Engranes No Est´
andar: Distancia Entre Centros Extendida
Jos´
e Mar´ıa Rico Mart´ınez y Fernando Tom´
as P´
erez Zamudio
Departamento de Ingenier´ıa Mec´
anica.
Campus Irapuato-Salamanca
Universidad de Guanajuato
E-mail:
[email protected]
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Introducci´
on.
En esta notas, se presenta el an´alisis cinem´atico de una clase importante de engranes no est´andar que, sin embargo, pueden cortarse con herramientas de corte est´andar. Esta clase de engranes, aparece por la dificultad de asegurar que la distancia entre centros sea la determinada por el n´umero de dientes de los engranes y el paso diametralPdo m´odulom. En esos casos, se selecciona una pareja aproximada de engranes est´andar cuya distancia entre centros est´andar sea menor que la distancia entre centros de dise˜no y a partir de los valores de dientes de engranes y paso diametral o m´odulo modificar el dise˜no.1
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Distancias de centros est´
andar y distancias de centros de
ope-raci´
on.
Considere dos engranes est´andar, de paso diametral Pd, ´angulo de paso est´andar,φs y n´umero de dientes igual aN1 yN2, se tiene que, los radios de paso est´andar est´an dados por
Rps1= N1 2Pd y Rps2= N2 2Pd (1) Por lo tanto, ladistancia entre centros est´andar, Cs est´a dada por
Cs=Rps1+Rps2= N1 2Pd + N2 2Pd = (N1+N2) 2Pd
Los c´ırculos de paso a que operan estos engranes son los c´ırculos de paso est´andar o de corte y sus radios est´an dados por la ecuaci´on (1). Adem´as, el punto de paso, Ps, determinado por la intersecci´on de la l´ınea de centros con la normal com´un —la tangente a ambos radios base— es el punto de tangencia de los radios de paso est´andar.
Considere ahora que los mismos engranes se han separado una distancia ∆C, de manera que los engranes operen a una nueva distancia entre centros, conocida comodistancia entre centros de operaci´on
Co=Cs+ ∆C
Entonces, puesto que los radios base de ambos engranes permanecen invariables, la l´ınea de acci´on intersecta la l´ınea de centros en un nuevo punto de pasoPo. Los c´ırculos de paso est´andar ya no son tangentes entre s´ı. De este modo, el nuevo punto de paso Po divide la distancia entre centros en segmentos que son inversamente proporcionales a la relaci´on de velocidades angulares; es decir, al n´umero de dientes de los engranes. Estos segmentos se convierten en los radios de paso de operaci´onRp1o yRp2oy los c´ırculos correspondientes se conocen como c´ırculos de paso de operaci´on.
ω1 ω2 = N2 N1 = Rp2o Rp1o (2) Adem´as Rp1o+Rp2o=Co (3)
Figure 1: (a) Engranes est´andar; (b) Engranes separados una distancia ∆C
Resolviendo las ecuaciones (2) y (3), se tiene que
Rp1o= N1 N1+N2 Co y Rp2o= N2 N1+N2 Co (4)
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Angulo de presi´
´
on de operaci´
on.
El cambio de la distancia entre centros ocasiona tambi´en un cambio en el ´angulo de presi´on del engranaje. De la figura 1, se tiene que
Rp1s= Rb1 cos φs y Rp2s= Rb2 cos φs de modo que Cs=Rp1s+Rp2s= Rb1+Rb2 cos φs (5) De manera semejante, puesto que losradios base de ambos engranes permanecen invariables
Rp1o= Rb1 cos φo y Rp2o= Rb2 cos φo de modo que Co=Rp1o+Rp20= Rb1+Rb2 cos φo (6) De manera que igualando la suma de los radios base de las ecuaciones (5) y (6), se tiene que
Rb1+Rb2=Cscos φs=Cocos φo
Adem´as del cambio en los c´ırculos de paso, el ´angulo de presi´on tambi´en aumenta. El ´anguloφose conoce como el´angulo de presi´on de operaci´on y es mayor que el ´angulo de presi´on de corte o est´andarφs.
cosφo= Cs Co cosφs (7) De manera que ∆C=Co−Cs=Cs cos φs cos φo− Cs=Cs cosφs cosφo − 1 (8)
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Espesores de los dientes en los radios de paso.
Con el objeto de que la pareja de engranes operen a la nueva distancia entre centros se hace necesario que durante el corte de los engranes, la herramienta de corte se “retire” del disco, en ingl´esblank, de manera que los espesores de los dientes en los radios de paso est´andar,tpc1ytpc2, que se supone son iguales a los radios
de paso de corte est´an dados por, vea la figura 2,
tpc1=
pc
2 + 2e1tan φs tpc2=
pc
2 + 2e2tan φs (9) dondee1 ye2son las distancias que la herramienta de corte se retira de los radios est´andar de los engranes
que se van a cortar y φs es el ´angulo de presi´on est´andar. Las distancias e1 y e2 son positivas cuando la
herramienta de corte se “retira”, como ocurrir´a siempre para engranes con distancia de centros extendida, y es negativa cuando la herramienta de corte se “acerca”.
Figure 2: Espesor del diente en el radio de paso de corte.
El objetivo del resto de esta secci´on es determinar una ecuaci´on que permita relacionar las distanciase1
ye2 con los cambios de la distancia entre centros o con los cambios en el ´angulo de presi´on est´andar. Para
ese f´ın se utilizar´a la relaci´on entre los espesores del diente para diferentes valores del radio del diente; en este caso los radios de paso est´andar y los radios de paso de operaci´on.
Para cualesquiera de los dos engranes, se tiene que la suma de los espesores de los dientes en los radios de paso de operaci´on, debe ser igual al paso circular, de operaci´on, de manera que
2Rp1o tpc1 2Rp1s + (inv φs−inv φo) + 2Rp2o tpc2 2Rp2s + (inv φs−inv φo) = 2π Rp1o N1 =2π Rp2o N2 (10) Dividiendo la ecuaci´on (10) entre 2Rp1o, se tiene que
tpc1 2Rp1s + (inv φs−inv φo) + Rp2o Rp1o tpc2 2Rp2s + (inv φs−inv φo) = 2π Rp1o 2Rp1oN1 = π N1 o tpc1 2Rp1s +Rp2o Rp1o tpc2 2Rp2s = π N1 −(inv φs−inv φo) 1 + Rp2o Rp1o (11) Sin embargo, se sabe que
Rp2o
Rp1o =N2
N1
de manera que sustituyendo esta relaci´on en la ecuaci´on (11), se tiene que
tpc1 2Rp1s +N2 N1 tpc2 2Rp2s = π N1 −(inv φs−inv φo) 1 + N2 N1
Adem´as, los radios de paso est´andar est´an dados por Rp1s= N1 2Pd Rp2s= N2 2Pd de manera que tpc1 2 N1 2Pd +N2 N1 tpc2 2 N2 2Pd = π N1 −(inv φs−inv φo) N 1+N2 N1 (12) Multiplicando la ecuaci´on (12) porN1 y simplificando se tiene que
tpc1Pd+tpc2Pd=π−(inv φs−inv φo) [N1+N2] o tpc1+tpc2= π Pd − (inv φs−inv φo) N1+N2 Pd (13) Recordando la definici´on de paso circular est´andar, se tiene que
pc= 2π Rp1s N1 = π Dp1s N1 = π N1/Dp1s = π Pd
por otro lado de la ecuaci´on (9) acerca de los espesores de los dientes, se tiene que sustituyendo estos resultados en la ecuaci´on (13), se tiene que
pc
2 + 2e1tan φs+
pc
2 + 2e2tan φs=pc−(inv φs−inv φo)
N1+N2 Pd y reduciendo la ecuaci´on e1+e2= (inv φo−inv φs) (N1+N2) 2tan φsPd (14) e1+e2= m(inv φo−inv φs) (N1+N2) 2tan φs (15) La ecuaci´on (14)(15)permite determinar la suma de las distancias e1+e2 que la herramienta de corte
debe retirarse de los discos para que la distancia entre centros entre los engranes sea Co y el ´angulo de presi´on de operaci´on del engranaje seaφo.
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Determinaci´
on de los radios de adendo de los engranes con
dis-tancia de centros extendida.
Finalmente, en esta secci´on se determinar´an los radios de adendo de los engranes dise˜nados con una distancia de centros extendida. El primer punto es que los radios de paso de operaci´on de los enganes est´an dados por, vea la figura 3,
Ro1=Rp1o+a=Co−Rp2o+a Ro2=Rp2o+a=Co−Rp1o+a dondeaes el adendo que est´a asignado por el est´andar correspondiente y est´a dado por
a= k
Pd
dondekes la constante indicada por el est´andar correspondiente. Sin embargo los radios de paso de operaci´on est´an dadas por
Rp1o=Rp1s+e1 Rp2o=Rp2s+e2
Por lo tanto, los radios de adendo de los engranes est´a dado por
Ro1=Co−(Rp2s+e2) + k Pd Ro2=Co−(Rp1s+e1) + k Pd (16) Finalmente, es necesario calcular la profundidad de corte que la herramienta de corte debe realizar sobre los discos de los engranes