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Mecanica del Medio Continuo (Modelos Constitutivos)

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(1)

Nomenclature III

EDUARDO WALTER VIEIRA CHAVES

Mecanica del Medio Continuo

(Modelos

Constitutivos)

(2)

Este libro es la continuación natural del libro Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos

(Vol.1). En este nuevo volumen Mecánica del Medio Continuo: Modelos Constitutivos se trata el

planteamiento y desarrollo de varias ecuaciones constitutivas que se pueden encontrar en la

literatura y que se desarrollan dentro del ámbito de la Hiperelásticidad, Plasticidad (en

pequeñas y grandes deformaciones), Viscoelasticidad, Termoelasticidad, Termoplasticidad

(Pequeñas y grandes deformaciones), Mecánica del Daño y Fluidos.

El libro está dirigido tanto a alumnos de doctorado como a investigadores, presentando un

detalle minucioso a la hora de las demostraciones de las expresiones con la finalidad de

proporcionar al lector las herramientas necesarias para la extensión de los modelos

constitutivos aquí presentados, a otros modelos más complejos. En lo que respecta a la

notación, el desarrollo de las expresiones y ecuaciones se presentan en notación tensorial e

indicial.

Finalmente, querría expresar mi mayor gratitud a Inmaculada Gallego por su paciencia a la

hora de la revisión del texto. También quisiera agradecer al Prof. Xavier Oliver, Prof.

Sergio Oller, Guillaume Houzeaux y a Mariano Vázquez sus más que oportunos

comentarios.

Eduardo W. V. Chaves

Ciudad Real, 03 de marzo de 2009.

(3)

Contenido PRESENTACIÓN...V CONTENIDO...VII NOMENCLATURA...XIII ABREVIATURAS...XVII OPERADORES...XVIII UNIDADES... XIX INTRODUCCIÓN... 1 1 PRINCIPIOS CONSTITUTIVOS...2

1.1 El Principio del Determinismo...3

1.2 El Principio de la Acción Local ...3

1.3 El Principio de Equipresencia...3

1.4 El Principio de la Objetividad...3

1.5 El Principio de la Disipación...4

2 CARACTERIZACIÓN DE LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS PARA UN MATERIAL SIMPLE ...4

3 CARACTERIZACIÓN DE LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS PARA UN MATERIAL TERMOVISCOELÁSTICO...11

4 ECUACIONES CONSTITUTIVAS CON VARIABLES INTERNAS...15

5 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO INICIAL (PVCI) Y LA MECÁNICA COMPUTACIONAL...17

6CONTENIDO DEL LIBRO...19

APÉNDICE A.PROPIEDADES MECÁNICAS... 21

A.1 COMPORTAMIENTO DE LOS SÓLIDOS...21

A.1.1 Efecto de la Temperatura ...25

A.1.2 Ensayos y Propiedades Mecánicas del Material ...25

A.1.2.1 Ensayo de Tracción Simple...25

A.1.2.2 Ensayo Brasileño...30

A.1.2.3 Ensayo de Compresión Simple...30

A.1.2.4 Ensayo de Compresión Triaxial ...32

A.2 COMPORTAMIENTO DE LOS FLUIDOS...35

A.2.1 Viscosidad ...36

A.3 MATERIALES VISCOELÁSTICOS...37

1HIPERELASTICIDAD... 39

1.1INTRODUCCIÓN...39

1.2 ECUACIÓN CONSTITUTIVA...40

1.2.1 Tensores Constitutivos Tangentes Elásticos...44

1.2.1.1 Tensor Constitutivo Tangente Elástico en la Configuración Material...44

1.2.1.2 Tensor Constitutivo Tangente Elástico en la Configuración Actual...45

1.2.1.3 Tensor Constitutivo Tangente Elástico Instantáneo ...47

1.2.1.4 Pseudo-Tensor Constitutivo Tangente Elástico...48

Contenido

(4)

1.3 MATERIAL HIPERELÁSTICO ISÓTROPO... 51

1.3.1 Ecuación Constitutiva en Función de los Invariantes... 51

1.3.1.1 Ecuación Constitutiva en Función de C y b ... 51

1.3.1.2 Ecuación Constitutiva en Función de E ... 54

1.3.2 Expansión en Serie del Potencial Elástico... 54

1.3.3 Ecuación Constitutiva en Función de los Estiramientos Principales... 55

1.4 ELASTICIDAD... 59

1.4.1 Linealización de las Ecuaciones Constitutivas... 60

1.4.2 Elasticidad Lineal... 62

1.5 MATERIAL COMPRESIBLE... 62

1.5.1 Tensores de Tensiones ... 64

1.5.2 Material Hiperelástico Compresible Isótropo... 67

1.5.2.1 Material Hiperelástico Compresible Isótropo en Función de los Invariantes.... 70

1.6 MATERIAL INCOMPRESIBLE... 71

1.6.1 Interpretación Geométrica... 73

1.6.2 Material Hiperelástico Incompresible Isótropo... 74

1.6.2.1 Expansión en Serie del Potencial Elástico para Material Hiperelástico Incompresible Isótropo... 75

1.7 EJEMPLOS DE MODELOS HIPERELÁSTICOS... 76

1.7.1 Modelo de Sólido Neo-Hookeano... 76

1.7.2 Modelo Tipo-Goma de Ogden ... 76

1.7.2.1 Modelo Tipo-Goma de Ogden Incompresible ... 76

1.7.2.2 Modelo de Hadamard... 77

1.7.3 Modelo de Mooney-Rivlin ... 78

1.7.3.1 Energía Libre de Helmholtz ... 78

1.7.3.2 Tensor de Tensiones... 78

1.7.4 Modelo de Yeoh ... 79

1.7.4.1 Energía Libre de Helmholtz ... 79

1.7.4.2 Tensor de Tensiones... 79

1.7.5 Modelo de Arruda-Boyce... 79

1.7.6 Modelo de Blatz-Ko... 80

1.7.7 Modelo de Saint-Venant-Kirchhoff... 80

1.7.7.1 Energía Libre de Helmholtz ... 80

1.7.7.2 Tensor de Tensiones... 81

1.7.7.3 Tensor Constitutivo Tangente Elástico... 81

1.7.8 Modelo Neo-Hookeano Compresible... 82

1.7.8.1 Energía Libre de Helmholtz ... 82

1.7.8.2 Tensores de Tensiones ...82

1.7.8.3 Tensor Constitutivo Tangente Elástico... 83

1.7.9 Modelo de Gent... 85

1.7.10 Modelos Estadísticos ... 86

1.7.11 Modelo de 8 Parámetros ... 87

1.7.12 Modelo de Jamus-Green-Simpson... 88

1.7.12.1 Función Energía de Deformación de Jamus-Green-Simpson ... 88

1.7.12.2 Ejemplo Uniaxial ... 88

1.8 HIPERELASTICIDAD ANISÓTROPA... 90

1.8.1 Material Transversalmente Isótropo... 90

APÉNDICE B.DEMOSTRACIÓN DE LOS MODELOS DE 8PARÁMETROS Y ESTADÍSTICO... 93

B.1 MODELOS ESTADÍSTICOS... 93

B.1.1 Función de Energía... 93

B.1.2 Tensor de Tensión... 94

B.1.3 Tensor Constitutivo Tangente... 95

B.1.3.1 Resumen del Modelo Estadístico ... 97

B.2 MODELOS DE 8 PARÁMETROS... 99

(5)

CONTENIDO IX

B.2.2 Tensor de Tensiones...99

B.2.3 Tensor Constitutivo Tangente ...100

B.2.4 Resumen del Modelo de 8 Parámetros ...106

2PLASTICIDAD...109

2.1INTRODUCCIÓN...109

2.2 COMPORTAMIENTO DE SÓLIDO CON DEFORMACIÓN PLÁSTICA...111

2.3SUPERFICIE DE FLUENCIA.CRITERIO DE FLUENCIA...112

2.3.1 Superficie de Fluencia para Materiales Anisótropos...112

2.3.1.1 Gradiente de la Superficie de Fluencia ...112

2.3.2 Superficie de Fluencia para Materiales Isótropos ...113

2.3.3 Criterio de Fluencia para Materiales Independientes de la Presión Hidrostática ...116

2.3.3.1 Criterio de von Mises ...116

2.3.3.2 Criterio de Tresca...121

2.3.4 Criterio de Fluencia para Materiales Sensibles a la Presión Hidrostática...125

2.3.4.1 Criterio de Mohr-Coulomb ...125

2.3.4.2 Criterio de Drucker-Prager...129

2.3.4.3 Criterio de Rankine...134

2.3.5 Superficie de Fluencia después de la Plastificación ...137

2.4 MODELOS DE PLASTICIDAD EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES. CASO UNIDIMENSIONAL...141

2.4.1 Plasticidad Independiente de la Tasa en 1D...141

2.4.1.1 Comportamiento Elastoplástico Perfecto...141

2.4.1.2 Comportamiento Elastoplástico con Endurecimiento Isótropo...145

2.4.1.3 Comportamiento Elastoplástico con Endurecimiento Cinemático...151

2.4.1.4 Comportamiento Elastoplástico con Endurecimiento Isótropo y Cinemático ...154

2.5 PLASTICIDAD EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES (TEORÍA CLÁSICA DE PLASTICIDAD) ...155

2.5.1 Tensor de Deformación. Ley Constitutiva ...156

2.5.2 Energía Libre de Helmholtz...156

2.5.3 Disipación de Energía. Evolución de las Variables Internas ...157

2.5.4 Tensor Constitutivo Tangente Elastoplástico ...159

2.5.5 Teoría Clásica de Flujo J2 ...164

2.5.5.1 Plasticidad Perfecta...164

2.5.5.2 Plasticidad con Endurecimiento Cinemático e Isótropo...166

2.6TEORÍA DEL POTENCIAL PLÁSTICO...168

2.7 PLASTICIDAD EN DEFORMACIÓN FINITA...172

2.8 PLASTICIDAD EN DEFORMACIÓN FINITA BASADA EN LA DESCOMPOSICIÓN MULTIPLICATIVA DEL GRADIENTE DE DEFORMACIÓN...173

2.8.1 Relaciones Cinemáticas ...173

2.8.1.1 Tensores de Deformación ...174

2.8.1.2 Deformaciones de los Diferenciales de Área y de Volumen ...180

2.8.1.3 Tensor Gradiente Espacial de Velocidad...182

2.8.1.4 Tasa de Oldroyd...185

2.8.1.5 Tasa de Cotter-Rivlin...186

2.8.2 Tensores de Tensiones...188

2.8.2.1 Tasa de Tensores de Tensiones ...190

2.8.3 Energía Libre de Helmholtz...190

2.8.3.1 Desacoplamiento de la Energía Libre de Helmholtz ...191

2.8.3.2 Principio de Objetividad para la Energía Libre de Helmholtz ...191

2.8.3.3 Función Energía Libre Isótropa ...192

2.8.3.4 Tasa de la Energía Libre Isótropa ...192

2.8.4 Potencial Plástico y Criterio de Fluencia ...195

2.8.5 Disipación. Ecuaciones Constitutivas...195

2.8.6 Evolución de las Variables Internas...196

(6)

2.8.7.1 Tensor Tangente Elastoplástico...199

2.8.8 Modelo Hiperelastoplástico con Función de Fluencia de von Mises...202

2.8.8.1 Energía Libre de Helmholtz ...202

2.8.8.2 Tensor de Tensiones ...202

2.8.8.3 Formulación Considerando la Transformación Fp como una Transformación Isocórica ...204

2.8.8.4 Tasa de la Energía Libre ...205

2.8.8.5 Criterio de Fluencia. Evolución de las Variables Internas ...206

3TERMOELASTICIDAD.TERMOPLASTICIDAD...209

3.1 PROCESO REVERSIBLE...209

3.1.1 Energía Interna Específica...210

3.1.2 Energía Libre de Helmholtz ...210

3.1.3 Energía Libre de Gibbs ...212

3.1.4 Entalpía ...212

3.1.5 Proceso Isotérmico e Isentrópico...214

3.1.6 Calor Específico y Tensor Calor Latente...215

3.2TERMOELASTICIDAD LINEAL...218

3.2.1 Linealización de las Ecuaciones Constitutivas...218

3.2.1.1 Linealización del Primer Tensor de Tensiones de Piola-Kirchhoff...219

3.2.1.2 Linealización del Flujo de Calor...221

3.2.1.3 Linealización de la Entropía ...222

3.2.1.4 Linealización de la Energía Libre de Helmholtz ...222

3.2.1.5 Ecuaciones Constitutivas Linealizadas...223

3.2.1.6 Termoelasticidad Lineal en el Régimen de Pequeñas Deformaciones ...223

3.2.1.7 Termoelasticidad Lineal para Sólido Elástico, Lineal e Isótropo en el Régimen de Pequeñas Deformaciones...225

3.3 PROBLEMA TERMO-MECÁNICO DESACOPLADO EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES...228

3.3.1 Problema Puramente Térmico ...230

3.3.1.1 Condiciones de Contorno e Iniciales ...231

3.3.2 Problema Puramente Mecánico ...232

3.3.2.1 Ecuaciones de Gobierno...233

3.3.2.2 Condiciones de Contorno e Iniciales ...233

3.4TEORÍA CLÁSICA DE TERMOELASTICIDAD EN DEFORMACIÓN FINITA...234

3.4.1 Ecuación del Flujo de Calor Acoplado ...235

3.4.2 Energía Libre de Helmholtz ...238

3.5 TERMOELASTICIDAD CON DESCOMPOSICIÓN MULTIPLICATIVA DEL GRADIENTE DE DEFORMACIÓN...240

3.5.1 Tensores de Deformación...241

3.5.2 Tensores de Tensiones ...242

3.5.3 Diferencial de Área y de Volumen...243

3.5.4 Particularización a un Material Isótropo...245

3.5.5 Energía Libre de Helmholtz. Ecuaciones Constitutivas ...247

3.5.5.1 Ecuaciones Constitutivas de Tensión ...248

3.5.5.2 Ecuación Constitutiva de Entropía ...250

3.6TERMOPLASTICIDAD EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES...253

3.6.1 Energía Libre de Helmholtz ...253

3.6.2 Disipación de Energía...253

4FLUIDOS...257

4.1 INTRODUCCIÓN...257

4.2FLUIDO EN REPOSO Y EN MOVIMIENTO...258

4.2.1 Fluido en Reposo...258

4.2.2 Fluido en Movimiento ...259

4.3 FLUIDO VISCOSO Y NO VISCOSO...260

(7)

CONTENIDO XI

4.3.2 Fluido Viscoso...260

4.4FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO...261

4.5 CASOS PARTICULARES DE FLUIDOS...262

4.5.1 Fluidos Incompresibles...262 4.5.1 Representación de la Aceleración...262 4.5.2 Fluido Irrotacional...263 4.5.3 Flujo Estacionario...264 4.6 FLUIDO NEWTONIANO...265 4.6.1 Condición de Stokes...268

4.7 POTENCIA TENSIONAL. POTENCIA DISIPADA. POTENCIA RECUPERABLE...269

4.8ECUACIONES BÁSICAS DE LOS FLUIDOS NEWTONIANOS...270

4.8.1 Ecuación de Movimiento de Navier-Stokes-Duhem...272

4.8.1.1 Forma Alternativa de las Ecuaciones Básicas para Fluidos Newtonianos ...273

4.8.1.2 Ecuaciones Básicas para Fluidos Newtonianos Incompresibles...273

4.8.2 Ecuación de Movimiento de Navier-Stokes...274

4.8.3 Ecuación de Movimiento de Euler ...274

4.8.3.1 Fluidos Perfectos e Incompresible...275

4.9ECUACIÓN DE BERNOULLI...279

APÉNDICE C.VARIABLES ADIMENSIONALES... 283

C.1 VARIABLES ADIMENSIONALES...283

5VISCOELASTICIDAD... 287

5.1 INTRODUCCIÓN...287

5.2 MODELOS REOLÓGICOS PARA LA VISCOELASTICIDAD...291

5.3MODELOS VISCOELÁSTICOS...292

5.3.1 Modelo de Maxwell ...293

5.3.2 Modelo de Kelvin ...295

5.3.3 Modelo de Burgers...298

5.4 GENERALIZACIÓN DE LOS MODELOS DE MAXWELL Y KELVIN...302

5.4.1 Generalización del Modelos de Maxwell en Serie ...302

5.4.2 Generalización del Modelo de Kelvin en Paralelo ...303

5.4.3 Generalización del Modelo de Maxwell en Paralelo...304

5.4.4 Generalización del Modelo de Kelvin en Serie...305

5.5FORMA DE OPERADOR DIFERENCIAL DE LA LEY CONSTITUTIVA...306

5.6 REPRESENTACIÓN INTEGRAL DE LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS VISCOELÁSTICAS...308

5.6.1 Función de Fluencia Lenta...308

5.6.2 Función de Relajación...309

5.6.3 Principio de la Superposición de Boltzmann. Representación Integral ...310

5.6.4 Relación entre la Función de Fluencia Lenta y la Función de Relajación...313

5.7 GENERALIZACIÓN DE LA REPRESENTACIÓN INTEGRAL A TRES DIMENSIONES...314

5.8PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO INICIAL.PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA...317

6MECÁNICA DEL DAÑO CONTINUO...319

6.1 INTRODUCCIÓN...319

6.2MODELO DE DAÑO ISÓTROPO EN DEFORMACIÓN INFINITESIMAL...320

6.2.1 Descripción del Modelo de Daño Isótropo en Una Dimensión...320

6.2.1.1 Ecuación Constitutiva...321

6.2.2 Modelo de Daño Isótropo en Tres Dimensiones...322

6.2.2.1 Energía Libre de Helmholtz...323

6.2.2.2 Disipación de Energía Interna y Ley Constitutiva ...323

6.2.2.3 “Ingredientes” del Modelo de Daño ...327

6.2.2.4 Ley de Ablandamiento/Endurecimiento...333

6.2.3 Tensor Constitutivo Tangente de Daño Isótropo...335

6.2.4 Las Normas...338

(8)

6.2.4.2 Modelo de Daño “Sólo Tracción” – Modelo II...339

6.2.4.3 Modelo de Daño no Simétrico – Modelo III ...340

6.3DAÑO ISÓTROPO GENERALIZADO...342

6.3.1 Energía Libre de Helmholtz ...343

6.3.2 Tensiones Efectivas Esférica y Desviadora...344

6.3.3 Consideraciones Termodinámicas ...344

6.3.4 Tensor Constitutivo Tangente de Daño...345

6.4MODELO DE DAÑO-PLÁSTICO EN DEFORMACIÓN INFINITESIMAL...348

6.4.1 Modelo de Daño-Plástico de Simó&Ju (1987) en Pequeñas Deformaciones...349

6.4.1.1 Energía Libre de Helmholtz ...349

6.4.1.2 Disipación de Energía. Ecuación Constitutiva. Consideraciones Termodinámicas...349

6.4.1.3 Caracterización del Daño...350

6.4.1.4 Tensor Constitutivo Tangente de Daño...351

6.4.1.5 Caracterización de la Respuesta Plástica. Tensor Constitutivo Tangente Daño-Plástico...352

6.5MODELO DE DAÑO-PLÁSTICO DEL TIPO TRACCIÓN–COMPRESIÓN...355

6.5.1 Energía Libre de Helmholtz ...355

6.5.2 Caracterización del Daño ...357

6.5.3 Evolución de la Variable de Daño...358

6.5.4 Evolución del Tensor de Deformación Plástica...359

6.5.5 Disipación de Energía Interna...360

6.6DAÑO EN DEFORMACIÓN FINITA...363

6.6.1 Modelo Unidimensional de Gurtin & Francis ...363

6.6.2 Modelo de Daño Elástico en 3D Independiente de la Tasa...364

6.6.3 Variable de Daño. Evolución del Daño...365

6.6.4 Modelo de Daño-Plástico de Simó & Ju (1989) ...365

6.6.4.1 Energía Libre de Helmholtz ...365

6.6.4.2 Disipación de Energía. Ecuación Constitutiva. Consideraciones Termodinámicas...366

6.6.4.3 Caracterización del Daño...368

6.6.4.4 Tensor Constitutivo Tangente de Daño...368

6.6.4.5 Caracterización de la Respuesta Plástica. Tensor Constitutivo Tangente de Elastoplástico Efectivo ...369

6.6.4.6 Tensor Constitutivo Tangente Daño-Plástico...370

6.6.5 Modelo de Daño-Plástico Ju(1989) ...371

6.6.5.1 Energía Libre de Helmholtz ...371

6.6.5.2 Disipación de Energía. Ecuación Constitutiva. Consideraciones Termodinámicas...371

6.6.5.3 Caracterización del Daño. Tensor Constitutivo Tangente de Daño...373

6.6.5.4 Tensor Constitutivo Tangente de Daño...373

6.6.5.5 Caracterización de la Respuesta Plástica. Tensor Constitutivo Tangente Elastoplástico. ...374

6.6.5.6 Tensor Constitutivo Tangente de Daño-Plástico...376

BIBLIOGRAFÍA...379

(9)

Introducción

Matemáticamente el propósito de las ecuaciones constitutivas es establecer conexiones

entre los campos cinemático, térmico y mecánico. Resumimos a continuación las

ecuaciones obtenidas de las leyes fundamentales de la mecánica del medio continuo:

Ecuaciones Básicas de la Mecánica del Medio Continuo

(Configuración Actual)

Ecuación de Continuidad

(Principio de la conservación de la masa)

+ ( x

v)=0 r r ∇

ρ

ρ

Dt D

(1)

Ecuaciones de Movimiento

(Principio de la conservación del momento

lineal)

v x &r r r

σ+

ρ

b=

ρ

(2)

Simetría del Tensor de Tensiones de

Cauchy

(Principio de la conservación del momento

angular)

T σ

σ=

(3)

Ecuación de Energía

(Principio de la conservación de la Energía)

ρ

u=σ D

q+

ρ

r r & :xr

(4)

Desigualdad de Entropía

(Principio de la Irreversibilidad)

0 1 1 1 ) , ( + − − 2

TT u T T t x xr & r r

&

σ D

ρ

q

η

ρ

:

(5)

Ecuaciones Básicas de la Mecánica del Medio Continuo

(Configuración de Referencia)

Ecuación de Continuidad

(J

ρ

)=0 Dt D

(6)

Ecuaciones de Movimiento

(

F

)

V V X X &r r &r r r r 0 0 0 0 0 0

ρ

ρ

ρ

ρ

= + = +

b S b P ∇ ∇

(7)

Introduccion

´

(10)

Figura 1: Movimiento de cuerpo rígido.

1.5

El Principio de la Disipación

Las ecuaciones constitutivas deben cumplir la desigualdad de entropía para todo proceso

termodinámicamente admisible.

2 Caracterización de las Ecuaciones

Constitutivas para un Material Simple

Para un material termoelástico simple, las variables de estado son: el gradiente de

deformación

F(Xr,t)

, la temperatura

T

y el gradiente de temperatura

XrT

. Asumimos

que

ψ

,

η

,

q0 r

y

P

(configuración de referencia) son determinados por la historia de

F

,

T

y

XrT

, y por sus valores actuales, por el Principio del Determinismo y por el Principio

de la Acción Local. Estas cantidades vienen expresadas a través de un conjunto de

Funcionales:

) , , , ( ˆ ) ( ) , , , ( ˆ ) ( ) , , , ( ) ( ) , , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

ˆ

ˆ

τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ = = = = T T t T T t T T t T T t X X X X F X F X F X F X r r r r r r r r r r ∇ ∇ ∇ ∇ P P q q

η

η

ψ

ψ

(11)

donde

(τ)

representa la historia de

, hasta el tiempo actual

t

, siendo

τt

. Además

verificamos que

ψˆ

,

ηˆ

son funcionales de valor-escalar,

q

es un funcional de valor-vector

y

Pˆ

es un funcional de valor-tensor de segundo orden. Teniendo en cuenta el Principio de

la Disipación, la desigualdad de Clausius-Duhem debe ser satisfecha para todo proceso

termodinámico.

Para un sistema homogéneo los funcionales descritos en (11) serán independientes de

Xr

:

σ σ B *

B

observador X xr* =cr(t)+Q(t)

r

(11)

INTRODUCCIÓN 5 ) , , ( ˆ ) ( ) , , ( ˆ ) ( ) , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

ˆ

ˆ

τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ = = = = T T t T T t T T t T T t X X X X F F F F r r r r r r ∇ ∇ ∇ ∇ P P q q

η

η

ψ

ψ

Respuesta de un material

termoelástico simple

homogéneo

(12)

NOTA:

Las funciones con sombrero

•ˆ

(funcionales) son distintas de las funciones que

están a la izquierda de la igualdad, es decir,

•ˆ

proporciona el valor actual de

•(t)

teniendo

en cuenta toda la historia de los argumentos de

•ˆ

.

Según el principio de objetividad las ecuaciones constitutivas deben ser invariantes bajo un

movimiento de cuerpo rígido del material en un intervalo dado de tiempo. Luego, las

ecuaciones constitutivas deben cumplir que:

) , , ( ˆ ) ( ) , , ( ˆ ) ( ) , , ( ) ( ) , , ( ) ( * ) ( ) ( * ) ( * * ) ( ) ( * ) ( * 0 * 0 * ) ( ) ( * ) ( * ) ( ) ( * ) (

ˆ

ˆ

τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ = = = = T T t T T t T T t T T t X X X X F F F F r r r r r r ∇ ∇ ∇ ∇ P P q q

η

η

ψ

ψ

(13)

donde

*

representa el tensor bajo la ley de transformación entre los dos sistemas, ver

Objetividad de Tensores -Vol.1.

Consideremos la tasa de la energía libre de Helmholtz (11):

.

: T T T T T T X X F F F r r & & & ∇ ∇ ∇

∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⇒ = ψ ψ ψ ψ ψ ψ ( , , )

(14)

La desigualdad de entropía, en la configuración de referencia, fue obtenida en el capítulo

4-Vol.1, como:

[

]

1 0 0 0 + − ≥ −

T T T X

F&

&

& qr ∇r

P:

ρ

ψ

η

(15)

donde

ψ

es la energía libre de Helmholtz (por unidad de masa),

η

es la entropía específica

(por unidad de masa), y

P

es el primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff.

Reemplazando (14) en la desigualdad de entropía (15) obtenemos que:

0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 ≥ − ∂ ∂ −     + ∂ ∂ −     ∂ ∂ − ⇒ ≥ −     + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ −

T T T T T T T T T T T T T X X F F F F F r r r & & r & & & & ∇ ∇ ∇ ∇ ∇ ∇ q P q P

.

.

: : :

ψ

ρ

η

ψ

ρ

ψ

ρ

η

ψ

ψ

ψ

ρ

(16)

(12)

Podemos expresar las ecuaciones constitutivas en la configuración actual (deformada),

teniendo en cuenta que el Primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff está relacionado

con el tensor de tensiones de Cauchy (

T

J

F = P σ 1

):

T T T T T T T J J T F F F F F F F F F F F F

∂ ∂ = ⇒ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ⇒ ∂ ∂ = ) , ( ) , ( ) , ( 1 1 ) , ( 0 0 0 0

ψ

ρ

ψ

ρ

ρ

ρ

ψ

ρ

ψ

ρ

σ P P

(34)

Además teniendo en cuenta que se cumple la relación

=J

FT =J

FT 0 1

0 q q q

qr r r r

. De

esta manera expresamos las ecuaciones constitutivas en la configuración actual como:

) , , ( ) , , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 0 1 0 1 T T J T T J T T T T T T T X X F F F F F F F F F F r r r r r ∇ ∇ q q q σ

− − = = ∂ ∂ − = ∂ ∂ = = ψ η ψ ρ ψ ψ

Ecuaciones constitutivas para un

material termoelástico simple

(Configuración actual)

(35)

Figura 2: Descomposición polar por la derecha.

Xr xr Xr

U

U R

= F

configuración de

referencia

configuración

actual

0 B

B

B

R

Q RT = ) , (F T ψ ψ= 1 − U ) , (UT ψ ψ= ) , ( ) , (

ˆ

ˆ

T T E C

ψ

ψ

ψ

ψ

= = S E C, σ J =

τ

e b,

(13)

INTRODUCCIÓN 11

[

]

[

]

T T T T T J T T J T T J U R Q U R Q q Q Q Q q Q q q

− − − = = = ) , , ( ) , , ( ) , , ( 0 1 0 1 * * * * * 0 1 * X X X F F F F r r r r r r r ∇ ∇ ∇

(40)

Adoptando que

Q=RT

, y considerando la simetría del tensor

U=UT

, resulta:

[

]

[

]

F X X X X X

− − − − − = = = = = ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 * T T J T T J T T J T T J T T J T T T T T T r r r r r r r r r r r ∇ ∇ ∇ ∇ ∇ U q U R U q U U q R U R R U R R q R U R Q U R Q q Q q

(41)

Luego, para cumplir el principio de la objetividad las ecuaciones constitutivas pueden ser

expresadas como:

F C F C C F C C F C X X

− − = = ∂ ∂ − = ∂ ∂ = = ) , , ( ) , , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 ) , ( 0 1 0 1 T T J T T J T T T T T T r r r r r q U q q σ

ψ

η

ψ

ρ

ψ

ψ

Ecuaciones constitutivas para un

material termoelástico simple

(Configuración actual)

(42)

3 Caracterización de las Ecuaciones

Constitutivas para un Material

Termoviscoelástico

Consideremos un material, Romano

et al.

(2006), que tenga el siguiente comportamiento:

!

Su estado de tensión depende de la deformación local (

F

) y de la temperatura (

T

);

!

Fenómeno de disipación (fricción interna) surge cuando una parte del sistema está

en movimiento relativo de corte con otra parte del sistema. En este caso, la

respuesta del material dependerá del gradiente espacial de la velocidad

(

v(x, ) =F

F−1

xrr r t l &

) y de la temperatura (

T

).

Observemos ahora que los funcionales dependerán también de la historia de

F&

:

) , , , ( ˆ ) ( ) , , , ( ˆ ) ( ) , , , ( ) ( ) , , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

ˆ

ˆ

τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ = = = = T T t T T t T T t T T t X X X X F F F F F F F F r r r r & & r r & & ∇ ∇ ∇ ∇ P P q q

η

η

ψ

ψ

(43)

(14)

F E E F E E F E E F E E F E X X

= = ∂ ∂ − = ∂ ∂ = = ) , , , ( ˆ ) , , , ( 1 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 0 ) ( ) ( ) (

ˆ

T T T T J T T T T T T d d T e r r & & ∇ ∇ q q S σ σ

ψ

η

ψ

ρ

ψ

ψ

Ecuaciones constitutivas para un

material termoelástico simple

(Configuración actual)

(61)

con

C& =E& =FT

D

F 2

1

.

4 Ecuaciones Constitutivas con Variables

Internas

Las ecuaciones constitutivas (11), escritas en términos de Funcionales de la historias de

F

,

T

y

XrT

, son muy generales. Una alternativa eficaz al del Funcional basado en la historia

es adoptar la denominada “

termodinámica con variables internas

”.

Este método postula que el estado actual de un sólido inelástico deformado puede ser

determinado por los valores actuales de

F

,

T

y

XrT

y por un conjunto de variables

internas

αi

. La historia de deformación está indirectamente incluida en la evolución de las

variables internas. De esta forma, las ecuaciones constitutivas quedan definidas por:

) , , , ( ) , , , ( ) , , , ( ) , , , ( 0 0 i i i i T T T T T T T T α α α α X X X X F F F F r r r r r r ∇ ∇ ∇ ∇ P P q q = = = = η η ψ ψ

(62)

donde

αi

,

i=1,2,L,n

, es un conjunto de

n

variables internas. Estas variables pueden ser

escalares, vectores o tensores de orden superior.

La consistencia de la teoría con variables internas junto, con la desigualdad de

Clausius-Duhem, proporcionan condiciones que deben cumplir las ecuaciones constitutivas en los

procesos que envuelven disipación de energía.

Partiendo ya del principio de que la energía libre de Helmholtz no depende del gradiente de

temperatura, la energía libre (62) viene expresada como:

) , , (F T

α

i

ψ

ψ

=

(63)

donde

αi =

{

α1,L,αn

}

son las variables internas que se deben añadir para caracterizar el

problema, éstas pueden ser escalares, vectores o tensores de orden superior. La presencia

de variables internas obliga a incluir nuevas ecuaciones en el modelo. Estas ecuaciones

adiciones, al igual que el resto de las que gobiernan el fenómeno, solo dependen del estado

termodinámico del punto en cuestión, por lo tanto son de naturaleza local.

(15)

MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO:MODELOS CONSTITUTIVOS 18

Figura 3: El modelo constitutivo dentro de la Mecánica Computacional.

Problema de Valor de Contorno Inicial

ESTRUCTURA

L

ABORATORIO

Propuesta de un

MODELO

CONSTITUTIVO

PVCI

S

OLUCIÓN

N

UMÉRICA

Datos de entrada

SI

NO

MECÁNICA COMPUTACIONAL

NO

Nueva propuesta de ensayo

Propuesta de ensayo

¿Simula de forma precisa los

ensayos de laboratorio?

Posibilidad 1

Posibilidad 2

Simulación numéric

a

¿Simula el

comportamiento real de

la estructura?

(16)

En el Apéndice A se hace una pequeña introducción al comportamiento de algunos

materiales y los ensayos más representativos, así como los parámetros mecánicos que son

obtenidos en cada ensayo.

6 Contenido del Libro

Este libro está dividido en seis capítulos. El capítulo 1 (H

IPERELASTICIDAD

) está dedicado

a modelos Hiperelásticos donde hacemos un planteamiento puramente mecánico (sin

considerar el efecto térmico ni el fenómeno de histéresis). Se hace un planteamiento

general y a continuación particularizamos a modelos más sencillos. También en este

capítulo plantearemos varios modelos hiperelásticos que podemos encontrar en la literatura

tales como: Modelo de sólido Neo-Hookeano, Modelo tipo-goma de Ogden, Modelo de

Hadarmard, Modelo de Mooney-Rivlin, Modelo de Yeoh, Modelo de Arruda-Boyce,

Modelo de Blatz-Ko, Modelo de Saint-Venant-Kirchhoff, Modelo de Gent, Modelo

Estadístico y el Modelo de 8 parámetros.

En el capítulo 2 hablamos de modelos que intentan representar el fenómeno de

P

LASTICIDAD

(sin considerar el fenómeno térmico). En este capítulo, se puede diferenciar

dos partes claras: plasticidad en pequeñas deformaciones y plasticidad en grandes

deformaciones, utilizando la descomposición multiplicativa del gradiente de deformación.

El capítulo 3 está dedicado al estudio de fenómenos térmicos:

TERMOELASTICIDAD Y

T

ERMOPLASTICIDAD

.

En el capítulo 4 entramos en el dominio de los F

LUIDOS

, donde trataremos de describir las

ecuaciones de gobierno de los fluidos Newtonianos.

Una vez ya conocida la problemática de sólidos elásticos y de fluidos, en el capítulo 5

(V

ISCOELASTICIDAD

) damos introducción a una nueva clase de material, que presenta las

características de los sólidos y de los fluidos simultáneamente: los materiales viscoelásticos.

En el capítulo 6 introducimos los modelos que están relacionados con la M

ECÁNICA DEL

D

AÑO

C

ONTINUO

.

(17)

A.

Propiedades Mecánicas

A.1 Comportamiento de los Sólidos

En 1660, el investigador inglés Robert Hooke descubrió que para muchos materiales

(sólidos) los desplazamientos eran proporcionales a la fuerza aplicada, estableciendo así la

noción de elasticidad (lineal), pero no en el sentido de tensión-deformación. Dicha obra

sólo fue publicada en 1678. Fue el suizo matemático Jacob Bernoulli quien observó que la

manera adecuada de describir el cambio de longitud era proporcionando una fuerza por

unidad de área (tensión), como una función del alargamiento por unidad de longitud

(deformación), ver Figura A.1.

Figura A.1: Relación tensión-deformación.

Propiedades

Mecanicas

´

A

Apendice

´

fuerza/momento tensión deformación desplazamiento Ley constitutiva σ ε

(18)

Dependiendo de la relación constitutiva, los fluidos pueden ser clasificados como:

!

Fluido Newtoniano

Un fluido Newtoniano se caracteriza por presentar una relación lineal de la tensión

tangencial viscosa con el tensor tasa de deformación. Como ejemplo de fluidos

Newtonianos podemos citar: agua, aceite, que obedecen la ley de fluido

Newtoniano incompresible.

!

Fluido No-Newtoniano (Stokesianos)

Un fluido No-Newtoniano se caracteriza por presentar una relación no lineal de la

tensión tangencial viscosa con el tensor tasa de deformación. Como ejemplo de

fluidos No-Newtonianos podemos citar: sangre, salsas.

A.3 Materiales Viscoelásticos

Dedicaremos el capítulo 5 al planteamiento de ecuaciones constitutivas de los materiales

viscoelásticos. Para entender este comportamiento, podemos hacer un experimento muy

sencillo. Por ejemplo, cogemos un chicle (usado) y los estiramos de tal forma que en una

extremidad se concentre la mayor parte del chicle. Lo situamos en posición vertical de

manera que la única fuerza del sistema sea la gravitatoria, ver Figura A.23. Vamos a

observar que con el tiempo el chicle empezará a deformase, y sin haber añadido ninguna

fuerza al sistema. Tras un cierto tiempo deformándose, cortamos la extremidad (quitamos

la fuerza) y observamos que hay una parte de la deformación que se recupera

instantáneamente, y además verificamos que con el tiempo que hay una parte de la

deformación que se recupera lentamente.

Es decir, estos materiales tienen la capacidad de almacenar energía mecánica como los

sólidos elásticos y también tienen la capacidad de disipar energía según las leyes de fluidos

debido a la viscosidad. Luego, a la hora del planteamiento de la ley constitutiva de estos

materiales tenemos que tener en cuenta estos fenómenos simultáneamente.

Figura A.23: Comportamiento viscoelástico.

0

t t1 t3 t4 t5 >>t4

Recuperación

(19)

1

Hiperelasticidad

1.1 Introducción

Nuestro objetivo en este capítulo es establecer las ecuaciones constitutivas para aquellos

materiales que se comportan según la teoría de la hiperelasticidad, también denominada como

Elasticidad de Green o Elasticidad no-lineal.

Algunos materiales como son los elastómeros, polímeros, goma, materiales biológicos

(arterias, músculos, piel), aparatos destinados al aislamiento de la base de estructuras,

pueden estar sometidos a grandes deformaciones sin presentar deformación permanente

(sin que haya disipación interna de energía), siendo así clasificados como materiales

hiperelásticos.

Entre los investigadores que han utilizado el modelo constitutivo hiperelástico para

modelar materiales tipo goma podemos citar: Alexander (1968), Treloar (1975), Ogden

(1984), Morman (1986), Holzapfel (2000).

En los materiales hiperelásticos no se tiene en consideración las deformaciones pasadas y

dichos materiales presentan un comportamiento sin histéresis.

Físicamente, el material elástico (elasticidad lineal, hiperelasticidad) regresa a su estado

inicial una vez que desaparece la carga, ver Figura 1.1. En otras palabras, el trabajo

almacenado durante el proceso de carga es recuperado durante el proceso de descarga, es

decir, no hay disipación de energía interna (proceso reversible).

En este capítulo, restringiremos nuestro análisis a teorías puramente mecánicas, luego

variables termodinámicas tales como temperatura o entropía serán despreciadas.

1

(20)

Figura 1.1: Curva tensión-deformación de materiales elásticos (carga-descarga).

1.2 Ecuación Constitutiva

Un

material hiperelástico (o material elástico no-lineal o material elástico de Green) postula la

existencia de una función de energía libre de Helmholtz

Ψ

definida por unidad de volumen

de referencia. Para procesos reversibles

Ψ

se denomina energía potencial, o densidad de energía

de deformación (función energía de deformación), o potencial elástico. Para materiales hiperelásticos la

función energía de deformación

Ψ

es sólo dependiente del gradiente de deformación

(F)

,

i.e.,

Ψ =Ψ(F,t)

.

En procesos puramente de deformación, donde no se involucran cambios debido a la

entropía, temperatura, la disipación interna (

D

int

) es igual a cero, caracterizando así un

proceso reversible. Luego, la desigualdad de Clausius-Planck, ver capítulo 4 - Vol.1, para

procesos reversibles recae en la siguiente expresión:

D σ D σ: − = ⇒ = : = Ψ& 0 Ψ& int

D

(Configuración actual)

C C F F & & & &

&

&

&

&

: : : : S S P P 2 1 0 2 1 0 = ⇒ = − = = ⇒ = − =

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

int

D

(Configuración de referencia)

(1.1)

donde

σ

es el tensor de tensiones de Cauchy,

D

es el tensor tasa de deformación,

P

es el

primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff,

S

es el segundo tensor de tensiones de

Piola-Kirchhoff, y

C

es el tensor derecho de deformación de Cauchy-Green. Recurriendo

a las relaciones conjugadas obtenidas en el capítulo 4 - Vol.1:

{

= = = = = = V V V V V V V dV dV dV dV dV dV J dV 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F C

E& : & : & : & : : : :

τ

τ P P S S D D σ D σ ρ ρ

(1.2)

Podemos resumir que la tasa de la energía de deformación puede ser expresada como:

4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 2 1 & & &

&

Tensional Potencia D S S P: = : = : =

τ

: = F E C 2 1

Ψ

(1.3)

siendo,

E

el tensor de deformación de Green-Lagrange, y

τ

el tensor de tensiones de

Kirchhoff.

I σ ε carga descarga II

I

- zona elástica lineal

(21)

MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO: MODELOS CONSTITUTIVOS

42

Fijemos que la condición (1.9) debe cumplirse para cualquier proceso termodinámico.

Luego, si efectuamos un proceso tal que

C& >0

y a continuación efectuamos un proceso

0

<

C&

, la única posibilidad para que siga siendo válida la condición (1.9) es cuando:

C C C C ∂ ∂ = ⇒ = ∂ ∂ − ( ) 0 2 ( ) 2 1S

Ψ

S

Ψ

(1.10)

Análogamente, podemos demostrar que:

E E C C ∂ ∂ = ∂ ∂ =2

Ψ

( )

Ψ

( ) S

(1.11)

Figura 1.2: Objetividad de la energía de deformación.

Teniendo en cuenta las relaciones entre los tensores de tensiones vistas en el capítulo 3 -

Vol.1, podemos aun expresar las ecuaciones constitutivas como:

!

Función del tensor de tensiones de Kirchhoff (

τ

):

T T T F C C F F E E F F F

∂ ∂ = ∂ ∂ = = ) ( 2 ) (

Ψ

Ψ

S

τ

(1.12)

B

Xr xr Xr F

,

Ψ(F)

configuración de

referencia

configuración

actual

0 B B F F*=Q

) (Q

F Ψ U

) (U Ψ R

Q

U R

= F T R Q=

E C,

) ( ) (

ˆ

E C

Ψ

Ψ

) ( ) ( ) (Q Ψ Q R U Ψ U Ψ

F =

=

(22)

Figura 1.3: Tensores constitutivos tangentes elásticos.

kl ijkl ij kl ijkl ij kl ijkl ij D D D A L L = σ = τ = τ Τ ˆ o "

R

ELACIONES

T

ASAS DE

T

ENSIÓN

-

D

EFORMACIÓN Xr

xr

Configuración de

referencia

Configuración

actual

0

B B

Tensor tangente elástico material

C C C C E E E E ∂ ∂ = ∂ ⊗ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ⊗ ∂ ∂ = S S 2 ) ( 4 ) ( 2 2

Ψ

Ψ

tan C F E& & tan : C = S

Tensor tangente elástico espacial

) ( 4 1 2 ˆ jk il jl ik il kj ik lj ijkl ijkl ijkl ijkl lq kp tan mnpq im jn ijkl con F F F F δ δ δ δ +τ +τ +τ τ = + = = H H L L C L

Tensor tangente elástico instantáneo

Aijkl J FimFjnCtanmnpqFkpFlq J Lijkl

1 1 = = kl ijkl ij F& & =K P

Pseudo-Tensor tangente elástico

ik lj ip kq tan pjlq ijkl kl ij ijkl F F F F

δ

Ψ

S + = ∂ ∂ ∂ = C K K ( ) 2 F

(23)

1 HIPERELASTICIDAD 63

(

)

(

)

(

)

(

)

3 1 2 1 3 1 3 4 3 4 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 − − − − − − − − − − = − = − = ∂ ∂ − = ∂     ∂ = ∂ ∂ C C C C C C C C C C C C J II I II I I II I II II I II I J T

(1.136)

donde hemos utilizado que

== −1

∂ ∂ C C C C C C III III I II T

. Adicionalmente obtenemos que:

T J J J J J J J P I I 3 2 1 3 2 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 3 1 ) ( ) ( ) ( ~ − − − − − − − − − =       = ⊗ − = ∂ ∂ ⊗ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ C C C C C C C C C C C C       = − = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ − − − − − − − − 1 3 2 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 3 1 ) ( ) ( ) ( ~ kl ij ijkl kl ij jl ik kl ij kl ij kl ij kl ij C C J C C J J C J C C C J C C J C C I δ δ

(1.137)

Hemos definido así el tensor de cuarto orden

P

:

C C C C⊗ ⇒ = − ⊗ − = −1 −1 3 1 3 1 I P I PT

(1.138)

Llamamos

P

al tensor proyección con respecto a la configuración de referencia, Holzapfel

(2000).

Figura 1.4: Descomposición multiplicativa del gradiente de deformación – parte isocórica y

parte volumétrica.

B

Xr xr Xr vol F F~ vol F F F = ~

configuración de

referencia

configuración

actual

0 B B

dilatación pura

F F C= T

F F C~= ~T

~ T F F b=

1 3 2 J vol = C T vol vol vol F F b =

1 ~ = F

(24)

Figura 1.5: Descomposición multiplicativa del gradiente de deformación – parte isocórica y

parte volumétrica.

Asumimos la descomposición aditiva de la energía de deformación en una parte isocórica y

en una volumétrica:

) ( ) ~ ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ( ~ ~ vol vol vol vol C C C F F F Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ + = + =

(1.143)

Haciendo la derivada temporal de la expresión de energía (1.143) obtenemos:

J dJ J d t J dJ J d t J vol vol vol & & & & & ) ( ~ ~ ) ~ ( ) ( ~ ~ ) ~ ( ) ( ) ~ ( ) ( ~ ~ ~ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = + = C C C C C C C C : :

(1.144)

Teniendo en cuenta que

C

C & & : ∂ ∂ = J J

y la relación

1 2 − = ∂ ∂ C C J J

, obtenemos que:

1 σ J J vol ∂ ∂ =

Ψ

( )

B

Xr xr Xr vol F F~ vol F F F = ~

configuración de

referencia

configuración

actual

0 B B

dilatación pura

Ψ(C)=Ψ~(C~)+Ψvol(Cvol) T J

− = ∂ ∂ = F F C C σ S 2 Ψ( ) 1 vol S S S=~+

con

( ) −1 ∂ ∂ = C J J J vol vol Ψ S

,

S~ 3 S~ 2 : P − =J

T J C F C F

∂ ∂ = 2

Ψ

( ) σ ) ( vol vol F

Ψ

) ~ ( ) ~ (F Ψ~ F ΨisoC C ~ ) ~ ( 2 ~ ~ ∂ ∂ = Ψ S 1 σ J J vol ∂ ∂ =

Ψ

( )

(25)

MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO: MODELOS CONSTITUTIVOS 90 5 30 4 20 3 11 2 01 1 10 1 = χ + χ + χ + χ + χ σ c c c c c

(1.295)

1.8 Hiperelasticidad Anisótropa

Ciertos tejidos biológicos presentan fibras, perdiendo así su isotropía. Si estas fibras tienen

una dirección preferente, que representamos por

aˆ0

(configuración de referencia), el tejido

viene caracterizado como un material transversalmente isótropo. Otros tejidos, como por

ejemplo el tejido cardíaco, pueden presentar las fibras según dos direcciones preferentes,

clasificándolos así como tejidos con dos familias de fibras, ver Figura 1.8.

Figura 1.8: Materiales con fibras.

1.8.1

Material Transversalmente Isótropo

Como quedó demostrado en el capítulo 1 - Vol.1, una función isótropa

Ψ =Ψ(C)

puede

ser escrita en función de sus invariantes principales

Ψ=Ψ(IC, IIC, IIIC)

. Si ahora la

función es una función de un vector

aˆ0

y del tensor

C

,

Ψ

(C,aˆ0)

, se puede demostrar que

esta función se puede escribir en función de los siguientes invariantes:

) , , , , ( ) ˆ ˆ , ˆ ˆ , , , ( ) ˆ , ( ) 5 ( ) 4 ( 0 2 0 0 0 0 C C C C C C C C C C C I I II I II I II I II I Ψ Ψ Ψ = = a

a a

a a

(1.296)

donde

(4) C I

y

(5) C

I

son los pseudos invariantes de anisotropía. Además, considerando que la

energía es independiente del sentido de

aˆ0

, tenemos que

Ψ

(C,aˆ0)=

Ψ

(C,−aˆ0)

, por ello

podemos representar la energía de deformación por:

) ˆ ˆ , ( a0a0 =

Ψ

C

Ψ

(1.297)

Podemos demostrar que la función anterior es objetiva:

) ˆ ˆ , ( ) ˆ ˆ , ( ) ˆ ˆ , ( 0 0 0 0 0 0 a Q a Q Q Q Q a a Q Q Q a a

⊗ = ⊗ = ⊗ T T T C C C Ψ Ψ Ψ

(1.298)

0 ˆ a aˆ0 0 ˆ b

(26)

2.1 Introducción

En un proceso de carga en régimen elástico, la estructuración atómica no se ve afectada,

caracterizando así un proceso sin disipación de energía interna. Una vez retirada la carga el

sólido vuelve a su estado inicial.

En ciertas clases de materiales, si seguimos cargando el material, llegará un nivel de carga tal

que la estructura atómica empieza a reestructurarse (dislocaciones a una escala atómica)

luego, hay una disipación interna de energía (proceso irreversible). La mayor parte de la

energía será utilizada para aumentar la temperatura (liberación de calor), como

consecuencia hay un aumento en el desorden del sistema (aumento de la entropía). Un

aumento de la temperatura implica también dilatación. A nivel macroscópico, en materiales

dúctiles como los metales, esta reestructuración atómica viene caracterizada por una

deformación permanente (deformación plástica). Es decir, si a continuación el material

sufre una completa descarga se observa que el material recupera parte de la deformación

total (a la deformación recuperable la denominamos deformación elástica), ver Figura 2.1,

quedando con una deformación permanente, que la denominamos deformación plástica.

Los modelos constitutivos que intentan representar este fenómeno se denominan “

Modelos

de Plasticidad

” o “

Modelos Elastoplásticos

”.

Puede resultar complejo formular un modelo constitutivo teniendo en cuenta todos los

fenómenos posibles durante un proceso caracterizado por plasticidad. En general, un

proceso que envuelve deformación plástica, viene caracterizado por grandes

deformaciones, producción de calor, y por la pérdida de la isotropía del material en la zona

plástica debido a las fibras plásticas que se forman en dicha zona. Pero, para ciertas clases

de materiales el efecto de la temperatura puede ser despreciado, y también el proceso de

deformación puede estar caracterizado por presentar deformaciones elásticas pequeñas

frente a las plásticas, pudiendo así aplicar la teoría de pequeñas deformaciones caracterizada

2

(27)

MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO:MODELOS CONSTITUTIVOS 110

por un proceso isotérmico. Con estas simplificaciones se da lugar a la Teoría Clásica de

Plasticidad. Y varios son los modelos de plasticidad desarrollados para modelar los

materiales.

Figura 2.1: Ensayo de tracción simple - Comportamiento plástico.

Muchos fueron los investigadores que impulsaron la teoría de plasticidad como podemos

citar: Rankine(1851), Tresca(1864), von Mises(1913), Prandtl(1924), Reuss(1930),

Prager(1945), Hill(1950), Drucker(1950), Koiter(1953), Ziegler(1959), Naghdi(1960),

Mroz(1967), entre otros.

Desde de un punto de vista de la cinemática la teoría de plasticidad ha sido desarrollada

considerando:

!

Plasticidad con Pequeñas Deformaciones (Deformación Infinitesimal):

"

Sin efecto de la temperatura (Teoría Clásica de Plasticidad);

Con efecto de la temperatura (Termoplasticidad en Pequeñas Deformaciones).

!

Plasticidad con Grandes Deformaciones (Deformación Finita):

"

Sin efecto de la temperatura (Plasticidad en Deformación Finita);

Con efecto de la temperatura (Termoplasticidad en Deformación Finita).

e ε σ ε Y σ p ε p ε

-

deformación permanente e ε - deformación elástica Y σ Y σ I II III I

- zona elástica

II - zona de plastificación

III - completa descarga

II I

(28)

En este capítulo vamos hacer el planteamiento de los modelos de plasticidad en el régimen

de pequeñas y grandes deformaciones, ver Figura 2.2, sin tener en cuenta el efecto de la

temperatura (proceso isotérmico).

Antes de la formulación de modelos de plasticidad daremos una introducción a ciertos

conceptos que serán importantes en el desarrollo del capítulo.

Figura 2.2: Visión general de la mecánica de sólidos.

2.2 Comportamiento de Sólido con Deformación

Plástica

Un concepto importante en la teoría de plasticidad clásica independiente de la tasa es el

concepto de superficie de fluencia, que define el estado tensional multiaxial en el umbral de

deformación plástica. Si el estado tensional se encuentra dentro de la superficie de fluencia,

el correspondiente cambio de deformación será puramente elástico. Deformación plástica

sólo será posible cuando el estado tensional se encuentra en la superficie de fluencia.

Analizaremos primeramente la superficie de fluencia inicial (criterio de fluencia) y a

continuación como esta superficie evoluciona durante el proceso de plastificación.

Mecánica del Medio Continuo

Sólidos

Fluidos

Multifísicos

Grandes deformaciones

(Deformación Finita)

(Deformación infinitesimal)

Pequeñas deformaciones

Plasticidad

Modelos Viscosos

Hiperelasticidad

Hiperplasticidad

Modelos de Daño, ...

Elasticidad Lineal

Ley Constitutiva Cinemática

Teoría de estructuras

(29)

MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO:MODELOS CONSTITUTIVOS 146

Figura 2.35: Comportamiento elastoplástico con endurecimiento isótropo.

El modelo reológico que representa el comportamiento elastoplástico con endurecimiento

isótropo viene caracterizado por un muelle y un dispositivo de fricción en paralelo y un

muelle en serie como se indica en la Figura 2.36.

Figura 2.36: Modelo reológico del comportamiento elastoplástico con endurecimiento

isótropo.

* Y σ − 1 E σ Y σ ε 1 2 4 5 3 6 1 E ) 1 ( p ε εe(1) Y σ − * Y σ

región elástica inicial

región elástica expandida

K Y σ σ σ E p ε εe

(30)

2.7 Plasticidad en Deformación Finita

Varias teorías han sido desarrolladas para el planteamiento de la teoría de plasticidad con

grandes deformaciones. Entre ellas podemos citar:

!

Basada en la descomposición multiplicativa del gradiente de deformación, propuesta

por Lee(1969) en el ámbito de la Mecánica de Sólidos:

) , ( ) , ( ) , (X t Fe X t Fp X t

F r = r

r

Descomposición

Multiplicativa del gradiente

de deformación

(2.236)

!

Basada en la descomposición aditiva del tensor de deformación de Green-Lagrange,

propuesta por Green & Naghdi(1965):

) , ( ) , ( ) , (X t Ee X t Ep X t

E r = r + r

Descomposición aditiva del

tensor de deformación de

Green-Lagrange

(2.237)

!

Basada en la descomposición aditiva del tensor tasa de deformación, propuesta por

Nemat-Nasser(1982):

) , ( ) , ( ) , (xr t De xr t Dp xr t

D = +

Descomposición aditiva del

tensor tasa de deformación

(2.238)

A continuación, haremos el planteamiento de plasticidad con deformación finita basada en

la descomposición multiplicativa del gradiente de deformación en una parte elástica y una

parte plástica, Lee (1969), Simo (1992), Simo&Hughes (1998).

Referencias

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