Equilibrio General Dinámico
7
Capítulo 3
Modelo simple
3.1 Introducción
En este capítulo se introduce la noción de equilibrio general dinámico utili- zando economías de intercambio puro. Este modelo puede interpretarse como una formalización simple de un sistema …nanciero en el cual los individuos intercambian activos en el tiempo. La utilización explicita de una noción de equilibrio permitirá obtener de forma endógena los precios de equilibrio, a través de un proceso de interación competitiva por parte de los agentes en los distintos mercados (…nancieros y de bienes). Los precios de equilibrio son aquellos resultantes de hacer compatibles las decisiones de compra y venta de todos los individuos en todos los mercados.
La existencia de un sistema …nanciero en la economía va a permitir me- jorar el bienestar de los individuos respecto a una situación en la que no existiera este tipo de institución. La ausencia de este tipo de instituciones impedirá a los individuos transferir recursos intertemporalmente, de forma que la asignación de recursos estará determinada univocamente por el nivel de ingresos de cada periodo. Como demostraremos más adelante la asigna- ción resultante del mercado será e…ciente en el sentido de Pareto. De esta forma no será posible mejorar ningún individuo en la economía sin empeorar a nadie.
3.2 Preferencias y Dotaciones
La características básicas de la economía son similares a las del capítulo anterior. Suponemos una economía de dos periodos, en la cual hay existe un número de individuos I; donde i¡ denota al individuo i-esimo. En cada momento del tiempo existe un bien de consumo, denotado por cit y cit+1.
9
La preferencias de los individuos están representadas mediante la siguiente función de utilidad,
U (cit; cit+1) = u(cit) + ¯iu(cit+1);
donde ¯i 2 (0; 1) es el factor de descuento subjetivo de cada individuo. Las preferencias cumplen las siguientes propiedades: u0 > 0 y u00 < 0:
En cada momento del tiempo cada individuo dispone de una dotación de recursos que está dada por, !i = (!it; !it+1):De esta forma los individuos ten- drán incentivos a intercambiar recursos en la medida que su dotación inicial no coincida con el par (consumo presente, consumo futuro) más preferido en el conjunto de elección determinado por la restricción presupuestaria indivi- dual. La dotación agregada de recursos en la economía está dada por:
Wt =
XI i=1
!it Wt+1 =
XI i=1
!it+1
donde Wt puede interpretarse como el PIB de la economía en el periodo t:
Como veremos más adelante, obviar la producción en este esquema y estudiar sólo intercambio no afectará de forma importante los principales resultados.
3.3 Mercados Secuenciales
A continuación describimos el modelo básico de equilibrio general con una estructura secuencial de mercados que abre y cierra en cada periodo. En el momento t existe un mercado para intercambiar bienes de consumo en t, es decir cit:Una vez cierra este mercado, abre otro en el siguiente periodo donde sólo se puede intercambiar el bien de consumo en t + 1; es decir cit+1: En t + 1; existe un mercado para intercambiar cit+1; pero el mercado del bien del consumo del periodo anterior ya ha sido cerrado. Existe un mercado adicional que permite a los individuos transferir riqueza en el tiempo, ait+1; de forma permite comprar en los mercados de bienes una cantidad superior a la dotación de recursos dispible en cada periodo. La estructura de mercados descrita de…ne de una forma muy sencilla la noción de sistema …nanciero.
De…nición (Sistema Financiero): El sistema …nanciero es un conjun- to de instituciones que tienen por …nalidad canalizar el ahorro de los agentes que tienen capacidad de …nanciar hacia aquellos que tienen necesidades …- nancieras.
3.3. MERCADOS SECUENCIALES 11 A pesar de no existir incertidumbre en este tipo de economías, se cap- tura uno de los papeles principales del sistema …nanciero, que es permitir transferir riqueza en el tiempo. Este papel no variará sustancialemente con la introducción de incertidumbre, pues en este caso los individuos también tendrán necesidad de transferir renta en los distintos estados de la naturale- za. De todas formas esto es un tema que analizaremos en mayor profundidad en los próximos capítulos.
Para obtener un predicción en términos de asignación de recursos es ne- cesario de…nir un mecanismo que permite ir de la estructura básica de la economía (primitivas) a la asignación de recursos. En este caso planteamos una estructura secuencial de mercado que queda plasmada en la noción de equilibrio secuencial. El concepto de equilibrio secuencial explicita de forma precisa, quién intercambia con quién y en que momento del tiempo.
De…nición (Equilibrio Secuencial): Un equilibrio secuencial es una asignación de recursos para cada individuo i, fcit; cit+1; ait+1gIi=1 y un precio frtg tal que:
1. El individuo i elige fcit; cit+1; ait+1g al solucionar:
max
fcit;cit+1;ait+1gu(cit) + ¯iu(cit+1) s:a: cit+ ait+1 = !it cit+1 = (1 + rt+1)ait+1+ !it+1
cit; cit+1 ¸ 0 2. Los mercados se vacían (demanda-oferta · 0):
Mercados en t :
XI i=1
(cit¡ !it)· 0 8i;
XI i=1
ait+1 = 0 8i;
Mercados en t + 1 :
XI i=1
(cit+1¡ !it+1)· 0 8i;
La obtención de los precios de equilibrio pasa por solucionar los proble- mas de elección intertemporal de cada individuo, y encontrar los precios que
hacen compatibles los deseos de cada individuo, de forma que a los precios existentes, ningún individuo tiene incentivos a cambiar su decisión.
Dada la estructura temporal del modelo, con sólo dos mercados de con- sumo, por la ley de Walras, si uno está en equilibrio el otro también tiene que estar en equilibrio. De esta forma encontrando el precio que equilibra la oferta y la demanda en un mercado, obtenemos que ese precio también equilibra el otro mercado.
Veamos un caso particular para ver como es posible obtener el precio de equilibrio en una economía en la que hay tan solo dos individuos, es decir I = 2: Entre paréntesis denotamos la función de exceso de oferta, que re‡eja la diferencia entre el nivel de consumo óptimo al nivel de precios y la dotación de recursos del periodo.
(bc1t ¡ !1t) + (cb2t ¡ !2t)· 0 8t:
Para cualquier precio elegido al azar, no podemos esperar que esta ecuación se cumpla con igualdad. Si cada individuo consume su dotación, no existe intercambio por lo tanto no es necesario explicitar precios relativos pues no existen relaciones de intercambio entre individuos. Si existe intercambio puede ocurrir que:
(bc1t ¡ !1t) > (!2t ¡cb2t);
dado que la diferencia entre el nivel de consumo y la dotación es el nivel de activos, podemos sustituir la restricción anterior por la siguiente expresión:
a1t+1>¡a2t+1
Esto implica que a los precios actuales, los planes de los individuos no son mutuamente consistentes. El individuo 1 quiere prestar más recursos que los que está dispuestos a pedir prestados en individuo 2. Esto signi…ca que el precio actual es excesivamente alto, pues en el mercado de prestamos existe un exceso de oferta. A los precios de equilibrio debe cumplirse que si
b
c1t ¡ !1t > 0; entonces bc2t ¡ !2t < 0 y en la misma intensidad. Es decir a los precios de equilibrio las necesidades …nancieras del individuo 2 son satisfechas por la capacidad de …nanciar del individuo 1:
Para que los individuos intercambien recursos en la economía deben tener incentivos importantes a hacerlo, de forma que esperan bene…ciarse con el proceso de intercambio acudiendo al mercado. A continuación analizamos dos casos particulares, en el primero los individuos tendrán las mismas pre- ferencias pero distinta dotación inicial de recursos. En el segundo caso los individuos tendrán distintas preferencias e igual dotación de recursos.
3.3. MERCADOS SECUENCIALES 13 Ejemplo 1: Considere una economía formada por dos tipos de indivi- duos, i = 1; 2: Las preferencias de los individuos están representadas me- diante la siguiente función de utilidad, u(¢) = ln ct;además ambos individuos tienen el mismo factor de descuento intertemporal, es decir ¯i = ¯; 8i:1
Solucionamos el modelo en dos etapas, siguiendo la de…nición de equilibrio competitivo. El primer lugar se derivan las funciones de consumo y ahorro de cada individuo, y en segundo lugar se encuentran los precios de equilibrio que vacían los mercados de cada periodo y obtenemos las cantidades consumidas a los precios de equilibrio..
Etapa 1: Problema de los agentes
La solución del problema de elección de los consumidores está dada por la siguientes funciones de consumo y ahorro,
b
cit = 1 1 + ¯
Ã
!it+ !it+1 1 + rt+1
!
b
cit+1 = ¯ 1 + ¯
Ã
!it+ !it+1 1 + rt+1
!
¢ (1 + rt+1)
b
ait+1 = 1 1 + ¯
Ã
¯!it¡ !it+1 1 + rt+1
!
si ¯!it¡ !
i t+1
1+rt+1
8>
<
>:
=0 consumo de autarquía
>0 vende liquidez
<0 compra liquidez Etapa 2: Determinación de precios
Es necesario encontrar el equilibrio entre oferta y demanda en uno de los mercados de activos. Por la ley de Walras si N ¡ 1 mercados están en equilibrio, entonces todos los mercados están en equilibrio. Para ello buscaremos el precio de equilibrio en el mercado de bienes de consumo en el momento t:
b
c1t +cb2t = !1t + !2t 1
1 + ¯
Ã
!1t + !1t+1 1 + rt+1
!
+ 1
1 + ¯
Ã
!2t + !2t+1 1 + rt+1
!
= !1t + !2t 1
1 + ¯
"
!1t + !2t + 1 1 + rt+1
(!1t+1+ !2t+1)
#
= !1t + !2t
1Para que exista intercambio en esta economía, en la cual ambos individuos valoran por igual el futuro, es necesario que cada uno de ellos tenga una dotación de factores distinta,
!i 6= !j; i 6= j: Si no éstos no tendrían ningún incentivo a intercambiar recursos, pues serían exactamente iguales.
(!1t + !2t) + 1 1 + rt+1
(!1t+1+ !2t+1) = (1 + ¯)¢ (!1t + !2t) de esta expresión podemos aislar los precios relativos,
1 +rbt+1 = 1
¯
Ã!1t+1+ !2t+1
!1t + !2t
!
;
alternativamente podríamos calcular el precio de equilibrio a través del mer- cado de activos, ba1t +ba2t = 0: Se deja como ejercicio al lector comprobar que se obtiene el mismo resultado. En este caso el precio de equilibrio 1 +rbt+1
depende del factor de descuento intertemporal de los agentes y del ratio entre la dotación agregada de recursos de cada periodo. A partir de la solución general veamos algunos resultados particulares.
1. Dotación Agregada Constante
Supongamos que la dotación agregada de recursos no cambia en el tiempo. Esto implica que el tipo de interés de mercado es igual a la inversa del factor de descuento de los individuos,
1 + rt+1 = 1
¯
Cuanto más pacientes sean los individuos (mayor ¯) menor será la ren- tabilidad del ahorro. Mientras que cuanto menos pacientes sean los individuos (menor ¯) mayor será la rentabilidad del ahorro. Como ca- sos extremos podemos ver que si ¯ = 1 entonces la rentabilidad es 0; es decir el precio del segundo periodo es igual que el del primer periodo.
Cuando ¯ ! 0; entonces rt+1 ! 1: A medida que los individuos son más impacientes, mayor es el precio que deben pagar aquellos indivi- duos que desean endeudarse, pues todo el mundo desea transferir renta del futuro al presente, pero no al revés.
2. Crecimiento Económico
Supongamos que la dotación agregada de recursos no es constante en el tiempo, es decir que la cantidad de recursos de la economía en el momento t; puede ser crecer en el tiempo, y denotamos por g a la tasa de crecimiento de la dotación agregada de recursos.
!t+1
!t
= 1 + g g 2 R+:
Si g = 0 entonces estamos en el caso anterior. Si g > 0 entonces podemos reescribir el precio de equilibrio de la siguiente forma,
1 + rt+1 = (1 + g)
¯
3.3. MERCADOS SECUENCIALES 15 dado que ¯ < 1; este ratio es siempre positivo. Por lo tanto el tipo de interés simpre es mayor que la unidad, es decir 1 + rt+1 > 1: Esto es esquivalente a sustituir esta expresión por una nueva tasa de descuento temporal corregida por la variación en el tamaño de la dotación de re- cursos de la economía,¯ =e 1+g¯ :Sustituyendo esta expresión obtenemos una ecuación similar a la anterior con el nuevo factor de descuento.
A continuación analizamos un sencillo ejemplo numérico para ilustrar como obtener las asignaciones de equilibrio a partir de los precios de equilibrio y las dotaciones de recursos. La distribución de recursos para cada individuo está dada por:
!1 = (!1t; !1t+1) = (2; 1)
!2 = (!2t; !2t+1) = (1; 2)
Si el tipo de interés es positivo el individuo 1 tiene una mayor renta en valor presente, para cualquier tipo de interés. En este caso la evaluamos al tipo de interés de equilibrio:
!1t + !1t+1 1 +rbt+1
= 2 + ¯
!2t + !2t+1 1 +rbt+1
= 1 + 2¯
Las funciones de consumo de cada individuo están dadas por las siguientes expresiones,
b
c1t =bc1t+1 = 2 + ¯ 1 + ¯
b
c2t =cb2t+1= 1 + 2¯
1 + ¯
Como el factor de descuento cumple ¯ 2 (0; 1) entonces 2+¯ > 1+2¯; por lo tanto el individuo tipo 1 siempre consumirá más bienes que el individuo 2.
Esto es debido a que es más rico, pues el valor presente de su ‡ujo de recursos es superior al del individuo 2. Para veri…car que la restricción de recursos se cumple con igualdad a los precios de equilibrio basta con comprobarlo:
b
c1t +cb2t = 2 + ¯
1 + ¯ + 1 + 2¯
1 + ¯ = 3
Podemos calcular el nivel de activos óptimo a partir de la restricción inter- temporal:
b
a1t+1 = 2¯¡ ¯
1 + ¯ = ¯ 1 + ¯
b
a2t+1 = ¯¡ 2¯
1 + ¯ =¡ ¯ 1 + ¯
Como podemos observar los deseos de acumular activos coinciden. La exis- tencia de una asignación intertemporal de consumo simétrica es debida a la perfecta coincidencia entre el tipo de interés y el factor subjetivo de descuen- to. Para ello basta con sustituir los precios de equilibrio (1 + rt+1¤ ) en la Ecuación de Euler:
cit+1 = ¯cit(1 + rt+1) = ¯cit1
¯ = cit:
Por lo tanto el consumo en cada momento del tiempo es igual. Si la dota- ción agregada de recursos creciera a una tasa constante (1 + g) entonces los precios relativos de equilibrio serían 1 + r¤t+1= (1 + g)=¯:Sustituyendo en la correspondiente Ecuación de Euler obtenemos:
cit+1= cit(1 + g) =) cit+1 > cit:
Por lo tanto el consumo es creciente en el tiempo. Esto es debido a que en el segundo periodo la dotación agregada de recursos es superior, de forma que en este periodo los individuos pueden consumir más. El mayor tipo de interés re‡eja la relativa escasez de recursos en el primer periodo.
Ejemplo 2: Supongamos que ambos individuos tienen la misma dotación de recursos en cada momento del tiempo, es decir, !1t = !1t+1 = !2t = !2t+1: Para que ambos individuos intercambien recursos ambos individuos deben tener diferentes tasas de descuento, pues si no al igual que en el caso ante- rior serían iguales por lo tanto no intercambiarían bienes. Si ¯1 6= ¯2 . A continuación solucionamos el problema para la siguiente función de utilidad u(¢) = ln ct
Etapa 1: Obtención de las funciones de consumo de cada individuo son,
b
cit= 1 1 + ¯i
Ã
!it+ !it+1 1 + rt+1
!
; 8i
b
cit+1 = ¯i 1 + ¯i
Ã
!it+ !it+1 1 + rt+1
!
¢ (1 + rt+1); 8i
b
ait+1= 1 1 + ¯i
Ã
¯i!it¡ !it+1 1 + rt+1
!
; 8i
Etapa 2: Determinación del precio de equilibrio.
Para obtener los precios de equilibrio suponemos que el mercado de con- sumo presente se equilibra,
b
c1t +cb2t · !1t + !2t
3.4. MERCADOS ARROW-DEBREU 17 sustituyendo las funciones de consumo en el mercado obtenemos,
1 1 + ¯1
Ã
!1t + !1t+1 1 + rt+1
!
+ 1
1 + ¯2
Ã
!2t + !2t+1 1 + rt+1
!
· !1t + !2t
"
1
1 + ¯1 + 1 1 + ¯2
#
¢ 2
Ã
!1t + !1t+1 1 + rt+1
!
· 2!1t
"
2 + ¯1+ ¯2 (1 + ¯1)(1 + ¯2)
#
¢
Ã
1 + 1
1 + rt+1
!
1· 1
operando obtenemos la siguiente expresión para la rentabilidad del ahorro, 1 + rt+1 = 2 + ¯1+ ¯2
¯1+ ¯2+ 2¯1¯2
Podemos observar que si ¯1 = ¯2 entonces estamos en el caso anterior. La rentabilidad del ahorro depende de la relación entre los factores de descuento de los individuos. Las demandas óptimas del individuo 1,
b
c1t = 1 1 + ¯1
Ã
1 + ¯1+ ¯2+ 2¯1¯2 2 + ¯1 + ¯2
!
b
c1t+1 = ¯1 1 + ¯1
Ã
1 + ¯1+ ¯2+ 2¯1¯2 2 + ¯1+ ¯2
!
¢
à 2 + ¯1+ ¯2
¯1+ ¯2+ 2¯1¯2
!
si ¯1 > ¯2 signi…ca que el individuo 1 es más paciente que el individuo 2, por lo tanto c1t > c2t ! c1t+1 < c2t+1:Si ambos individuos tienen la misma dotación de recursos entonces el individuo menos paciente es quien más consume en el primer periodo.
3.4 Mercados Arrow-Debreu
La estructura de mercado Arrow-Debreu es conceptualemente distinta a la estructura secuancial de mercado, a pesar de ello veremos que son equivalen- tes. Esto implica que bajo cualquiera de estas estructuras las asignaciones resultantes en la economía no se verán afectadas por el tipo de estructura de mercado.
En un marco teórico de Arrow-Debreu se basa en la rede…nición del con- cepto de bien, como ya hemos comentado anteriormente. Por lo tanto bajo esta estructura todos los mercados están abiertos en t = 0: En el periodo inicial todos los individuos …rman contratos de intercambio con otros indi- viduos para cada periodo, en el caso del modelo de dos periodos para t y t + 1:
En esta economía no existe el concepto de ahorro, ni ningún activo que permita transferir recursos en el tiempo, la única forma es utilizar la estruc- tura de contratos intertemporales que ofrece esta economía. En este entorno un contrato es una promesa de transferencia o percepción de una determina- da cantidad de consumo medida en unidades física transferida por parte del individuo i en el momento t: Esto es posible porque en el periodo inicial todos los mercados están abiertos al intercambio de bienes. Es importante remar- car que la …rma de contratos y el consumo de bienes se realizan en distintos momentos del tiempo. Todos los contratos se …rman en t = 0; mientras que el consumo de bienes tiene lugar el en tiempo, de forma que la transferencia de bienes entre individuos se realiza a medida que los individuos perciben sus correspondientes dotaciones de recursos, pues en el momento t todavía no existen los bienes que se intercambiarán en t + 1:
A continuación se de…ne la noción de equilibrio asociado a esta estructura de mercado.
De…nición (Equilibrio Arrow-Debreu): Un equilibrio Arrow-Debreu es una asignación de recursos fcit; cit+1;gIi=1 y un precio fpt; pt+1g tal que:
1. El individuo i elige fcit; cit+1g de solucionar:
max
fcit;cit+1;ait+1gu(cit) + ¯u(cit+1)
s:a: ptcit+ pt+1cit+1 = pt!it+ p!it+1t+1 cit; cit+1 ¸ 0
2. Los mercados se equilibran (oferta=demanda)
XI i=1
cit ·
XI i=1
!it;
XI i=1
cit+1·
XI i=1
!it+1
Tanto los precios como las asignaciones con esta estructura de mercados son equivalentes a la del modelo secuencial. Al igual que en el caso anterior la ley de Walras aplica. Si uno mercado está en equilibrio el otro también tiene que estar en equilibrio, puesto que lo que importa son los precios relativos.
Veamos como obtener los precios de equilibrio, pt=pt+1;en un sencillo caso con tan solo dos individuos I = 2: Entre paréntesis denotamos la función de exceso de oferta de cada individuo.
(bc1t ¡ !1t) + (cb2t ¡ !2t)· 0 8t:
3.4. MERCADOS ARROW-DEBREU 19 Para cualquier precio pt=pt+1 no cabe esperar que esta ecuación se cumpla con igualdad. Si existe intercambio a un precio que no es de equilibrio los excesos de oferta de cada individuo no van a coincidir:
(cb1t ¡ !1t) > (!2t ¡cb2t);
en este caso en concreto el exceso de oferta del indivioduo 1 es negativo mientras que el del individuo 2 es positivo. Esto signi…ca que a los precios vigentes la demanda es mayor que la oferta. En el mercado del bien de consumo en ct+1 debe ocurrir lo contrario:
(cb1t+1¡ !1t+1) < (!2t+1¡bc2t+1);
El precio del bien de consumo ct es relativamente más barato que el de ct+1 por lo tanto el ratio de precios que equilibra ambos mercados debe ser mayor, de forma que a los precios actuales, los planes de los individuos no son mutuamente consistentes.
Ejemplo 3: Supongamos que las preferencias al igual que los ejemplos anteriores son de tipo logarítmicas, u(¢) = ln cit + ¯ ln cit+1; y la dotación de recursos de cada individuo está dada por !i = (!it; !it+1): A partir de la de…nición de equilibrio competitivo podemos obtener los precios de equilibrio.
Las funciones de consumo de cada periodo están dadas por las siguientes expresiones:
b
cit = 1 1 + ¯
Ã
!it+ pt+1!it+1 pt
!
;
b
cit+1 = ¯ 1 + ¯
Ãpt!it pt+1
+ !it+1
!
:
Es posible determinar el tipo de contratos que desean …rmar los individuos a partir de las funciones de exceso de demanda, que denominaremos zt:
b
zti = 1 1 + ¯
Ãpt+1!it+1
pt ¡ ¯!it
!
;
b
zt+1i = 1 1 + ¯
Ãpt¯!it
pt+1 ¡ !it+1
!
:
Para calcular los precios de equilibrio basta con equilibrar los respectivos mercados:
b
zt1+zbt2 = 0:
Formalmente,
pt+1
pt
(!1t+1+ !2t+1)¡ ¯(!1t + !2t) = 0:
Aislando obtenemos los precios de equilibrio con la estructura de mercados Arrow-Debreu:
pt
pt+1
= 1
¯
(!1t+1+ !2t+1) (!1t + !2t) :
Los precios de equilibrio coinciden con los que se obtendrían con la es- tructura secuencial de mercado. Si suponemos que la dotación agregada de recursos es contante obtenemos:
pt
pt+1
= 1
¯ = 1 + rt+1
Sustituyendo los precios de equilibrio en las funciones de exceso de de- manda se derivan las siguientes expresiones una vez sustituimos los precios de equilibrio:
b
zti = ¯ 1 + ¯
³!it+1¡ !it
´;
b
zt+1i = 1 1 + ¯
³!it¡ !it+1
´:
El individuo que tenga relativamente más recursos en el primer periodo …rma- rá un contrato de intercambio de bienes con el otro individuo para comprar más bienes de consumo en el segundo periodo a cambio de bienes en el pri- mero. Dado que las preferencias son iguales, si las dotaciones coincideran no existiría intercambio, de forma quezbit =zbt+1i = 0:
3.5 Asignación E…ciente de Recursos
En esta sección se analiza la asignación e…ciente de recursos en una economía dinámica desde el punto de vista de una plani…cador benevolente que valora a ambos individuos. Como veremos la solución del problema del plani…cador benevolente nos permitirá obtener la curva de contrato, que caracteriza el conjunto de asignaciones que son e…cientes en el sentido de Pareto, también denominada el conjunto de Pareto.
A continuación de…nimos el concepto de factibilidad de una asignación, así como el concepto de e…ciencia de Pareto en este tipo de economías de intercambio de dos periodos.
De…nición (Asignación factible): Una asignación x = fcit; cit+1gIi=1
es factible si cumple las restricciones de faxctibilidad:
XI i=1
cit· Wt;
3.5. ASIGNACIÓN EFICIENTE DE RECURSOS 21
XI i=1
cit+1 · Wt+1
En este tipo de economías una asignación de recursos x es factible en medida que el consumo agregado no exceda la dotación agregada de recursos.
De…nición (E…ciencia de Pareto): Una asignación x = fcit; cit+1gIi=1
es e…ciente en el sentido de Pareto si:
1)La asignación x es factible.
2) No existe otra asignación x0 = f(cit)0; (cit+1)0gIi=1 factible tal que:
U ((cit)0; (cit+1)0) ¸ U(cit; cit+1); 8i
U ((cit)0; (cit+1)0) > U (cit; cit+1); a lg ¶un i
Dentro del conjunto de asignaciones factibles hay unas que cumplen el concepto de e…ciencia de Pareto. Basicamente son todas aquellas asignacio- nes que no permiten mejorar el bienestar de un determinado individuo i en la economía sin empeorar al resto.
La asiganción de recursos en la economía puede realizarse utilizando dis- tintos mecanismos, los economistas estamos interesados por aquellos que per- miten alcanzar asignaciones e…cientes en el sentido de Pareto. ¿ Cómo po- demos derivar el conjunto de asignaciones e…cientes de una economía?
Veamos como podemos calcular el conjunto de todas las asignaciones factibles de la economía analizada en las dos secciones anteriores. A partir de ahí podremos determinar si la asignación de recursos resultante de la interacción en el mercado son e…cientes desde el punto de vista de Pareto.
Para calcular la asignación e…ciente de recursos hay que solucionar el problema del plani…cador.
De…nición (Asignación factible): El conjunto de asignación e…cientes x = fcit; cit+1gIi=1 en la economía se obtienen de solucio- nar el problema del plani…cador social:
maxx
XI i=1
°iU (cit; cit+1)
s:a:
XI i=1
cit · Wt;
XI i=1
cit+1 · Wt+1
cit; cit+1 ¸ 0 8i:
Donde °i ¸ 0 el peso relativo que el plani…cador asigna a cada individuo es no negativo, y PIi=1°i = 1: Como puede observarse en este caso, todos los recursos de la economía son propiedad del plani…cador, éste asignará los recursos en función del peso relativo que le asigne a cada individuo. En cambio en las economías que se han analizado en las secciones anteriores, la dotación agregada de recursos estaba distribuida entre los distintos agentes en la economía, es decir cada individuo i tenía derecho a percibir una fracción de la cantidad total de recursos. Esta diferencia es importante pues los derechos de propiedad están bien de…nidos.
Siguiendo con el caso anterior en el cual tan sólo hay dos individuos, el problema de asignación de recursos en la economía es el siguiente:
maxx °U (c1t; c1t+1) + (1¡ °)U(c2t; c2t+1) s:a: c1t + c2t · Wt
c1t+1+ c2t+1 · Wt cit; cit+1¸ 0 i = 1; 2:
Las condiciones de primer orden del problema del plani…cador están dadas por:
[c1t] °U0(c1t)¡ ¸t· 0 (= 0 si c1t > 0) [c1t+1] °U0(c1t+1)¡ ¸t+1· 0 (= 0 si c1t+1 > 0) [c2t] (1¡ °)U0(c2t)¡ ¸t· 0 (= 0 si c2t > 0) [c2t+1] (1¡ °)U0(c1t+1)¡ ¸t+1· 0 (= 0 si c2t+1 > 0) [¸t] Wt¡ c1t ¡ c2t ¸ 0
[¸t+1] Wt+1¡ c1t+1¡ c2t+1¸ 0 Para cada individuo se cumple:
U0(c1t)
U0(c1t+1) = ¸t
¸t+1
; de forma que:
U0(c1t)
U0(c1t+1) = U0(c2t) U0(c2t+1);
para ser más precisos desde el punto de vista formal, hay que tener en cuenta que U0 denota la derivada parcial de la utilidad total con respecto al consumo de un determinado periodo. Dado que la función de utilidad es aditivamente separable en el tiempo la expresión resultante es:
u0(c1t)
¯u0(c1t+1) = u0(c2t)
¯u0(c2t+1)
3.5. ASIGNACIÓN EFICIENTE DE RECURSOS 23 ésta expresión es conceptualmente igual a la anterior si ambos individuos descuentan el futuro a la misma tasa. En todo caso si que es cierto que las relaciones marginales de sustitución han de ser iguales para ambos in- dividuos.2 Para este ejemplo sencillo podemos sustituir la restricciones de factibilidad en la restricción presupuestaria y obtener el conjunto de Pareto:
U0(c1t)
U0(c1t+1) = U0(Wt¡ c1t) U0(Wt+1¡ c1t+1);
Para ver como el consumo relativo de cada individuo depende del peso rela- tivo que el plani…cador asigna basta con combinar las condiciones de primer orden para un determinado periodo t:
°U0(c1t) = (1¡ °)U0(c2t):
Aquel individuo que tenga un mayor peso relativo deberá tener una utilidad marginal más baja. Esto implica que el consumo es más alto, puesto que la utilidad marginal y el consumo están inversamente relacionados, es decir si
° > (1¡ °) entonces U0(c1t) < U0(c2t); lo cual implica que c1t > c2t:
Ejemplo 4: Veamos un ejemplo en concreto, supongamos que u(c) = ln c:Para este caso el conjunto de Pareto (curva de contrato) viene dado por la siguiente expresión:
c1t
c1t+1 = Wt¡ c1t
Wt+1¡ c1t+1
Arreglando términos obtenemos:
c1t = bc1t+1
donde b = Wt=Wt+1: En este caso la curva de contrato es una recta que divide la caja de Edgeworth. En qué punto de la caja de Edgeworth estarán los individuos dependerá del peso relativo que el plani…cador asigne a cada uno. El consumo de cada periodo lo podemos obtener utilizando la condición anterior:
°U0(c1t) = (1¡ °)U0(c2t):
Para este caso particular esta expresión se reduce a:
°
c1t = 1¡ ° c2t
2Esto será simpre cierto mientras el concepto de relación marginal de sustitución este bien de…nido. Si el consumo presente y fututo fuesen complementarios perfectos, entonces la relación marginal de sustitución no está bien de…nida. Este sería el caso si U(cit; cit+1) = minfcit; cit+1g:
sustituyendo la resticción de factibilidad del momento t obtenemos:
c1t = °
1¡ °(Wt¡ c1t);
despejando c1t se obtiene:
c1t = °Wt
c2t = (1¡ °)Wt:
Analogamente podemos calcular los consumos futuros para cada individuo:
c1t+1 = °Wt+1
c2t+1 = (1¡ °)Wt+1:
Como puede observarse el plani…cador asigna una fracción …ja de la dotación agregada de recursos a cada individuo. Cuanto mayor sea el peso relativo de un determinado individuo, mayor será su nivel de consumo y utilidad.
A continuación analizamos el primer teorema del bienestar que demuestra que las asignaciones resultantes del equilibrio competitivo analizadas en las secciones 3 y 4 son e…cientes en el sentido de Pareto, es decir, pertenecen al conjunto de Pareto.
Proposición (Primer teorema del bienestar): Las asigna- ciones resultantes del equilibrio competitivo fcit; cit+1gIi=1 son e…- cientes en el sentido de Pareto.
Demostración: Veamos una sencilla demostración para el caso de dos individuos. Básicamente hemos de demostrar que las asignaciones en un equi- librio competitivo cumplen las condiciones de Pareto. Esto no será siempre cierto, pues la existencia de externalidades, bienes públicos y problemas de información pueden resultar en asignaciones no e…cientes. En este caso no existen ninguno de los tres elementos, por lo tanto la asignación asociada al equilibrio competitivo es e…cienete en el sentido de Pareto.
A partir de las condiciones de primer orden del equilibrio competitivo obtenemos la siguiente expresión:
U0(c1t)
¯U0(c1t+1) = 1 + rt+1 = U0(c2t)
¯U0(c2t+1): Simpli…cando términos:
U0(c1t)
U0(c1t+1) = U0(c2t) U0(c2t+1);
3.5. ASIGNACIÓN EFICIENTE DE RECURSOS 25 por lo tanto a través del mecanismo de precios el mercado garantiza que las relaciones marginales de sustitución son iguales entre consumidores. Para demostrar que las restricciones de factibilidad se cumplen es necesario utilizar las restricciones presupuestarias de cada individuo.
Sumando las restricciones presupuestarias secuenciales de cada individuo para un determinado momento en el tiempo t y t+1 se obtienen las siguientes expresiones:
c1t + c2t + a1t+1+ a2t+1 = !1t + !2t
c1t+1+ c2t+1 = (a1t+1+ a2t+1)(1 + rt+1) + !1t+1+ !2t+1
A los precios de equilibrio, la condición de equilibrio en el mercado de acti- vos a1t+1+ a2t+1 = 0 se cumple, por lo tanto sustituyendo esta condición en las restricciones presupuestarias evaluadas a los precios de equilibrio frbt+1g;
obtenemos que las condiciones de factibilidad se cumplen.3 c1t + c2t = !1t + !2t = Wt
c1t+1+ c2t+1= !1t+1+ !2t+1 = Wt+1
Esto implica que las asignaciones resultantes de un equilibrio competitivo cumple las condiciones de Pareto, y los precios de equilibrio garantizan que las restricciones presupuestarias de los consumidores también se cumplen. De esta forma, la asignación resultante del mecanismo de mercado no permite mejorar a ningún individuo sin empeorar a otro.
Dada una distribución inicial de recursos, el equilibrio competitivo es tan sólo un punto del conjunto de Pareto. Por lo tanto cambios en la distribu- ción inicial de recursos permitirá alcanzar distintos puntos del conjunto de Pareto, a pesar de ello los precios relativos no tienen porqué variar. Para verlo considere el ejemplo analizado en la sección 3. Si ambos individuos descuentan el futuro a la misma tasa, ¯i = ¯ y las preferencias son de ti- po logarítmico, entonces los precios de equilibrio están determinados por la siguiente expresión:
1 + rt+1= 1
¯
"
!1t+1+ !2t+1
!1t + !2t
#
= 1
¯
"
Wt+1
Wt
#
:
Mientras no cambie la distribución agregada de recursos Wt;los precios relati- vos no variarán, en cambio las asignaciones resultantes si que van a cambiar.
3En este caso hemos utilizado las restricciones secuenciales de mercado. Si utilizaramos una estructura de mercado de tipo Arrow-Debreu la demostración sería similar a la aquí propuesta. Se deja como ejercicio al lector demostrarlo.
Supongamos que !1 = (!1t; !1t+1) = (1; 0) y !2 = (0; 1): Los consumos de equilibrio son:
b
c1t = cb1t+1 = 1 1 + ¯
b
c2t = cb2t+1 = ¯ 1 + ¯
Si cambiamos la distribución y suponemos que !1 = (0; 1) y !2 = (1; 0):
Ahora los consumos se invierten, de forma que el individuo de tipo 2 consume más que el individuo del tipo 1. A pesar de todo los precios relativos en la economía permanecen invariantes, pues en este caso dependen de la dotación agregada de recursos y no de la distribución. A continuación veremos un caso en el que eso no es cierto, de forma que los precios relativos si que dependen de la distribución relativa de la riqueza.
3.6 Mercados Incompletos
A continuación se analiza el efecto que tiene en la determinación de los precios de equilibrio de mercado la existencia de restricciones de liquidez. Para ello analizaremos al igual que en los casos anteriores sencillos ejemplos en una economía de intercambio con dos individuos, suponiendo que la estructura de mercado es secuencial. Basta con modi…car la de la sección 3 añadiendo una restricción que supondremos igual para cada individuo, ait+1 ¸ ¡A:
En este tipo de ejemplos nos interesa analizar situaciones en las que la restricción de liquidez es operativa, no aquellos casos en los que ésta no afecta las decisiones de los individuos. Por lo tanto si tan sólo existen dos tipos de individuos no puede ocurrir que la restricción de liquidez les afecte a ambos.
La Equación de Euler del individuo que está afectado por la restricción de liquidez se cumple con desigualdad:
u0(cit)
¯u0(cit+1) > 1 + rt+1:
Ello es debido a que no puede igualar la relación marginal de sustitución a los precios relativos. En cambio el individuo que no está afectado por la restricción de liquidez tiene una Ecuación de Euler que se cumple con igualdad.
Ejemplo 5: Veamos un ejemplo en concreto, supongamos I = 2 y las preferencias sobre el consumo presente y futuro están representadas mediante la siguiente función de utilidad u(¢) = ln c: En este ejemplo suponemos que
3.6. MERCADOS INCOMPLETOS 27 el individuo 1 está afectado por la restricción de liquidez, mientras que en individuo 2. Entonces las demandas de activos de cada individuo están dadas por:
b
a1t+1 = ¡A;
b
a2t+1 = 1 1 + ¯
Ã
¯w2t ¡ w2t+1 1 + rt+1
!
:
La condición de equilibrio en el mercado de activos implica queab1t+1+ab2t+1=
0: 1
1 + ¯
Ã
¯w2t ¡ wt+12 1 + rt+1
!
= A:
Por lo tanto el precio de equilibrio está dado por:
1 + rt+1¤ = wt+12
¯w2t ¡ A(1 + ¯):
Como puede observarse los precios dependen positivamente de la restric- ción de liquidez, @rbt+1=@A > 0:Por lo tanto a medida que aumento A (relajo la restricción de liquidez), los precios relativos aumentan. De forma que po- demos concluir que la existencia de restricciones de liquidez disminuye en tipo de interés en relación al caso en el cual ésta no afecta. Téngase en cuenta que si la restricción no fuera efectiva los precios de equilibrio serían:
1 +rbt+1= 1
¯
Ã!1t+1+ !2t+1
!1t + !2t
!
En este caso la distribución de recursos del individuo 2 afecta a los precios de equilibrio. En equilibrio las relaciones marginales de sustitución entre individuos no se igualan, de forma que la asignación resultante en la economía no es e…ciente en el sentido de Pareto. En este caso la principal explicación radica en que el individuo que está afectado por la restricción de liquidez se enfrenta a unos precios distintos que los del individuo que no está restringido.
