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Sesión: 11 Fecha: 21/01/06 Título: Jugando a ser Euler Profesores: Guillermo Curbera, Antonio Durán _________________________________________________________________________________________
Primera actividad: se hace un repaso del trabajo desarrollado y los logros alcanzados en la sesión anterior:
- los conceptos de vértice, cara y arista;
- los poliedros que hemos construido con CREATOR;
- la tabla con los datos de esos poliedros;
- la fórmula de Euler V+C=A+2;
- las pruebas “abstractas” para pirámides y prismas;
Añadimos un ejemplo más, no tanto por la
“cantidad de verdad” que añade (es sólo uno más) si no por su historia, el “erizo” de Ke
Como actividad (para pensar en ratos libres) hay que comprobar que se cumple la fórmula de Euler.
Terminamos este repaso con unas palabras de Euler:
“Mientras en geometría plana los polígonos (figurae rectilineae) se podrían clasificar muy fácilmente según el número de sus lados que, por supuesto, siempre es igual al número de sus ángulos, en estereometría la clasificación de los poliedros (corpora hedris planis inclusa) representa un problema mucho más difícil, puesto que el solo número de caras es insuficiente para este fin”.
Y con otras palabras del filósofo-matemático húngaro Lakatos:
“La clave del resultado de Euler fue precisamente la invención de los conceptos de vértice y arista:
fue él quien señaló por primera vez que, además del número de caras, el de puntos y líneas de la superficie del poliedro determinan su carácter”.
NOTA: este repaso se hace más fácilmente con una presentación en PowerPoint.
Sesión 11: Jugando a ser Euler
“manual”:
1) Partimos de un cubo hecho con unas varillas rígidas (hueco y sin caras). Para esto usamos unas piezas de madera y metal usados para crear modelos moleculares, de la Facultad de Químicas, que datan de los años 40 del siglo XX.
2) Inflamos un globo dentro del cubo, hasta que se adapte a las varillas.
3) Con un rotulador marcamos sobre el globo las varillas.
4) Extraemos el globo. Sobre su superficie está reflejada la trama de varillas de nuestro cubo.
5) Recortamos una cara y extendemos el globo sobre la pizarra.
6) Obtenemos una trama, como un mapa, donde las caras se han deformado y las aristas se han curvado.
7) En esta trama debe cumplirse
V + C – A = 1 (pues hemos quitado una cara).
Tercera actividad: La cuestión es tener un procedimiento que nos permita comprobar que se cumple la nueva fórmula (para ello, de nuevo, nos apoyamos en una presentación en PowerPoint, es más visual que un trazo de tiza sobre una pizarra).
La prueba se basa en varios pasos-herramientas-ideas:
A) Dividir las caras en triángulos
B) Eliminación de triángulos
C) Comprobación que en la figura final se cumple
V + C – A = 1.
INTERMEDIO (de carácter histórico):
La prueba que hemos visto se debe a Cauchy, quien la publica en 1813.
¿Quién fue Cauchy? ¿Vivió en la misma época de Euler? ¿Se ganaba la vida de la misma forma?
¿Y antes de Euler y de Cauchy?
Navegando entre matemáticos: in situ mostraremos dos sitios web dedicados a la historia de la matemática (permitirá, entre otras cosas, poner rostro a muchos matemáticos):
- Divulgamat, en castellano:
http://www.divulgamat.net/
- The MacTutor History of Mathematics Archive, en ingles:
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/
Se mostrará una reproducción de la medalla Nevanlinna, que se va a exponer en el Congreso Mundial de Matemáticos que se celebrará en Madrid en agosto de 2006.
Cuarta actividad: Entramos a continuación en la fase más abstracta y difícil, vamos a analizar la prueba. Hay que contestar a preguntas como: ¿Es correcta la prueba? ¿Vale para cualquier poliedro?
¿En que se basa?
Veamos las ideas clave:
- Idea 1: un poliedro se puede extender sobre la pizarra, tras haberle quitado una cara.
- Idea 2: al dividir en triángulos la trama de las aristas se obtiene siempre una nueva cara por cada nueva arista.
- Idea 3: al eliminar los triángulos uno a uno, sólo hay dos alternativas (quitar una arista o quitar dos aristas y un vértice); al final del proceso queda un solo triángulo.
Sesión 11: Jugando a ser Euler
eliminación de triángulos que no termine en un solo triángulo. ¿La hay? Sí, esta es una:
En cualquier caso, este problema se puede corregir, dando instrucciones precisas sobre como quitar triángulos.
Quinta actividad: Sí pensamos en la prueba anterior, pueden aparecer nuevas dificultades. ¿Estamos seguros que es una cara? Por ejemplo: hay que decidir como se cuentan las caras y las aristas en este poliedro
Según cómo lo hagamos, se cumplirá la fórmula de Euler o no.
Sexta actividad: Más profundo es discutir la Idea 1. Si lo pensamos con detalle, resulta lo mismo que suponer que:
TODO POLIEDRO (si fuese “blando”) SE PUEDE INFLAR HASTA SER UNA ESFERA
¿Es esto cierto o no? Si no es cierto, ¿Falla la fórmula de Euler? Bueno, no nos queda más que pensar….
quí va una lista de “excepciones” (¿puede haber excepciones a una fórmula?):
A
Lectura propuesta (para cuando uno sea más mayor,
no es un libro sencillo):
