Donde y Y, es el elemento asociado con x X Los valores de x X forman un conjunto llamado Dominio

07. ESTUDIO DE LAS FUNCIONES.

La mayor parte de la información respecto a sucesos que acontecen diariamente y relativos a cambios, sean de carácter económico, deportivo, meteorológico, etc., se difunde a través de tablas y gráficas, formas éstas de expresar las relaciones funcionales.

DEFINICIÓN: Sean X y Y dos conjuntos. Una función de X en Y, es toda correspondencia que se establece entre los dos conjuntos de modo que cada elemento de X se asocia con un único elemento de Y.

De acuerdo con esto podemos decir que una función f, de X en Y, es un conjunto de pares ordenados (x, y) X x Y tales, que para cada x X, existe un y Y de modo que (x, y) x f.

Notación:

Si f representa una función definida de X en Y, se acostumbra escribir:

Donde y Y, es el elemento asociado con x X

Los valores de x X forman un conjunto llamado Dominio de la función, mientras que a los y Y, se les llama Recorrido. El conjunto Y es denominado Codominio. La letra x recibe el nombre de variable independiente, y la letra y variable dependiente. La dependencia de y respecto a x se escribe y = f(x), que se lee “y es función de x”. Se dice que y es la imagen de x mediante f.

Ejemplos:

En el ejemplo a) se estableció una correspondencia arbitrariamente, mientras que en el b) la asociación sigue una “regla” específica. Este último tipo de asociaciones es la que nos interesa por el momento.

TABLAS, GRÁFICAS Y FÓRMULA DE UNA FUNCIÓN.

Podemos representar una función a través de una descripción verbal, una tabla de valores, una gráfica o una fórmula o ecuación matemática.

El ejemplo b) puede representarse de las siguientes maneras:

1) Descripción verbal: Cada elemento de X se “asocia” con su doble en Y.

2) Tabla de valores:

3) Gráfica:

4) Fórmula o ecuación matemática: y = f(x) = 2x

En lo sucesivo consideraremos funciones en las cuales tanto el dominio como el codominio son los números reales o subconjuntos de éste.

ACTIVIDADES.

1) Expresa la longitud de la diagonal de un cuadrado como función de su área.

2) En un círculo de radio R, la longitud C de la circunferencia está dada por C = 2 R y el área A por A = R²:

a) Halla C(10)

b) ¿Cuál es el dominio y recorrido de la función C?

c) Expresa el área como función de la longitud de la circunferencia.

3) Si x representa la longitud de un lado de un triángulo equilátero, expresar el perímetro P y el área A, en función de x.

4) Si y = f(x) = x² – 7x + 10, hallar: f (2), f (3), f (5), f (0), f (-1).

5) Para cada una de las siguientes funciones, hallar y simplificar la expresión correspondiente al cociente

x a

a x

a f x

f ( ) ( ) ,

:

a) f(x) = a b) f(x) = x² c) f(x) =

x

d) f(x) = 1 / x

DETERMINACIÓN DEL DOMINIO Y DEL RECORRIDO DE FUNCIONES DEFINIDAS EN LOS REALES.

El identificar el dominio y el recorrido de las funciones, nos permite conocer la extensión de la gráfica de la función así como reconocer los valores que se excluyen de ellos. Comúnmente se siguen las siguientes directrices, para encontrarlos:

1) Debemos expresar explícitamente cada una de las variables.

2) Las variables no pueden tomar valores complejos.

3) Se deben excluir los valores de las variables que impliquen dividir entre cero.

4) Los cuadrados perfectos son positivos.

Ejemplos:

1) Discutir el dominio y recorrido de la función definida por y = f(x) =

4 x

²

a) 4 –x² 0 para que los valores de y sean Reales. De aquí se sigue que x² 4, que es

equivalente a | x | 2, que implica – 2 x 2. Es decir el dominio está formado por todos los valores de x comprendido entre –2 y 2, incluido éstos.

b) Expresando a x explicitamente: x =

4 y

² . Para que los valores de x sean Reales, 4 –y² 0. De aquí concluimos que – 2 y 2. Como la función está definida para valores positivos

de y, tendremos; 0 y 2, es decir el recorrido lo integran los valores de y entre 0 y 2, incluyéndolos a ellos.

c) Su gráfica es:

2) Discutir el dominio y recorrido de la función definida por y = f(x)

1 2 x x

a. Dominio (valores permitidos para x): como la letra x se encuentra en una expresión como denominador, se debe excluir el caso en que este divisor sea el cero. Por lo tanto x – 1 ≠ 0, de aquí obtenemos x ≠ 1. Es decir que el dominio estará formado por todos los números reales diferentes del 1. En el plano cartesiano trazamos una línea punteada, que pase por la recta con ecuación x = 1, que nos indica que todos los puntos sobre ella están excluidos. (Ver gráfico más abajo, hacia la izquierda).

b. Recorrido (valores para y): en y =

1 2 x

x

, despejamos la letra x. Para ello, multiplicando

por (x – 1) nos queda: y(x – 1) = x + 2. Usando la propiedad distributiva, obtenemos: yx – y = x + 2. De aquí se tiene que yx – x = y + 2. Factorizando el extremo izquierdo de la igualdad:

x (y – 1) = y + 2. Finalmente x 1 2 y

y

.

Observamos que la letra y se halla haciendo parte

de un divisor, el cual no puede ser cero. Esto nos lleva a excluir el valor de 1 para la letra y.

Por lo tanto el recorrido está constituido por los números reales distintos del 1. En el plano cartesiano trazamos una línea punteada, que pase por la recta con ecuación y = 1, que nos indica que todos los puntos sobre ella están excluidos. (Ver gráfico más abajo, hacia la izquierda).

c. Ahora surge una pregunta: ¿En cuál de las cuatro regiones está la gráfica? Para conocer la región del plano cartesiano donde estará la gráfica, asignamos a x, un valor a la derecha de 1 y un valor a la izquierda de 1, observando la región donde “cae” el valor correspondiente a “y”

(la sombreada, para la x valores a la derecha e izquierda del 1; para la y, valores encima y debajo del 1) donde se encontrará la gráfica de esta función:

1 2 3

2 1 3 4

-1 -1 -2

1 2 3

2 1 3 4

-1 -1 -2

?

?

?

?

d. Ahora se construye una tabla de valores y se llevan al plano, uniéndose los puntos para tener la gráfica correspondiente.

ACTIVIDADES.

Indicar el dominio y recorrido de las siguientes funciones, si x, y R.

1. y = f (x) = 4 7. y = f (x) = x² – 1 2. y = f (x) = | x | 8. y = f (x) = x² – 4x 3. y = f (x) = 2x + 3 9. y = f (x) = 1 / x 4. y = f (x) =

x

10. y = f (x) =

0 ,

0

2, x x

x

x

5. y = f (x) = + 9 x² 11. y = f (x) =

0 ,

0 , 3

x x

x

6. y = f (x) = |x – 2|

12. y = f (x) = – x² 4

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES DEFINIDAS EN LOS NÚMEROS REALES. TIPOS DE FUNCIONES.

En el análisis de la expresión que define una función, para esbozar o trazar su gráfico, generalmente se tiene en cuenta los siguientes aspectos:

1) Intersecciones de la curva con los ejes. Es necesario hallar los puntos de corte de la gráfica con cada uno de los ejes coordenados, es decir (x, 0) y (0, y).

2) Simetría. Determinar si la curva es simétrica con relación a:

a) El origen del sistema de coordenadas. La ecuación de la curva no cambia al sustituir x por –x y y por –y.

b) El eje x. La ecuación de la curva no se modifica al intercambiar la variable y por – y c) El eje y. La ecuación de la curva no se modifica al intercambiar la variable x por – x.

3) Extensión de la curva. Determinar el dominio y el recorrido.

4) Determinación de asíntotas. Una asíntota es una recta tal que la curva se aproxima cada vez más a ella, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen. Algunas curvas no tienen asíntotas, pero la localización de las que tienen, es de mucha ayuda para el trazado de su gráfica.

5) Calcular un número finito de puntos de la curva.

6) Trazar la gráfica.

En muchos casos no es necesario utilizar todos los pasos anteriores ya que es suficiente con algunos de ellos.

1) Función constante. Es aquélla que asocia a todo número real, un número fijo. Si c R es un número dado, entonces y = f (x) = c, es la función constante. Ejemplo: y = f (x) = 2.

x y

- 3 -2 -1 0 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2

2) Función idéntica: Está definida mediante la expresión y = f (x) = x.

x y

- 3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

3) Función Lineal. Son funciones cuya representación matemática está dada por la expresión y = m · x + b. Ejemplo: y = f (x) = 2 x + 4.

x y

- 3 -2 -1 0 1 2

-2 0 2 4 6 8

4) Función potencia, con exponente entero positivo. Tienen la forma y = f (x) = x ⁿ. La función idéntica es un caso particular, cuando n = 1. Otros ejemplos:

a. y = f (x) = x²

x y

- 3 -2 -1 0 1 2

9 4 1 0 1 4

3 9

b. y = f (x) = x³

x y

- 3 -2 -1 0 1 2

-27 -8 -1 0 1 8

3 27

5) Función raíz cuadrada. Es de la forma y = f (x) = . En este caso debemos considerar únicamente los valores de x mayores o iguales que cero, para que la raíz tenga sentido.

x y

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 0.7 1 1.2 1.4 1.6

3 1.7

4 2

6) Funciones polinómicas. Son de la forma Ejemplos:

a. y = f (x) = – x² + 4x + 12

Intersecciones con los ejes: Si x = 0, y = 12. Si y = 0 tendremos – x² + 4x + 12 = 0.

Resolviendo para x, encontramos x = 6, ó, x = – 2. Hemos encontrado los puntos (0, 12), (– 2, 0) y (6, 0).

Intervalos en los cuales la función es positiva o negativa:

y = – x² + 4x + 12 > 0

Diagrama de signos:

0 1 2 3 4 5 6

-3 -2 -1

(6 - x) (x + 2) (6 - x)(x + 2) +

+

+ +

+ -

- -

-

La función (valores de y), es positiva en: ] – 2, 6[

La función es negativa en:

] – ∞, –2[ y en ] 6, ∞ [

El gráfico estará en las regiones sombreadas:

1 2 3 4 5 6

-1 -3 -4

x y

-2

Recorrido. Escribimos a x explícitamente: x² – 4x = 12 – y. Completamos cuadrado: x² – 4x + 4 = 12 – y + 4, que es equivalente a (x – 2)² = 16 – y. Extrayendo raíz cuadrada: x – 2 =

y

16

. Los valores de x serán reales cuando 16 – y 0, es decir, y 16. Por lo tanto, el recorrido está formado por todos los reales menores o iguales que 16.

Gráfica:

x y

- 3 -2 -1 0 1 2

-9 0 7 12 15 16

3 15

4 5

15 7

b. y = f (x) = x³ – 4x

Intersecciones con los ejes: Si x = 0, y = 0. Si y = 0 tendremos x³ – 4x = 0. Resolviendo para x, encontramos x = 0, x = – 2, ó, x = 2. Hemos encontrado los puntos (0, 0), (– 2, 0) y (2, 0).

Intervalos en los cuales la función es positiva o negativa:

y = x³ – 4x > 0 Diagrama de signos:

(x + 2) x

(x - 2) +

+ -

0 1 2 3 4 5 6

-3 -2 -1

(x - 2) (x + 2) x + + + + +

+ -

-

- -

-

- -

La función (valores de y), es positiva en: ] – 2, 0[ y en ]2, ∞[

La función es negativa en:

] – ∞, –2[ y en ] 0, 2 [

El gráfico estará en las regiones sombreadas:

1 2 3 4 5 6

-1 -3

-4

x

y

-2

Gráfica:

x y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

-5.6 0 2.6 3 1.8 0

x y

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1.8 -3 -2.6 0 5.6 15

7) Funciones Racionales. Son todas las funciones representadas mediante el cociente de dos funciones polinomiales. Ejemplo:

Intersecciones con los ejes: Si x = 0, y = – 2. Si y = 0 tendremos x + 2 = 0, de donde obtenemos x = – 2. Hemos encontrado los puntos (0, – 2) y (– 2, 0).

Intervalos en los cuales la función es positiva o negativa

: .

Diagrama de signos:

(x + 2)

0 1 2

-3 -2 -1

+

+ +

+ -

-

(x - 1)

(x + 2) (x - 1) -

-

+

/

La función (valores de y), es positiva en:

] – ∞, –2[ y en ]1, ∞[

La función es negativa en: ] –2, 1 [

Asíntotas: En las funciones racionales es necesario descartar los valores de las variables que anulen el denominador. En este caso si x – 1= 0, el cociente no está definido, por ello se descarta el valor x = 1. Esta ecuación corresponde a una línea recta paralela al eje de las “y”, recta denominada asíntota de la curva. Así mismo, despejando x, encontramos que , por lo que tendremos que descartar los valores de y = 1 (otra asíntota), paralela al eje “x”.

El dibujo estará en las regiones sombreadas

1 2 3 4

-1

-3

x

y

-2 1

x y -3

0 -2.5

-1

1.5 2 0.5 -5

-2 -0.5 -0.2 0.1

4 7 -1 -2 -1.5

-0.5 0.25

0

2.5 3

3 2.5

8) Función escalonada. Si x R, la parte entera de x, representada por [x], es el mayor entero menor o igual a x. Así: [1,8] = 1, [-0,5] = - 1.De modo que la expresión y = [x], define a la función parte entera de x. Su gráfica en el intervalo [-2, 2] es:

a) tabla de valores:

x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2

b) Gráfica:

9) Sucesiones. Son todas aquéllas funciones cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos. Como el dominio es el mismo, las sucesiones se acostumbran a representar mediante los elementos del recorrido.

Ejemplos:

a) y = f(n) = 2n, representa al conjunto {2, 4, 6, 8,…}

b) y = f(n) =

n

1

, es el representante o término enésimo de {

,...

4 , 1 3 , 1 2 , 1

1

}

c) y = f(n) = _n

2

1

, es el término enésimo de {

,...

8 , 1 4 , 1 2

1

}.

d) y = f(n) = 2n – 1, es el enésimo término de {1, 3, 5, 7, …}

ACTIVIDADES.

Analiza y traza la gráfica que representa a cada una de las siguientes expresiones.

1) y = 2x +5 2) y = – 4x²

3) y = x² – 7x + 10

4) y =

1

2

1 x x

5) y = x⁴ – 2x² 6) y = x³ – 3x

7) y = f(x) =

FUNCIÓN COMPUESTA

En ocasiones se presenta el caso de dos funciones tales que el Recorrido de una de ellas sirve de Dominio de la otra. En estas situaciones se habla de Función Compuesta para referirse a una nueva función formada por el dominio de la primera y el recorrido de la segunda. Observa el diagrama:

El cual podemos resumir así:

Es decir la función g “asocia” a cada elemento “x” de A con “x + 1” y enseguida la función f lo transforma en su cuadrado, esto es (x + 1)². Pero estos dos pasos pueden realizarse en uno solo mediante la función h que “suma 1 a x para inmediatamente elevar al cuadrado el resultado”.

La función h es la compuesta de f con g. Se escribe h = f o g, lo que nos indica que primero se calcula la imagen mediante la función g y después la otra imagen, a través de f.

Otro ejemplo: Si f (x) = 2x y g(x) = x³, hallar f o g y g o f.

Solución: Debemos tener presente lo qué hace cada función con los elementos de su Dominio: f lo duplica mientras que g lo eleva al cubo. Por lo tanto:

a. ( f o g )(x) = f [ g(x) ] = f [x³] = 2 (x³) = 2x³ b. ( g o f )(x) = g [ f (x) ] = g [2x] = (2x)³ = 8x³

ACTIVIDADES.

1) Para cada par de funciones dadas, hallar f o g y g o f. Señalar el dominio del resultado.

a) f(x) = 2x – 3, g(x) = 3x +2 b) f(x) = x² – x, g(x) = x + 4 c) f(x) = 2 / x, g(x) = x – 3

2) Si f(g(x)) = 1 – x² y g(x) = 1 – x², hallar f(x) 3) Si f(g(x)) = x² + 2x + 1 y f(x) = x², encontrar g(x).

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES.

FUNCIONES MONÓTONAS.

Definiciones:

Sea f(x) una función definida en [a, b].

1. f es creciente en [a, b] si y solo si 2. f es decreciente en [a, b] si y sólo si

3. f es monótona en [a, b] si y sólo si f es creciente o decreciente en Las gráficas siguientes ilustran las definiciones anteriores.

ACTIVIDADES.

Determinar si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes, indicando el intervalo en que lo son:

1. y = f(x) = x³ 2. y = f(x) = 3. y = f(x) = x² – 1 4. y = f(x) = 2x + 1 5. y = f(x) = | x |

FUNCIONES INYECTIVAS.

Una función es uno a uno o inyectiva si cada elemento del Recorrido corresponde exactamente a un elemento del Dominio. Es decir, una función f es inyectiva (uno a uno) si se cumple que:

o

Criterio para determinar una función es 1 – 1, mediante su gráfica: Si toda recta horizontal corta a la gráfica de una función en uno y sólo un punto, entonces la función es 1 – 1. Ejemplos:

Si se observa la gráfica de la derecha, se nota además que f es una función creciente en su dominio.

TEOREMA. Si una función es monótona en un intervalo I, entonces es uno a uno en dicho intervalo.

Demostración:

Supongamos que la función f es creciente en el intervalo I. Sean tendremos:

a. Si se cumple que y por lo tanto

b. Si se cumple que y por lo tanto

FUNCIONES INVERSAS.

Consideremos la función definida en A = {1, 2, 3, 4} mediante la expresión y = f(x) = 2x. En este caso D f = A y R f = B = {2, 4, 6, 8}. Las parejas de la función son: f = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}.

Si intercambiamos las componentes de las parejas, tendremos: {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4)}, la cual es una función que se representa con f ^{– 1} y denominada la inversa de f. En este caso, D _f ^{– 1} = B = {2, 4, 6, 8} = R _f y R _f ^{– 1} = {1, 2, 3, 4} = A = D _f

DEFINICIÓN: Si la función f es 1 – 1, considerada como el conjunto de pares ordenados (x, y), entonces existe una función f ^{– 1}, llamada inversa de f, constituida por los pares (y, x) definida por f ^{– 1} (y) = x ↔ y = f (x). Además, se cumple que D _f ^{– 1} = R _f y R _f ^{– 1} = D _f.

Ejemplo:

Dada la función y = f(x) = 4x – 3, determinar si es uno a uno y en caso afirmativo, hallar f ^{– 1} Solución:

a. Mostramos gráficamente que f es 1 – 1:

Cualquier recta horizontal cortará a la gráfica en un solo punto.

b. Analíticamente: Si f(x₁) = f(x₂) tendremos 4x₁ – 3 = 4x₂ – 3 y por lo tanto x₁ = x₂ c. Para hallar f ^{– 1} despejamos x:

. Como los nombres o símbolos que representan a las variables carecen de importancia, podemos escribir

d. Graficando en un mismo plano a las dos funciones:

Se observa que f ^{– 1} y f, son simétricas respecto a y = x, esto es, una es el reflejo de la otra.

Hallemos y

a.

b.

ESTRATEGIAS PARA ENCONTRAR LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN.

Analizar si es uno a uno o monótona.

Despejar “x” en la expresión que define la función para obtener x = f ^{– 1} (y).

Intercambiar las letras x, y para tener y = f ^{– 1} ( x) Definir D _f ^{– 1} = R _f.

Verificar que = = x

No todas las funciones tienen inversas, pero en ocasiones restringiendo el dominio de f, es posible encontrar f ^{– 1}. Por ejemplo y = f (x) = x² no es uno a uno y por ello no tiene inversa. Como su dominio son todos los números reales, podemos restringir el dominio a los reales mayores o iguales que cero y se tendrá:

y = f (x) = x², x [0, ∞ [es creciente y por tanto uno a uno. R _f = [0, ∞ [ y = f (x) = x² implica que = f ^{– 1}( y)

Cambiamos x, y: . El Dominio es D f – 1 = [0, ∞ [ y

ACTIVIDADES.

Probar gráfica y algebraicamente que las siguientes funciones tienen inversas y determinar su expresión matemática:

1. y = f (x) = 5x + 1 2. y = f (x) = x³ 3. y = f (x) = 4. y = f (x) = x³ – 1