EMPLEADO N EMPLEADO NOMBRE EDAD SEXO SUELDO

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PRPROOFF.. PAPABBLOLO SSANANHHUUEEZZAA CC. . 1

I.- CONCEPTOS GENERALES.

El procesamiento de datos en los computadores de primera generación –y en buena parte de los de segunda- consistía en la aplicación de operaciones aritméticas sobre unos pocos datos a la vez. Típico de esta clase de procesamiento de datos era la confección de tablas de logaritmos, funciones trigonométricas, cálculos balísticos, etc. Otro ejemplo de este procesamiento eran las primeras aplicaciones administrativas, tales como el cálculo de la cantidad a pagar a un empleado.

Desde entonces, los problemas de procesamiento de datos ha crecido en magnitud, y ya resulta imposible considerar los “datos” tan vagamente como lo hemos hecho hasta ahora. Esto es por varios motivos.

Primeramente, los datos han llegado a ser masivos (esto es, en cada aplicación existe un alto volumen de datos a ser manejados, y a su vez, existen numerosos usuarios para cada dato), de modo que se requieren maneras eficientes de disponerlos, con el fin de que almacenar dichos datos no represente grandes problemas a su manejo. En seguida, los datos tienen relaciones complejas entre sí, de manera tal que usualmente se necesita procesar datos en una secuencia dada por estas conexiones. Por ejemplo, al procesar datos de piezas (ensamble) de alguna manufactura, algunas veces se necesitará procesar a continuación de una pieza determinada, todas las piezas que forman parte de este ensamble; en otras oportunidades, puede necesitarse el proceso de todos los ensambles de los cuales éste es un componente. O sea, no solamente se tiene el problema del almacenamiento de datos, sino que también se tiene el problema de tener que relacionar datos entre sí con el objeto de poder facilitar los diferentes tipos de procesamiento que se llevan a cabo sobre dichos datos. Finalmente, habría que decir que los procesos mismos se ejecutan en los computadores modernos son más complicados que los que se realizaban con los computadores de las primeras generaciones, y esto, por las múltiples facilidades de hardware y software ofrecidos.

De esta manera, tanto desde el punto de vista de un programador, como del de un diseñador de sistemas de información, la forma de disponer los datos en la memoria de un computador resulta importante de estudiar, toda vez que dicha disposición afecta el diseño y desempeño final del sistema que se desarrolle.

1.1.- DATO COMO MATERIA PRIMA.

Un dato es la representación de una cierta entidad del mundo real en alguna forma de símbolo. La representación misma, sin embargo. Puede tener diversas variaciones; por ejemplo, el hecho de que exista un saldo de $ 126 puede representarse como:

126 (7E)

16

CXXVI (1111110)

2

1.26 x 10

²

,

o como

determinados puntos magnetizados en una cinta magnética, etc., siendo equivalentes algunas de estas representaciones.

N ° E M P L E A D O N O M B R E E D A D S E X O S U E L D O

E M P L E A D O

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De una manera más precisa, se define dato –o ítem de datos, o dato elemental, o aún, átomo de datos-, diciendo que es una par ordenado de un atributo y un valor. Los atributos son los nombres de las entidades, como pro ejemplo, “sueldo”, “edad”, “nombre de empleado”, “número de empleado”, etc. Los valores son las instancias o “realizaciones” que puede tener un atributo. Así, edad” puede ser en un caso “31”, en otro “28”, etc. Un dato puede ser “edad, 31”, otro ítem de datos puede ser “nombre de empleado, Luis González”. Un valor sin atributo no es ítem de datos; así, “31” o “3.141592...” no podrían ser catalogados como datos, sino más bien, como simples números. Por otra parte, un valor puede ser compartido por varios datos, por ejemplo, “edad, 31”, “número de empleado, 31”, “días del mes de enero, 31”.

Para un conjunto de datos con el mismo atributo, se define como conjunto de valores posibles al conjunto de todas las instancias posibles con las restricciones de representación de este atributo. Por ejemplo, si se usan los dígitos decimales para representar “edad”, el conjunto de valores posibles es {00, 01,02, ..., 99}.

Los ítem de datos tienen relaciones entre sí, ya que las entidades del mundo real están asociadas cuando se les considera para determinados propósitos. Por ejemplo, en la siguiente figura, está dibujadas líneas de conexión entre atributos que corresponden a datos del mundo real; los atributos mostrados están unidos a un atributo “empleado”, lo que indica que para muchos efectos puede considerarse que los otros atributos están resumidos o agregados en éste. En el ejemplo presentado, tiene sentido intuitivo considerar que una instancia de cada uno de los atributos “número”, “nombre”, “edad”, etc., corresponden a un solo “empleado”

Esta manera de visualizar, disponer, u organizar los datos –que puede mostrarse en un diagrama- es lo que se llama estructura de datos, y que incluye no sólo los ítems de datos, sino también “agregaciones”, como el atributo “empleado” de la figura anterior.

La estructura de datos también se refiere a trayectorias de accesibilidad entre ítems y agregaciones de datos. Por ejemplo, en la siguiente figura se ilustra una ampliación de la estructura de datos de la primera figura; se trata de un nuevo atributo, “departamento”, que tiene los atributos “nombre del depto.”, “número de empleado del jefe del depto.”, y varias repeticiones del atributo empleado. Si se necesita saber más datos acerca del jefe del departamento, el número de empleado provee un medio simple de obtenerlos, buscando en la agregación “empleado”; esta trayectoria de accesibilidad se ha indicado en el diagrama con línea punteada.

1.2.- SISTEMAS NUMERICOS.

Los modernos equipos computacionales actuales no utilizan el sistema decimal para representar valores numéricos, en su lugar se hace uso del sistema binario. Es importante entender cómo representan las computadoras los valores numéricos, en éste capitulo analizaremos varios conceptos importantes incluyendo los sistemas binarios, octal, hexadecimal y conversión entre los distintos sistemas numéricos.

1.2.1.- EL SISTEMA DECIMAL.

Desde hace muchos años, el hombre ha utilizado como sistema para contar el denominado decimal, que derivó del sistema numérico indoarábigo; posiblemente se adoptó este mismo por contar con diez dedos en las manos.

El sistema decimal es uno de los denominados sistemas posicionales, utilizando un conjunto de símbolos cuyo significado depende fundamentalmente de su posición relativa al símbolo coma (,), denominado coma decimal, que en caso de ausencia se supone colocada implícitamente a la derecha.

Utiliza como base el 10, que corresponde al número de símbolos que comprende para la representación de cantidades; estos símbolos (también denominados dígitos) son:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

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Una determinada cantidad, que denominaremos número decimal, se puede expresar de la siguiente forma:

n

Nº = ? (dígito)

i

x (base)

ⁱ

i = -d

Donde:

base = 10,

2 * 3

²

+ 0 * 3

¹

+ 1 * 3

⁰

+ 1 * 3

^-1

= 18 + 0 + 3 + 0,333 = 19,333

El teorema aplicado a la inversa nos sirve para obtener la representación de una cantidad decimal en cualquier otra base, por medio de divisiones sucesivas por dicha base.

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1.2.3.- EL SISTEMA BINARIO

Es el sistema de numeración que utiliza internamente el hardware de los computadores actuales, por ello será el sistema al que prestaremos mayor atención y estudio.

Se basa en la representación de cantidades utilizando los dígitos 1 y 0. Por tanto, su base es 2 (número de dígitos del sistema).

Cada dígito de un número representado en este sistema se denomina bit (contracción de binar y digit).

Se suelen utilizar con nombre propio determinados conjuntos de dígitos en binario:

Cuarteto = cuatro bits (ejemplo: 1001) Octeto o byte = ocho bits (ejemplo : 10010101) Kilobyte (Kb) = conjunto de 1.024 bytes Megabyte (Mb) = 1.024 kilobytes

Gigabyte (Gb) = 1.024 megabytes

Por tanto, podemos establecer las siguientes igualdades relacionadas al dígito binario (bit):

1 cuarteto = = 4 bits 1 byte = = 8 bits

1 Kb = 1.024 * 8 = 8.192 bits

1 Mb = 1.024 * 1.024 * 8 = 8.388.608 bits 1 Gb = 1.024 * 1.024 * 1.024 * 8 = 8.589.935.592 bits EJEMPLO

¿Qué número decimal representa el número binario 1001,1?

1 * 2

³

+ 0 * 2

²

+ 0 * 2

¹

+ 1 * 2

⁰

+ 1 * 2

^-1

= 8 + 0 + 0 + 1 + 0,5 = 9,5

Para traspasar de binario a decimal aplicamos el teorema General de la Numeración

Ejercicios

1.- Transformar a decilmal el siguiente número binario: 101101

Aplicando el TFN tenemos:

1 * 2 ⁵ + 0 * 2 ⁴ + 1 * 2 ³ + 1 * 2 ² + 0 * 2 ¹ + 1 * 2 ⁰ 1 * 3 2 + 0 * 1 6 + 1 * 8 + 1 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1

3 2 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1

4 5

2.- Transformar a decimal el siguiente número binario: 1011001

1 * 2 ⁶ + 0 * 2 ⁵ + 1 * 2 ⁴ + 1 * 2 ³ + 0 * 2 ² + 0 * 2 ¹ + 1 * 2 ⁰ 1 * 6 4 + 0 * 3 2 + 1 * 1 6 + 1 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1

6 4 + 0 + 1 6 + 8 + 0 + 0 + 1

(5)

8 9

3.- Transformar a decimal el siguiente número binario: 100,101

1 * 2 ² + 0 * 2 ¹ + 0 * 2 ⁰ + 1 * 2 ^-1 + 0 * 2 ^-2 + 1 * 2 ^-3 1 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 + 1 * 0,5 + 0 * 0,25 + 1 * 0,125

4 + 0 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125

5 , 6 2 5

4.- Transformar a decimal el siguiente número binario: 1001,01

1 * 2 ³ + 0 * 2 ² + 0 * 2 ¹ + 1 * 2 ⁰ + 0 * 2 ^-1 + 1 * 2 ^-2 1 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 + 0 * 0,50 + 1 * 0,25

8 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0,25

9 , 2 5

Ejercicios Transformar a decimal los siguientes números binarios a) 11101101 b) 110100101 c) 100011101 d) 10010001 e) 1010101010 f) 11011011 g) 100000101 h) 101110101 i) 101,1001 j) 0,111001 k) 1101,10101 l) 111,111 m) 1001,1010 n) 10,01101 o) 10101,10 p) 0,111111 Solución: a) 237 b) 421 c) 285 d) 145 e) 682 f) 219 g) 261 h) 373 i) 5,5625 j) 0,890625 k) 13,65625 l) 7,875 m) 9,625 n) 2,40625 o) 21,5 p) 0,984375

1.2.4.- SUMA BINARIA

Es semejante a la suma en el sistema decimal, con la diferencia que se manejan sólo 2 dígitos (0 y 1), y que cuando el resultado excede de los símbolos utilizados se agrega el exceso (acarreo) a la suma parcial siguiente hacia la izquierda. La tabla de sumar es:

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1

1 + 1 = 10 (0 con acarreo 1)

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Realizamos en paralelo a la aritmética binaria su equivalente en decimal, que nos servirá como comprobación.

EJEMPLOS

1.- Sumar los números binarios 100100 (36) y 10010 (18)

1 0 0 1 0 0 ---> 36 + 1 0 0 1 0 ---> + 18 1 1 0 1 1 0 ---> 54

Obsérvese que no hemos tenido ningún acarreo en las sumas parciales.

2.- Sumar 11001 (25) y 10011 (19)

1 1 1 Acarreos

1 1 0 0 1 ---> 25 + 1 0 0 1 1 ---> + 19 1 0 1 1 0 0 ---> 44

Ejercicios

1.- Sumar 1 1 0 1 1 0 más 1 1 0 1 0 1 1

1 1 1 1 1 1 <- Acarreos 1 1 0 1 1 0

1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1

2.- Sumar 1 1 0 1 0 1 ; 1 1 0 1 1 y 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 <- Acarreos

1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1

3.- Sumar 1 1 , 1 0 1 y 1 1 0 , 0 1

1 <- Acarreos 1 1 , 1 0 1

1 1 0 , 0 1 0 1 0 0 1 , 1 1 1

4.- Sumar 1 0 1 , 1 1 1 0 ; 1 1 , 0 1 1 y 1 0 , 1 1 0 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 <- Acarreos 1 0 1 , 1 1 1 0

1 1 , 0 1 1 0

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PRPROOFF.. PAPABBLOLO SSANANHHUUEEZZAA CC. . 7 1 0 , 1 1 0 1

1 1 0 0 , 0 0 0 1 Ejercicios: Resolver las siguientes sumas

a) 1 0 1 1 0 1 b) 1 0 1 1 0 1 c) 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1

d) 1 1 0 0 1 1 e) 1 0 0 1 1 0 0 f) 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1

g) 1 1 1 , 1 0 1 i) 1 0 0 , 1 j) 1 0 1 , 1 1 1 1 0 1 , 1 1 1 1 0 1 , 1 0 1 1 0 0 , 1 0 1

1 0 , 0 1 1 0 0 , 1 1 1 0 1 , 1 0

k) 1 0 0 , 1 0 0 l) 1 1 0 , 0 0 1 m) 1 1 0 1 , 1 0 0 1 0 , 0 1 1 1 , 0 0 1 1 1 0 1 , 0 1 1 1 1 0 , 1 0 1 1 1 0 , 0 0 1 1 1 1 1 , 1 1

Solución a) 1110100 b) 10100111 c) 10010001 d) 10010101 e) 10101000 f) 11011011 g) 1111,11 h) 1111,100 j) 1100,000 k) 1101,100 l) 1101,011 m) 101010,101

1.2.5.- MULTIPLICACION BINARIA

Se realiza de forma similar a la multiplicación decimal, salvo que la suma final de los productos parciales se hacen en binario. La tabla de multiplicar es:

0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1

EJEMPLO

1.- Multiplicar 110101 (53) por 1101 (13).

53 * 13 = 689 1 1 0 1 0 1 * 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1

1 1 0 1 0 1 . 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1

2.- Multiplicar 11010 (26) por 101010 (42)

26 * 42 = 1.092 1 1 0 1 0 * 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

1 1 0 1 0

0 0 0 0 0

(8)

1 1 0 1 0 0 0 0 0 0

1 1 0 1 0 . 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

Ejercicios 1.- Multiplicar 1 1 0 1 y 1 0 1 1 1 1 <--- Acarreo 1 1 0 1 X 1 0 1

==

> 1 3 X 5 = 6 5 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 2.- Multiplicar 1 1 0 1 0 1 1 y 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 <--- Acarreo 1 1 0 1 0 1 1 X 1 1 0 1 0 1 ==> 1 0 7 X 5 3 1 1 0 1 0 1 1 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 5 3 5 1 1 0 1 0 1 1 5 6 7 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 3.- Multiplicar 1 0 1 1 , 1 0 1 y 1 1 , 0 1 ==> 1 1 , 6 2 5 X 3 , 2 5 1 1 1 1 1 1 1 1 <--- Acarreo 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 X 1 1 0 1 1 1 6 2 5 X 3 2 5 1 0 1 1 1 0 1 5 8 1 2 5 0 0 0 0 0 0 0 2 3 2 5 0 1 0 1 1 1 0 1 3 4 8 7 5 1 0 1 1 1 0 1 3 7 7 8 1 2 5 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 ==>

Luego contamos la cantidad de decimales de

cada uno de los números y las sumamos 3 y 2 3 7 , 7 8 1 2 5 Por lo tanto el resultado es : 1 0 0 1 0 1 , 1 1 0 0 1

Ejercicios: Resolver las siguientes multiplicaciones a) 1 1 0 1 1 0 1 y 1 1 0 1 0 b) 1 1 0 1 0 0 1 y 1 1 0 1 0 1

c) 1 1 0 1 1 1 0 y 1 0 1 0 1 0 d) 1 1 0 1 0 1 y 1 0 1 1 1 0 1

(9)

e) 1 1 0 0 1 0 0 1 y 1 0 1 1 0 1 0 1 f) 1 0 1 0 1 0 1 0 y 1 1 1 0 1 0 g) 1 1 0 1 , 1 1 0 1 y 1 1 0 1 0 1 , 1 0 1 h) 1 1 0 1 0 , 1 0 1 0 y 1 0 1 0 , 1 1 0 1 0 i) 1 1 0 1 0 1 , 1 0 1 y 1 0 1 0 , 1 1 0 1 j) 1 1 0 1 , 1 1 0 1 y 1 1 0 1 0 , 1 0 1 k) 1 0 1 1 0 1 , 1 1 1 y 1 0 1 1 0 1 l) 1 0 1 0 1 y 1 1 0 1 0 0 , 1 0 0 1 Solución a) 101100010010 b) 1010110111101 c) 1001000001100 d) 1001101000001

e) 1000111000011101 f) 10011010000100 g) 1011100100,1011001 h) 100011111,111000100 i) 1001000011,1101001 j) 1011011111100001 k) 100000010000,011 l) 10001001111,1101

1.2.6.- EL SISTEMA OCTAL

Es un sistema de numeración cuya base es 8, es decir, utiliza 8 símbolos para la representación de cantidades. Estos símbolos son:

0 1 2 3 4 5 6 7

Este sistema también es de los llamados posicionales y la posición de sus cifras se mide con relación a la coma decimal que en caso de no aparecer se supone implícitamente a la derecha del número.

La aritmética en este sistema es similar a la de los sistemas decimal y binario.

EJEMPLO

¿Qué número decimal representa el número octal 4.701?

4 * 8

³

+ 7 * 8

²

+ 0 * 8

¹

+ 1 * 8

⁰

= 2.048 + 448 + 0 + 1 = 2.497

Ejercicios

1.- Transformar a decimal el siguiente número octal: 654235

Aplicando el TGN tenemos:

6 * 8 ⁵ + 5 * 8 ⁴ + 4 * 8 ³ + 2 * 8 ² + 3 * 8 ¹ + 5 * 8 ⁰ 6*32768 + 5*4096 + 4*512 + 2*64 + 3*8 + 5*1

196608 + 20480 + 2048 + 128 + 24 + 5

219293

2.- Transformar a decimal el siguiente número octal: 30241

3 * 8 ⁴ + 0 * 8 ³ + 2 * 8 ² + 4 * 8 ¹ + 1 * 8 ⁰

3*4096 + 0*512 + 2*64 + 4*8 + 1*1

(10)

12288 + 0 + 128 + 32 + 1

12449

3.- Transformar a decimal el siguiente número octal: 104,103

1 * 8 ² + 0 * 8 ¹ + 4 * 8 ⁰ + 1 * 8 ^-1 + 0 * 8 ^-2 + 3 * 8 ^-3 1*64 + 0*8 + 4*1 + 1*0,125 + 0*015625 + 3*001953

64 + 0 + 4 + 0,125 + 0 + 0,005859

68,1308594

4.- Transformar a decimal el siguiente número octal: 374,65

3 * 8 ² + 7 * 8 ¹ + 4 * 8 ⁰ + 6 * 8 ^-1 + 5 * 8 ^-2

3*64 + 7*8 + 4*1 + 6*0,125 + 5*015625

192 + 56 + 4 + 0,75 + 0,078125

252,828125

Ejercicios Transformar a decimal los siguientes números octales a) 25364 b) 524741 c) 54723650 d) 21453025 e) 0,2541305 f) 0,365214 g) 0,5674741 h) 0,7523641 i) 101,1001 j) 2365,452 k) 762,3654 l) 7451,2547 m) 56047,6701 n) 1546,72501 o) 75210,00257 p) 7,362514 Solución: a) 10996 b) 174561 c) 11773864 d) 4609557 e) 0,33627558 f) 0,47904968 g) 0,7336278 h) 0,95796251 i) 65,125244141 j) 1269,58203125 k) 498,479492188 l) 3881,337646484 m) 23591,859619141 n) 870,916046143 o) 31368,005340576 p) 7,473922729

1.2.7.- LA SUMA OCTAL

Es semejante a la suma en el sistema decimal, con la diferencia que se manejan sólo 8 dígitos (0 al 7), y que cuando el resultado excede de los símbolos utilizados se agrega el exceso (acarreo) a la suma parcial siguiente hacia la izquierda.

Ejercicios

1.- Sumar 7 3 2 5 y 1 5 4 6

(11)

1 1 1 <-- Acarreo en decimal 1 1 7 3 2 5 3 7 9 7 1 5 4 6 8 7 0 1 1 0 7 3 4 6 6 7 2.- Sumar 6 5 4 2 , 6 3 7 y 6 5 4 3 4 1 2 1 1 <-- Acarreo en decimal 1 1 1 6 5 4 2 3 4 2 6 6 3 7 4 1 5 6 5 4 3 4 2 7 4 2 0 7 5 0 3 5 3 1 2 6 1 3.- Sumar 4 5 2 , 7 4 , 6 5 , 3 4 6 y 6 5 4 , 3 2 1 4 1 2 1 1 1 <-- Acarreo en decimal 1 2 1 0 2 1 4 5 2 , 7 4 2 9 8 , 9 3 7 5 6 5 , 3 4 6 5 3 , 4 4 9 2 1 9 6 5 4 , 3 2 1 4 4 2 8 , 4 0 9 1 7 9 1 4 1 4 6 2 7 4 7 8 0 , 7 9 5 8 9 8 4.- Sumar 6 5 4 7 , 2 5 4 , 0 , 3 6 5 4 y 5 7 4 1 , 6 7 4 1 1 1 1 2 1 <-- Acarreo en decimal 1 1 1 2 1 2 1 1 6 4 4 7 , 2 5 4 3 3 6 7 , 3 3 5 9 3 7 5 0 , 3 6 5 4 0 , 4 7 9 4 9 2 2 5 7 4 1 , 6 7 4 3 0 4 1 , 8 6 7 1 8 7 5 1 4 4 1 1 , 5 3 5 4 6 4 0 9 6 8 2 6 1 7 2 Ejercicios

Realice las siguientes sumas octales a) 7425 y 264 b) 65214 y 6354 c) 2541, 365 y 62530 d) 3652, 36521 y 30214 e) 245,361 y 3652,25 f) 3621,125 y 632,36126 g) 254,23; 63,542 y 5436,5 h) 652,3621; 654,23 y 6,543201 i) 254,25; 632,356; 36,362 y 524,6321 j) 54,3214; 6523,32; 45,3 y 6302,001 Solución: a) 7711 b) 73570 c) 65656 d) 72607 e) 4117,631 f) 4453,60626 g) 5776,472 h) 1535,355301 i) 1672,0421 j) 15147,1424

1.2.8.- EL SISTEMA HEXADECIMAL

Es un sistema posicional de numeración en el que su base es 16, por lo tanto, utilizará 16 símbolos para la representación de cantidades. Estos símbolos y sus valores absolutos son:

(12)

PRPROOFF.. PAPABBLOLO SSANANHHUUEEZZAA CC. . 12 Símbolo Valor Absoluto

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

A 10

B 11

C 12

D 13

E 14

F 15

Este sistema también es de los llamados posicionales y la posición de sus cifras se mide con relación a la coma decimal que en caso de no aparecer se supone implícitamente a la derecha del número.

La aritmética en este sistema es similar a la de los sistemas decimal, octal y binario.

EJEMPLO

¿Qué número decimal representa el número hexadecimal 4.A0C?

4 * 16

³

+ 10 * 16

²

+ 0 * 16

¹

+ 12 * 16

⁰

= 4 * 4.096 + 10 * 256 + 0 * 16 + 12 * 1 = = 16.384 + 2560 + 0 + 12 = 18.956

Ejercicios

1.- Transformar a decimal el siguiente número hexadecimal: A5B2C5

10 * 16 ⁵ + 5 * 16 ⁴ + 11 * 16 ³ + 2 * 16 ² + 12 * 16 ¹ + 5 * 16 ⁰

10*1048576 + 5*65536 + 11*4096 + 2*256 + 12*16 + 5*1

10485760 + 327680 + 45056 + 512 + 192 + 5

10859205

2.- Transformar a decimal el siguiente número hexadecimal: D0E4F

13 * 16 ⁴ + 0 * 16 ³ + 14 * 16 ² + 4 * 16 ¹ + 15 * 16 ⁰

13*65536 + 0*4096 + 14*256 + 4*16 + 15*1

851968 + 0 + 3584 + 64 + 15

855631

3.- Transformar a decimal el siguiente número hexadecimal: 1A4,10F

(13)

1 * 16 ² + 10 * 16 ¹ + 4 * 16 ⁰ + 1 * 16 ^-1 + 0 * 16 ^-2 + 15 * 16 ^-3 1*256 + 10*16 + 4*1 + 1*0,0625 + 0*0,00390625 + 15*0,000244140625

256 + 160 + 4 + 0,0625 + 0 + 0,003662109375

420,066162109375

4.- Transformar a decimal el siguiente número hexadecimal: FEA,65

15 * 16 ² + 14 * 16 ¹ + 10 * 16 ⁰ + 6 * 16 ^-1 + 5 * 16 ^-2

15*256 + 14*16 + 10*1 + 6*0,0625 + 5*0,00390625

3840 + 224 + 10 + 0,375 + 0,01953125

Ejercicios

Transformar a decimal los siguientes números hexadecimales

a) 25364 b) 52A741 c) 5B72C50 d) 21A43F05

e) 0,25A15 f) 0,3BC14 g) 0,DED05 h) 0,75641

i) F01,F001 j) 2E65,4C2 k) 7B2,3F54 l) F45A,2D47

m) 56047,6701 n) 15D6,7C50A o) 7A10,0F25 p) E,3625F4

Solución: a) 152420 b) 5416769 c) 95890512 d) 564412165 e) 0,146992683 f) 0,233417511 g) 0,870366096 h) 0,458558083 i) 3841,937515259 j) 11877,297363281 k) 1970,247375488 l) 62554,176864624 m) 352327,402359009 n) 5590,485605240 o) 31248,059167862

p) 14,211516619

1.2.9.- LA SUMA HEXADECIMAL

Es semejante a la suma en el sistema decimal, con la diferencia que se manejan 16 dígitos (0 al 9 y de la A a la F), y que cuando el resultado excede de los símbolos utilizados se agrega el exceso (acarreo) a la suma parcial siguiente hacia la izquierda.

Ejercicios

1.- Sumar 7 3 2 5 y 1 5 4 6

<-- Acarreo en decimal 1 1 1

7 3 2 5 2 9 4 7 7 1 5 4 6 5 4 4 6 8 8 6 B 3 4 9 2 3

2.- Sumar 6 A 4 2 , 6 B 7 y 6 5 C 3 4

(14)

1 1 <-- Acarreo en decimal 1 1 1 6 A 4 2 2 7 2 0 2 6 B 7 1 7 1 9 6 5 C 3 4 4 1 6 8 2 0 6 C D 2 D 4 4 5 7 4 1

3.- Sumar 4 5 F , 7 4 , E 5 , 3 4 6 y 6 5 4 , 3 D 1 4

1 1 1 <-- Acarreo en decimal 1 1 1 2 1 4 5 F , 7 4 1 1 1 9 , 4 5 3 1 2 5 E 5 , 3 4 6 2 2 9 , 2 0 4 5 9 0 6 5 4 , 3 D 1 4 1 6 2 0 , 2 3 8 5 8 6 B 9 8 , E 5 7 4 2 9 6 8 , 8 9 6 3 0 1

4.- Sumar 6 5 A 7 , 2 B 4 , 0 , 3 C D 4 y 5 E 4 1 , 6 7 F

1 2 2 <-- Acarreo en decimal 1 1 1 2 1 2 2 6 5 A 7 , 2 B 4 2 6 0 2 3 , 1 6 8 9 4 5 3 0 , 3 C D 4 0 , 2 3 7 6 0 9 9 5 E 4 1 , 6 7 F 2 4 1 2 9 , 4 0 6 0 0 5 9 C 3 E 8 , D 0 0 4 5 0 1 5 2 8 1 2 5 6 1 1

Ejercicios Realice las siguientes sumas hexadecimales a) 458,CA y 69A,32 b) 69F,D24 y 8C,7B c) 6FA,59 y D0,68C d) 984F,76A y 69,9B e) 76A,98 y 9B,984F f) 6FA5,69F y 7C,459B g) 65,F4 ; 647F,CA y 698,DC h) C0CA,C01A ; 9E951,716 y FA47A i) 65,FA ; CAC,189 ; 9999,BACA y DE,D0 j) DED,A1 ; 95FA,DC4 ; C0B1,9B y 9876,5432 Solución a) AF2,FC b) 72C,4D4 c) 7CA,C1C d) 98B9,11A e) 806,304F f) 7021,AF8B g) 6B7E,9A h) 1A4E96,317A i) A724,A35A j) 13D10,6C72

1.2.10.- CONVERSIONES ENTRE LOS SISTEMAS NUMERICOS.

Se denomina conversión a la transformación de una determinada cantidad en un sistema de numeración a su representación equivalente en otro sistema.

1.2.11.- CONVERSION DECIMAL-BINARIO

Para convertir números de decimal a binario, la forma más simple es dividir sucesivamente el número decimal y los cocientes que se van obteniendo por 2, hasta que el cociente en una de las divisiones se haga 0. La unión de todos los restos obtenidos en orden inverso nos proporciona el número inicial expresado en el sistema binario.

(15)

PRPROOFF.. PAPABBLOLO SSANANHHUUEEZZAA CC. . 15 EJEMPLOS

1.- Convertir el número decimal 10 a binario.

10 / 2 = 5 / 2 = 2 / 2 = 1 / 2 = 0 10

(10)

= 1010

(2)

0 1 0 1

2.- Convertir el número decimal 1992 a binario.

1992/2=996/2=498/2=249/2=124/2=62/2=31/2=15/2=7/2=3/2=1/2=0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1

1992

(10)

= 11111001000

(2)

CONVERSION DE UNA FRACCION DECIMAL A BINARIO.

La forma más simple consiste en multiplicar dicha fracción por 2, obteniendo en la parte entera del resultado el primero de los dígitos binarios de la fracción binaria que buscamos. A continuación repetimos el mismo proceso con la parte fraccionaria del resultado anterior, obteniendo en la parte entera del nuevo resultado el segundo de los dígitos buscados. Iteramos sucesivamente de esta forma, hasta que desaparezca la parte fraccionaria o hasta que tengamos los suficientes dígitos binarios que nos permitan no sobrepasar un determinado error.

EJEMPLOS

1.- Convertir la fracción decimal 0,828125 en fracción binaria.

0,828125 * 2 = 1,65625

0,65625 * 2 = 1,3125

0,3125 * 2 = 0,625

0,625 * 2 = 1,25

0,25 * 2 = 0,5

0,5 * 2 = 1,0

0,828125

(10)

= 0,110101

(2)

2.- Convertir la fracción decimal 0,333 en fracción binaria

0,333 * 2 = 0.666

0,666 * 2 = 1,332

0,332 * 2 = 0,664

0,664 * 2 = 1,328

0,328 * 2 = 0,656

0,656 * 2 = 1,312

0,312 * 2 = 0,624

0,624 * 2 = 1,248

(16)

0,248 * 2 = 0,496

0,496 * 2 = 0,992

0,992 * 2 = 1,984

0,984 * 2 = 1,968

0,333

(10)

= 0,010101010011

(2)

con error inferior a 2

^-12

1.- Transformar a binario el siguiente número decimal: 325

325/2 = 162/2 = 81/2 =40/2 = 20/2 = 10/2 = 5/2 = 2/2 = 1/2 = 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 Inviertiendo el orden nos queda: 1 0 1 0 0 0 1 0 1

2.- Transformar a binario el siguiente número decimal: 756

756/2 = 378/2 = 189/2 = 94/2 = 47/2 = 23/2 = 11/2 = 5/2 = 2/2 =1/2 =0 1 0 1 0 0 0 1 0 1

Inviertiendo el orden nos queda: 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0

3.- Transformar a binario el siguiente número decimal: 0,6245

0 ,6245 * 2

1 ,2490

0 ,4980

0 ,9960

1 ,9920

1 ,9840

1 ,9680

1 ,9360

1 ,8720

1 ,7440

1 ,4880

Ordenando de arriba hacia abajo: 0 , 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1

4.- Transformar a binario el siguiente número decimal: 186,325

Primero transformamos la parte entera:

186/2 = 93/2 = 46/2 = 23/2 = 11/2 = 5/2 =2/2 = 1/2 = 0 0 1 0 1 1 1 0 1 invirtiendo el orden nos queda 1 0 1 1 1 0 1 0

Luego transformarmos la parte decimal:

(17)

0 ,325000 * 2

0 ,65000

1 ,3000

0 ,6000

1 ,2000

0 ,4000

0 ,8000

1 ,6000

1 ,2000

0 ,4000

0 ,8000

por último juntamos las dos partes y el resultado es:

1 0 1 1 1 0 1 0 , 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0

Ejercicios Transformar a binario los siguientes números decimales

a) 853 b) 1024 c) 654 d) 599

e) 0,12547 f) 0,3654 g) 0,671875 h) 0,00625 i) 101,0625 j) 25,0025 k) 104,654 l) 214,214 Solución: a) 1101010101 b) 10000000000 c) 1010001110 d) 1001010111 e) 0,00100000000111 f) 0,0101110110001 g) 0,101011 h) 0,000000011001

i) 1100101,0001 j) 11001,00000000101 k) 1101000,101001110110 l) 11010110,0011011011

Tabla de equivalencias entre los sistemas de numeración decimal, binario, octal y hexadecimal

Decimal Binario Octal Hexa- decimal

0 0 0 0 26 11010 32 1A

1 1 1 1 27 11011 33 1B

2 10 2 2 28 11100 34 1C

3 11 3 3 29 11101 35 1D

4 100 4 4 30 11110 36 1E

5 101 5 5 31 11111 37 1F

6 110 6 6 32 100000 40 20

7 111 7 7 33 100001 41 21

8 1000 10 8 34 100010 42 22

9 1001 11 9 35 100011 43 23

10 1010 12 A 36 100100 44 24

11 1011 13 B 37 100101 45 25

(18)

12 1100 14 C 38 100110 46 26

13 1101 15 D 39 100111 47 27

14 1110 16 E 40 101000 50 28

15 1111 17 F 41 101001 51 29

16 10000 20 10 42 101010 52 2A

17 10001 21 11 43 101011 53 2B

18 10010 22 12 44 101100 54 2C

19 10011 23 13 45 101101 55 2D

20 10100 24 14 46 101110 56 2E

21 10101 25 15 47 101111 57 2F

22 10110 26 16 48 110000 60 30

23 10111 27 17 49 110001 61 31

24 11000 30 18 50 110010 62 32

25 11001 31 19

1.2.12.- CONVERSION DECIMAL- OCTAL

Para convertir números de decimal a octal, la forma más simple es dividir sucesivamente el número decimal y los cocientes que se van obteniendo por 8, hasta que el cociente en una de las divisiones se haga 0. La unión de todos los restos obtenidos en orden inverso nos proporciona el número inicial expresado en el sistema binario.

EJEMPLOS

1.- Convertir el número decimal 100 a octal.

100 / 8 = 12 / 8 = 1 / 8 = 0 100

(10)

= 144

(8)

4 4 1

1992 / 8 = 249 / 8 = 31 / 8 = 3 / 8 = 0

0 1 7 3 1992

(10)

= 3710

(8)

CONVERSION DE UNA FRACCION DECIMAL A OCTAL.

La forma más simple consiste en multiplicar dicha fracción por 8, obteniendo en la parte entera del resultado el primero de los dígitos binarios de la fracción binaria que buscamos. A continuación repetimos el mismo proceso con la parte fraccionaria del resultado anterior, obteniendo en la parte entera del nuevo resultado el segundo de los dígitos buscados. Iteramos sucesivamente de esta forma, hasta que desaparezca la parte fraccionaria o hasta que tengamos los suficientes dígitos octales que nos permitan no sobrepasar un determinado error.

EJEMPLOS

1.- Convertir la fracción decimal 0,828125 en fracción octal

0,828125 * 8 = 6,625

0,625 * 8 = 5

0,828125

(10)

= 0,65

(8)

(19)

0,333 * 8 = 2.664

0,666 * 8 = 5.312

0,332 * 8 = 2.496

0,664 * 8 = 3,968

0,328 * 8 = 7,744

0,656 * 8 = 5,952

0,312 * 8 = 7,616

0,624 * 8 = 4,928

0,248 * 8 = 7,424

0,496 * 8 = 3,392

0,992 * 8 = 3,136

0,984 * 8 = 1,088

0,333

(10)

= 0,252375747331

(8)

con error inferior a 8

^-12

Ejercicios

1.- Transformar a octal el siguiente número decimal: 356

356 / 8 = 44 / 8 = 5 / 8 = 0 4 4 5

Inviertiendo el orden nos queda: 5 4 4

2.- Transformar a octal el siguiente número decimal: 798

798 / 8 = 99 / 8 = 12 / 8 = 1 / 8 = 0 6 3 4 1

Inviertiendo el orden nos queda: 1 4 3 6

3.- Transformar a octal el siguiente número decimal: 0,6245

0 ,6245 * 8 4 ,9960 7 ,9680 7 ,7440 5 ,9520 7 ,6160 4 ,9280 7 ,4240 3 ,3920 3 ,1360 1 ,0880

4.- Transformar a octal el siguiente número decimal: 186,325

Primero transformamos la parte entera:

(20)

186 / 8 = 23 / 8 = 2 / 8 = 0

2 7 2

invirtiendo el orden nos queda 2 7 2

Luego transformarmos la parte decimal:

0 ,325000 * 8 2 ,6000 4 ,8000 6 ,4000 3 ,2000 1 ,6000 4 ,8000 6 ,4000 3 ,2000 1 ,6000 4 ,8000

por último juntamos las dos partes y el resultado es:

2 7 2 , 2 4 6 3 1 4 6 3 1 4

Ejercicios Transformar a octal los siguientes números decimales

a) 948 b) 1024 c) 684 d) 475

e) 0,125465 f) 0,35625 g) 0,671875 h) 0,00625 i) 112,0625 j) 45,0025 k) 184,6525 l) 412,412 Solución: a) 1664 b) 2000 c) 1254 d) 733 e) 0,1001717131 f) 0,2663146314 g) 0,53 h) 0,0031463146 i) 160,04 j) 55,0012172702 k) 270,5160507534 l) 634,3227432477

1.2.13.- CONVERSION DECIMAL- HEXADECIMAL

Para convertir números de decimal a hexadecimal, la forma más simple es dividir sucesivamente el número decimal y los cocientes que se van obteniendo por 16, hasta que el cociente en una de las divisiones se haga 0. La unión de todos los restos obtenidos en orden inverso nos proporciona el número inicial expresado en el sistema binario.

EJEMPLOS

(21)

300 / 16 = 18 / 16 = 1 / 16 = 0 100

(10)

= 12C

(16)

12 2 1

1992 / 16 = 124 / 16 = 7 / 16 = 0 1992

(10)

= 7C8

(16)

8 12 7

CONVERSION DE UNA FRACCION DECIMAL A OCTAL.

La forma más simple consiste en multiplicar dicha fracción por 16, obteniendo en la parte entera del resultado el primero de los dígitos binarios de la fracción binaria que buscamos. A continuación repetimos el mismo proceso con la parte fraccionaria del resultado anterior, obteniendo en la parte entera del nuevo resultado el segundo de los dígitos buscados. Iteramos sucesivamente de esta forma, hasta que desaparezca la parte fraccionaria o hasta que tengamos los suficientes dígitos octales que nos permitan no sobrepasar un determinado error.

EJEMPLOS

0,828125 * 16 = 13,25

0,25 * 16 = 4

0,828125

(10)

= 0,D4

(16)

0,333 * 16 = 5,328

0,328 * 16 = 5,248

0,248 * 16 = 3,968

0,968 * 16 = 15,488

0,488 * 16 = 7,808

0,808 * 16 = 12,928

0,928 * 16 = 14,848

0,848 * 16 = 13,568

0,568 * 16 = 9,088

0,088 * 16 = 1,408

0,408 * 16 = 6,528

0,528 * 16 = 8,448

0,333

(10)

= 0,553F7CED9168

(16)

con error inferior a 16

^-12

Ejercicios

Transformar a hexadecimal los siguientes números decimales

(22)

a) 948 b) 152420 c) 95890512 d) 564412165

e) 0,146992683 f) 0,233417511 g) 0,870366096 h) 0,458558083

i) 3841,937515259 j) 11877,297363281 k) 1970,247375488 l) 62554,176864624

m) 352327,402359009 n) 5590,48560524 o) 31248,059167862 p) 14,211516619

Solución a) 25364 b) 52A741 c) 5B72C50 d) 21A43F05 e) 025A15 f) 0,3BC14 g) 0,DED05 h) 0,75641 i) F01,F001 j) 2E65,4C2 k) 7B2,3F54 l) F45A,2D47 m) 56047,6701 n) 15D6,7C50A

o) 7A10,0F25 p) 3625F4

1.2.14.- CONVERSION HEXADECIMAL-BINARIO

Para convertir un número hexadecimal a binario, se sustituye cada dígito hexadecimal por su representación binaria con cuatro dígitos según la siguiente tabla:

DIGITO HEXADECIMAL DIGITOS BINARIOS

0 0000

1 0001

2 0010

3 0011

4 0100

5 0101

6 0110

7 0111

8 1000

9 1001

A 1010

B 1011

C 1100

D 1101

E 1110

F 1111

EJEMPLO

1.- Pasar el número hexadecimal 2BC a binario:

2 B C

0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0

Luego 2BC

(16)

= 1010111100

(2)

(23)

PRPROOFF.. PAPABBLOLO SSANANHHUUEEZZAA CC. . 23 2.- Pasar a binario el número hexadecimal 7BA3,BC

7 B A 3 , B C 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 , 1 0 1 1 1 1 0 0

Luego 7BA3,BC

(16)

= 111101110100011,101111

(2)

Ejercicios 1.- Transformar a binario el siguiente número hexadecimal: 4F5

Buscamos en la tabla cada uno de los dígitos hexadecimales y su correspondiente serie de dígitos binarios

4 F 5

0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 2.- Transformar a binario el siguiente número hexadecimal: 58FE9D

5 8 F E 9 D

0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 3.- Transformar a binario el siguiente número hexadecimal: 4A,6C

4 A , 6 C

0 1 0 0 1 0 1 0 , 0 1 1 0 1 1 0 0 4.- Transformar a binario el siguiente número hexadecimal: BACA,FEA

B A C A , F E A

1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 , 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 Ejercicios

Transformar a binario los siguientes números hexadecimales a) 4F5A b) 59B6D c) A7F8C4 d) DEC1063

(24)

PRPROOFF.. PAPABBLOLO SSANANHHUUEEZZAA CC. . 24 e) B7AC964C f) 45FDE511 g) FE10,CEA h) D54,5FE4 i) 5867,FDECA j) F5B7A,D56E k) 100,FECADB l) 98FC25,AB4 Solución a) 0100 1111 0101 1010 b) 0101 1001 1011 0110 1101 c) 1010 0111 1111 1000 1100 0100 d) 1101 1110 1100 0001 0000 0110 0011

e) 1011 0111 1010 1100 1001 0110 0100 1100 f) 0100 0101 1111 1101 1110 0101 0001 0001 g) 1111 1110 0001 0000 , 1100 1110 1010 h) 1101 0101 0100 , 0101 1111 1110 0100 i) 0101 1000 0110 0111 , 1111 1101 1110 1100 1010 j) 1111 0101 1011 0111 1010 , 1101 0101 0110 1110 k) 0001 0000 0000 , 1111 1110 1100 1010 1101 1011 l) 1001 1000 1111 1100 0010 0101 , 1010 1011 0100

1.2.15.- CONVERSION BINARIO-HEXADECIMAL

Para convertir números de binario a hexadecimal, se realiza el proceso inverso al anterior. Se agrupan los dígitos binarios de 4 en 4 a partir del punto decimal hacia la izquierda y hacia la derecha, sustituyendo cada cuarteto por su correspondiente dígito hexadecimal. Si el cuarteto de más a la izquierda de la parte entera queda incompleto, se rellena con 0 (ceros) hacia la izquierda; si sucede lo mismo con el cuarteto de más a la derecha de la parte decimal, se rellena con 0 (ceros) hacia la derecha.

EJEMPLO

1.- Convertir el número binario 100101100 a hexadecimal.

0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 2 B C Luego 2BC

(16)

= 1010111100

(2)

2.- Convertir 1100101001000,1011011 a hexadecimal

0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 , 1 0 1 1 0 1 1 0 1 9 4 8 , B 6 Luego 1100101001000,1011011

(16)

= 1948,B6

(2)

Ejercicios 1.- Transformar a hexadecimal el siguiente número binario: 110100101001101

Primero agrupamos de a cuatro digitos partiendo desde la coma decimal hacia la izquierda y luego buscamos en la tabla cada una de las series binarias y su correspondiente digito hexadecimal.

Se rellena con ceros para completar el cuarteto

(25)

0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1

6 9 4 D

2.- Transformar a hexadecimal el siguiente número binario: 110101101100110010101

Se procede igual que en el ejercicio anterior 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1

1 A D 9 9 5

3.- Transformar a hexadecimal el siguiente número binario: 101000101001,0101001

Primero agrupamos de a cuatro digitos partiendo desde la coma decimal hacia la izquierda y hacia la derecha y luego buscamos en la tabla cada una de las series binarias y su correspondiente digito hexadecimal.

1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 , 0 1 0 1 0 0 1 0

A 2 9 , 5 2

4.- Transformar a hexadecimal el siguiente número binario: 11001010001011,100101001

Se procede igual que en el ejercicio anterior 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 , 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0

3 2 8 B 9 4 8

Ejercicios Transformar a hexadecimal los siguientes números binarios a) 10110010100010

b) 10001101101010100001 c) 11101110100011110111110110 d) 1101100011101110110001100011001 e) 1101100111011011001110001110001100001 f) 11110110111111101000101011110100010111010

g) 1110110001010001,010001111010 h) 1110111100000011110110,11110001100011011 i) 11101101110011100111000110,111000011100011111000011 j) 11111001101,111000111000111000001101110001111011001111 k) 11101110,111000111000110001110011100111110001110100111111 l) 11110011100111110011100011110001110011010111,111000110011111 Solución a) 2CA2 b) 8DAA1 c) 1DA3DF6 d) 6C776319 e) 1B3B671C61 f) 1EDFD15E8BA g) EC51,47A h) 7BC0F6,F58D8 i) 3B739C6,E1C7C3 j) 3CD,E38E0DC7B3C k) EE,E38C739F1D3F l) F39F38F1CD7,E33E

1.2.16.- CONVERSION OCTAL- BINARIO

(26)

Para convertir un número octal a binario, se sustituye cada dígito octal por su correspondientes tres dígitos según la siguiente tabla:

DIGITO OCTAL

DIGITOS BINARIOS

0 000

1 001

2 010

3 011

4 100

5 101

6 110

7 111

EJEMPLO

1.- Convertir el número octal 1274 en binario:

1 2 7 4 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0

Luego 1274

(8)

= 1010111100

(2)

2.- Pasar a binario el número octal 75643,57

7 5 6 4 3 , 5 7 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 , 1 0 1 1 1 1 Luego 75643,57

(8)

= 111101110100011,101111

(2)

Ejercicios 1.- Transformar a binario el siguiente número octal: 475

Buscamos en la tabla cada uno de los digitos octales y su correspondiente serie de digitos

binarios

4 7 5 1 0 0 1 1 1 1 0 1 2.- Transformar a binario el siguiente número octal: 570263

binarios

5 7 0 2 6 3

1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 3.- Transformar a binario el siguiente número octal: 65,3241

(27)

binarios

6 5 , 3 2 4 1

1 1 0 1 0 1 , 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 4.- Transformar a binario el siguiente número octal: 47235,10423

binarios

4 7 2 3 5 , 1 0 4 2 3

1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 Ejercicios Transformar a binario los siguientes números octales a) 6546 b) 66547 c) ´547330 d) 740251 e) 6547024 f) 65430144 g) 542,365 h) 4521,6703 i) 63254,54557 j) 254166,3254 k) 5421,600254 l) 54721,632545 Solución a) 110 101 100 110 b) 110 110 101 100 111 c) 101 100 111 011 011 000 d) 111 100 000 010 101 001 e) 110 101 100 111 000 010 100 f) 110 101 100 011 000 001 100 100 g) 101 100 010 , 011 110 101 h) 100 101 010 001 , 110 111 000 011 i) 110 011 010 101 100 , 101 100 101 101 111

i) 010 101 100 001 110 110 , 011 010 101 100 k) 101 100 010 001 , 110 000 000 010 101 100 l) 101 100 111 010 001 , 110 011 010 101 100 101

1.2.17.- CONVERSION BINARIO - OCTAL

Para convertir números de binario a octal, se realiza el proceso inverso al anterior. Se agrupan los dígitos binarios de 3 en 3 a partir del punto decimal hacia la izquierda y hacia la derecha, sustituyendo cada trío por su correspondiente dígito octal. Si el trío de más a la izquierda de la parte entera queda incompleto, se rellena con 0 (ceros) hacia la izquierda; si sucede lo mismo con el trío de más a la derecha de la parte decimal, se rellena con 0 (ceros) hacia la derecha.

EJEMPLO

1.- Convertir el número binario 1010111100 en octal.

0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0

1 2 7 4

Luego 1010111100

(2)

= 1274

(8)

(28)

PRPROOFF.. PAPABBLOLO SSANANHHUUEEZZAA CC. . 28 2.- Convertir 1100101001000,1011011 en octal.

0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 , 1 0 1 1 0 1 1 0 1 7 5 6 4 3 , 5 7 7 Luego 1100101001000,1011011

(2)

= 14510,554

(8)

Ejercicios 1.- Transformar a octal el siguiente número binario: 110111001

Primero agrupamos de a tres digitos partiendo desde la coma decimal hacia la izquierda y luego buscamos en la tabla cada una de las series binarias y su correspondiente digito octal.

1 1 0 1 1 1 0 0 1 6 7 1 2.- Transformar a octal el siguiente número binario: 1010111010101 Se procede igual que en el ejercicio anterior

Se rellena con ceros para completar el cuarteto

0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1

1 2 7 2 5

3.- Transformar a octal el siguiente número binario: 10110111101001101,101110 Se procede igual que en el ejercicio anterior

0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 , 1 0 1 1 1 0

2 6 7 5 1 5 ^, 5 6

4.- Transformar a octal el siguiente número binario: 1101101011101001101,10011010

Se procede igual que en el ejercicio anterior

0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 , 1 0 0 1 1 0 1 0 0

1 5 5 3 5 1 5 ^, 4 6 4

Ejercicios

(29)

PRPROOFF.. PAPABBLOLO SSANANHHUUEEZZAA CC. . 29 Transformar a octal los siguientes números binarios.

a) 110111010010 b) 1100001010011 c) 1100001010011100010100010 d) 0,110001011000101001 e) 0,110110001000100111001 f) 0,10010011100110000101001 g) 10011010100,100100010101 h) 1110101100010110010,111001001 i) 11101101,11000010111101000101 Solución a) 6722 b) 14123 c) 141234242 d) 0,613051 e) 0,6610471 f) 0,44714122 g) 2324,4425 h) 2654262,711 i) 355,6057212

1.2.18.- CONVERSION HEXADECIMAL - OCTAL

Para convertir números de octal a hexadecimal se procede de la siguiente forma: primero se debe transformar el octal a binario y luego el binario a hexadecimal. Tal como se vio en los puntos anteriores.

Ejemplo 1.- Transformar a hexadecimal el siguiente número octal: 734 Transformamos a binario el número octal 734 7 3 4 Transformamos a binario 1 1 1 0 1 1 1 0 0 Luego lo agrupamos de a cuatro digitos 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 Buscamos su correspondiente hexadecimal en la tabla

1 D C 2.- Transformar a hexadecimal el siguiente número octal: 1152 Procedemos igual que en el ejercicio anterior 1 1 5 2 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 2 5 A 3.- Transformar a hexadecimal el siguiente número octal: 407,526 Al igual que en los ejercicios anteriores

4 0 7 , 5 2 6

0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 , 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0

1 0 7 , A B 0

4.- Transformar a hexadecimal el siguiente número octal: 26,7023 Al igual que en los ejercicios anteriores

2 6 , 7 0 2 3

(30)

0 0 0 1 0 1 1 0 , 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1

1 0 , E 1 3

Ejercicios Transformar a hexadecimal los siguientes números octales.

a) 6546 b) 45362 c) 54413260 d) 541236021 e) 0,542 f) 0,6324 g) 0,21365 h) 0,630171 i) 63254,54557 j) 254166,3254 k) 5421,600254 l) 54721,632545 Solución a) D66 b) 4AF2 c) B216B0 d) 5853C11 e) 0,B1 f) 0,CD4 g) 0,45EA h) CC1E4 i) 66AC,B2DE j) 15876,6AC k) B11,C02B l) 59D1,CD594

1.2.19.- CONVERSION OCTAL - HEXADECIMAL

Para convertir números de hexadecimal a octal se procede de la siguiente forma: primero se debe transformar el hexadecimal a binario y luego el binario a octal. Tal como se vio en los puntos anteriores.

Ejemplo

1.- Transformar a octal el siguiente número hexadecimal: 734

Transformamos a binario el número hexadecimal 734

7 3 4 Transformamos a binario

0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 Luego lo agrupamos de a tres digitos

0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 Buscamos su correspondiente octal en la tabla

3 4 6 4

2.- Transformar a octal el siguiente número hexadecimal: 11D2

Procedemos igual que en el ejercicio anterior

1 1 D 2

0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0

0 1 0 7 2 2

3.- Transformar a octal el siguiente número hexadecimal: 45,FE

Al igual que en los ejercicios anteriores

4 5 , F E

0 0 1 0 0 0 1 0 1 , 1 1 1 1 1 1 1 0 0

1 0 5 , 7 7 4

4.- Transformar a octal el siguiente número hexadecimal: FEA,BACA

(31)

Al igual que en los ejercicios anteriores

F E A , B A C A

1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 , 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0

7 7 5 2 , 5 6 5 4 5 0

Ejercicios Transformar a octal los siguientes números hexadecimales.

a) 65FA b) 45362 c) DE9547 d) D654CA0 e) 0,5B2 f) 0,6324 g) 0,52E4C h) 0,F5D1C4 i) F10,CD01 j) CD01,F10 k) DEC,1543 l) 258E,659AB Solución a) 62772 b) 1051542 c) 67512507 d) 15312246240 e) 0,2662 f) 0,306220

g) 0,2456230 h) 0,75350704 i) 7420,632004 j) 146401,7420 k) 6754,052414 l) 22616,3225526

1.3.- REPRESENTACION DE NUMEROS ENTEROS.

Los computadores digitales utilizan principalmente cuatro métodos para representar números enteros, éstos son los siguientes:

- Módulo y signo (MS) - Complemento a 1 (C-1) - Complemento a 2 (C-2) - Exceso a 2 elevado a N-1

En estas representaciones de números se utiliza el sistema binario y se considera que tenemos un número limitado de dígitos para cada dato numérico. Este número de dígitos disponibles lo representamos por N.

1.3.1.- MODULO Y SIGNO (MS)

En este sistema de representación, el bit que está situado más a la izquierda representa el signo, y su valor será de 0 para el + y de 1 para el -. El resto de los bits (N-1) representan el modulo del número. Suponemos en principio que los números no poseen parte decimal, por lo que la coma se supone implícita a la derecha.

Por ejemplo, supongamos que disponemos de 8 bits (N=8) y queremos representar los números 10 y -10.

Veamos cuáles son sus representaciones.