mismo se encuentra situado un rombo ABCD definido como sigue.

- Dos vértices son los puntos A(-30,15,X) y B(0,7,Y).

- Uno de los lados está contenido en un plano de perfil.

Se pide:

1. Dibujar las proyecciones del rombo.

2. Dibujar las proyecciones del prisma oblicuo que tiene por base inferior el rombo ABCD y cuyas aristas laterales tienen una longitud de 40 mm y son paralelas a la recta de máxima inclinación de un plano Q que es perpendicular al plano P y que pasa por el segmento AB.

(39)

EJERCICIO SD_VM_6

Representar las proyecciones de un cubo de 50 mm de arista situado sobre un plano P definido por los puntos A(40,0,0); B(100,45,0) y C(110,0,55), teniendo en cuenta que:

- Un vértice pasa por el punto C.

- La arista que pasa por C es horizontal.

- Todo el sólido está en el primer cuadrante.

Formato A4 vertical. Línea de tierra a 115 mm del borde superior del formato y origen en el borde izquierdo del mismo. Medidas en mm.

(40)

EJERCICIO SD_VM_7

Las trazas H(83,130,0) y V(40,0,65) definen la recta de máxima inclinación de un plano P. Esta recta coincide con el lado de un triángulo equilátero que está contenido en dicho plano del que se conoce su centro O(X,41,32).

Este triángulo equilátero es una de las caras de un tetraedro regular del que se pide dibujar sus proyecciones.

(41)

EJERCICIO SD_VM_8

Dados los puntos O(50,48,45) y V(0,110,100), representar una pirámide recta de base hexagonal regular y altura el segmento OV, teniendo en cuenta que la arista de la base mide 40 mm y dos aristas de la misma son horizontales.

(42)

EJERCICIO SD_VM_9

Los puntos A(0,0,0); B(125,125,0) y C(125,0,125) definen un plano P en el que se encuentra el punto E de 30 de alejamiento y 40 de cota, que es el centro de un cuadrado contenido en dicho plano, de 50 de lado y que tiene una diagonal en posición horizontal. Se pide:

1. Dibujar dicho cuadrado.

2. Levantar un cubo sobre el mismo.

Formato A4 vertical. Línea de tierra centrada y origen a 50 mm del borde izquierdo del mismo. Medidas en mm.

(43)

EJERCICIO SD_VM_10

El segmento AB de 55 mm de longitud situado sobre el horizontal de proyección forma 30 grados con la línea de tierra (vértice a la izquierda) siendo A(90,20,0) y B con mayor alejamiento.

Dicho segmento es el lado de un cuadrado ABCD de que otro vértice está situado en el vertical de proyección. El mismo es la base de una pirámide recta de 100 mm de altura situada toda ella en el primer cuadrante.

Representar sus proyecciones y hallar la sección que produce en ella el primer bisector

Formato A4 horizontal. Línea de tierra a 85 mm del borde superior del formato y origen en el borde izquierdo del mismo. Medidas en mm.

(44)

1.7 ÁNGULOS

(45)

1.7.1 ÁNGULO DE RECTA Y PLANO

(46)

EJERCICIO SD_ANG_1

Dada la recta R definida por los puntos A(-41,53,77);

B(30,12,48) y el plano P(-68,58,50), determinar el ángulo que forma la recta R y el plano P

Solución Ejercicio SD_ANG_1

(47)

1.7.2 ÁNGULO DE DOS PLANOS

(48)

EJERCICIO SD_ANG_2

Las trazas V(29,0,63) y H(5,74,0) definen la recta intersección de los planos P y Q, siendo B(-70,0,0) un punto del plano P y C(82,0,0) un punto del plano Q.

Determinar el ángulo que forman ambos planos.

Solución Ejercicio SD_ANG_2

(49)

1.8 SECCIONES PLANAS

(50)

EJERCICIO SD_SP_1

Los puntos A(37,0,0); B(-40,130,0) y C(40,0,65) definen un plano P que contiene un triángulo equilátero que es sección (normal a las aristas laterales) de un prisma oblicuo, con una de sus bases contenidas en el plano horizontal de proyección.

Uno de los lados del triángulo – sección (de 60 mm de longitud) está en posición horizontal y su punto medio M tiene 58 de alejamiento y 14 de cota. El vértice opuesto a este lado es el de mayor cota del triángulo – sección. Las aristas laterales miden 112 mm.

Representar las dos proyecciones de dicho prisma.

Solución Ejercicio SD_SP_1

(51)

EJERCICIO SD_SP_2

El croquis adjunto es la proyección horizontal de un tetraedro regular con la cara ABC situada en el plano horizontal de proyección.

Dibujar las proyecciones del mismo y la sección por un plano paralelo a las aristas opuestas CB y VA y que pase por el centro del mismo siendo A(45,10,0) y la arista del tetraedro de 80 mm.

(52)

EJERCICIO SD_SP_3

El croquis adjunto es la proyección horizontal de un octaedro regular con una diagonal en posición vertical.

Dibujar las proyecciones del mismo y la sección que en él produce un plano paralelo a dos caras opuestas y que pasa por su centro teniendo en cuenta que A(30,10,z) y la arista del octaedro mide 60 mm.

Formato A4 vertical. Línea de tierra a 110 mm del borde superior del mismo y origen centrado. Medidas en mm.

(53)

EJERCICIO SD_SP_4

Representar un cubo de vértices ABCDEFGH, situado en el primer cuadrante, con la cara ABCD contenida en el plano horizontal de proyección, teniendo en cuenta que los vértices EFGH son los opuestos a los ABCD, respectivamente, ordenados en ambas caras paralelas en el sentido de las agujas del reloj. Se pide:

1. Hallar la sección que produce en este sólido un plano secante perpendicular a la diagonal BH del cubo, a la que corta en su punto medio.

2. Determinarla verdad magnitud de esta sección.

Datos: Arista del cubo 60 mm. A(16,10,0) y B(74,y,0).

(54)

1.9 SECCIONES CÓNICAS

(55)

EJERCICIO SD_SC_1

Dado un cono de revolución con la base situada en el plano horizontal de proyección, de radio 50 mm y vértice V(- 35,57,70), se pide:

1. Dibujar una tangente a la circunferencia de la base A(x,y,0); T(68,0,0).

2. Girar el cono alrededor de dicha tangente hasta que la generatriz correspondiente al punto de tangencia A esté situada en el horizontal.

3. Dibujar las proyecciones del cono en la nueva posición.

Solución Ejercicio SD_SC_1

(56)

EJERCICIO SD_SC_2

Dado un cono recto de directriz una circunferencia apoyada en el plano horizontal de proyección de radio 40 mm y vértice V(0,47,85), hallar la sección que produce en él un plano P(-91,128,62), así como la verdadera magnitud de ésta.

Formato A4 vertical. Línea de tierra a 115 mm del borde superior del mismo y origen a 125 mm del borde izquierdo. Medidas en mm.

(57)

EJERCICIO SD_SC_3

El punto V(0,0,90) es el vértice de un cono recto de revolución, siendo su generatriz la recta R que pasa por el punto A(22,22,z) y que forma 45º con el plano horizontal de proyección.

Representar las proyecciones del sólido en la parte correspondiente al primer cuadrante y hallar la sección que produce en el cono un plano vertical que forma 15º con el de proyección (vértice a la derecha) y que pasa por el punto M, punto medio del segmento AH, siendo H la traza horizontal de la recta R.

(58)

EJERCICIO SD_SC_4

Los puntos A(-67,45,0) Y B(-24,85,73) son los centros de dos circunferencias horizontales de radio 25 mm que son las bases de un cilindro oblicuo.

Representar el cilindro y dibujar la sección que produce un plano perpendicular al mismo así como la verdadera magnitud abatiéndola sobre el plano horizontal de proyección.

(59)

1.10 INTERSECCIÓN DE RECTA CON SUPERFICIES

(60)

EJERCICIO SD_IRS_1

Un pentágono regular situado en el plano horizontal de proyección de 40 mm de lado del que se conocen los vértices consecutivos A(0,70,0) y B(-40,70,0), siendo éstos los de mayor alejamiento, es la base de una pirámide oblicua siendo su vértice V(41,116,72).

Representar dicha pirámide y determinar la intersección con una recta R dada por los puntos M(-28,93,0) y N(33,30,15) dibujando partes vistas y ocultas.

Solución Ejercicio SD_IRS_1

(61)

EJERCICIO SD_IRS_2

La base de un cilindro oblicuo es una circunferencia de 37 mm de radio que descansa en el plano horizontal de proyección, siendo su centro O1(-28,90,0) y el centro de la base superior O2(47,40,104).

Representar las proyecciones del cilindro y hallar los puntos de intersección con una recta R dado por los puntos

H(-82,102,0) y C(95,74,76), indicando, así mismo, las partes vistas y ocultas de ella respecto al cilindro.

Solución Ejercicio SD_IRS_2

(62)

1.11 INTERSECCIONES DE SUPERFICIES

(63)

EJERCICIO SD_IS_1

Hallar la intersección del prisma y la pirámide definidos por los siguientes puntos:

Prisma Pirámide

1(84,21,0) A(0,42,0)

2(98,70,0) B(135,105,0) V(105,49,42) 3(70,28,0) C(56,56,0)

El prisma tiene las aristas a 30º en ambas proyecciones, vértice a la derecha, también en ambas.

Formato A4 vertical. Medidas en mm.

Solución Ejercicio SD_IS_1

(64)

EJERCICIO SD_IS_2

Hallar la intersección de los prismas cuyas bases están definidas por los siguientes puntos y dirección de las aristas según se muestra en la figura adjunta.

Prisma 1 Prisma 2

1(0,28,0) A(84,21,0)

2(28,7,0) B(112,7,0) 3(42,49,0) C(126,35,0)

D(105,63,0)

(65)

EJERCICIO SD_IS_3

Hallar la intersección de los cilindros cuyas bases se encuentran circunscritas en los triángulos definidos por los siguientes puntos y según se muestra en la figura adjunta.

Cilindro 1 Cilindro 2

1(0,28,0) A(84,21,0)

2(28,7,0) B(112,7,0) 3(42,49,0) C(105,63,0)

(66)

EJERCICIO SD_IS_4

Hallar la intersección de las dos pirámides definidas como sigue:

Pirámide 1 Pirámide 2

1(0,28,0) A(105,35,0)

2(35,49,0) B(154,77,0) 3(63,28,0) C(126,7,0) 4(21,7,0)

V1(147,77,84) V2(14,63,38)

(67)

EJERCICIO SD_IS_5

Hallar la intersección de los dos conos cuyas bases están circunscritas a los triángulos definidos por los puntos siguientes:

Cono 1 Cono 2

1(0,28,0) A(105,35,0)

2(35,49,0) B(154,77,0)

3(21,7,0) C(126,7,0)

V1(147,77,84) V2(14,63,38)

(68)

EJERCICIO SD_IS_6

Dado un cono oblicuo de directriz en el plano horizontal de centro O, radio 35 mm y vértice V y un cilindro oblicuo de directriz en el plano horizontal de centro O1 y radio 28 mm, hallar la intersección de ambas superficies.

Cono Cono 2

O(0,84,0) O1(70,42,0);

V(70,21,70); Radio 28 mm Radio 35 mm

(69)

EJERCICIO SD_IS_7

Hallar la intersección de las dos superficies que se definen a continuación definiendo, así mismo, las partes vistas y ocultas.

Esfera Cilindro

O(0,30,0); Radio 30 mm El centro de la base está en la recta que a 60º de la LT (vértice a la izquierda) se cumple la condición que en proyección horizontal el cilindro y la esfera sean tangentes.

Radio 25 mm

(70)

EJERCICIO SD_IS_8

Dado un cono de vértice el punto V(-35,60,0) y tangente a la esfera O(0,60.0) y diámetro 25 m, se gira la superficie cónica alrededor de un eje vertical que contiene al centro de la esfera, ángulos 90º, 180º y 270º, formando una superficie tetracónica.

1. Representar la superficie cónica y semiesférica contenida en el primer diedro.

2. Representar las proyecciones de la cubierta tetracónica apoyada en el plano horizontal de proyección y situada en el primer diedro limitada por las intersecciones de los conos entre sí y con los planos de canto y paralelos a la línea de tierra que forman 60º con el plano horizontal.

(71)

EJERCICIO SD_IS_9

En el Sistema Diédrico, se definen las siguientes superficies:

a) Una esfera de centro el punto O(0,42’5,0) y radio 15 mm.

b) Un cilindro circunscrito a la esfera de generatrices paralelas a la línea de tierra.

c) Dos conos circunscritos a la esfera de vértices V1(0,7’5,0) y V2(0,77’5,0).

Se pide:

1. Representar las proyecciones de las superficies esférica, cilíndrica y cónica situadas sobre el plano horizontal.

2. Representar las proyecciones de la cubierta determinada por las superficies cilíndrica y cónica apoyadas en el plano horizontal en los puntos A, B, C y D y forman ángulos de 60º con el plano horizontal.

(72)

EJERCICIO SD_IS_10

Se considera la semiesfera situada en el primer diedro de centro O(0,50,0) y radio 20 mm. Se pide:

1. Representar las proyecciones del triángulo ABC que tiene sus vértices en el ecuador de la esfera y que tiene el vértice A el menor alejamiento posible.

2. Representar las proyecciones diédricas de la bóveda semiesférica formada al seccionar la esfera por los tres planos que contienen a los lados de triángulo equilátero y el punto M(0,50,-20) así como la proyección sobre el plano de perfil izquierdo.

(73)

1.12 SOMBRAS

(74)

EJERCICIO SD_SOMB_1

Dadas las dos superficies que se definen a continuación:

1. Hallar su intersección indicando, así mismo, las partes vistas y ocultas.

2. Hallar las sombras que se producen como propias, las que arroja un cuerpo sobre otro y sobre los planos de proyección. La sombra se hará mediante un rayo frontal a 45º con el plano horizontal.

Esfera Cono

O(0,77,0) C(-42,77,42);

Radio 42 mm Radio 42 mm (en el plano de perfil)

V(42,77,0)

Formato A4 vertical. Origen equidistante de los bordes de la lámina. Medidas en mm.

Solución Ejercicio SD_ISOMB_1

(75)

EJERCICIO SD_SOMB_2

Dibujar la sombra propia y arrojada, también sobre los planos de proyección, de las figuras que se definen a continuación teniendo en cuenta que la sombra se define mediante un rayo frontal a 45º con el plano horizontal de proyección.

Esfera Cono

O(140,56,0) C(0,56,42);

Radio 42 mm Radio 42 mm (en el plano de perfil)

V(98,56,42)

Solución Ejercicio SD_ISOMB_2

(76)

EJERCICIO SD_SOMB_3

Según el croquis que se adjunta:

1. Hallar la intersección del cilindro de revolución y el cono representados.

2. Teniendo en cuenta que el cilindro se considera macizo, determinar las sombras propias y arrojadas.

La luz es frontal y forma 60º con el plano horizontal descendiendo de derecha a izquierda.

Solución Ejercicio SD_SOMB_3

(77)

EJERCICIO SD_SOMB_4

Según se muestra en el esquema adjunto:

1. Definir una cubierta formada por dos conos de revolución uno de los cuales tiene como vértice V1 y como eje E1 y el otro como vértice V2 y como eje E2. Ambos son iguales, de radio 4,9 cm y altura 9,00 cm. Para definir la misma hay que calcular la intersección de los dos conos, eliminando la superficie de cada uno que queda en el interior de la superficie del otro, así como toda la superficie por debajo del nivel del suelo.

2. Calcular la sombra propia y arrojada de la cubierta definida según la dirección que se muestra en el esquema.

Formato A4 vertical. Medidas en cm.

Solución Ejercicio SD_SOMB_4

(78)

1.13 ASÓLEO

(79)

EJERCICIO SD_ASOL_1

Calcular el Azimut y la Altura Solar en una ciudad de latitud 40º N el 21 de Junio a las 14 h. solares.

Representar también las sombras que se producen en el edificio adjunto con los datos citados anteriormente.

Formato A4 horizontal. Cotas en m. Escala 1:100.

Solución Ejercicio SD_ASOL_1

(80)

EJERCICIO SD_ASOL_2

Calcular el Azimut y la Altura Solar en una ciudad de latitud 60º N el 21 de Marzo a las 09.00 h. solares.

Representar también las sombras que se producen en el edificio adjunto con los datos citados anteriormente.

Formato A4 horizontal. Cotas en m. Escala 1:100.

Solución Ejercicio SD_ASOL_2

(81)

Dr. Juan Carlos Gómez Vargas | SISTEMA DIÉDRICO DIRECTO 80

2. SISTEMA DIÉDRICO DIRECTO

(82)

2.1 PROCEDIMIENTOS

(83)

EJERCICIO SDD_PROC_1

Dado el plano ABC: A(10,10,0), B(60,90,80); C(110,70,20) y el punto D(120,30,70), representar:

1. Recta horizontal y frontal del plano, perpendicular al plano que pasa por D y su intersección con el mismo, así como la verdadera magnitud de la distancia entre el plano y D.

2. Línea de máxima pendiente (lmp) y línea de máxima inclinación (lmi) del plano.

Formato A4 en posición horizontal de forma que se divida el mismo en dos partes ejecutando cada apartado en una de ellas. Medidas en mm.

Solución Ejercicio SDD_PROC_1

(84)

Hallar la intersección de los dos planos que se definen a continuación:

Plano 1: Plano 2:

A(10,10,0) D(20,35,40)

B(60,90,80) E(100,10,70)

C(110,70,20) F(80,85,5)

(85)

Dado el plano que se define por los tres puntos que a continuación se indican:

A(0,30,0) B(60,160,90) C(160,80,30)

Se pide abatirlo por el plano horizontal con menor cota en A mediante giros.

(86)

Dado el plano que se define por los tres puntos que a continuación se indican:

A(0,30,0) B(60,160,90) C(160,80,30)

Se pide abatirlo por un plano horizontal que pase por C mediante un cambio de plano.

(87)

Construir un cubo de 30 mm de arista apoyado en el plano ABC que se define a continuación, con un lado perpendicular a la bisectriz del ángulo en A y 2 vértices sobre AB y AC.

A(0,30,0) B(60,160,90) C(160,80,30)

En las siguientes figuras se detallan las distintas fases hasta llegar a la resolución final que se muestra en la solución.

(88)

Dadas las vistas de un cubo donde AB es su diagonal principal, se pide:

1. Un cambio de plano para que AB sea perpendicular al plano de proyección y obtener las secciones producidas por planos perpendiculares a la diagonal a 1/3, 1/2 y 2/3 de la misma.

2. Dibujar las partes vistas y ocultas del cubo resultante y de las secciones producidas.

(89)

2.2 SUPERFICIES POLIÉDRICAS

(90)

EJERCICIO SDD_SPOL_1

Representar el tetraedro regular que está apoyado por una cara sobre el rectángulo ABCD. De esa cara, el vértice 1 coincide con A, el 2 está sobre AD y el 3 está sobre el segmento BC.

Formato A4 en posición vertical. Medidas en mm.

Solución Ejercicio SDD_POL_1

(91)

El segmento AB pertenece a un plano proyectante horizontal P que contiene al triángulo equilátero ABC.

Dibujar la planta y el alzado del cubo que tiene como vértices dichos puntos quedando otro por debajo y a la izquierda del plano P

(92)

El segmento AB pertenece a un plano P que contiene un triángulo equilátero situado a la derecha de AB y cuyo tercer vértice se encuentra a 28 mm por encima del mismo.

Dibujar un octaedro en el que el plano dado es el situado con menor cota.

(93)

Según la figura que se adjunta:

1. Dada la recta R y el punto O, situar un plano que contiene a una circunferencia de radio 28 mm con centro en O. Dibujar los ejes de la elipse del alzado y planta. Se realizará un triángulo equilátero con lado una recta horizontal que ha de estar inscrito en la circunferencia de forma que ese triángulo es la base de un tetraedro regular.

2. Representar la esfera circunscrita verificando que la elipse anterior es la sección producida por la cara del tetraedro.

(94)

El punto A es el vértice de menor cota y alejamiento de un cuadrado que tiene un lado sobre la recta R.

Dibujar la pirámide regular que tiene por base el cuadrado y una altura de 70 mm.

En este ejercicio, se acompaña la resolución paso por paso.

(95)

El segmento AB es el lado de un hexágono regular

contenido en un plano de pendiente 30º, ascendente hacia la derecha.

Representar la pirámide regular de 84 mm de altura que tiene por base dicho hexágono.

(96)

1. Dibujar un prisma hexagonal recto de altura 84 mm, teniendo en cuenta que su eje es la recta de máxima pendiente del plano definido por ABC, los puntos AB pertenecen a la base del prisma y una de las caras del prisma está contenida en un plano proyectante vertical.

2. Hallar la intersección del prisma con la recta.

(97)

Dr. Juan Carlos Gómez Vargas | SISTEMA ACOTADO 96

3. SISTEMA ACOTADO

(98)

3.1 RESOLUCIÓN DE CUBIERTAS

(99)

EJERCICIO SACOT_CUB_1

1. Cubrir la planta representada, simétrica respecto del eje y de la que sólo se muestra su mitad. La pendiente de todos los faldones es de 1/3 y todo el alero están contenido en un mismo plano horizontal.

2. Una vez resuelta la planta, obtener los distintos alzados empleando el Sistema Europeo.

Formato A4 en posición horizontal. Cotas en metros. Escala 1:100.

Solución Ejercicio SACOT_CUB_1

(100)

Cubrir la planta representada, considerando que las

pendientes indicadas son P1=1, P2=2/3 y P3=3/2.

Todo el alero está contenido en un plano horizontal (+0) excepto el cuadrado BCD que está en un plano horizontal a cota +1.

(101)

Representar una cubierta delimitada por un pentágono inscrito en una circunferencia de radio 6 metros. Un lado del pentágono se colocará paralelo al lado superior del formato.

El patio interior es un cuadrado de 3 metros de lado y que tiene 2 de sus lados paralelos al lado superior de la lámina.

Los planos que limitan con los lados de la izquierda del pentágono tienen una pendiente de ½ y los de los lados de la derecha con pendiente 1. El plano que limita con el lado superior tiene una pendiente de 2/3. Los vértices están situados a una cota de +3 metros excepto los situados más a la izquierda y más a la derecha, cuya cota es +4. La pendiente de los planos que limitan con el perímetro interior es de 1 y la cota de los mismos es + 2 metros.

Formato A4 en posición horizontal. Cotas en metros. Escala 1:100. Centro del patio a 8,5 cm del borde inferior del formato y a 14,85 cm del margen derecho del mismo.

(102)

Resolver la cubierta rectangular que se representa, teniendo en cuenta las cotas indicadas y considerando la existencia de un patio interior cuadrado cuyas diagonales son paralelas a los lados de la cubierta. En todos los casos las pendientes son 1.

Formato A4 en posición horizontal. Cotas en metros. Escala 1:100. Posición centrada en la lámina..

(103)

La figura adjunta define, a escala 1:100, los contornos exterior e interior de la planta de cubierta de un edificio, de forma que los perímetros de la fachada y elementos interiores se encuentran a las cotas que se indican donde la superficie pentagonal delimita un patio interior.

Representar la proyección acotada de la cubierta con superficies planas de forma que la pendiente es, en todos los casos, 1/1.

Formato A4 en posición horizontal. Cotas en metros.. Dibujar las líneas horizontales con equidistancia 1 metro. Nombrar todos los planos e intersecciones entre ellos.

(104)

Cubrir la planta del edificio cuyas características se representan en la figura adjunta con superficies cuyas vertientes forman ángulos de 30º con el plano horizontal.

(105)

Cubrir la planta del edificio cuyas características se representan en la figura adjunta teniendo en cuenta que todos sus puntos están a cota 0 a excepción de los reseñados que se encuentran a +3 y – 2 metros, respectivamente. Se considera un patio interior de forma hexagonal con todos sus lados a cota 0. Todas las pendientes de los planos exteriores así como los que dan aguas al patio son iguales a 1.

Representar las líneas horizontales separadas 1 metro y nombrar los diferentes planos y las correspondientes intersecciones.

(106)

Resolver la cubierta rectangular que se representa y en la que existe un patio interior, con aleros todos a la misma cota y con pendiente 1 en todos los casos.

Formato A4 en posición vertical. Cotas en metros. Escala 1:100.

(107)

Resolver la cubierta que se representa, conde existe un patio interior, con aleros todos a la misma cota y, en todos los casos, con pendiente 1.

(108)

3.2 REPRESENTACIÓN DE TERRENOS

(109)

EJERCICIO SACOT_TER_1

Solución Ejercicio SACOT_TER_1

Determinar los desmontes y terraplenes necesarios para la resolución de la plataforma horizontal a cota +40 metros sobre un terreno plano inclinado dado por sus horizontales tal y como se muestra en el esquema adjunto.

La pendiente de los taludes de desmonte es 3/5 y los de terraplén ½, siendo la pendiente del terreno 1/3.

Formato A4 en posición vertical. Cotas en metros. Equidistancia 1 metro.

Escala 1:200.

(110)

Determinar los desmontes y terraplenes necesarios para la resolución de la plataforma horizontal a cota +18 en el plano topográfico que se adjunta conocidas las pendientes de desmonte y terraplenado de 2,5 y 2,0 respectivamente.

Formato original en A4 en posición vertical (proporcional en croquis). Cotas en metros. Equidistancia de curvas 1 metro. Escala 1:100.

(111)

En un terreno plano y de pendiente constante 1/2 , definido por la curva de nivel que se representa y de cota +6 metros, creciendo hacia la parte superior del formato, se dispone una plataforma cuadrada de cota +6 metros, en toda su superficie, a la que se accede por una rampa de pendiente constante y que parte de cota 0.

Se propone la resolución del conjunto teniendo en cuenta que la pendiente de desmonte es 1/1 y la de terraplén 4/5.

(112)

Resolver la plataforma y rampa teniendo en cuenta que el segmento AB es la dirección de una vaguada y que se aproxima el terreno a planos cuyas pendientes son 2/3, en el caso de la ladera izquierda (inferior del formato) y ½ en el caso de la derecha. Las pendientes de terraplén y desmonte son ambas 1/1.

(113)

Representar el terreno conocido que la pendiente del mismo es de 1/2 , el módulo de desmonte es de 0,5 y el de terraplén es de 1, ascendiendo hacia la parte superior del formato.

(114)

Dr. Juan Carlos Gómez Vargas | SISTEMA AXONOMÉTRICO 113

4. SISTEMA AXONOMÉTRICO

(115)

4.1 AXOMETRÍA ORTOGONAL

(116)

EJERCICIO SAXON_ORT_1

Solución Ejercicio SAXON_ORT_1

Dado el sistema axonométrico según los ejes del esquema adjunto:

1. Representar un cubo de 70 mm de arista con una de sus caras ABCD situada en el plano XOY. El vértice A(28,0,0) está sobre el eje X y el vértice B(X,Y,Z) sobre el eje Y.

2. Seccionar el cubo por un plano M(80,0,0), N(0,75,0), P(0,0,60)

Formato A4 en posición vertical. Datos en mm..

(117)

Dibujar un tetraedro conociendo que su cara ABC está contenida en el plano representado, un vértice está en el plano ZOY, su arista mide 56 mm y todo el poliedro queda en el primer octante.

Formato A4 en posición horizontal. Datos en mm.

En este ejercicio, se acompaña detalle referente a la resolución.

(118)

Dibujar un cubo que tiene una cara ABCD en el plano P. El lado AB está en el plano XOY y el vértice C en el plano ZOY, con la condición que el poliedro queda sobre el primer octante.

Formato A4 en posición horizontal. Datos en mm. Los planos de proyección se consideran transparentes.

En este ejercicio, se acompaña detalle referente a la resolución.

(119)

Dibujar en el sistema isométrico representado un triángulo de vértices A(0,0,49), B(0,25’2,0) y C(63,0,0) sobre los ejes X, Y y Z.

Dibujar una circunferencia inscrita en el triángulo ABC y un cilindro de base la circunferencia y de altura 21 mm, quedando sobre el plano del triángulo.

Formato A4 en posición vertical. Datos en mm.

(120)

4.2 AXOMETRÍA OBLICUA

(121)

EJERCICIO SAXON_OBL_1

Solución Ejercicio SAXON_OBL_1

Representar la figura que se representa en Perspectiva Caballera teniendo en cuenta que el coeficiente a aplicar es de 2/3.

(122)

EJERCICIO SAXON_OBL_2

Solución Ejercicio SAXON_OBL_1

Representar la figura que se representa en Perspectiva Militar teniendo en cuenta que el coeficiente a aplicar es de 2/3.

(123)

Dr. Juan Carlos Gómez Vargas | SISTEMA CÓNICO 122

5. SISTEMA CÓNICO

(124)

5.1 PERSPECTIVA CÓNICA

(125)

EJERCICIO SCON_PC_1

Solución Ejercicio SCON_PC_1

Representar la perspectiva cónica de la figura, según los datos que se indican, teniendo en cuenta que la altura del punto de vista es igual a la distancia al Plano del Cuadro siendo ésta de 12 metros.

Formato A2 en posición vertical. Cotas en metros. Escala 1:100..

(126)

EJERCICIO SCON_PC_2

Solución Ejercicio SCON_PC_2

Representar la perspectiva cónica de la arcada cuyos datos se adjunta teniendo en cuenta que el plano del cuadro está a 45º y el punto de vista a 20 metros del mismo.