MANEJO DEL CÁLCULO INTEGRAL PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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MANEJO DEL CÁLCULO INTEGRAL PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Al finalizar la unidad el resolverá problemas prácticos usando integrales

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Resultados de Aprendizaje

1.1 Calcular la rapidez de cambio de diferentes cantidades para la

solución de problemas prácticos. 4 h 1.2 Usar los diferentes tipos de funciones para la solución de

problemas prácticos. 8 h

2.1 Calcular la derivada para la solución de problemas prácticos y

para determinar propiedades de las funciones. 15 h 2.2 Graficar una función con la información obtenida de la primera

y la segunda derivada. 15 h

3.1 Calcular el cambio acumulado 15 h

3.2 Usar integrales en la solución de problemas. 15 h Módulo 1. Manejo de las funciones y su cambio para la solución de problemas. 12 h 2. Manejo del Cálculo Diferencial, para la solución de problemas. 30 h 3. Manejo del Cálculo Integral, para la solución de problemas. 30 h Matemáticas IV: Introducción al Cálculo Diferencial e Integral

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SUMARIO

3.1. Calcular el cambio acumulado 3.1.1. Integral definida

• Cambio acumulado • La integral definida

• Evaluación de una integral definida a partir de una tabla o gráfica

3.1.2. La integral definida como área • La integral definida como el área bajo

la curva

• Área entre dos curvas

• El teorema fundamental del cálculo 3.2. Usar integrales en la solución de

problemas

3.2.1. Antiderivadas

• Derivación e integración como

procesos inversos • Integrales indefinidas • Integral de una suma • Integrales inmediatas

• Uso de las antiderivadas para

encontrar integrales definidas 3.2.2. Cambio de variable

• Integrales reducibles a integrales inmediatas

• Integrales trigonométricas • Integrales por partes

• Integrales por sustitución

triginométrica

• Integración de fracciones racionales

RESULTADOS DE APRENDIZAJE

3.1 Calcular el cambio acumulado.

3.2 Usar integrales en la solución de problemas.

3.1.1. INTEGRAL DEFINIDA

• Cambio acumulado

En las secciones anteriores se analizó la forma de calcular la rapidez de cambio de una función, ahora se revisará el proceso inverso, es decir, si conocemos la rapidez de cambio cómo determinar cuáles son los valores de la función, o los cambios en la misma.

Ejemplo 3.1

Supongamos que se conoce que la rapidez de cambio de la población de una ciudad es de 20000 por año, y que en los siguiente tres el crecimiento es de 22000 habitantes por año, para calcular el cambio total de la población en esos seis años, se calcularía el cambio en cada periodo y después se suma.

Cambio total= Rapidez de cambio por año * Número de años

Cambio total= 20,000(3) +22,000(3)= = 126,000 habitantes.

El cambio total en la población ascendió a 126,000 habitantes en los seis años.

Ejemplo 3.2

Consideremos ahora el ejemplo del capítulo anterior que se refiere a la partícula que recorre cierta distancia en un

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cambio de esa función. Supongamos que su velocidad es 10 metros por segundo, con esta información se puede calcular la distancia recorrida en 8 segundos, despejando la fórmula se obtiene:

Velocidad =

Tiempo Distancia

Distancia = Velocidad * Tiempo Distancia= 10

seg

m _{* 8}_seg =80 m

Si se traza la gráfica de la velocidad recorrida contra el tiempo se obtiene un rectángulo cuya área, base por altura, estará representando a la distancia recorrida

Gráfica 3.1

Imaginemos que la partícula se mueve a diferentes velocidades, por ejemplo, durante los primeros 4 segundos se mueve a 5 m/seg y enseguida se mueve cuatro segundos más pero ahora a una velocidad de 12 m/seg, para calcular la distancia recorrida se tienen que sumar las distancias en los dos tramos:

Distancia = (5 seg m )(4 seg) +(12 seg m )(4 seg) = 68 m

Para precisar más, ahora consideremos que se mide la velocidad de la partícula cada dos segundos, a partir del primer segundo:

Tiempo 1 3 5 7 9 Velocidad 2 6 10 14 18 Para estimar la distancia total recorrida se podría pensar que durante los primeros dos segundos la partícula tendría por lo menos una velocidad de 2 m/seg, en los siguientes dos segundos sería por lo menos 6 m/seg, y así sucesivamente.

Distancia:

(2)(2) + (6)(2)+(10)(2)+(14)(2)= 64 m Entonces se estima que en los 8 segundos la partícula recorre 64 m. El área sombreada en la figura 3.2 representa la distancia recorrida

Gráfica 3.2

Sin embargo existe otro enfoque, se puede considerar que durante los dos primeros

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segundos la partícula a lo mas tendría una velocidad de 6 m/seg, en los siguientes dos segundos la velocidad sería a lo mas de 10 m/seg, de esta manera la estimación de la distancia es otra cifra.

Distancia:

(6)(2)+(10)(2)+(14)(2)+ (18)(2)= 96 m Con este enfoque el área sombreada es mayor:

Gráfica 3.3

La diferencia entre ambas estimaciones es de 32 metros. Se puede afirmar que la distancia recorrida por la partícula está entre 64 y 96 metros.

64< distancia< 96

Con el fin de ser aún más precisos, se podría considerar que las mediciones se realizan cada segundo, de esta manera las velocidades disponibles son las siguientes:

Tiempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9

La estimación de la distancia con el enfoque ‘al menos’ sería:

(2)(1)+(4)(1)+(6)(1)

+(8)(1)+(10)(1)+(12)(1)+(14)(1)+(16)(1)= 72

Gráfica 3.4

y con el enfoque ‘cuando más’ (4)(1)+(6)(1)

+(8)(1)+(10)(1)+(12)(1)+(14)(1)+(16)(1)+ (18)(1)=88

Gráfica 3.5

Con estas nuevas estimaciones la distancia se encuentra entre 72 y 88 m.

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• La integral definida

En el ejemplo 3.2, se estimó la distancia total acumulada con base en la velocidad, se observó que a medida que se disminuyen los periodos de tiempo de medición y se aumentan el número de datos entonces mejora la precisión.

Ejemplo 3.3

Supongamos que se conoce la función de rapidez con la que aumenta una población de insectos, f(t) = .5t2₊_t_{+4, durante 12}

horas, y deseamos calcular el crecimiento total de la población, se usarán subintervalos de tiempo de 3, 2 y 1 hora, utilizaremos ∆t para identificar la longitud del subintervalo, y n para indicar el número de ellos.

El incremento en la población de insectos está dado por:

f(t) = .5t2₊_t_{+4 número de insectos por}

hora

en donde t está en horas, y se calculará el cambio total con base en subintervalos ∆t

y se utilizará el enfoque de cambio ‘al menos’. Tabla 3.1 T (horas) _{1 2 3 4 5 6 7 8 9} f(t) insectos por hora 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Si ∆t =3, n=3 Cambio total = (2)(3) + (8)(3) +(14)(3) =72

Haciendo los intervalos más pequeños, con ∆t =1, n= 9

Cambio total = (2)(1) +(4) (2) +(6) (1) +(8)(10)+(12)(1)+(14)(1)+(16)(1)+(18)(1)

=90

La estimación del cambio total se puede hacer más precisa si la longitud de los intervalos se hace cada vez más pequeña, y n crece; la estimación será exacta si se calcula la suma de los rectángulos cuando

n →∞

Considere que f(t) es una función continua en el intervalo (a,b), y se definen n subintervalos iguales, cada uno de longitud ∆t, de tal forma que:

∆t = n

a b−

Sean to, t1, t2, t3, .... tn, los puntos que

definen los subintervalos, y definimos la suma de los rectángulos considerando los dos enfoques, ‘al menos’ y ‘cuando más’, en el primer caso, suma por la izquierda, la altura del rectángulo se define por el valor izquierdo del intervalo; y para el otro caso, la suma por la derecha se utilizan los valores de la derecha de cada intervalo para calcular la altura del rectángulo

Suma por la izquierda= f(to)∆t + f(t1) ∆t +f(t₂)∆t +...f(_tn-1)∆t

Suma por la derecha = f(t1)∆t + f(t1) ∆t +f(t2)∆t +...f(tn)∆t

Podemos abreviar las sumas utilizando el símbolo de ∑ que es la letra griega S, y que representa la suma:

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Suma por la derecha = ∑ = Δ n i t i t f 1 ) ( = f(t1)∆t + f(t1) ∆t +f(t2)∆t +...f(tn)∆t

Suma por la izquierda= n 1 Δt 1 i ) i f(t ∑− = = f(to)∆t + f(t1) ∆t +f(t2)∆t +...f(n-1)∆t

Cuando la función es continua y el límite de estas sumas cuando n → ∞ coincide para ambas sumas, entonces se dice que existe el límite y se le conoce como integral definida.

La integral definida de f en el intervalo [a,b] se denota como:

∫

b a dt t f( )

es el límite de las sumas por la izquierda o derecha con n subintervalos de [a,b] a medida que n se hace arbitrariamente grande.

∫

b a dt t f( ) = _→_∞ n

lim (suma por la izquierda) =

∞ → n lim ∑− = Δ 1 1 ) ( n i t i t f ∫ b a dt t f( ) = ∞ → n

lim (suma por la derecha)= ∞ → n lim ∑ = Δ n i t i t f 1 ) ( =

Cada una de estas sumas se le llama suma de Riemann,

Los elementos que aparecen en la notación de la integral son:

a es el límite inferior de la integral

b es el límite superior de la integral

[a,b] intervalo de integración

f es el integrando

• Evaluación de una integral definida

a partir de una tabla o gráfica

Para evaluar la integral a partir de una tabla se calculan las sumas por la izquierda y por la derecha, veamos un ejemplo:

En la tabla 3.2 se presentan valores de una función de ingreso marginal de un fabricante. Se desea calcular el ingreso total del fabricante cuando la producción aumenta de 10 a 20. Tabla 3.2 q 10 12 14 16 18 20 Ingreso 235 220 202 182 160 135 Para calcular 20

_∫

10 ) (q dq f se utilizarán los

valores de la función en la tabla para determinar la suma por la izquierda y por la derecha:

Suma por la izquierda =f(10)*2 +f(12)*2+f(14)*2 +f(16)*2 +f(18)*2

=235*2 +220*2 +202*2 +182*2 +160*2

=1998 y la suma por la derecha sería:

Suma por la izquierda = f(12)*2+f(14)*2 +f(16)*2 +f(18)*2 +f(20)*2

=220*2 +202*2 +182*2 +160*2 + 135*2

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entonces: 1998<20

_∫

10 ) (q dq f <1798

Para efectos prácticos la integral de la función de ingreso marginal la obtenemos promediando ambas sumas:

∫

20 10 ) (q dq f =(1998 +1798)/2 = 1898

Es importante destacar que la unidad de medida para 20

_∫

10

) (q dq

f está dada por las

unidades de medida para f(q) y q, en este ejemplo el resultado de la integral son $1898 pesos, porque el ingreso marginal está dado en $ por unidad vendida y dq

son unidades vendidas. Los $1,898 representan el cambio total en el ingreso por el incremento en las ventas de 10 a 20 productos.

Veamos otro ejemplo, para calcular el área bajo la curva y=x2 _{y la línea x=2, podemos}

utilizar 8 rectángulos, dividimos el intervalo, [0,2], en ocho subintervalos de longitud 1/4, esto es [0,1/4] [1/4,2/4] [2/4,3/4] [4/4,5/4] [6/4,7/4] [7/4,8/4]; en cada intervalo calculamos la altura del rectángulo con y= x2 _{, la aproximación de}

la integral será la suma de las áreas de los ocho subintervalos.

Intervalo Longitud _{de la base} Altura _y=x2 Área _Base*altura 0 1/4 0.125 1/4 2/4 0.125 2/4 3/4 0.125 3/4 4/4 0.125 4/4 5/4 0.125 5/4 6/4 0.125

Intervalo Longitud _{de la base} Altura _y=x2 Área _Base*altura 6/4 7/4 0.125

7/4 8/4 0.125

Para facilitar la estimación de la integral podemos utilizar en la computadora una hoja de cálculo, al capturar los datos observamos que las fracciones se transforman en decimales, de una forma muy ágil calculamos las suma por la izquierda y la suma por la derecha.

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2.1875<

_∫

2

0 2_dx

x <3.1875

Al sumar obtenemos valores que son sólo es una aproximación de la integral, y es razonable pensar que entre mayor sea el número intervalos más precisa será la

Si en lugar de disponer de una tabla se tiene una gráfica entonces el cálculo de la integral se obtiene definiendo el tamaño de los intervalos, trazando los rectángulos, y sumando las áreas de los mismos. También se calculan las sumas por la

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defecto) y por la derecha (sumas por exceso), para ello, en el primer caso el rectángulo se traza considerando la altura como la ordenada del primer valor del intervalo, en cambio, en el segundo caso, la altura se define con la ordenada del segundo valor del intervalo..

En la gráfica 3.6 se puede apreciar que los rectángulos se trazan considerando la ordenada del primer valor del subintervalo, en cambio en la gráfica 3.7 se observa que los rectángulos se trazan con la segunda ordenada. En la primera los rectángulos quedan por debajo de la función, y en la segunda están por encima de la función, en el primer caso las áreas de los rectángulos ri subestiman el verdadero

valor del área bajo la curva, y en el segundo los rectángulos Ri sobreestiman

el valor del área.

Está claro que entre más pequeños sean los subintervalos y por lo tanto sean más rectángulos, se obtiene mayor precisión en la estimación de la integral.

Gráfica 3.6

Gráfica 3.7

3.1.2. LA INTEGRAL DEFINIDA

COMO ÁREA

• La integral definida como el área

bajo la curva

Con los ejemplos de las secciones anteriores, se puede apreciar que a medida que el ancho ∆t de los rectángulos se aproxima a cero, los rectángulos se aproximan más a la gráfica de la curva, por lo que la suma de sus áreas se acerca más al área bajo la curva.

Si f(x) es positiva y a<b:

Área bajo la gráfica de f entre a y b

∫

b a dx x f( )

Las gráficas 3.6 y 3.7 en donde se calcularon las áreas ri y Ri son

aproximaciones de las áreas Ai que en

conjunto son: Área =

_∫

b a dx x f( )

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En otro ejemplo, la gráfica 3.8. , muestra la gráfica de una función, para calcular la integral entre 0 y 5, hay que medir el área bajo la curva en ese intervalo ver gráficas 3.9.

Gráfica 3.8

∫

47 − + + − . 4 0 2 ₂ ₂₀₎ ₍₂ ₎₎ (( x x x dx = 60.5 Gráfica 3.12 x y 0 1 2 3 4 5 6 7 5 10 15 20 25 30 35 y=-x^2+2x+20 y=2x Area= 60.55

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• El teorema fundamental del cálculo

En las secciones anteriores se vio como la integral definida es el cambio total en una función calculado con base en la rapidez de cambio de la función. También se estableció que dada una función F(t) su rapidez de cambio es la derivada, F’(t).

Recordemos que para estimar el cambio total, en un intervalo [a,b], se definen n

subintervalos iguales en to, t1,t2,...tn-1, tn ,

además se definió ∆t como la longitud de los subintervalos y se calcula como

∆t=

n a b−

.

Ahora bien, si en el primer subintervalo, se aproxima la rapidez de cambio con F’(t1)

entonces:

Cambio en F =Rapidez * Tiempo ≈ F’(t1) ∆t

si consideramos en cada subintervalo i la rapidez de cambio se aproxima con F’(ti),

entonces:

Cambio en F = Rapidez * Tiempo ≈ F’(ti) ∆t

y por lo tanto el cambio total estará dado por:

Cambio total en F entre a y b:=

F’(t1) ∆t +F’(t2) ∆t+....+ F’(tn) ∆t=

∑

= Δ n i t t F 1 ) ( '

Para mejorar el resultado, se generan más intervalos, tomando el límite cuando n

→∞, de esta manera la suma se convierte en integral:

Cambio total en F entre a y b:=

∞ → n lim

∑

= Δ n i i t t F 1 ) ( ' =

∫

b a dt t F'()

Como el cambio total está dado también por F(b) – F(a) se relaciona con el resultado anterior y se obtiene:

Teorema fundamental del Cálculo

Si F’(t) es continua para a≤ t ≤ b entonces

_∫

b

a

dt t

F'( ) = F(b) - F(a)

Veamos un ejemplo, se conoce que un cuerpo se mueve en una recta con aceleración v’(t)= 6t, también se conoce que la velocidad del cuerpo es v(t)= 3t2

m/seg entre t=0 y t=10 minutos, se estimará el cambio la velocidad total aplicando el Teorema fundamental del Cálculo:

Recordemos que la aceleración es la rapidez de cambio de la velocidad, esto es el cambio experimentado por la velocidad por segundo, entonces sus unidades son

seg seg m/ = ₂ seg m y además dt=seg

∫

10 0 ) ( ' t dt v = v(10) – v(0)

∫

10 0 ) ( 6 t dt = 3(102) - 3(0)2 =300 m/seg El cambio total en la velocidad en ese

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RESULTADO DE APRENDIZAJE

3.2. Usar integrales en la solución de problemas

3.2.1. ANTIDERIVADAS

• Derivación e integración como

procesos inversos

La integración tiene, también, otro enfoque, como procedimiento inverso al de la derivación, esto es, si una función es derivada y el resultado se integra entonces se obtiene la función original, para llegar al resultado idéntico se tiene que especificar la constante de integración que se explicará mas adelante.

Si la derivada de una función F(x) es f(x), esto es F’(x) = f(x), entonces se dice que F(x) es antiderivada de f(x)

La antiderivada de f(x) es una función cuya derivada es f(x).

Por ejemplo la derivada de x3_{es 3x}2_por

ello se dice que x3_{es la antiderivada de 3x}2

Observemos que 3x2_{también es la derivada}

de x3_{+4, y también es la derivada de x}3₊_C_,

para cualquier valor de C constante En efecto ) (_x3 _C dx d + = 3x2

por tal razón se dice que x3₊_{C es la familia} de antiderivadas de 3x2 Generalizando: )) ) ( (F x C dx d + = F(x) dx d + (C) dx d = F(x) dx d = f(x)

Así, por la constante, no queda determinada completamente una función cuya derivada se conoce.

• Integrales indefinidas

La antiderivada de una función f(x) difiere de cualquier otra en una constante, todas las antiderivadas de f(x) son de la forma F(x) + C, la forma más general de denotarlas es con:

_∫

f(x)dx y se le denomina integral indefinida de f(x).

∫

f(x)dx= F(x) + C si y sólo si F(x) = f(x)

Al símbolo

_∫

se le denomina símbolo de integral, f(x) es el integrando, y C es la constante de integración.

La integral indefinida de cualquier función

f con respecto a x se escribe

_∫

f(x)dx, y

denota una antiderivada arbitraria de f.

Es importante resaltar la diferencia entre

∫

b a dx x f( ) y

∫

f(x)dx, la primera expresión es

un número, en cambio la segunda denota una familia de funciones. Se usa de manera indistinta la palabra integración ya sea para encontrar la antiderivada como para calcular integrales definidas.

dx x 1 • 5 = 5·Lnx + C

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• Uso de las antiderivadas para encontrar integrales definidas

Con base en el Teorema Fundamental del Cálculo y utilizando las reglas de las antiderivadas se pueden calcular, de una manera más eficiente, las integrales definidas, en efecto, el Teorema nos dice si F’(t) es continua para a≤ t ≤b entonces

∫

b a dt t F'( ) = F(b) - F(a)

y= 1₂ x , en el que

∫

x dx ∞ 1 2 1 ₌₁ Gráfica 3.13

Si bien no está definido el límite superior, se observa que el área converge a un número.

3.2.2. CAMBIO DE VARIABLE

• Integrales reducibles a integrales

inmediatas

En ocasiones, es posible modificar algebraicamente una función, de tal manera que se convierte en una expresión cuya integral es inmediata. Por ejemplo

∫

ex2xdx , se reduce a

_∫

eudu 2 1 simplemente considerando u=x2_{, y}_{du= 2xdx.} Ejemplo Obtener

_∫

x2 x+1dx Se resuelve considerando u= x+1

entonces x=u-1 dx =du

y x2₌_(u-1)2_{= u}2_{-2u +1} 1 + x = 2 1 u Así:

∫

x2 x+1dx₌

∫

u − u+ u2du 1 2 ₂ ₁₎ ( =

_∫

u − u +u2du 1 2 3 2 5 2 = 2 7 7 2 u - 2 5 5 4 u + 2 3 3 2 u + c = 2 7 ) 1 ( 7 2 + x - 2 5 ) 1 ( 5 4 + x + 2 3 ) 1 ( 3 2 + x + c

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• Integrales trigonométricas

sec ln|sec tan |

c x xdx= +

∫

sec2 tan c x xdx=− +

∫

csc2 cot c x xdx x = +

∫

sec tan sec

_∫

(1−cos2x)senxdx

=

_∫

senxdx +

_∫

cos2x(−senx)dx

= -cosx +

3 1

cos3_{x +}_c

• Integrales por partes

Existe otro método muy útil de integración, se le denomina integración por partes, éste proviene de la fórmula para la derivada del producto de dos.

Si f y g son funciones diferenciables:

∫

f(x)g'(x)dx= f(x)g(x)−

∫

g(x)f'(x)dx

A la ecuación anterior se le llama fórmula de integración por partes. Se le puede expresar de otra manera al considerar:

) ( y ) (x v g x f u = = Entonces tenemos ) ( y ) ( ' x v g x f du= =

con lo que se transforma a:

∫

udv=uv−

∫

vdu

Está formula expresa la integral

∫

udv en

términos de otra integral,

∫

vdu. Por medio

de una elección adecuada de u y dv, puede ser más fácil evaluar la segunda integral que la primera. Cuando se eligen sustituciones para u y dv, por lo general se desea que dv sea el factor más complicado del integrando que se pueda integrar directamente y que u sea una función cuya derivada sea una función más simple.

Ejemplo:

Encontrar

_∫

xexdx

Consideremos u =x y dv = ex_dx

Entonces du=dx y v=

_∫

exdx₌_ex_{+ c}

xcosx=xsinx− sinxdx

=xsinx+cosx+c Determinar

∫

− xdx 1 tan Sea u=tan-1_x_y_dv=dx_. Entonces du= ₂ 1 x dx + y v=x De esta forma, C x x x x xdx x x xdx + + − = + − = − − −

∫

) 1 ln( 2 1 tan 1 tan tan 2 1 2 1 1

• Integrales por sustitución

trigonométrica

Cuando un integrando contiene potencias enteras de x y potencias enteras de alguna de las expresiones 0 a , x bien o , a , 2 2 2 2 2 2 ₋ ₊ ₋ _> a x x a

es posible que se pueda evaluar las integrales por medio de una sustitución trigonométrica. Los tres casos considerados a continuación dependen, respectivamente de las identidades:

θ θ θ θ θ θ 2 2 2 2 2 2 tan 1 sec sec sin 1 cos sin 1 = − = + = −

CASO I. Integrandos que contienen 0 a , 2 2 ₋ _> x a Consideremos:

x=a sinθ , -π/2 ≤θ≤π/2 entonces

θ θ θ θ cos cos ) sin 1 ( sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a a x a = = − = − = − Cuando 2 2 x a − aparece en el

denominador de un integrando; existe la restricción adicional -π/2 ≤θ≤π/2

CASO II. Integrandos que contienen 0 a , 2 2 ₊ _> x a

Supongamos que x=a tanθ, en donde -π/2

≤θ≤π/2. Entonces θ θ θ θ sec sec ) tan 1 ( tan 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a a x a = = + = + = +

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Después de la integración puede eliminarse

la variable θ empleando un triangulo rectángulo en donde tan

θ=x/a. Veamos la siguiente figura.

Caso III. Integrandos que contienen 0 a , 2 2 ₋ _> a x

Si en este último caso se utiliza la sustitución x = a sec θ, en donde 0 ≤ θ ≤ π/2, o bienπ ≤θ≤ 3π /2, entonces θ θ θ θ tan tan ) 1 (sec sec 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a a a x = = − = − = − Evaluar

∫

−x dx x 2 2 9

La identificación a=3 conduce a las sustituciones x=3sen θ dx=3cosθ dθ en donde -π/2 ≤ θ ≤ π/2. La integral se convierte en

∫

= − = −x dx θ θdθ θdθ x 2 2 2 2 2 sin 9 ) cos 3 ( sin 9 9 sin 9 9

Recuerda que para evaluar está última integral trigonométrica se hace uso de

2 / ) 2 cos 1 ( sin2_θ ₌ ₋ _θ c d dx x x ₌ ₋ ₌ ₋ ₊ −

∫

θ θ θ sin2θ 4 9 2 9 ) 2 cos 1 ( 2 9 9 2 2

Para expresar este resultado otra ves en término de la variable x, observamos que

(x/3) sin y , 3 / x -9 sin 1 cos , 3 / sin_θ₌ _θ₌ ₋ 2_θ₌ 2 _θ₌ -1 x

puesto que 2θ =2senθcosθ,resulta que

c x x x dx x x + − − = − −

∫

1 2 2 2 9 2 1 3 sin 2 9 9

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• Integración de fracciones racionales

Una función algebraica se puede expresar como el cociente de dos polinomios. En teoría toda función racional tiene una integral que puede expresarse en términos de funciones elementales. Si una función racional no se puede integrar directamente, se utiliza el método de fracciones parciales para transformar la fracción racional en una suma de funciones más sencillas que pueden integrarse por medio de las fórmulas normales.

Este método se utiliza únicamente para a fracciones propias, esto es aquellas en la que el polinomio del numerador es de

menor grado que el polinomio del denominador.

Veamos el procedimiento:

a) Se expresa el denominador de la fracción como un producto de factores lineales de la forma ax + by de factores cuadráticos irreductibles de la forma

ax2_{+bx +c}_.

b) Se determina la forma de las fracciones parciales, y dependerá de los factores que se definan en el denominador:

Factor presente en el

denominador Fracción parcial correspondiente

a) Factor lineal único:

ax +b ax b

A

+ siendo A una constante que debe

determinarse b)Factor lineal repetido:

(ax-b)n _ax _b A +1 +ax b A +2 +...+ax b An +

en donde A1, A2,... An son constantes que

deben determinarse c)Factor cuadrático único

ax2_{+bx +c} _ax _bx _c B Ax + + + 2

en donde A y B son constantes que deben determinarse

d) Factor cuadrático repetido:

(ax2_{+bx +c )}n _ax _bx _c B x A + + + 2 1 1 + c bx ax B x A + + + 2 2 2 _+...+ c bx ax B x A_n _n + + + 2

(22)

c) Determinar las constantes que se presentan en los numeradores de las fracciones parciales. Cuando se descompone una fracción racional en fracciones parciales, la ecuación resultante es una identidad, o sea, que es verdadera para todos los valores significativos de las variables. El método para evaluar las constantes que se presentan en las fracciones parciales está basado en un teorema de álgebra que establece que si dos polinomios de un mismo grado son idénticos, deben ser iguales los coeficientes que corresponden a potencias iguales de la variable, en ambos polinomios

(23)

DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de

aprendizaje 3

Práctica número 7

Nombre de la

práctica Modelación matemática de problemas de poblaciones.

Propósito de la

práctica Al finalizar la práctica el alumno modelará problemas de poblaciones usando integrales.

Escenario Aula

Duración 2h

Materiales Maquinaria y equipo Herramienta

• Bitácora

• Papel

• Lápiz

(24)

(25)

Procedimiento

Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica.

• Limpiar el área de trabajo.

• Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. 1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de poblaciones de acuerdo a las

instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo.

a. Se predice que la población mundial t años después del 2000 será de P =

6.1e0.0125t miles de millones. , ¿Qué población se predice que habrá en el 2010?, ¿Cuál es la población promedio quCe se predice que habrá entre el 2000 y el 2010? b.Un pueblo tiene una población de 1000. Llene la siguiente tabla suponiendo que la

población crece a: 50 personas por año y al 5% por año

Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Población 1000

c. El tamaño de una población de bacterias es de 4000. Encuentre una fórmula para el tamaño, P, de la población t horas después si la población está disminuyendo a: 100 bacterias por hora y al 5% por hora. ¿En qué caso la población de bacterias llega primero al 0?

d.Con frecuencia, las tasas de nacimiento y mortalidad se registran como nacimientos o muertes por miles de habitantes de la población. ¿Cuál es la razón de crecimiento relativa de una población con una tasa de nacimientos de 30 nacimientos por 1000 y una tasa de mortalidad de 20 muertes por 1000?

e. Una población tiene 100 habitantes en un tiempo t = 0, con t en años. Si la población tiene una razón de crecimiento absoluta constante de 10 personas por año, encuentre una fórmula para el tamaño de la población en el tiempo t. Si la población tiene una razón de crecimiento relativa constante del 10% por año, encuentre una fórmula para el tamaño de la población en el tiempo t. Grafique ambas funciones en los mismos ejes.

2. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las cartulinas para una explicación con el material de tipo mural.

3. Presentar conclusiones por equipo. 4. Establecer conclusiones grupales

5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma.

(26)

110

Procedimiento

(27)

LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 7: Modelación matemática de problemas de poblaciones

Portafolios de evidencias

Fecha: ______________ Nombre del alumno: ______________________________________________________________

Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del alumno.

De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño.

Desarrolló Sí No No

aplica

Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica

• Limpió el área de trabajo

• Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo

1. Elaboró por equipos los ejercicios de acuerdo a las instrucciones del PSA • Resolvió el ejercicio a • Resolvió el ejercicio b • Resolvió el ejercicio c • Resolvió el ejercicio d • Resolvió el ejercicio e

2. Elaboró en cartulinas los ejercicios 3. Cada equipo nombró un relator

• El relator expuso al grupo los resultados de sus ejercicios

• Resolvieron dudas y preguntas

4. Participó en el establecimiento de conclusiones grupales 5. Elaboró conclusiones

6. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe incluir las conclusiones de la misma

4

Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas

(28)

112

PSA: Hora de inicio:

Hora de término:

(29)

DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de

aprendizaje 3

Práctica número 8

Nombre de la

práctica Determinación de áreas usando integrales

práctica Al finalizar la práctica el alumno determinará áreas usando integrales.

Escenario Aula

Duración 3h

• Bitácora

• Lápiz

• Papel

• Juego de geometría

(30)

114

Procedimiento

• Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. 1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de poblaciones de acuerdo a las

instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo.

a. Use el teorema fundamental del cálculo para encontrar el área bajo la gráfica de f(x) = 1/(x+1) entre x = 0 y x= 2.

b.Use el Teorema Fundamental para calcular el valor de b si el área bajo la gráfica de f(x) = 4x entre x = 1 y x = b es igual a 240. Suponga que b > 1.

c. i) Grafique el área representada por la integral impropia 0 x xe dx ∞ −

∫

ii) Calcule 0 b x xe dx−

∫

para b = 5, 10, 20. La integral impropia (i) converge. iii) Utilice sus respuestas del inciso (ii) para evaluar su valor.

4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje.

(31)

Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 8:

Determinación de áreas usando integrales

aplica

1. Elaboró por equipos los ejercicios de acuerdo a las instrucciones del PSA

• Resolvió el ejercicio a

• Resolvió el ejercicio b

• Resolvió el ejercicio c

4. Participo en el establecimiento de conclusiones grupales 5. Elaboró conclusiones

4

(32)

Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral 116 PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación:

(33)

Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 3 Práctica número 9 Nombre de la

práctica Resolución de integrales por partes. Propósito de la

práctica Al finalizar la práctica el alumno realizará integrales usando la fórmula de la integración por partes.

Escenario Aula

Duración 3 h

• Bitácora

• Lápiz

• Papel

(34)

Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral

118

Procedimiento

• Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. En ésta práctica se van a realizar integrales por partes:

1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de integrales por partes de acuerdo a las instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo.

2 . cos . . ln . cos . ax x a x xdx b xe dx c xdx d e d e x e dx θ _{θ θ} −

∫

2. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA, utilizando las cartulinas para una explicación con el material de tipo mural.

Nota: Esta práctica se realizará las veces necesarias, hasta que el alumno alcance la competencia.

(35)

Resolución de integrales por partes.

aplica

Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la

práctica

1. Elaboró por equipos los ejercicios de acuerdo a las instrucciones del PSA • Resolvió el ejercicio a • Resolvió el ejercicio b • Resolvió el ejercicio c • Resolvió el ejercicio d • Resolvió el ejercicio e

4. Participo en el establecimiento de conclusiones grupales 5. Elaboró conclusiones

4

(36)

(37)

Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 3 Práctica número 10 Nombre de la

práctica Resolución de integrales de fracciones parciales.

práctica Al finalizar la práctica el alumno realizará integrales de fracciones parciales.

Escenario Aula

Duración 3 h

• Bitácora

• Lápiz

• Papel

(38)

122

Procedimiento

• Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. En ésta práctica se van a realizar integrales por partes:

1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de integrales por partes, de acuerdo a las instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo.

3 2 3 3 3 2 3 . 2 1 . ( 1) 4 . 4 x a dx x x x x b dx x x dx c x x + + − + − +

∫

(39)

Resolución de integrales de fracciones parciales.

aplica

Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la

práctica

1. Elaboró por equipos los ejercicios de acuerdo a las instrucciones del PSA

• Resolvió el ejercicio a

• Resolvió el ejercicio b

• Resolvió el ejercicio c

4. Participó en el establecimiento de conclusiones grupales 5. Elaboró conclusiones

4

(40)

(41)

Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 1,2,3 Práctica número 11 Nombre de la

práctica Determinación del excedente del consumidor

práctica Al finalizar la práctica el alumno determinará el excedente del consumidor utilizando integrales.

Escenario Aula

Duración 3h

• Bitácora

• Lápiz

• Papel

• Juego de geometría

(42)

126

Procedimiento

• Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. 1. Lee con cuidado lo siguiente:

Excedente del Consumidor

Una de aplicación de las integrales en Economía, es la determinación del Excedente del Consumidor. En la gráfica 1, se presentan las curvas de oferta y demanda de un producto, en la primera se observa el precio p por unidad al cual el fabricante vende (ofrece) q

unidades. En la segunda, demanda, se aprecia el precio p por unidad al cual los consumidores adquieren (o demandan) q unidades. El punto (po, qo)en donde se intersectan

las curvas se le denomina punto de equilibrio, sus elementos se interpretan de la siguiente manera: po es el precio por unidad al cual los consumidores adquirirán la misma cantidad qo

que los fabricantes desean vender a ese precio. Si el mercado se encuentra en equilibrio y el precio del producto es po, de acuerdo con la curva de demanda, existen consumidores que

estarían dispuestos a pagar más que po , por ejemplo al precio p1 los consumidores

comprarían q1 unidades, estos consumidores se benefician del menor precio de equilibrio.

El rectángulo sombreado en la figura 1, representa el área p∆q que es la cantidad total de dinero que los consumidores gastarían comprando ∆q unidades si el precio fuera p, como el precio es po los consumidores sólo gastan po ∆q y se benefician con la cantidad p∆q - p_o∆q, que se puede escribir como (p- p_o)∆q, ver figura 2.

(43)

Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral Procedimiento

Figura 2

p0

∆q

Considerando las áreas de todas los rectángulos de q= 0 a q= qo, el área se obtiene

mediante la integral: 0 0 ( ) q o p− p dq

∫

La integral representa la ganancia total para los consumidores que están dispuestos a pagar un precio superior al de equilibrio y se le denomina excedente de los consumidores ver figura 3.

Figura 3

EC

p0

(44)

128

Procedimiento

2. Analizar en grupo la lectura anterior. 3. Resolver en grupo el siguiente problema:

Las siguientes ecuaciones representan la demanda y la oferta de un producto:

P=900 – q2 P=100 + q2

encuentrar el precio y cantidad de equilibrio, graficar y determinar el excedente del consumidor.

4. En grupo elaborarán conclusiones.

(45)

Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral Procedimiento

(46)

130

LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 11: Determinación del excedente del consumidor

aplica

1.Leyó con atención la teoría

2.Analizó en grupo el concepto de excedente del consumidor 3.Resolvió en grupo el problema

4.Participó en la elaboración de conclusiones del problema

5.Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe incluir las conclusiones de la misma

4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas Observaciones: PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación:

(47)

RESUMEN

Conociendo la rapidez de cambio de una función se puede determinar los valores de la función y los cambios totales en la misma, esto es se puede seguir el proceso inverso a lo visto en la sección anterior.

La integral definida de f en el intervalo [a,b] se denota como:

∫

b

a dt t f( )

es el límite de las sumas por la izquierda o derecha con n subintervalos de [a,b] a medida que n se hace arbitrariamente grande. =

∫

b a dt t f( ) ∑ − = ∞

Δ

1 1 limn

(

)

i n

f

t

i

t

=

∫

b a dt t f( ) ∑ = = ∞ →

Δ

n i n

f

t

i

t

1 lim

(

)

Cada una de estas sumas se le llama suma de Riemann,

Los elementos que aparecen en la notación de la integral son:

a es el límite inferior de la integral b es el límite superior de la integral

x es la variable de la integral [a,b] intervalo de integración f es el integrando

Así , si f(x) es positiva y a<b: Área bajo la gráfica de f entre a y b

∫

b a dx x f( )

El Teorema fundamental del Cálculo señala Si F’(t) es continua para a≤ t ≤ b entonces

∫

b a dt t F'( ) = F(b) - F(a)

La integración tiene, también, otro enfoque, como procedimiento inverso al de la derivación, esto es, si una función es derivada y el resultado se integra entonces se obtiene la función original

Si la derivada de una función F(x) es f(x), esto es F’(x) = f(x), entonces se dice que F(x) es antiderivada de f(x)

La antiderivada de f(x) es una función cuya derivada es f(x).

(48)

132

AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS

1.¿Cuál es el concepto de Límite?

2.¿Qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado?

3.¿Qué es el incremento de una variable?

4.¿Cómo se representa el incremento de una variable? 5.¿Cómo se le llama a una función que tiene derivada?

6.¿Cómo se denomina al proceso de encontrar la derivada de una función? 7.¿Cuáles son las dos aplicaciones principales de la derivada?

8.Hallar la derivada de la función dada en el siguiente ejercicio: f (x) = 7

9.Aplique la definición (°) para hallar la derivada de la función en a: ƒ(X)=2-X3_{; a=-2}

10. ¿Cuáles son los criterios de continuidad en un número? (Expresar el concepto en lenguaje algebraico)

11. ¿Cuáles son los tipos de discontinuidad de una función?

12. Resuelva el siguiente ejercicio: Trace la gráfica de la función; luego, observando dónde hay saltos en la gráfica, determine los valores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua. Muestre cuál criterio no se cumple de la definición de continuidad de una función en un punto.

13. ¿Cuál es la función de los teoremas?

14. Teorema de derivadas: “la derivada de una función multiplicada por una constante es igual al producto de la constante por la derivada de la función” Sea K una constante cualquiera y f y g dos funciones, tales que

f (x) = k g(x),entonces, si g'(x) está definida,f '(x) = k g'(x), ¿Cómo quedaría la conclusión del teorema en lenguaje algebraico?

(49)

AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS

15. ¿Cuál es la definición de diferencial?

16. Un barco sale de un puerto al mediodía y viaje hacia el oeste a 20 nudos. Al mediodía del día siguiente, un segundo barco sale del mismo puerto con dirección noroeste a la velocidad de 15 nudos. ¿Con qué rapidez se alejan entre sí los dos barcos cuando el segundo de ellos ha recorrido 90 millas náuticas?

17. ¿A qué se le llama rapidez de variación de la función?

18. Halle la derivada de la función correspondiente mediante la aplicación de los teoremas de los siguientes ejercicios:

19. Resuelva los siguientes ejercicios: elabore una tabla de valores de x, y, y m en el intervalo [a, b]; incluya todos los puntos donde la gráfica tiene una pendiente horizontal. Trace la gráfica y muestre un segmento de la tangente en cada uno de los puntos

localizados.

20. ¿Qué es la operación sumatoria?

21. ¿Qué signo se utiliza para la notación de sumatoria? 22. Evalúe la integral definida del siguiente ejercicio:

(50)

134

AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS

23. Calcule la derivada del siguiente ejercicio:

(51)

AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS

(52)

136

RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS

1.El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo

(diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.

2.La función se acerca a un valor constante, cuando la variable independiente se aproxima también a un valor constante.

3.Es la diferencia entre el valor final y el valor inicial.

4.Se representa por la letra correspondiente de la variable, precedida de la letra griega delta; y se lee "delta de x", "delta de y"

5.Diferenciable 6.Diferenciación

7.La primera para obtener la pendiente de la recta tangente a la curva de una función en un punto determinado y la segunda para calcular la velocidad instantánea de un móvil en un instante dado.

8.

(53)

RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS

Con este valor y, aplicando la fórmula, se obtiene:

10. Una función f es continua en un número a de su dominio si se cumplen las tres condiciones siguientes:

11. La discontinuidad de una función en un punto puede ser una discontinuidad esencial o una discontinuidad eliminable.

12. (Abajo se observa la gráfica de esta función).

Como f (-3) no existe, la parte (i) de la Definición de continuidad de una función en un número no se cumple y; por lo tanto

(54)

138

RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS

13. Nos facilitan el aspecto operativo de la tarea de derivación. 14.

15. La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencia de la variable independiente

(55)

RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS

17. A la intensidad de variación respecto al tiempo. 18. 1. Solución