Proyecciones cartográficas

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Proyecciones cartográficas

1. Proyección Mercator

La proyección cartográfica probablemente más conocida, es la proyección de Mercator. El nombre se debe a un cartógrafo flamenco llamado Gerard Kremer (1512-1594), Kremer significa mercader, y la forma latina del nombre es Gerardus Mercator.

Figura 1: Notar que en la figura solo el apellido ha sido latinizado

A pesar de llevar su nombre, Mercator probablemente no haya sido la primera persona en utilizar esta proyección ya que se cree que con este tipo de proyección se diseñaron algunos relojes de sol.

Figura 2: Reloj de sol realizado por Erhard Etzlaub en 1513 utilizando la misma proyección descripta por Mercator

Sin embargo Mercator desarrolló esta proyección en forma independiente e hizo uso de ella solo mediante métodos gráficos ya que carecía de herramientas de cálculo. Para esto utilizó un cilindro como figura auxiliar al que colocó tangente al ecuador terrestre. Las ecuaciones analíticas de la proyección de Mercator recién aparecieron gracias a un matemático inglés llamado Edward Wright (1558-1615)

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Figura 3: El cilindro como figura auxiliar desarrollable donde proyectar la esfera

Mercator fue la persona que acuñó el término atlas para describir a un volumen donde se compila una colección de mapas, además fue el primero en nombrar al territorio de Norteamérica con ese nombre. En 1569, en una obra titulada Nueva y Aumentada Descripción de la Tierra con Correcciones para su Uso en Navegación, Mercator, presentó una figura completa de la tierra utilizando su proyección.

Figura 4: Mapamundi que utiliza la proyección Mercator

En la proyección Mercator los meridianos se transforman en rectas verticales, paralelas y equiespaciadas, y cortan en ángulo recto a los paralelos que son horizontales y cuyo espaciamiento varía y se incrementa a medida que los mismos se acercan hacia los polos. La relación de proporcionalidad que hay entre el espaciamiento de los paralelos varía con la secante la latitud.

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Figura 5: Relación geométrica de meridianos y paralelos en la proyección Mercator

La proyección de Mercator es una proyección conforme, es decir que conserva los ángulos y por lo tanto respeta las formas de las figuras en la esfera al proyectarlas al plano, pero produce alteraciones en el área para zonas ubicadas en altitudes altas.

Figura 6: La indicatríz de Tissot muestra tanto la conservación de la forma en toda la Tierra como la importante distorsión del área para altas latitudes

El mayor mérito que tuvo la proyección de Mercator estuvo asociado a la navegación ya que transforma en una recta sobre la carta o mapa a las líneas que en la esfera conservan una dirección constante respecto del norte, llamadas líneas loxodromas. Por lo tanto, los barcos que solo poseían instrumentos muy elementales, entre ellos la brújula, eran capaces de navegar por una ruta que no era la más corta ente dos puntos pero que era una ruta segura ya que les permitía saber en dónde estaban a partir de conservar siempre el mismo ángulo respecto del norte.

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Figura 7: En azul la curva loxodrámica, que conserva el rumbo constante, en rojo la geodésica, que indica la distancia más corta sobre la esfera entre dos puntos

La principal crítica que recibe la proyección Mercator proviene del hecho de que los polos de las esfera quedan en el infinito por lo tanto las áreas de regiones de latitudes muy altas se ven desproporcionalmente agrandadas de manera tal que, en un mapamundi cuya proyección es Mercator, Groenlandia aparece con un tamaño similar al de África siendo que África es 14 veces más grande o Alaska aparece con un tamaño similar a Brasil cuando Brasil es 5 veces el tamaño de Alaska. Como contrapartida sobre la línea del Ecuador no existirán deformaciones y para regiones de latitudes bajas la deformación será pequeña.

Figura 8: Distorsión en altas latitudes para Mercator ya que los polos quedan en el infinito

Aun hoy se sigue utilizando la proyección Mercator para fines asociados a la navegación, y de hecho, esta proyección es un estándar desde 1910 para el Servicio de Guardacostas y el Servicio de Relevamientos Geodésicos (NGS) de los EEUU cuando realizan cartas con fines de navegación. La proyección Mercator ha sido utilizada también para mapear porciones de planetas, por ejemplo, para mapear algunas regiones de Marte, Mercurio, el lado visible de la Luna y algunos satélites de Júpiter y Saturno. En la actualidad Google Maps utiliza la proyección Mercator para desplegar sus imágenes cuando las latitudes son inferiores a los +- 85 grados

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Figura 9: Google Maps utilizando la proyección Mercator.

Para el caso en que se considere la tierra esférica las fórmulas que permiten transformar las coordenadas Mercator son las siguientes:

De la esfera al plano

0

ln(tan( ) sec( ))

x y

Del plano a la esfera

1 0 2 tan ( ) 2 y e x

Siendo 0el meridiano central de la proyección. Estas fórmulas no son únicas y existen maneras alternativas de escribirlas, que quizás puede aparecer en la bibliografía que usted consulte. En el caso que se tome a la Tierra como un elipsoide las formulas son más complejas.

2. Proyección Mercator Transversa

El hecho de que la proyección de Mercator no solamente no introduzca errores sobre el Ecuador, sino que además, a una distancia de 10º por debajo ó por encima del Ecuador produzca deformaciones muy pequeñas cercanas al 0,1%, hizo que se tuviera la idea de transformar al cilindro que pasaba en forma normal y tangente al ecuador en un cilindro transverso colocado ahora a 90º de ecuador y tangente a algún meridiano que se elige en forma arbitraria y que se denomina meridiano central.

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Figura 10: Ubicación del cilindro en Mercator Transversa.

De esta manera se logra una proyección donde no habrá deformaciones sobre el meridiano central y en las cercanías del mismo. Esta proyección es ideal para mapear objetos que sean mucho más largos que anchos, o sea que tengan una gran extensión en latitud y una extensión pequeña en longitud, quizás el ejemplo más cercano que podemos encontrar de esto seria un país como Chile.

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La proyección Mercator Transversa fue desarrollada en forma analítica por el cartógrafo y matemático suizo Lambert (1728-1787) cuando se considerara la Tierra esférica. Gauss y luego Krüger fueron los que desarrollaron las fórmulas para el elipsoide.

Figura 12: Johann Heinrich Lambert fue el primer matemático en estudiar las propiedades generales de las proyecciones, en particular la conformidad y la preservación del área

En la proyección transversa Mercator las líneas que representan a los paralelos y a los meridianos dejan de ser rectas una vez proyectadas y sólo es una recta la línea que es tangente al cilindro, es decir el meridiano elegido para ser tangente.

Figura 13: Relaciones geométricas entre meridianos y paralelos.

Debido a la gran deformación que se produce a medida que se uno se aleja del meridiano central, la transformación de Mercator es siempre utilizada en fajas relativamente estrechas, de hecho las fórmulas para deducirlas siempre han estado supeditadas al hecho de se trata de una banda relativamente pequeña. Recién en el año 1945 y luego en 1962 se encontraron fórmulas exactas y cerradas para poder realizar la proyección Mercator Transversa para toda la Tierra.

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Figura 14: Discontinuidades (cortes) para minimizar las deformaciones

3. La proyección Gauss-Krüger Argentina

La proyección Gauss-Krüger (GK), no es otra cosa que la proyección Mercator transversa para un elipsoide donde se ha decidido limitar la extensión de la proyección cortándola en fajas de longitudinales a fin de mantener la deformación por debajo de una tolerancia. Esta proyección fue adoptada en el año 1925 por la República Argentina para la representación de su territorio nacional. Se decidió entonces dividir al territorio en 7 fajas meridianas numeradas de oeste a este. Cada faja abarca 3 grados de longitud comenzando la primer faja en los -72º.

Figura 15: Fajas para el sistema Gauss-Kruger argentino

La coordenada X se encuentra orientada en el sentido norte – sur, en forma ortogonal a la disposición clásica que se suele utilizar en física y en matemática. Consecuentemente la coordenada Y se encuentra orientada en el sentido este – oeste. Respecto de los orígenes, teniendo en cuenta que se desea evitar coordenadas negativas, se le asigna al meridiano central de cada faja, es decir a la línea de tangencia y origen de las “Y”, el valor arbitrario de 500.000 metros y al Polo Sur, origen de las “X” el valor cero metros.

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A las cartas editadas por el IGN se les suele superponer un reticulado denominado cuadrícula. Esta red de cuadrículas se representa por medio de líneas rectas paralelas y perpendiculares al meridiano central de cada faja, equidistantes 4 cm entre sí. En las cartas a escala 1:25.000, 1:50.000, 1:100.000, 1:250.000 y 1:500.000 los lados de esta red de cuadrículas, se corresponden respectivamente a las magnitudes de 1Km, 2Km, 4Km, 10Km y 20Km en el terreno.

4. Proyección Mercator Transversa Universal (UTM)

Una variación de la proyección Mercator Transversa es la proyección UTM o Mercator Transversa Universal por sus siglas en inglés. UTM realiza una pequeña modificación al pasar un cilindro transverso pero en forma secante y no tangente, dejando dos líneas que atraviesan a la esfera donde no existirá deformación, y por lo tanto la deformación será pequeña en el área comprendida entre estas dos líneas

Figura 16: El cilindro secante, la figura auxiliar de la proyección UTM

UTM es en la actualidad una de las proyecciones más usadas ya que fue difundida por EEUU cuyo ejército la desarrolló en 1940. Como toda transformación Mercator Transversa no produce distorsiones importantes únicamente en regiones pequeñas. Utilizando para denominar a cada sector un sistema de husos y zonas. La Tierra es dividida en 60 husos de 6º de longitud recorriendo los 360º. Mientras que la proyección esta definida entre los paralelos -80º al sur y 84º al norte. De esta manera los husos se numeran del 1 a 60, estando el primer huso entre las longitudes 180ºO y 174º O y el meridiano central caerá en la longitud 177ºO. Además UTM divide al mundo en zonas. Son 20 zonas de 8º cada una. Las zonas se denominan por letra desde la letra C hasta la letra X evitando las letras I y O ya que son parecidas al numero 1 y cero y podrían prestarse a confusión. La letra C va entre los -180º y -72, y a partir de ahí la numeración se incrementa, Las zonas polares no están consideradas y para ellas se usan los caracteres especiales N.

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Figura 17: Husos y zonas en la proyección UTM

3. Proyección Sinusoidal

Probablemente la más antigua de las proyecciones equiareales y además la más extendida es la proyección sinusoidal. Su uso tan común se debe a lo sencillo que resultan sus fórmulas y lo sencillo que es generar esta proyección a partir de métodos gráficos que eran los únicos se tenían cuando no existían elementos de cálculo potente como las computadoras.

Figura 18: La proyección sinusoidal

La proyección aparece en 1570 aproximadamente y sigue siendo utilizada hasta nuestros días. En la misma los paralelos están equiespaciados y son líneas rectas y paralelas. Y el meridiano central es también una línea recta que corta en forma perpendicular a los paralelos. Los meridianos en tanto son representados por curvas sinusoidales.

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Esta proyección además de ser equiareal no presenta distorsiones a lo largo del ecuador y del meridiano central pero sí fuertes distorsiones se producen a medida que nos alejamos hacia meridianos externos, especialmente en la región de los polos.

Figura 19: La indicatríz de Tissot conserva el área pero no la forma en la proyección sinusoidal

Una manera de mitigar las distorsiones que produce esta proyección cuando se quiere mapear todo el mundo es interrumpir el mapa y generar una proyección de la Tierra dividida por regiones.

Figura 20: Discontinuidades en la proyección sinusoidal para mitigar las distorsiones en las formas

Dos nombres alternativos de esta proyección son: Sanson-Flamsteed o equiarial de Mercator. Para el caso en que se considere la Tierra esférica las ecuaciones de la proyección son: De la esfera al plano 0 ( ) cos x y

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0 cos

x

y

Siendo 0el meridiano central de la proyección. 4. Bibliografía

Bugayevskiy, L.M. and J.P. Snyder, Map projections : a reference manual. 1995, London: Taylor & Francis.

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