MODELOS DE VOLATILIDAD DEL FUTURO SOBRE EL BONO NOCIONAL A 10 AÑOS ABSTRACT

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MODELOS DE VOLATILIDAD DEL FUTURO SOBRE EL BONO NOCIONAL A 10 AÑOS

Ricardo Gimeno^a (Universidad Pontificia Comillas) y Eduardo Morales^b (Universidad San Pablo CEU)

ABSTRACT

La información proporcionada por los datos de alta frecuencia abre nuevas posibilidades a los estudios de series temporales financieras. En este nuevo campo dos aspectos adquieren especial relevancia a la hora de proceder a la elaboración de modelos de volatilidad.

En las series financieras tradicionales el intervalo de tiempo entre observaciones es algo que viene dado por la propia serie. En series temporales tick-by-tick la agregación temporal es un parámetro más a considerar, que afecta a los resultados finales. En el presente artículo se estudia la volatilidad del contrato de futuro sobre el bono nocional a 10 años que cotiza en MEFF. Se comprueba como afecta al modelo estimado, el hecho de utilizar, bien series temporales tick-by-tick, bien series temporales agregadas de cinco minutos.

De igual forma los outliers suponen un factor determinante en los resultados obtenidos. Se comprueba como los modelos presentan varianza integrada si los outliers no son tenidos en cuenta, mientras que esta varianza integrada desaparece cuando sí se incluyen en el modelo.

a Universidad Pontificia Comillas de Madrid. Alberto Aguilera 23. 28015. rgimeno@cee.upco.es

b Universidad San Pablo CEU, Madrid

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1. INTRODUCCIÓN

La introducción de los modelos ARCH por Engle en 1982 y GARCH por Bollerslev en 1986 abrió una línea de investigación que ha contribuido a mejorar considerablemente el conocimiento de las características estocásticas de determinadas variables financieras de alta frecuencia; Bollerslev et al. (1992) y, más recientemente, Engle (2001) y Bollerslev (2001) contienen revisiones de los principales avances tanto teóricos como empíricos en esta área.

Las distintas variantes de modelos que tienen su raíz en los ya citados ARCH tienen por objetivo explicar el comportamiento de las varianzas de los rendimientos financieros a partir de una función del pasado de esos rendimientos (bajo el supuesto de que vienen generados por un proceso ruido blanco de variables incorrelacionadas pero no independientes) o de los residuos de un modelo ARMA para los mismos; es decir, la modelización de la varianza condicional, en la práctica, es muy dependiente del modelo que se proponga para los rendimientos. Este es, precisamente, uno de los puntos sobre los que se hace hincapié en este trabajo; en concreto se aporta nueva evidencia [véase por ejemplo, Morales (1993) y Carnero et al. (2001)] que refuerza la influencia que el tratamiento de determinados valores anómales (outliers) ejerce sobre los parámetros del modelo de la varianza.

Por otra parte, la disponibilidad de datos financieros con una frecuencia más alta incluso que la diaria posibilita plantearse si los modelos de la varianza condicional se ven afectados por un problema de agregación temporal como puede ser el pasar de una serie en la que se tiene información “tick-by-tick” – y, por tanto, habitualmente, disponible a intervalos de tiempo no constantes- a otra igualmente espaciada en el tiempo.

Para ilustrar estos dos temas se presentan los resultados de una investigación realizada sobre los precios del contrato de futuros sobre el bono a 10 años negociado en el MEFF.

El resto del documento se organiza de la siguiente manera. En la sección 2 se presentan dos de los tipos de modelos de la familia ARCH utilizados con más frecuencia en la modelización de las varianzas condicionales en series financieras, los GARH y su inmediata ampliación M-

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GARCH, y los EGARCH. El tercer apartado se destina a explicar en detalle las características estadísticas de los datos utilizados y el proceso de agregación temporal seguido.

Del la modelización los rendimientos calculados a partir de los precios de todas las operaciones cruzadas se desprende que éstos no vienen generados por procesos ruido blanco; en el epígrafe se presentan los modelos obtenidos para esos rendimientos así como los correspondientes a las series agregadas temporalmente.

En la sección 5 se incluyen los modelos para las varianzas condicionales y se discute la importancia que un número reducido de outliers tiene sobre los parámetros de los mismos.

Finalmente, en la última sección, se presentan las principales conclusiones.

2. MODELOS PARA LAS VARIANZAS CONDICIONALES

En este apartado nos concentramos en dos tipos de modelos^c -GARCH y EGARCH- que son los más frecuentemente utilizados para modelizar las varianzas condicionales de variables financieras. La modelización completa de los rendimientos requiere una ecuación inicial para las medias condicionales que adopta la forma (1) (con estructura ARMA) y una segunda para recoger el comportamiento de las varianzas condicionales. Estas últimas aparecen referidas más abajo como (2a) para los GARCH y (2b) para los EGARCH.

t

t L

P L

L ϑ ε

) (

) ln (

) 1

( − =Φ

(1)

∑

= ε

= −

ε =α + α ε + β σ ₋

σ ^p

j j q

i

i t

i _t _j

t

1 2 1

2 0

2

(2a)

La propuesta de los modelos tipo GARCH, recogida en la ecuación (2a) es que las variables aleatorias generadoras de los residuos de la primera ecuación tienen distribuciones marginales

c Una exposición más detallada de los mismos y de algunos otros modelos de la misma familia ARCH se puede consultar, por ejemplo, en Carnero et al.)

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iguales pero los momentos de segundo orden de las distribuciones condicionales son función de su pasado.

Los coeficientes de esa segunda ecuación tienen que ser positivos para evitar obtener el resultado absurdo de una varianza negativa. Además se exige a la ecuación que la suma de los coeficientes α y β debe ser menor que uno para que la varianza no tienda a infinito.

Si en la ecuación de la media se incorpora como variable explicativa la estimación de la desviación tipica condicional se tienen los GARCH-M [véase Engle et al. (1987)]^d; su inclusión permite recoger la relación entre volatilidad del activo y rendimientos esperados.

La ecuación de la varianza en los modelos EGARCH viene dada en (2b):

ln ²

εt

σ = α0+ α1·







−

− 1 1 t t

σε

ε -λ·

i t

i t ε −

σ −

ε - 



 π

2 + β1·ln ²

−1

σε

t (2b)

Estos modelos EGARCH, al estar definidos sobre el logaritmo de la varianza permiten prescindir de las restricciones de no negatividad de los coeficientes. Sin embargo subsiste el posible problema de la integración en la varianza lo que va a exigir que los parámetros β sumen menos que uno.

3. DATOS

Las nuevas tecnologías incorporadas por los mercados financieros han permitido almacenar datos cada vez más pormenorizados. De las ya clásicas cotizaciones diarias se ha pasado al conocimiento del tick-by-tick. Existen distintos tipos de información tick-by-tick que van desde el registro de las operaciones cruzadas en el mercado al registro de cualquier cambio en las ofertas y demandas de acciones.

d En este caso la ecuación (1) adopta la forma: (1-L)·ln Pt = δ0·σ_εt +[ϑ(L)/Φ (L)] εt

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El mercado español de derivados financieros MEFF registra en su base de datos MEFF Tick Data todas las operaciones cruzadas dentro y fuera de mercado. Cada registro incluye el precio de la operación, el número de contratos intercambiados y la fecha y la hora a la que se produjo la operación.

En el presente trabajo se ha estudiado la evolución de los precios del contrato de futuro sobre el Bono Nocional a 10 años a lo largo de 1998 a partir de los datos proporcionados por MEFF Tick Data. Este contrato de futuro es el de mayor volumen de negociación de los derivados de renta fija española. Tiene cuatro vencimientos al año: marzo, junio, septiembre y diciembre. Los modelos que se presentan en los siguientes apartados se referirán al último de estos contratos, pudiendo encontrarse en el apéndice los resultados para los otros vencimientos.

Figura 1: Evolución de los precios operación a operación (tick-by-tick) del contrato de futuro sobre el Bono Nocional a 10 años.

(6)

Se ha seguido la evolución del precio de cada vencimiento durante los meses en los que ha sido el contrato más negociado. Dicha condición coincide con la de ser el contrato más cercano a la fecha de vencimiento. La evolución de los precios puede seguirse en las gráficas de la figura 1. Debe tenerse en cuenta que al proceder los datos de series obtenidas con las operaciones cruzadas, dichos datos no van a estar regularmente espaciados en el tiempo.

La agregación temporal llevada a cabo ha consistido en obtener series temporales que sí estén regularmente espaciadas en el tiempo, para lo que resulta prioritario definir dicho intervalo temporal. Dada la frecuencia con la que se cruzan operaciones en MEFF para el contrato analizado, el intervalo más corto de tiempo en el que podemos agregar la serie es cada cinco minutos.

Figura 2: Evolución de los precios a intervalos regulares (cinco minutos) del contrato de futuro sobre el Bono Nocional a 10 años.

El método de agregación temporal utilizado ha consistido en dividir el tiempo total en el que funciona el mercado en intervalos de cinco minutos. De entre las operaciones que se han

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producido en cada intervalo, se escoge la última de todas. Esta operación se toma como representativa de ese periodo de cinco minutos. Los resultados de esta agregación temporal son los que se observan en la figura 2.

Tanto para las series que están regularmente espaciadas en el tiempo como para las que no, la evolución de los precios puede representarse matemáticamente mediante la ecuación (4).

t r t t t

et

P

P₊_∆ = · ^·^∆ (4)

En la ecuación (4) además del precio P se incluye una nueva variable, r, que representa los rendimientos del activo. Podemos definir los rendimientos a partir de la ecuación (5) cuando el intervalo de tiempo entre observaciones es constante, por ejemplo cinco minutos, o de la ecuación (6) cuando dicho intervalo no es constante, como es el caso de las observaciones tick-by-tick.

t

t r t

P = _∆

∆log ( ) (5)

) )·(

( log

log ₂ ₁

1

2 P r t t t

P_t − _t = − (6)

En la figura 3 se observa el comportamiento de las series de rendimientos de cinco minutos del contrato de futuro sobre el Bono Nocional a 10 años en 1998. Estas gráficas presentan dos características muy marcadas: a) por una parte, periodos de volatilidad alta seguidos de periodos de volatilidad baja, lo que sería una señal de que la varianza no es constante y que por tanto podría considerarse interesante la modelización mediante modelos GARCH; y, b) por otra, se detectan un número alto de valores extremos que los modelos propuestos no son capaces de tratar sino se incorporan como outliers a través del análisis de intervención.

(8)

-0.004 -0.002 0.000 0.002 0.004 0.006

1000 2000 3000 4000 5000 6000 dlog(Marzo 98)

-0.003 -0.002 -0.001 0.000 0.001 0.002 0.003

1000 2000 3000 4000 5000 6000 d log(Junio 98)

-0.004 -0.002 0.000 0.002 0.004 0.006

1000 2000 3000 4000 5000 6000 d log(Septiembre 98)

-0.015 -0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010

1000 2000 3000 4000 5000 6000 d log(Diciembre 98)

Figura 3: Rendimientos de cinco minutos del contrato de futuro sobre el Bono Nocional a 10 años.

En las figuras 4 y 5 se representan, respectivamente, los histogramas y las estadísticas básicas de las series temporales de rendimientos tanto de cinco minutos como de tick-by-tick.

0 1000 2000 3000 4000

-0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010

Series:Diciembre 98 Sample 2 6100 Observations 6099

Mean 3.81E-06 Median 0.000000 Maximum 0.009246 Minimum -0.011913 Std. Dev. 0.000412 Skewness -2.738162 Kurtosis 195.5692

Jarque-Bera 9431315.

Probability 0.000000 0

1000 2000 3000 4000

-0.002 -0.001 0.000 0.001 0.002

Series: Junio 98 Sample 2 6100 Observations 6099

Mean 1.29E-06 Median 0.000000 Maximum 0.002745 Minimum -0.002017 Std. Dev. 0.000204 Skewness 0.770647 Kurtosis 23.43035

Jarque-Bera 106675.2 Probability 0.000000 0

500 1000 1500 2000 2500 3000

-0.0025 0.0000 0.0025

Series:Marzo 98 Sample 2 5100 Observations 5099

Jarque-Bera 429620.1 Probability 0.000000

0 1000 2000 3000 4000

-0.0025 0.0000 0.0025

Series: Septiembre 98 Sample 2 6600 Observations 6599

Jarque-Bera 673201.0 Probability 0.000000

Figura 4: Histogramas y estadísticos de las series de rendimientos cada cinco minutos del contrato de futuros sobre el Bono Nocional a 10 años.

(9)

Entre los rasgos comunes a ambos tipos de series, se observa en todas ellas que es aceptable la hipótesis de que los rendimientos tienen media cero. De igual forma el contraste de Jarque- Bera rechaza en todos los casos la hipótesis de normalidad. La principal diferencia entre las series se encuentra en la forma de los histogramas. En las series tick-by-tick los valores se concentran más alrededor de la media, mientras que con el proceso de agregación temporal aumenta la dispersión.

0 40000 80000 120000 160000

-0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010

Series: Diciembre 98 Sample 2 167795 Observations 167794

Mean 1.38E-07 Median 0.000000 Maximum 0.009246 Minimum -0.011913 Std. Dev. 8.60E-05 Skewness -7.460422 Kurtosis 3225.984

Jarque-Bera 7.26E+10 Probability 0.000000 0

50000 100000 150000 200000

-0.002 -0.001 0.000 0.001 0.002

Series: Junio 98 Sample 2 177308 Observations 177307

Mean 4.43E-08 Median 0.000000 Maximum 0.002745 Minimum -0.002017 Std. Dev. 5.06E-05 Skewness 1.842083 Kurtosis 174.7991

Jarque-Bera 2.18E+08 Probability 0.000000 0

50000 100000 150000 200000

-0.0025 0.0000 0.0025

Series: Marzo 98 Sample 2 206448 Observations 206447

Jarque-Bera 2.39E+09 Probability 0.000000

0 40000 80000 120000 160000

-0.0025 0.0000 0.0025

Series: Septiembre 98 Sample 2 159440 Observations 159439

Jarque-Bera 1.21E+09 Probability 0.000000

Figura 5: Histogramas y estadísticos de las series de rendimientos tick-by-tick del contrato de futuros sobre el Bono Nocional a 10 años.

4. MODELOS PARA LOS RENDIMIENTOS DEL FUTURO A 10 AÑOS Para el análisis del comportamiento de los rendimientos partimos de la expresión general de los modelos ARIMA (Ecuación (7)).

t t

d

L r L

L ϑ ε

) (

) ) (

1

( − =Φ

(7)

En el caso de las series de rendimientos tick-by-tick se ha procedido a identificar el orden de los polinomios a partir del estudio de los correlogramas que se incluyen en el apéndice. En estos se observa una clara ley de formación tanto en el correlograma simple como en el correlograma parcial, lo que nos inclina a proponer un modelo ARMA (1,1), cuya estimación para el vencimiento de diciembre 98 es el que se presenta en la ecuación (8).

(10)

(1-0.42662 L)(1-L) Log(Pt)=(1-0.49219 L) εt (8)

(0.02665) (0.02565)

Los valores obtenidos para los coeficientes MA y AR son próximos, pero decidimos mantenerlos porque el correlograma de los rendimientos no es el que cabría esperar de un ruido blanco. El correlograma de los residuos de este modelo sí que permite afirmar que recoge las correlaciones lineales presentes en la serie. La existencia de un modelo lineal para las series de rendimientos, implica que existe dependencia entre los rendimientos de un momento del tiempo y los rendimientos de momentos anteriores, en contra de la hipótesis de mercado eficiente de Fama (1965).

En las series de rendimientos de cinco minutos los correlogramas no permiten una clara identificación de los órdenes de las partes autorregresiva y de medias móviles, por lo que el criterio utilizado para su identificación ha sido el criterio de información de Schwarz [8].

Siguiendo dicho criterio, el mejor modelo es un ARMA(2,4), cuya estimación se presenta en la ecuación (9).

(1+0.1905 L+0.9664·L²)(1-L) Log(Pt)=(1+0.2535 L+1.0395·L²+0.0829·L³+0.0889·L⁴) εt (9)

(0.0096) (0.0093) (0.0158) (0.0158) (0.0133) (0.0130)

El resultado obtenido en la ecuación (9) es de un orden superior al de los otros vencimientos, incluidos en el apéndice, en los que se ha procedido a la agregación temporal, en los que se obtenían modelos AR(1) o incluso ruidos blancos. Una posible causa de la selección de dicho modelo puede ser que, como se observa en las figuras 1 y 2, entre los días 8 y 9 de octubre de 1998 se produce una caída del mercado (figura 6) de 29 veces la desviación típica de la serie de rendimientos, debido a inestabilidades en el gobierno norteamericano.

(11)

Figura 6: Evolución del precio del Bono Nocional a 10 años los días 8 y 9 de octubre de 1998.

El cambio en los precios del día 9 de octubre no es atribuible a la dinámica interna del mercado, por lo que difícilmente el modelo ARIMA puede recogerlo. Lo que sí provoca es un aumento artificial del número de parámetros necesarios para explicarlo mediante este tipo de modelos. Por tanto, se ha decidido considerarlo un valor anómalo que puede modelizarse mediante la incorporación al modelo de una variable artificial de tipo escalón, que toma valor cero para las fechas anteriores al 9 de octubre de 1998, y uno a partir de entonces. El modelo definitivo siguiendo el criterio de Schwarz sería el de la ecuación (10), en el que sólo hay un MA(1), modelo mucho más razonable que el ARMA(2,4) de la ecuación (9).

(1-L) Log(Pt)=-0.01229·(1-L)S9-10-98 + (1+0.0438 L) εt (10)

(0.000382) (0.0128)

El correlograma de los residuos, tanto del modelo (10) como del modelo (8) para la serie tick-by-tick, se presentan en el apéndice y permiten afirmar que los modelos considerados

recogen las correlaciones lineales de ambas series de rendimientos. Una vez modelizado el comportamiento de la media de los rendimientos, es necesario estudiar el comportamiento de la varianza de la serie, puesto que al representar gráficamente los rendimientos habíamos detectado que posiblemente la varianza no fuera constante.

(12)

5. MODELOS PARA LA VOLATILIDAD DE LOS FUTUROS DEL BONO A 10 AÑOS

Analizando los correlogramas de los residuos de los modelos ARIMA no es posible afirmar que vengan generados por variables independientes entre sí. De la observación de los correlogramas de los residuos al cuadrado (en el apéndice) y en valor absoluto, se puede confirmar que existen dependencias en los momentos de segundo orden, que pueden ser recogidas mediante modelos de tipo GARCH como los presentados en el segundo apartado del presente estudio.

Dadas las estructuras de los correlogramas de los residuos al cuadrado de los modelos obtenidos en el apartado anterior, se ha procedido a estimar modelos GARCH(1,1) para la varianza tanto para las series tick-by-tick (ecuación 11) como para las series de cinco minutos (ecuación 12).

(1-0.24889·L)(1-L) Log(Pt)=(1-0.39599·L) εt

(0.00924) (0.00861) 2

εt

σ =9.12470e-010 + 0.12880·ε_t²₋₁^{+ 0.72776·}σ²_ε_t₋₁ (11)

(0.00000) (1.25574e-4) (2.01349e-4)

Se puede observar en el modelo estimado para las series tick-by-tick que los coeficientes de la parte GARCH son significativos y que suman 0.85656 lo que significa que se cumple la condición requerida por estos modelos de que α + β < 1.

(1-L) Log(Pt)=-0.015·(1-L)S9-10-98 +(1+0.0288 L) εt

(1.4711e-4) (0.0116) 2

εt

σ = 6.5243e-9+ 0.2207·ε_t²₋₁^{+ 0.7793·} ²

−1

σε

t (12)

(1.0162e-10) (2.4901e-3) (2.0446e-3)

Sin embargo, tras la agregación temporal en series de cinco minutos, el modelo estimado es un IGARCH, esto es, α + β = 1, por lo que decimos que el proceso es integrado en varianza.

La persistencia en la varianza es una característica que no se encontraba en la serie tick-by- tick y que es, por tanto, resultado de la agregación temporal. La representación gráfica de la

(13)

serie de rendimientos pone en duda la validez de dicho resultados. Las gráficas de rendimientos no presentan persistencia en la varianza, pero sí destaca la presencia de valores anómalos. Se comprueba si la presencia de estos outliers es justificación suficiente de la aparición de modelos IGARCH. Si se incluyen variables artificiales para los outliers en la ecuación de la media de rendimientos, entonces la ecuación estimada de la varianza se corresponderá la ecuación (13).

2 εt

σ = 5.9044e-9+ 0.1981·ε_t²₋₁^{+ 0.7679·} ²

−1

σε

t (13)

(1.5213e-10) (0.00530) (0.00448)

La ecuación de la media se encuentra en el apéndice. En ella se incluyen trece variables impulso referidas a trece valores anómalos de la serie. La identificación de los outliers se ha hecho señalando los rendimientos que superen siete veces la desviación típica de la serie. A este nivel, el coeficiente media móvil que tenía el modelo ya no es significativo y se ha eliminado. Descontando el efecto de los outliers, puede considerarse que los rendimientos de cinco minutos son independientes.

De igual forma, la inclusión de outliers, reduce la persistencia en la varianza, por lo que puede considerarse que esta característica que se encuentra con la agregación temporal es solo el resultado de no tratar adecuadamente los outliers.

Los resultados obtenidos son los mismos si sustituimos los modelos GARCH por GARCH- M. En las series tick-by-tick los coeficientes suman menos que uno (ecuación 14), pero si procedemos a la agregación temporal en series de cinco minutos, aparece de nuevo la varianza integrada (ecuación 15), que puede evitarse si incluimos outliers (ecuación 16).

(1-0.25370·L)(1-L) Log(Pt)= 0.01216·σεt + (1- 0.40159·L) εt

(0.00903) (5.90851e-4) (0.00836) 2

εt

σ = 8.99021e-10 + 0.12841·ε_t²₋₁+ 0.73064· ²

−1

σε

t (14)

(0.00000) (1.39677e-4) (2.47990e-4)

(14)

(1-L) Log(Pt)= 0.091·σεt -0.0089·(1-L)S9-10-98 +(1+0.0288 L) εt

(7.1233e-3) (1.2414e-4) (0.0116) 2

εt

σ = 6.5347e-9 + 0.2215·ε_t²₋₁^{+ 0.7785·}σ²_ε_t₋₁ ⁽¹⁵⁾

(1.9177e-9) (1.5116e-3) (6.9851e-3)

2 εt

σ = 6.2260e-9+ 0.1887·ε_t²₋₁^{+ 0.7697·} ²

−1

σε

t (16)

(1.7506e-10) (0.00546) (0.00477)

Se puede comprobar, también que la desviación típica es una variable significativa del comportamiento de la media de los rendimientos. De esta forma, se puede afirmar que a mayor volatilidad del contrato de futuro, mayor será la rentabilidad esperada. Estos resultados se confirman mediante contrastes de razón de verosimilitud incluidos en el apéndice.

Por último se comprueba que con los modelos EGARCH también se reduce la persistencia de la varianza cuando se incorporan a la ecuación de la media los outliers correspondientes.

(1+0.9760·L)(1-L) Log(Pt) = (1+0.9802·L) εt

(4.3809e-4) (3.8406e-4)

ln ² εt

σ =-0.0309+0.0529·







−

− 1 1 t t

σε

ε -0.4494·

i t

i t ε −

−

σ

ε - 



 π

2 +0.9973·ln ²

−1

σε

t [17]

(9.1028e-5) (5.6744e-5) (1.5922e-3) (5.3828e-6)

En la ecuación (17) se presenta la estimación del modelo EGARCH para las series tick-by- tick. Los resultados tras la agregación temporal son los de la ecuación (18).

(1-L) Log(Pt)= -0.0158·(1-L)S9-10-98 + (1+0.0353 L) εt

(1.5317e-4) (0.0102)

ln ² εt

σ =-0.8777+0.3704·







−

− 1 1 t t

σε

ε +0.3348·

i t

i t ε −

−

σ

ε - 



 π

2 +0.9417·ln ²

−1

σε

t [18]

(0.0267) (0.00218) (0.00725) (0.00166)

Tras la inclusión de los outliers identificados, la ecuación (19) es el resultado de estimar el comportamiento de la varianza del modelo EGARCH sobre la serie agregada. En ella se observa que el coeficiente beta pasa de 0.94 a 0.89 al incluir outliers.

(15)

ln ² εt

σ =-1.6344+0.2553·







−

− 1 1 t t

σε

ε +0.3585·

i t

i t ε −

−

σ

ε - 



 π

2 +0.8983·ln ²

−1

σε

t [19]

(0.0343) (0.0057) (0.0160) (0.0021)

En conjunto, los resultados son los mismos, independientemente del modelo que usemos para explicar el comportamiento de la varianza de los rendimientos.

6. CONCLUSIONES

A modo de resumen de los resultados obtenidos se pueden sacar las siguientes conclusiones:

El mercado constituido por el contrato de futuro sobre el Bono Nocional a 10 años negociado en MEFF no fue eficiente durante el año 1998 considerando las series tick-by-tick en la que los intervalos de tiempo no son constantes. Tras la agregación temporal en series de cinco minutos, hay vencimientos en los que sí es eficiente y vencimientos en los que no.

En todas las series tick-by-tick estudiadas se puede afirmar que la volatilidad es una variable que influye de forma positiva sobre el valor de los rendimientos medios. En las series de cinco minutos, tras la agregación temporal, sólo el vencimiento de diciembre de 1998 mantiene a la volatilidad como variable significativa para explicar el valor esperado de los rendimientos.

La agregación temporal de la serie supone la aparición de persistencia en la varianza que no se encontraba en las series tick-by-tick. Dicha persistencia llega a suponer la integración de la varianza en los vencimientos de septiembre y diciembre de 1998. Se comprueba que dicha persistencia surgida con la agregación temporal es debida a la presencia de outliers en la serie que no han sido tratados adecuadamente.

Para la corrección del problema de la persistencia en dichos modelos se propone la siguiente estrategia:

1. Estimar el modelo ARIMA que mejor recoja las correlaciones lineales detectadas en la media de los rendimientos.

2. Identificar e incluir en el modelo de la media de rendimientos los outliers.

(16)

3. Estimar el modelo GARCH para la volatilidad sobre los residuos del paso anterior para evitar la aparición errónea de persistencia en la varianza.

7. REFERENCIAS

Bollerslev, T., 1986, “Generalized autoregressive conditional heterokedasticity”, Journal of

Econometrics, vol. 31, p. 307-327.

Bollerslev, T., 2001, "Financial Econometrics: Pst Developments and Future Challenges",

Journal of Econometrics, 100, p. 41-51.

Bollerslev, T., Chou, R.Y. y Kroner, K.F., 1992, “ARCH Modeling in Finance: A Review

of the Theory and Empirical Evidence”, Journal of Econometrics, vol. 52, p. 498-505.

Carnero, M.A., Peña, D. y Ruiz, E., 2001, "Outliers and conditional autorregresive heterocedasticity in time series", Working Paper 01-07, Statistics and Econometrics Series 04, febrero 2001, Departamento de Estadística y Econometría, Universidad Carlos III de Madrid.

Engle, R.F., 1982, “Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the

variance of United Kingdom inflation”, Econometrica, vol. 50. nº 4, p. 987-1007.

Engle, R.F., 2001, "Financial Econometrics - A New Discipline with New Methods",

Journal of Econometrics, 100, p. 53-56.

Engle, R.F., Lilien, D.M. y Robins, R.P., 1987, “Estimating time varying risk premia in the term structure: the ARCH-M model”, Econometrica, vol. 55, nº 2, p. 391-407.

Fama, E, 1965, "The Behavior of Stock Market Prices", Journal of Business, Vol. 38, p.

34-105.

Nelson, D.B., 1991, “Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach”, Econometrica, vol. 59, nº 2, p. 347-370.

Morales, E., 1993, Modelos de predicción y adopción de decisiones: El caso de los tipos de cambio diarios de la peseta, Tesis Doctoral, Universidad Complutense de Madrid, Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales.

(17)

Schwarz, G., 1978, "Estimating the dimension of a model", Annals of Statistics, Vol. 6, p.461-464.

(18)

ANEXO 1: CORRELOGRAMAS

39 37 35 33 31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 ,25

,20

,15

,10

,05

,00

-,05

-,10

-,15

-,20

-,25

39 37 35 33 31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 ,25

,20

,15

,10

,05

,00

-,05

-,10

-,15

-,20 -,25

Correlograma y correlograma parcial de la serie de rendimientos tick-by-tick . Vencimiento diciembre 98.

39 37 35 33 31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 ,10

,05

0,00

-,05

-,10

39 37 35 33 31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 ,10

,05

0,00

-,05

-,10

Correlograma y correlograma parcial de los residuos del modelo ARMA de la serie de rendimientos tick- by-tick . Vencimiento diciembre 98.

39 37 35 33 31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 ,5

,4

,3

,2

,1

,0

-,1

-,2

-,3

-,4

-,5

39 37 35 33 31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 ,5

,4

,3

,2

,1

,0

-,1

-,2

-,3

-,4 -,5

Correlograma y correlograma parcial de la serie de rendimientos de cinco minutos. Vencimiento diciembre 98.

39 37 35 33 31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 ,5

,4

,3

,2

,1

,0

-,1

-,2

-,3

-,4

-,5

39 37 35 33 31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 ,5

,4

,3

,2

,1

,0

-,1

-,2

-,3

-,4 -,5

Correlograma y correlograma parcial de los residuos del modelo ARMA de la serie de rendimientos de cinco minutos. Vencimiento diciembre 98.

(19)

39 37 35 33 31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 ,10

,05

0,00

-,05

-,10

39 37 35 33 31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 ,10

,05

0,00

-,05

-,10

Correlograma y correlograma parcial de los residuos al cuadrado(tick-by-tick ). Vencimiento diciembre 98.

39 37 35 33 31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 ,5

,4

,3

,2

,1

,0

-,1

-,2

-,3

-,4

-,5

39 37 35 33 31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 ,5

,4

,3

,2

,1

,0

-,1

-,2

-,3

-,4 -,5

Correlograma y correlograma parcial de los residuos al cuadrado(cinco minutos).

Vencimiento diciembre 98.

(20)

ANEXO 2: MODELOS

Modelos ARIMA estimados sobre series de operación a operación

(1-φ L)(1-L) Log(Pt)=(1-θ L) εt

Bono Marzo 98

(1-0.32878 L)(1-L) Log(Pt)=(1-0.49525 L) εt

(0.01046) (0.00962)

Bono Junio 98

(1-0.30093 L)(1-L) Log(Pt)=(1-0.46112 L) εt

(0.01218) (0.01134)

Bono Septiembre 98

(1-0.22489 L)(1-L) Log(Pt)=(1-0.36569 L) εt

(0.01591) (0.01519)

Bono Diciembre 98

(1-0.42662 L)(1-L) Log(Pt)=(1-0.49219 L) εt

(0.02665) (0.02565)

Modelos ARIMA estimados sobre series de cinco minutos

t q t

p(L)(1−L)log(P)=Θ (L)ε

Φ

Bono Marzo 98

(1+0.055347 L)(1-L) Log(Pt)= εt

(0.013985)

Bono Junio 98

(1-L) Log(Pt)= εt

Bono Septiembre 98

(1-L) Log(Pt)= εt

Bono Diciembre 98

(1+0.1905 L+0.9664·L²)(1-L) Log(Pt)=(1+0.2535 L+1.0395·L²+0.0829·L³+0.0889·L⁴) εt

(0.0096) (0.0093) (0.0158) (0.0158) (0.0133) (0.0130)

(21)

Modelos GARCH(1,1) estimados sobre series de operación a operación

(1-θ L)(1-L) Log(Pt)=(1-φ L)εt

2 1 2

1 1 0 2

−1

ε

−

ε =α +α ε +β σ

σ t t t

Bono Marzo 98 (1-0.28962·L)(1-L) Log(Pt)=(1-0.49952 L) εt

(0.00799) (0.00717) 2

εt

σ =4.29670e-10+0.04452·ε_t²₋₁^+0.81900· ²

−1

σε

t

(1.74634e-12) (1.82621e-4) (6.68304e-4)

Bono Junio 98 (1-0.29038·L)(1-L) Log(Pt)=(1-0.49025·L) εt

(0.00808) (0.00709) 2

εt

σ =1.81967e-10 +0.04610·ε_t²₋₁^+0.88490· ²

−1

σε

t

(0.00000) (1.66956e-4) (4.40610e-4)

Bono Septiembre 98 (1-0.35677·L)(1-L) Log(Pt)=(1-0.48695·L) εt

(0.01066) (0.01038) 2

εt

σ =6.08034e-11+0.04489·ε_t²₋₁^+0.94382· ²

−1

σε

t

(0.00000) (1.10201e-4) (9.44670e-5)

Bono Diciembre 98 (1-0.24889·L)(1-L) Log(Pt)=(1-0.39599·L) εt

(0.00924) (0.00861) 2

εt

σ =9.12470e-010 + 0.12880·ε_t²₋₁+ 0.72776· ²

−1

σε

t

(0.00000) (1.25574e-4) (2.01349e-4)

Modelos GARCH(1,1) estimados sobre series de cinco minutos

t q t

Φ

2 1 2

1 1 0 2

−1

ε

−

σ t t t

Bono Marzo 98 (1+0.0388 L)(1-L) Log(Pt)= εt

(0.016) 2 εt

σ = 1.4178e-8+0.4484·ε_t²₋₁^+0.5244· ²

−1

σε

t

(2.6667e-10) (0.0118) (6.6466e-3)

Bono Junio 98 (1-L) Log(Pt)= εt

2 εt

σ =5.71992e-9+0.30337·ε_t²₋₁^+0.63272· ²

−1

σε

t

(1.90239e-10) (0.00892) (0.00994)

Bono Septiembre 98 (1-L) Log(Pt)= εt

2 εt

σ =1.24850e-9+0.31904·ε_t²₋₁+0.68096· ²

−1

σε

t

(4.15802e-11) (0.00683) (0.00330)

Bono Diciembre 98 (1-L) Log(Pt)=-0.015·(1-L)S9-10-98 +(1+0.0288 L) εt

(1.4711e-4) (0.0116) 2

εt

σ = 6.5243e-9+ 0.2207·ε_t²₋₁^{+ 0.7793·} ²

−1

σε

t

(1.0162e-10) (2.4901e-3) (2.0446e-3)

(22)

Modelos GARCH(1,1) estimados sobre series de cinco minutos con intervenciones

t q t

Φ

2 1 2

1 1 0 2

−1

ε

−

σ t t t

Bono Marzo 98 (1-L) Log(Pt)= 0.00484·(1-L)S101 +0.00184·(1-L)S201 +

(0.00013) (0.00069)

+0.00290·(1-L)S501 -0.00344·(1-L)S701 +

(0.00074) (0.00015)

+0.00279·(1-L)S1301 -0.00259·(1-L)S1501 +

(0.0294) (0.00301)

+0.00206·(1-L)S1901 -0.00205·(1-L)S2401 +

(0.00013) (0.5179)

+0.00194·(1-L)S2701 +0.00279·(1-L)S3102 +

(0.00069) (0.00005)

+0.00388·(1-L)S3501 +0.00234·(1-L)S3801 +

(0.00089) (0.00102)

+0.00194·(1-L)S4601 +0.00197·(1-L)S4701 +

(0.00072) (0.00092)

+ εt

2 εt

σ = 3.249e-9+0.1701·ε_t²₋₁^+0.7789· ²

−1

σε

t

(1.3606e-10) (0.00742) (0.0076)

Bono Junio 98 (1-L) Log(Pt)= 0.00275·(1-L)S1301 +0.00156·(1-L)S1801 + (5.026) (0.0444)

-0.00187·(1-L)S2301 -0.00199·(1-L)S3001 +

(0.00009) (0.00091)

-0.00571·(1-L)S3069 +0.00218·(1-L)S3101 +

(0.00011) (0.00006)

+0.00175·(1-L)S3201 -0.00141·(1-L)S3701 +

(0.0933) (0.00003)

+0.00208·(1-L)S3801 +0.00185·(1-L)S3901 +

(0.00007) (0.00009)

+0.00175·(1-L)S4701 +0.00181·(1-L)S5801 +

(0.00006) (0.00018)

+ εt

2 εt

σ =2.6164e-9+0.2913·ε_t²₋₁^+0.686· ²

−1

σε

t

(1.116e-10) (0.0096) (0.00748)

(23)

Bono Septiembre 98 (1-L) Log(Xt) =-0.00164·(1-L)S302 +0.00272·(1-L)S501 +

(0.0172) (0.00032)

-0.00137·(1-L)S1101 -0.00173·(1-L)S2401 +

(0.00006) (0.0121)

-0.00179·(1-L)S4201 +0.00154·(1-L)S4301 +

(0.8795) (0.00013)

+0.00296·(1-L)S4501 +0.00529·(1-L)S4901 +

(0.0113) (0.00010)

-0.0144·(1-L)S5202 +0.00251·(1-L)S5401 +

(0.00015) (0.00016)

-0.00225·(1-L)S5422 -0.00146·(1-L)S5436 +

(0.00010) (0.00143)

+0.00217·(1-L)S5601 -0.00146·(1-L)S6001 +

(0.00007) (0.00016)

+0.00128·(1-L)S6401 -0.00174·(1-L)S6501 +

(0.00008) (0.00067)

+ εt

2 εt

σ = 2.055e-9+0.2650·ε_t²₋₁^+0.7348· ²

−1

σε

t

(7.8331e-11) (0.0089) (0.0066)

Bono Diciembre 98 (1-L) Log(Pt)= 0.00332·(1-L)S401 -0.00565·(1-L)S501 +

(0.00025) (0.00007)

+0.00489·(1-L)S1201 -0.00219·(1-L)S1601 +

(0.00238) (0.00007)

-0.00358·(1-L)S1760 -0.0110·(1-L)S1801 +

(41.6558) (0.00044)

-0.00879·(1-L)S1802 -0.00148·(1-L)S1803 +

(0.00035) (0.0003)

+0.00297·(1-L)S1807 +0.00823·(1-L)S1913 +

(0.00128) (0.00024)

+0.00411·(1-L)S2201 -0.00363·(1-L)S3301 +

(0.00007) (0.00017)

+0.00507·(1-L)S5501 + εt

(0.00007) 2

εt

σ = 5.9044e-9+ 0.1981·ε_t²₋₁^{+ 0.7679·}σ²_ε_t₋₁

(1.5213e-10) (0.00530) (0.00448)

(24)

Modelos GARCH-M (1,1) estimados sobre series de operación a operación

(1-θ L)(1-L) Log(Pt)= δ0·σεt + (1-φ L)εt

2 1 2

1 1 0 2

−1

ε

−

σ t t t

Bono Marzo 98 (1-0.30339·L)(1-L) Log(Pt)= 0.00569·σεt + (1-0.50517·L) εt

(0.00725) (6.95618e-4) (0.00688)

2 εt

σ =1.04052e-10+0.03313·ε_t²₋₁+0.93744· ²

−1

σε

t

(0.00000) (9.65349e-5) (1.66618e-4)

Bono Junio 98 (1-0.29046·L)(1-L) Log(Pt)= 0.00285·σεt + (1-0.49039·L) εt

(0.00807) (8.91897e-4) (0.00708)

2 εt

σ =1.82752e-10+0.04628·ε_t²₋₁^+0.88442· ²

−1

σε

t

(0.000) (1.68416e-4) (4.42004e-4)

Bono Septiembre 98 (1-0.35762·L)(1-L) Log(Pt)= 0.00377·σεt + (1-0.48786·L) εt

(0.01076) (7.35650e-4) (0.01056)

2 εt

σ =6.08072e-11+0.04490·ε_t²₋₁^+0.94381· ²

−1

σε

t

(0.000) (1.13409e-4) (9.58521e-5)

Bono Diciembre 98 (1-0.25370·L)(1-L) Log(Pt)= 0.01216·σεt + (1- 0.40159·L) εt

(0.00903) (5.90851e-4) (0.00836)

2 εt

σ = 8.99021e-10 + 0.12841·ε_t²₋₁^{+ 0.73064·} ²

−1

σε

t

(0.00000) (1.39677e-4) (2.47990e-4)

(25)

Modelos GARCH-M (1,1) estimados sobre series de cinco minutos

Φp(L)(1-L) Log(Pt)= δ0·σεt + Θq(L) εt

2 1 2

1 1 0 2

−1

ε

−

σ t t t

Bono Marzo 98 (1-L) Log(Pt)= 0.00267·σεt + (0.0139)

0.00484·(1-L)S101 +0.00195·(1-L)S201 +

(0.00013) (0.00816)

+0.00301·(1-L)S501 -0.00342·(1-L)S701 +

(0.00039) (0.00016)

+0.00278·(1-L)S1301 -0.00262·(1-L)S1501 +

(0.0660) (0.00919)

+0.00205·(1-L)S1901 -0.00205·(1-L)S2401 +

(0.00013) (0.00482)

+0.00194·(1-L)S2701 +0.00239·(1-L)S3102 +

(0.0585) (0.00022)

+0.00385·(1-L)S3501 +0.00239·(1-L)S3801 +

(0.1670) (0.00121)

+0.00201·(1-L)S4601 +0.00186·(1-L)S4701 +

(0.0218) (0.00028)

+ εt

2 εt

σ = 3.1367e-9+0.1706·ε_t²₋₁^+0.7809· ²

−1

σε

t

(1.3039e-10) (0.0075) (0.0076)

Bono Junio 98 (1-L) Log(Pt)= 0.00137·σεt + (0.0101)

0.00274·(1-L)S1301 +0.00155·(1-L)S1801 +

(0.0498) (0.2711)

-0.00187·(1-L)S2301 -0.00197·(1-L)S3001 +

(0.00009) (0.00109)

-0.00567·(1-L)S3069 +0.00218·(1-L)S3101 +

(0.00012) (0.00006)

+0.00174·(1-L)S3201 -0.00141·(1-L)S3701 +

(0.0305) (0.00003)

+0.00207·(1-L)S3801 +0.00185·(1-L)S3901 +

(0.00007) (0.00008)

+0.00175·(1-L)S4701 +0.00180·(1-L)S5801 +

(0.00006) (0.00017)

+ εt

2 εt

σ =2.5965e-9+0.2924·ε_t²₋₁^+0.6862· ²

−1

σε

t

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