ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía

(1)

INTERPOLACIÓN. Grupo A Curso 2014-15

1.- Se considera el polinomio a trozos: S(x) =

 





 





 





2 0 2 1 2 2 -1 x 1, 0 2 -1 x 0,1 2 +8x-5 x 1, 2      _ _   _{ } _  S x x S x x S x x

Deducir si S(x) es un spline cúbico o no sobre los puntos



1, 0,1, 2



(1 punto)

2.- A lo largo de un día se han recogido los siguientes datos de temperaturas:

a) Hallar el polinomio de interpolación que se ajusta a esta nube de puntos y estimar la temperatura que había a las 15h utilizando dicho polinomio.

b) Hallar un spline cúbico no nodo que interpole esos datos. Estimar con este método la temperatura a las 15h.

c) Dibujar, en la misma ventana, los nodos, el polinomio de interpolación y el spline utilizados y comentar el resultado.

d) Hallar, a mano, el polinomio de Newton que se ajusta a los tres primeros nodos.

(3 puntos)

INTERPOLACIÓN. Grupo B Curso 2014-15

1.- Se considera el polinomio a trozos:

S(x) =

 





 













 

3 1 3 2 2 2 x 0,1 1 +6 1 +b 1 +c x 1, 2 S x x S x a x x x           

Hallar, si existen, los valores de los parámetros a, b y c para que S(x) sea un spline cúbico sobre los puntos



0,1, 2 .



(1 punto)

2.- Sea una función f(x) de la que se conoce su valor en los siguientes puntos:

a) Hallar el polinomio de interpolación que se ajusta a esta nube de puntos y estimar el valor de f (0.5) utilizando dicho polinomio.

Hora 10 13 17 21 Temp. ºC 7 17 11 8

x -2 -1 0 1 f(x) 6 2 1 0

(2)

b) Hallar un spline cúbico completo que interpole esos datos, suponiendo que

'( 2)   5

f y que f '(1)  4 . Estimar con este método el valor de f (0.5).

c) Dibujar, en la misma ventana, los nodos, el polinomio de interpolación y el spline utilizados y comentar el resultado.

d) Hallar, a mano, el polinomio de Newton para los datos dados.

(3)

INTERPOLACIÓN. Grupo A Curso 2014-15

1.- Se considera el polinomio a trozos:

S(x) =

 





 





 





2 0 2 1 2 2 -1 x 1, 0 2 -1 x 0,1 2 +8x-5 x 1, 2      _ _   _{ } _  S x x S x x S x x

Deducir si S(x) es un spline cúbico o no sobre los puntos



1, 0,1, 2



Solución:

S(x) es un spline cúbico si y sólo si S, S’ y S’’ son funciones continuas en



1, 2



 

2 0 0 0 2 1 1 1 2 2 2 2 -1 ' 2 '' 2 2 -1 ' 4 '' 4 ' 4 +8 '' 4 2 +8x-5           _ _ _ _ _     _{ }  _{ }  _{ }     S x x S x x S x S x x S x x S x S x x S x S x x

 

0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 (0) 1 1 (1) ' 0 0 '(0) ' 1 4 '(1) '' 0 2 4 ''(0) '' 1 4 4 ''(1)          _{ }       _{  }   _{   }  S S S S S S S S S S S S

Luego, no es un spline cúbico sobre esos puntos pues S’’(x) no es una función continua en



1, 2



2.- A lo largo de un día se han recogido los siguientes datos de temperaturas:

a) Hallar el polinomio de interpolación que se ajusta a esta nube de puntos y estimar la temperatura que había a las 15h utilizando dicho polinomio.

b) Hallar un spline cúbico no nodo que interpole esos datos. Estimar con este método la temperatura a las 15h.

Hora 10 13 17 21 Temp. ºC 7 17 11 8

(4)

c) Dibujar, en la misma ventana, los nodos, el polinomio de interpolación y el spline utilizados y comentar el resultado.

d) Hallar, a mano, el polinomio de Newton que se ajusta a los tres primeros nodos. Es decir, en este apartado los datos son: (10,7); (13,17) y (17,11)

Solución: >> x=[10 13 17 21]; >> y=[7 17 11 8]; >> %a) >> p=polyfit(x,y,3) p = 0.0713 -3.5422 56.3581 -273.6534 >> polyval(p,15) ans = 15.3360 >> %b) >> spn=spline(x,y) spn = form: 'pp' breaks: [10 13 17 21] coefs: [3x4 double] pieces: 3 order: 4 dim: 1 >> spn.coefs ans = 0.0713 -1.4034 6.9019 7.0000 0.0713 -0.7618 0.4064 17.0000 0.0713 0.0938 -2.2657 11.0000 >> ppval(spn,15) ans = 15.3360 >> %c) >> plot(x,y,'*') >> hold on >> xx=[10:0.2:21]; >> yy=polyval(p,xx); >> zz=ppval(spn,xx); >> plot(xx,yy) >> plot(xx,zz,'--')

>> % Se obtiene una única gráfica pues coinciden

>> % el polinomio de interpolación con el spline no nodo ya que

>> % al tratarse de un spline no nodo coinciden S0 con S1 y también S1 con S2.

10 12 14 16 18 20 22 6 8 10 12 14 16 18

(5)

d)

x f[x0] Dif. Div. de orden 1 Dif. Div. de orden 2

10 7

(17-7)/(13-10)=10/3

13 17 (-3/2-10/3)/(17-10)= -29/42

(11-17)/(17-13)=-3/2 17 11

Luego el polinomio de Newton pedido es:

0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 ( ) ( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( ) 10 29 7 ( 10) ( 10)( 13) 3 42 29 269 2438 42 14 21                   P n f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x

INTERPOLACIÓN. Grupo B Curso 2014-15

1.- Se considera el polinomio a trozos:

S(x) =

 





 













 

3 1 3 2 2 2 x 0,1 1 +6 1 +b 1 +c x 1, 2 S x x S x a x x x           

Hallar, si existen, los valores de los parámetros a, b y c para que S(x) sea un spline cúbico sobre los puntos



0,1, 2



.

Solución:

Para que S(x) sea un spline cúbico sobre los puntos



0,1, 2 ha de verificarse que S, S’ y



S’’ sean funciones continuas en

 

0, 2

 









 





2 1 1 2 2 2 ' 6 '' 12 '' 6 1 +12 ' 3 1 +12 1 +b      _            S x x S x x S x a x S x a x x

 

1 2 1 2 1 2 1 2 (1) ' 1 6 '(1) '' 1 12 ''(1)           _ _  S c S S b S S S

(6)

Luego, para que S(x) sea un spline cúbico sobre esos puntos han de ser b=6, c=2 y “a” puede tomar cualquier valor.

2.- Sea una función f(x) de la que se conoce su valor en los siguientes puntos:

a) Hallar el polinomio de interpolación que se ajusta a esta nube de puntos y estimar el valor de f (0.5) utilizando dicho polinomio.

b) Hallar un spline cúbico completo que interpole esos datos, suponiendo que

'( 2)   5

f y que f '(1)  4 . Estimar con este método el valor de f (0.5). c) Dibujar, en la misma ventana, los nodos, el polinomio de interpolación y el

spline utilizados y comentar el resultado.

d) Hallar, a mano, el polinomio de Newton para los datos dados.

Solución: >> % a) >> x=[-2 -1 0 1];y=[6 2 1 0]; >> p=polyfit(x,y,3) p = -0.5000 0.0000 -0.5000 1.0000 >> polyval(p,0.5) ans = 0.6875 >> %b) >> spc=spline(x,[-5 y -4]) spc = form: 'pp' breaks: [-2 -1 0 1] coefs: [3x4 double] pieces: 3 order: 4 dim: 1 >> spc.coefs ans = 0.4667 0.5333 -5.0000 6.0000 -0.4000 1.9333 -2.5333 2.0000 -1.8667 0.7333 0.1333 1.0000 Luego el spline pedido es:

x -2 -1 0 1 f(x) 6 2 1 0

(7)

 

















 

















 

 

3 2 0 3 2 1 3 2 2 0.4667 0.5333 5.0000 6.0000 x 2, 1 0.4000 1.9333 2.5333 2.0000 x 1, 0 1.8667 0.7333 0.1333 1 .0000 x 0,1 2 2 2 ( ) 1 1 1     _ _ _ _ _ _{ }  _                 S x x x x S x S x x x x x S x x x    >> ppval(spc,0.5) ans = 1.0167 >> %c) >> plot(x,y,'*') >> hold on >> xx=[-2:0.1:1]; >> yy=polyval(p,xx); >> zz=ppval(spc,xx); >> plot(xx,yy,xx,zz,'--')

La forma de la gráfica de f(x), al menos en los extremos, ha de ser más parecida a la del spline completo (en trazo discontinuo) al haber obligado a que coincidan las derivadas del spline con las derivadas de la función en los nodos inicial y final.

d)

x f[x0] Dif. Div. de orden 1 Dif. Div. de orden 2 Dif. Div. de orden 3

-2 6 (2-6)/(-1+2)=

-4

-1 2 (-1+4)/(0+2)= 3/2 (1-2)/(0+1)=-1 (0-3/2)/(1+2)= -1/2 0 1 (-1+1)/(1+1)=0 (0-1)/(1-0)=-1 1 0 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 0 1 2 3 4 5 6 7

(8)

Luego el polinomio de Newton pedido es: 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 3 0 1 2 3 ( ) ( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( ) [ , , , ]( )( )( ) 3 1 6 4( 2) ( 2)( 1) ( 2)( 1) 2 2 1 1 1 2 2                           P n f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x