Ejemplos 3. Cinética de una Partícula

Ejemplos 3.

Cinética de una Partícula

3.1. 2ª Ley de Newton

3.1A.** El movimiento del bloque A de masa 1kg, en su guía inclinada viene regido por la rotación del brazo ranurado alrededor de O en el plano vertical. Si el brazo tiene una velocidad angular ω de 6rad/s y aceleración angular α de 20rad/s², ambas horario en la posición vertical representada, determinar la fuerza F ejercida por el brazo sobre el pasador montado en A y hallar la fuerza normal N entre el bloque y su guía de 30°.

Desprecie roce.

Respuesta: N = 17,45, F = 17,9N

• Desde el DCL del bloque (Figura 3.i) se puede sumar las fuerzas en la dirección radial y transversal.

Figura 3.i

• Iguala la ecuación para la velocidad de A en coordenadas polares (r& incógnita) con la ecuación para la misma velocidad en términos de su magnitud (incógnita) y su dirección.

• Realice el mismo procedimiento con la aceleración.

15cm A

30°

O

F mg

N ar

iˆ eˆ_θ = jˆ

eˆ_r =

30º

3.1B.*** Las respectivas masas de los bloques A y B son 40kg y 8kg. Los coeficientes de roce entre todas las superficies de contacto son µest = 0,20 y µcín = 0,15. Si la fuerza horizontal P = 40N, hallar a) la aceleración del bloque B y b) la tensión en la cuerda (Ver Animación 12).

Respuesta: a) aB = 1,794m/s², b) T = 58,2N

• Realice los diagramas de cuerpos libres de los dos bloques (ver Figura 3.ii)

Figura 3.ii

• Sume las fuerzas en x e y.

• Relacione las aceleraciones a través de la polea.

3.1C.*** El disco circular rota alrededor del eje vertical con velocidad constante 240rpm antihorario. Determine el valor de x para cada resorte y la fuerza normal ejercida por la ranura sobre cada bloque. En reposo, cada uno de los bloques deslizantes de 0,5kg tiene la posición x = 25mm y los resortes (k = 400N/m) están relajados.

Desprecie roce y las masas de los resortes.

25°

A B

P = 40N

P NA

mAg T

FrA

FrB NB

T

NB FrB

mBg B aA

aB

x y

x

O x A

A

• DCL de un bloque A. Sume las fuerzas en las direcciones x e y.

• Expresa la aceleración en términos de coordenadas intrínsecas con las direcciones tangente y normal en iˆ y jˆ con θ como incógnita (ver Figura 3.iii)

Figura 3.iii

• Escriba cosθ y senθ en términos de x, reemplace en las ecuaciones de la 2ª Ley de Newton.

3.1D.*** La bomba centrífuga con alabes radiales lisas rota en torno de su eje vertical con velocidad angular constante ω. Encuentre la magnitud de la fuerza N ejercida por un alabe sobre una partícula de masa m mientras se mueve por lo largo del mismo. Se introduce la partícula en r = ro sin velocidad radial. Suponga que la partícula está en contacto solamente con el lado del alabe. Desprecie roce

Respuesta: N=m2θ&² r²−r_o²

• Considere la 2ª Ley de Newton en componentes polares.

• Desde la sumatoria de las fuerzas en la dirección radial se puede expresar r&& en términos de r y θ& .

• Se sabe que:

dt r= dr

& y r dt

r

d& = , por lo tanto, &&

r r dt d

&&

&

= y r d

dr r r

&

&&

& = .

• Así se forma la integral:

∫

∫

0 r

r

r d r dr r

o

&

&

&

&& .

• Reemplazando la expresión para r&& e integrando se encuentra una ecuación para r& y se reemplaza en la ecuación para la sumatoria de las fuerzas en la dirección transversal.

θ

eˆ t

eˆn

x

Eje fijo de referencia

P θ ω

R

r

ro

3.1E.** Sobre un prisma triangular se coloca una cadena flexible y homogénea de modo que se punto medio caiga en la arista superior del prisma. Este se apoya en un plano horizontal perfectamente liso. Determine la aceleración horizontal que debe darse al prisma para que la cadena esté en equilibrio con respecto al prisma (q = peso de la cadena / unidad de longitud).

Respuesta.

( )

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ α−β

=g tg 2 a

• Se analiza los dos lados de la cadena por separado, reemplazando la otra porción de la cadena con una tensión T.

• La aceleración de la cadena es la aceleración del prisma, sino hay movimiento relativo entre ellos.

3.1F.*** Se coloca un péndulo de longitud L y masa m en un ascensor que acelera hacia arriba con aceleración constante ao. Si se desplaza el péndulo por un ángulo θ = θo y se suelta del reposo relativo al ascensor, encuentre la tensión T en la cuerda del péndulo cuando θ = 0.

Respuesta: T = m(2cosθo(g+ao)-g-ao)

α β

L L

θ L

m

ao

0

• Considere el DCL de la partícula (ver Figura 3.iv) y sume las fuerzas en las direcciones polares.

Figura 3.iv

• Para aplicar la 2ª Ley de Newton se tiene que utilizar la aceleración absoluta (total) de la partícula incluyendo la del ascensor y de la partícula con respecto al ascensor.

• Para determinar la velocidad angular θ& de la aceleración radial se determine una expresión para la aceleración angular θ&& de la suma de fuerzas en la dirección transversal y se integra según lo siguiente:

θ θ =&

dt

d y, por lo tanto, θ

= θ

&

dt d

Reemplazando en la ecuación para la aceleración angular:

θ θ

= θ

= θ

θ d

d dt d& & &

&& ; Dando la siguiente integral:

∫

∫

θ

θ θ

= θ

θ&& ^& & &

0 0

d d

o

ao

T

mg ^eˆr eˆθ

θ&&

r

rθ&2

3.2. Trabajo y Energía

3.2A.** Los dos bloques A y B son del mismo peso P. El sistema parte del reposo con x = 0. Determine la velocidad vB del bloque B cuando x = 1 (Ver Animación 13).

Respuesta: vB = 1,4m/s

• Plantee la ecuación para la conservación de energía para el sistema de los dos bloques. Si se considera los bloques por separados se tiene que incluir el trabajo que hace las tensiones en los cables, si se considera el sistema, el trabajo que hacen las tensiones se anula.

• Relacione las velocidades a través de la derivada de la ecuación para la longitud de la cuerda.

3.2B.** Dos partículas de igual masa m están unidas por una cuerda ideal de largo 2R.

Este sistema se suelta del reposo con la cuerda estirada y sin tensión. En el instante el tope P (sin peso) fijo se encuentra a una distancia R por debajo del punto medio de la cuerda. Se sabe que el tope puede soportar una fuerza máxima igual a (7/2)mg.

Determinar φ en el instante que se rompe el tope.

Respuesta: φ = 30º

P φ

φ

m m

R

R

x

B 2,40m

A

• Encuentre la velocidad del conjunto justo al llegar al tope.

• Al nivel del tope las partículas con sus cuerdas se comportan como péndulos y la tensión en un péndulo no hace trabajo (ver Unidad 3 Sección 3.5.1 de los Apuntes).

• Aplique la ecuación para la conservación de energía del sistema entre la posición inicial cuando φ = 0 y cualquier valor de φ. Escriba la velocidad en términos de una rotación simple.

• Considere un DCL de una partícula y sume las fuerzas en la dirección radial.

• Combine las dos ecuaciones para determinar una expresión para la tensión T en términos de φ.

• Considere un DCL del tope en un instante antes de romper. Sume las fuerzas en la dirección vertical con la aceleración igual a cero.

• Reemplace el valor máximo de la reacción entre el tope y el muro y el valor de T.

3.2C.** Los bloques representados en la figura de igual masa, están unidos a los extremos de un resorte de constante K. Los bloques que partieron juntos del reposo desde la posición en que x = 0, se desliza con roce despreciable por los planos que tiene el mismo ángulo de inclinación. Si el resorte está sin deformar en la posición en que x = 0, determine:

a. La posición de los bloques cuando el resorte alcanza la máxima compresión.

b. La rapidez máxima de los bloques y la posición en que la alcanza.

Respuesta a)

θ

= ₂θ

cos K mgsen

x , b)

θ

= ₂θ

cos K 2

mgsen

x , = gtgθ

K 2 x&_máx m

• Se conserva la energía mecánica.

• En la ecuación de conservación de energía escriba h y δ1 en términos de x (ver Figura 3.v). Cuando la deformación es máxima la velocidad es cero.

x x

m m

K

θ θ

Figura 3.v

• Considere el DCL de un bloque. Cuando la velocidad es máxima la aceleración es cero.

3.2D.*** El resorte en el instante que se muestra tiene un alargamiento nulo, pero viaja con una velocidad de 7m/s hacia la izquierda. Encuentre la velocidad del bloque de peso 200N, cuando se ha movido 4m hacia la izquierda.

Respuesta: v_f =2,43m/s

• Existe una fuerza no conservativa, la fuerza de roce.

• El trabajo que hace la fuerza de roce es:

∫

∫

=

= ⁴

0 4

0 r fr

fnc W Fdx N dx

W

• Considerando el diagrama de cuerpo libre (Figura 3.vi):

δ1

x

θ h

k=80N/m

µcin = 0,2 1,5m

∑

Arreglando: N=mg−kδsenα

Figura 3.vi

• La fuerza normal varía con el desplazamiento del bloque y, por lo tanto, la fuerza de roce también varía con el desplazamiento. Para encontrar el trabajo hecho por la fuerza de roce hay que formular una ecuación para N en términos de x (ver Figura 3.vii)

Figura 3.vii

3.2E.*** Una cuerda flexible de 24m de largo y peso 0,833N/m pasa sobre dos topes lisos, tal como se ve en la figura. La cuerda parte del reposo cuando d = 3m. Determine la velocidad de la cuerda en el instante que d = 12m.

Respuesta: v = 3,3m/s

1,5m

x

2 2 1,5 x +

α

mg

N Fe

Fr

α

d

• Se conserva la energía mecánica de la cuerda. Aplica la ecuación de conservación entre las dos posiciones mostradas en la Figura 3.viii.

Posición Inicial Posición Final

Figura 3.viii

3.2F** El bloque de la figura tiene una masa de 25kg y parte del reposo en el instante que el resorte de constante k = 2780N/m está comprimido 50 cm. Posteriormente, recorre la trayectoria horizontal AB, cuyo coeficiente de roce cinético es µcin = 0,2 y finalmente ingresa a la superficie curva lisa dada por la función x^1/2 +y^1/2 =2. Se pide determinar: a) La fuerza normal y la aceleración del bloque cuando llega a su altura máxima y b) La posición final del bloque.

Respuesta: a) N = 213,6N, a = -4,8m/s².

• Se aplica trabajo y energía entre la posición inicial y la altura máxima para determinar h.

• Sume las fuerzas en la altura máxima en las direcciones tangente y normal (ver la Figura 3.ix.

d= 3m x

x+3

d= 12m

A k

B µcin=0,2

liso

4,5m

x 2

y x^1/2 + ^1/2 =

y

Figura 3.ix

• Determine el ángulo α.

3.3. Impulso y Momentum

3.3A.**La esfera A choca con la esfera B como se muestra en la figura. Si el coeficiente de restitución e = 0,5, determine: a) las componentes de las velocidades de cada esfera en x e y después del impacto y b) el porcentaje de energía disipada en el impacto. Las esferas se muevan en el plano horizontal y se desprecia roce.

Respuesta: a) ^vr′A =^1,66

( )

, ^vrB′ =^6,99iˆ+^3,84

( )

, b) 51,9%

• Son cuatro incógnitas: v’Ax, v’Ay, v’Bx, v’By, ,por lo tanto, se necesitan cuatro ecuaciones para resolver el problema.

• Ecuaciones 1 y 2: la conservación de momentum de cada partícula individualmente por la línea de contacto.

• Ecuación 3: la conservación de momentum del sistema por la línea de impacto.

• Ecuación 4: la ecuación de restitución, siempre por la línea de impacto.

vA=3m/s A

x y

20º 30º

45º

10kg 2kg

vB=12m/s

B

Línea de impacto α

N

mg ^t eˆ

eˆn

x y

3.3B.** Una esfera A de 1,5kg incide perpendicularmente contra la cara inclinada lisa de una cuña B de 4,5kg con una rapidez de 3,6m/s. La cuña puede rodar libremente e inicialmente está en reposo. Sabiendo que el coeficiente de restitución (e) entre la cuña y la esfera es 0,5 y que la superficie inclinada de la cuña forma un ángulo θ = 40º con la horizontal, hallar; a) Las velocidades de la esfera y la cuña inmediatamente después del choque y b) La energía perdida en éste.

Respuesta: v′_A =1,146m/s, v_B′ =1,022m/s

• Son tres incógnitas; v’Ax, v’Ay, v’B, y, por lo tanto, se necesitan tres ecuaciones para resolver el problema.

• Ecuación 1: Conservación de momentum de la pelota individualmente por la línea de contacto. (No se conserva el momentum de la cuña solo, por la fuerza normal en la base que se ve afectado por el impacto) como se demuestra en la Sección 3.6.3 de la Unidad 3 de los Apuntes.

• Ecuación 2: Conservación de momentum del sistema, esté no se conserva por la línea de impacto ni contacto.

• Ecuación 3: Ecuación de restitución.

3.3C.** La esfera A de masa m y radio r se deja caer desde una altura de 1,5m como se muestra en la figura y choca contra una esfera idéntica B que cuelga de una cuerda inextensible. Si se sabe que el coeficiente de restitución e = 0,6 y no existe roce, determine si la esfera A logra ingresar al depósito mostrado, luego del impacto.

A vA

B

θ

B A 1,5m

• Son tres incógnitas; v’Ax, v’Ay, v’B, y, por lo tanto, se necesitan tres ecuaciones para resolver el problema.

• Ecuación 1: Conservación de momentum de la pelota A, individualmente, por la línea de contacto. (No se conserva el momentum de la pelota B debido a la tensión en la cuerda que se ve afectado por el impacto) como se vio en Sección 3.6.3 de la Unidad 3 de los Apuntes.

• Se tiene que definir la orientación de la línea de impacto, sabiendo que las dos pelotas tienen radio r.

• Ecuación 2: Conservación de momentum del sistema, este no se conserva por la línea de impacto ni contacto.

• Ecuación 3: Ecuación de restitución.

3.3D.*** Se lanza una pelota contra un muro rugoso desde una altura de 1,2m, golpeando el muro en A con una velocidad horizontal (vo) de 15m/s. Si el coeficiente de roce cinético (µ) entre la pelota y el muro es 0,25 y el coeficiente de restitución (e) es 0,9.

Hallar la distancia (d) desde el pie del muro al punto B donde la pelota choca con el suelo tras rebotar en el muro.

Respuesta: d = 14,24m

• Son dos incognitas; v’x, v’y, y, por lo tanto, se necesitan dos ecuaciones para resolver el problema.

• Ecuación 1: No se conserva el momentum de la pelota por ningún eje debido a la fuerza normal en la base de la pelota (ver Figura 3.x), esta fuerza se ve afectada por el impacto. Además, por la línea de contacto existe la fuerza de roce que depende de la fuerza normal.

Figura 3.x

vro

60º 1,2m

A

B

d

nˆ ^y tˆ

x 60

Fr = µN N vro

Línea de impacto

• Se aplica la ecuación de impulso y momentum por los ejes x e y:

(

)

x : −Nsen60dt− Nµcos60dt=m−v′ −v

Ι

∫ ∫

y

y : Ncos60dt− Nµsen60dt=mv′

Ι

∫ ∫

• Arreglando las dos ecuaciones se puede llegar a la siguiente relación:

y o x

v v 49 v

,

3 ′

′ −

= −

−

• Ecuación 2: la Ecuación de restitución.

3.3E.*** Una bola de 90g lanzada con una velocidad horizontal vo choca con una placa de 720g sujeta a un muro vertical a una altura de 900mm del suelo. Se observa que tras el rebote, la pelota choca con el suelo a una distancia de 480mm del muro cuando la placa está rígidamente unida al mismo (a) y una distancia de 220mm cuando se coloca una capa de material de goma espuma entre la placa y el muro (b). Hallar i) el coeficiente de restitución e entre la placa y la bola; ii) la velocidad inicial vo de la bola.

(a) (b)

Respuesta: i) e = 0,258, ii) vo = 4,33m/s

• La diferencia entre los dos casos es que la placa en el caso b tiene velocidad tras el impacto y en el caso a) no se mueve. El coeficiente de restitución es lo mismo en cada caso.

• Son 5 incógnitas; la velocidad inicial de la pelota, vo; el coeficiente de restitución, e;

la velocidad tras el choque de la pelota en el caso a), vpa; la velocidad tras el choque de la pelota en caso b), vpb; la velocidad de la de la placa tras el choque en el caso b) vpl;.

• Se puede aplicar restitución y las ecuaciones de cinemática con aceleración constante a los dos casos y conservación de momentum al caso b).

vo

90g

900mm

480mm 720g

vo

90g

900mm

220mm 720g

3.3F.** El tronco tiene masa de 500kg y los coeficientes de roce estático y cinético entre él y el suelo son µe = 0,5 µk = 0,4 respectivamente. Un motor aplica una tensión horizontal T al cable en A y varía como se muestra en el gráfico. ¿Cuánto tiempo es necesario hasta que el tronco se mueve con una velocidad de 10m/s?

Respuesta: t = 4,57s

• Para encontrar el tiempo cuando el tronco empieza moverse se tiene que determinar la tensión en la cuerda cuando el tronco esté al punto de moverse.

Para esto considere el DCL del tronco.

• Sabiendo la tensión se puede determinar el tiempo del gráfico.

• Se aplica impulso y momentum a los primeros 4 minutos desde que el tronco empieza moverse.

• Ahora se aplica impulso y momentum sl periodo de tiempo entre cuatro minutos y el tiempo desconocido cuando el tronco alcanza una velocidad de 10m/s.

A T

30° T=200t²

3200

4 t

N

0