Estudio de la caracterización mecánica del modelo de Hodge-Petruska y su ajuste en la escala de fibril para tejidos blandos

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(1)Universidad Politécnica de Madrid Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Telecomunicación Grado en Ingeniería Biomédica. Estudio de la caracterización mecánica del modelo de Hodge-Petruska y su ajuste en la escala de fibril para tejidos blandos. Alumno: Christopher Pablo Cop Tutor: Sergio Blanco Ibáñez Miembros del tribunal: Presidente: Ma Elena Hernando Pérez Vocal: José Pérez Rigueiro Secretario: Francisco Javier Rojo Pérez Suplente: Juan Carlos García Orden Fecha de lectura: Calificación:.

(2) Universidad Politécnica de Madrid Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Telecomunicación Grado en Ingeniería Biomédica. Estudio de la caracterización mecánica del modelo de Hodge-Petruska y su ajuste en la escala de fibril para tejidos blandos. Alumno: Christopher Pablo Cop Tutor: Sergio Blanco Ibáñez Miembros del tribunal: Presidente: Ma Elena Hernando Pérez Vocal: José Pérez Rigueiro Secretario: Francisco Javier Rojo Pérez Suplente: Juan Carlos García Orden Fecha de lectura: Calificación:.

(3) Resumen: Los tejidos blandos basados en colágeno presentan una estructura jerárquica que se puede esquematizar en los siguientes niveles: moléculas de tropocolágeno, fibriles, fibras y tejido. En este trabajo buscamos estudiar el comportamiento mecánico del fibril teniendo en cuenta la incertidumbre que existe en la caracterización mecánica y geométrica tanto del propio fibril como de sus elementos constituyentes. El objetivo de este estudio es enjuiciar críticamente la capacidad del modelo analítico presentado por Blanco et al. [6] para reproducir el comportamiento mecánico del fibril. Este análisis se llevará a cabo usando el software libre OpenTURNS [2] de estudio de la propagación de la incertidumbre. En el capítulo 1 se resume la metodología general para el estudio de la propagación de la incertidumbre. En el capítulo 2 se describe la estructura de los tejidos blandos, en particular del tejido conectivo, y dentro de esta descripción se detalla la organización de las fibras de colágeno cuyo elemento integrante, el fibril, es el objeto de estudio de este trabajo. Posteriormente, en el capítulo 3, haciendo uso de un modelo mecánico basado en el modelo bidimensional de Hodge-Petruska, se definirán las expresiones analíticas de las siguientes propiedades mecánicas de los fibriles de colágeno: tensión última elástica, densidad de energía elástica almacenada y densidad de energía de disipación por unidad de superficie. En el capítulo 4 caracterizaremos aquellos parámetros del modelo que presentan incertidumbre (porque los valores publicados son escasos o dispares) mediante una distribución de probabilidad. Se usará la información encontrada en la bibliografía para establecer estas funciones de probabilidad. Por tanto, los parámetros de entrada se dividen en dos grupos: parámetros con incertidumbre y parámetros sin incertidumbre. El capítulo 5 estudia cómo la incertidumbre de estos parámetros de entrada se propaga y afecta a los parámetros de salida del modelo utilizado. Este análisis incluye un estudio de los valores máximos y mínimos de las variables de salida, así como un estudio de su dispersión central y varianza. Además, se ajustará una cierta función de distribución a cada una de las variables de salida. En el capítulo 6 se obtendrán los factores de importancia de cada parámetro de entrada para estudiar la influencia que tiene cada uno sobre la respuesta del modelo. Además, usando los valores publicados que se han obtenido a partir de ensayos uniaxiales del fibril, se ajustarán los parámetros de entrada con el objetivo de obtener resultados satisfactorios en el modelo. Finalmente, se realizará un análisis crítico del modelo usado, y al mismo tiempo se propondrán modificaciones para mejorar la respuesta del mismo. La conclusión que extraemos de este trabajo es que el modelo analítico propuesto por Blanco et al. [6] solo es capaz de reproducir el comportamiento de los fibriles de colágeno en régimen elástico (se obtienen buenos resultados para la tensión última elástica y la energía elástica almacenada), mientras que es incapaz de predecir la energía disipada hasta el agotamiento del fibril. Este trabajo se realizó en el departamento de Mecánica del Medio Continuo y Teoría de Estructuras de la E.T.S.I. de Caminos, Canales y Puertos de la Universidad Politécnica de Madrid, con la ayuda de una beca de colaboración del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte del Gobierno de España. Palabras clave: incertidumbre, colágeno, fibril, mecánica, modelo.. iii.

(4) Abstract: Collagen-based tissues display a hierarchical structure which contains the following levels: tropocollagen molecules, fibrils, fibers and tissue. In this work we want to study the mechanical behaviour of the fibril taking the associated uncertainty of his mechanical and geometrical characterization into account. The aim of this study is to criticize the overall response of the analytic model presented by Blanco et al. [6]. We will use the OpenTURNS [2] scientific library for the treatment of uncertainty. In chapter 1 we describe the global methodology of an uncertainty study. In chapter 2 we show the structure of soft tissues, particularly connective tissue, and we characterize the structure of collagen fibers and fibrils, which are the elements we are going to study. In chapter 3, a mechanical model based on the two-dimensional Hodge-Petruska model has been used to obtain the mechanical properties of collagen fibrils: i.e., the yield strength where inelastic phenomena appear, the elastic energy density and the surface density of dissipated energy. In chapter 4 we characterize the input parameters by probability distributions, due to the uncertainty of some geometrical and mechanical properties of the fibril constituents. We use the information found in the bibliography to define the associated probability functions. Thus, we can divide our set of input parameters in two groups: parameters with and without uncertainty. In chapter 5 we want to study how the associated uncertainty of the input parameters propagates to the overall mechanical response of the model. Therefore, we obtain the maximum and minimum output values, we make a central dispersion and variance analysis and we define a certain probability distribution for every output variable. In chapter 6 we study how the variability of the inputs affects the outputs in order to rank the inputs according to their influence on the model response. After that, using the values obtained in uniaxial traction tests, we adjust the inputs in order to obtain satisfactory results in our model. Finally, we will discuss the overall behaviour of the model, and we will try to modify it in order to improve the results. The conclusion of this work is that the model presented by Blanco et al. [6] predicts adequately the behaviour of collagen fibrils in the elastic regime (the yield strength where inelastic phenomena appear and the elastic energy density values are reasonable), while it is not able to estimate satisfactorily the dissipated energy when the complete failure of the fibril takes place. This project has been carried out in the Department of Continuum Mechanics and Structures of the School of Civil Engineering of the Technical University of Madrid, with the help of a Collaboration Scholarship of the Spanish Government. Key words: uncertainty, collagen, fibril, mechanics, model.. iv.

(5) Índice general 1. Metodología de la cuantificación de la incertidumbre. 1. 2. Descripción biológica de los tejidos 2.1. Tejido conectivo . . . . . . . . . . 2.1.1. Fibras . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Células . . . . . . . . . . . 2.1.3. Sustancia fundamental . . .. 3 3 3 6 6. blandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 3. Paso A: Especificación del caso de estudio 3.1. Modelo mesoscópico del fibril . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Umbral de estiramiento elástico del fibril . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. El modelo de Hodge-Petruska bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Modelo mesomecánico del fibril en régimen elástico . . . . . . . . . . . 3.1.4. Modos de rotura de los fibriles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5. Caracterización mesomecánica del comportamiento inelástico del fibril 3.2. Variables de entrada y de salida del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Criterios del estudio de la incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. 7 . 7 . 8 . 8 . 9 . 9 . 11 . 12 . 13. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14 14 15 15 16 17 18 18 19 19 20 20 21 22 25 27 28 30. 4. Paso B: Caracterización de las fuentes de incertidumbre 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Parámetros de entrada del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Longitud de la molécula de tropocolágeno . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Diámetro de la molécula de tropocolágeno . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Distancia longitudinal entre moléculas de tropocolágeno . . . . 4.2.4. Distancia de equilibrio axial entre moléculas de tropocolágeno . 4.2.5. Longitud de concentración de cross-links . . . . . . . . . . . . . 4.2.6. Módulo elástico de la molécula de tropocolágeno . . . . . . . . 4.2.7. Módulo elástico de los cross-links . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.8. Tensión última de las uniones distribuidas . . . . . . . . . . . . 4.2.9. Tensión última de los cross-links . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.10. Independencia de los parámetros de entrada mecánicos . . . . . 4.3. Parámetros de salida del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Tensión última elástica del fibril, σu . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Densidad de energía elástica almacenada, W 0 . . . . . . . . . . 4.3.3. Densidad de energía de disipación por unidad de superficie, Gf 4.3.4. Resumen de los parámetros del modelo . . . . . . . . . . . . .. v. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . ..

(6) 5. Paso C: Propagación de la incertidumbre 5.1. Rango de las variables de interés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Valores máx/mín como solución de un problema de optimización 5.1.2. Valores máx/mín a partir de la realización de experimentos . . . 5.2. Dispersión central de las variables de interés . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Descomposición de Taylor de las variables de salida . . . . . . . . 5.2.2. Simulación aleatoria de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Kernel Smoothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Paso C’: Análisis de sensibilidad, calibración 6.1. Factores de importancia . . . . . . . . . . . . 6.2. Calibración de las variables de entrada . . . . 6.3. Crítica del modelo y propuesta de mejoras . .. vi. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 31 31 31 32 36 36 37 38. y juicio crítico 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.

(7) Índice de figuras 1.1. Esquema del procedimiento usual para un estudio de incertidumbre. Figura modificada de [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 2.1. Esquema simplificado del tejido conectivo. Figura extraída de [26] . . . . . . . . 2.2. Componentes principales del tejido conectivo. Esquema de [32] . . . . . . . . . . 2.3. Estructura jerárquica de las fibras de colágeno. Figura extraída de [26] . . . . . .. 4 4 5. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.. Dependencia de λe con r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelo de Hodge-Petruska bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . Equilibrio unidimensional de la molécula de tropocolágeno . . . . . . . . Esquema de fuerzas del fibril . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema de los dos modos de rotura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distribución normal de las longitudes de las moléculas de tropocolágeno. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . 8 . 9 . 9 . 10 . 10 . 11. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.. Histograma y diagrama de caja de la longitud de las moléculas de TC . . . . . . Histograma y diagrama de caja del diámetro de las moléculas de TC . . . . . . . Histograma y diagrama de caja de la distancia longitudinal entre moléculas de TC Histograma y diagrama de caja de la distancia media axial entre moléculas de TC Distribución de probabilidad, diagrama de caja y gráfico QQ del módulo elástico de las moléculas de TC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Distribución de probabilidad del módulo elástico de los cross-links . . . . . . . . 4.7. Distribución de probabilidad de la tensión última de las uniones distribuidas . . . 4.8. Distribución de probabilidad de beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Curva tensión-deformación típica ([24]) y esquema simplificado . . . . . . . . . . 4.10. Curva tensión-deformación para un fibril . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11. Curvas tensión deformación del artículo de Liu et al. [24] . . . . . . . . . . . . . 4.12. Curvas tensión deformación del artículo de Liu et al. [24] . . . . . . . . . . . . . 4.13. Distribución de probabilidad, diagrama de caja y gráfico QQ para la tensión última elástica de los fibriles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14. Distribución de probabilidad, diagrama de caja y gráfico QQ de la energía elástica almacenada de los fibriles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.15. Distribución de probabilidad, diagrama de caja y gráfico QQ de la energía de disipación por unidad de superficie de los fibriles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.. Los dos patrones estratificados usados para el diseño de experimentos . . . . . . Distribuciones de probabilidad con los niveles del ensayo . . . . . . . . . . . . . . Patrón aleatorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Evolución de los máximos y los mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Evolución de la media y desviación estándar aplicando el método de Monte Carlo Evolución de la media y desviación estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. vii. 15 16 17 18 20 21 21 22 22 23 24 25 26 27 29 33 34 35 36 39 40.

(8) 6.1. 6.2. 6.3. 6.4.. Factores de importancia de los parámetros de entrada para cada variable de interés Factores de importancia de los parámetros de entrada para cada variable de interés Comparación de los planos de fallo de ambos modelos . . . . . . . . . . . . . . . Fallo del fibril . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. viii. 42 43 46 47.

(9) Índice de cuadros 3.1. Valores aproximados de los parámetros del modelo (valores extraídos de [6]) . . . 9 3.2. Tabla resumen de las variables de entrada del modelo . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.3. Tabla resumen de las variables de salida del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7.. Longitud de las moléculas de tropocolágeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diámetro de las moléculas de tropocolágeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distancia longitudinal entre moléculas de tropocolágeno . . . . . . . . . . . . . Distancia axial entre moléculas de tropocolágeno . . . . . . . . . . . . . . . . . Longitud de concentración de cross-links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Módulos elásticos de las moléculas de tropocolágeno . . . . . . . . . . . . . . . Tensión última elástica para cada uno de los fibriles. Datos extraídos de Liu et al. ([24]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Densidad de energía elástica almacenada para cada uno de los fibriles. Datos extraídos de Liu et al. ([24]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Densidad de energía de disipación por unidad de superficie para cada uno de los fibriles. Datos extraídos de Liu et al. ([24]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. Tabla resumen de los parámetros del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.. Valores máximos y mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Máximos y mínimos usando patrones estratificados . . . . . . . . . . . . . . . . Valores máximos y mínimos usando valores aleatorios . . . . . . . . . . . . . . Valor medio y desviación estándar usando descomposición de Taylor . . . . . . Valor medio y desviación estándar de las variables de interés aplicando el método de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6.1. Comparación de los valores publicados y los obtenidos con el ensayo de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Valores de las variables de entrada que minimizan el error de los parámetros de salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Variables de entrada del modelo nuevo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Comparación de los resultados y errores de ambos modelos . . . . . . . . . . .. ix. . . . . . .. 15 16 17 18 19 19. . 26 . 27 . 28 . 30 . . . .. 32 35 35 37. . 38. . 43 . 44 . 47 . 48.

(10) Capítulo 1. Metodología de la cuantificación de la incertidumbre En este capítulo se describirá brevemente el procedimiento para abordar un estudio de la propagación de la incertidumbre tal y como se propone en [12]. Este procedimiento consta de 4 etapas o pasos como se puede observar en la figura 1.1. Paso C : Propagación de la incertidumbre. Paso B : Cuanti. Paso A :Especi cación del caso de estudio. Entrada Con incertidumbre : X Sin incertidumbre : d. Modelo. Salida. y=h(X,d). Y=h( X). Propiedad de interés e.g.: varianza, probabilidad. Figura 1.1: Esquema del procedimiento usual para un estudio de incertidumbre. Figura modificada de [4].. Paso A: Especificación del modelo, de sus parámetros de entrada y de salida, y de los criterios de estudio de la incertidumbre.. 1.

(11) Se debe construir un modelo (analítico o numérico) que reproducirá el fenómeno físico que queremos estudiar. En este modelo dividiremos las variables de entrada en dos grupos: aquellas variables que presentan incertidumbre y aquellas variables que no (bien porque la incertidumbre sea despreciable o bien porque se use un valor penalizado). Posteriormente, elegiremos entre las variables de salida aquellas “variables de interés” cuya incertidumbre deseamos estudiar. Si agrupamos en el vector y las variables de interés debemos construir la relación: y = h(x, d). (1.1). siendo h el modelo, x las variables de entrada con incertidumbre y d las variables de entrada sin incertidumbre. Finalmente debemos elegir los criterios de estudio de la incertidumbre que se van a considerar: obtener el rango de las variables de interés, su distribución, su dispersión central, la probabilidad de exceder un cierto umbral,. . . Paso B: Cuantificación de las fuentes de incertidumbre. Esta etapa consiste en construir la función de densidad de probabilidad de aquellas variables (de entrada y de salida) que presentan incertidumbre. Si poseemos datos estadísticos se ajustará una función de densidad de probabilidad para cada variable y se comprobará la bondad del ajuste. Si no existen datos experimentales se adoptará aquella función que mejor reproduzca la realidad usando el llamado “criterio de experto”. En esta etapa es necesario cuantificar la dependencia o no entre las distintas variables de entrada del modelo. Paso C: Propagación de la incertidumbre. En esta etapa estimaremos la incertidumbre asociada a las variables de interés utilizando el modelo y = h(x, d) definido en el Paso A y teniendo en cuenta la incertidumbre de los parámetros de entrada definida en el Paso B. Los métodos a utilizar dependerán de los criterios de estudio definidos en el Paso A entre los que destacan: determinar el rango de variación de las variables de interés, probabilidad de que excedan un umbral, determinación de su esperanza y de su varianza, obtención de cuantiles, construcción de sus funciones de densidad de probabilidad,. . . Paso C’: Análisis de sensibilidad y calibración del modelo. En este paso buscamos ordenar las fuentes de incertidumbre según su influencia en el modelo, e identificar aquellas variables de entrada cuya variabilidad no afecta a las variables de interés. De esta forma podemos reducir la dimensión del modelo reduciendo el tamaño del vector x de las variables de entrada con incertidumbre. Finalmente, si tenemos la caracterización estadística experimental de las variables de interés podemos compararla con los resultados del modelo y, viendo la bondad de la predicción, recalibrar los parámetros del modelo y reconsiderar la caracterización de las variables de entrada cuya variabilidad es relevante.. 2.

(12) Capítulo 2. Descripción biológica de los tejidos blandos El objetivo de este trabajo es estudiar el comportamiento mecánico del fibril dentro de los tejidos blandos. El fibril es el componente fundamental de las fibras de colágeno, que son las principales responsables de la resistencia mecánica en dichos tejidos. Por ello, en este capítulo presentamos los componentes de los tejidos blandos, resaltando la estructura jerárquica de las fibras de colágeno. El término “tejido blando” hace referencia a un amplio grupo de tejidos distintos: paredes vasculares, tejido muscular, fascias, epidermis, cartílago, tejido conectivo,. . . Debido a la gran diversidad de estructuras que encontramos catalogadas bajo el nombre de tejido blando, esta introducción se centrará en la descripción de los componentes principales y la organización del tejido conectivo (o conjuntivo), por ser tan abundante en el organismo y estar presente en prácticamente cualquier órgano. Para redactar este capítulo, se han usado como bibliografía dos libros de histología de referencia en el ámbito médico: “Inderbir Singh´s Textbook of Human Histology” ([32]) y “Junqueira’s basic histology” ([26]).. 2.1.. Tejido conectivo. La función principal del tejido conectivo (o conjuntivo) es mantener unidos y servir de soporte a distintos elementos dentro de un órgano. Por ello, podemos encontrar tejido conectivo en prácticamente cualquier parte del cuerpo, siendo abundante en algunas zonas y escaso en otras. El tejido conectivo está compuesto por células y una abundante matriz celular con fibras. A diferencia de otros tipos de tejidos, en el tejido conjuntivo no abundan las células, sino que lo que lo caracteriza son las fibras que se encuentran en la matriz extracelular. En las figuras 2.1 y 2.2 están resumidos los principales componentes del tejido conjuntivo, que se describirán brevemente en los siguientes apartados.. 2.1.1.. Fibras. Los elementos más característicos del tejido conjuntivo son las fibras que contiene, que pueden ser de tres tipos: fibras de colágeno, fibras reticulares y fibras elásticas.. 3.

(13) Figura 2.1: Esquema simplificado del tejido conectivo. Figura extraída de [26]. Figura 2.2: Componentes principales del tejido conectivo. Esquema de [32] Fibras de colágeno Las fibras de colágeno son las más abundantes en estos tejidos. Lo que se ve al microscopio óptico son haces, que pueden ser rectos u ondulados dependiendo de lo estirados que estén. Estos haces están compuestos por fibras individuales de colágeno, que tienen un diámetro aproximado de 1–12 µm. Los haces de colágeno pueden presentar ramificaciones o anastomosis con otros haces, mientras que las fibras individuales no. Bajo el microscopio electrónico se observa que las distintas fibras de colágeno están compuestas por fibriles de 20–200 nm de diámetro. A grandes aumentos del microscopio se observa que cada fibril muestra una estructura de bandas cada 67 nm. Los fibriles de colágeno son cadenas de moléculas de tropocolágeno. Cada molécula de tropocolágeno es de 300 nm de longitud. En un fibril, las moléculas de tropocolágeno se solapan parcialmente y de forma regular unas con otras, lo que produce la estructura de bandas mencionada anteriormente. Esta organización está resumida gráficamente en la figura 2.3. Cada molécula de tropocolágeno está compuesta por tres cadenas polipeptídicas, que se enlazan mutuamente formando una triple hélice. El nombre de cada una de estas cadenas 4.

(14) polipeptídicas es procolágeno. Cada cadena de procolágeno está formada por largas cadenas de aminoácidos que forman tripletes. En cada triplete se encuentra el aminoácido glicina, mientras que los otros dos comúnmente son dos de los siguientes: hidroxiprolina, prolina o hidroxilisina. Las fibras de colágeno resisten muy bien los esfuerzos de tracción sin estirarse significativamente. Al mismo tiempo, son flexibles y se pueden doblar con facilidad.. Figura 2.3: Estructura jerárquica de las fibras de colágeno. Figura extraída de [26]. Fibras reticulares Las fibras reticulares son una variedad de fibras de colágeno. Presentan las bandas a 67 nm. Las principales diferencias con respecto a las fibras de colágeno son las siguientes: Son más finas y tienen un grosor variable. Forman una red (retícula) gracias a ramificaciones y anastomosis. No forman haces. Contienen más carbohidratos que las fibras de colágeno. Las fibras reticulares proporcionan soporte a los órganos linfoides como el bazo, los nódulos linfáticos o la médula ósea; la mayoría de las glándulas, incluyendo el hígado; y los riñones. Las fibras reticulares son un componente esencial de todas las membranas basales de la matriz extracelular. También se encuentran estas fibras en tejido muscular y nervioso. Fibras elásticas Las fibras elásticas son más escasas que las de colágeno. No forman haces, sino que son fibras individuales, y se ramifican y forman anastomosis con otras fibras. 5.

(15) Las fibras elásticas tienen un espesor menor que las de colágeno (0,1–0,2 µm). En algunas ocasiones las fibras elásticas son gruesas (por ejemplo en ligamento amarillo), mientras que en otras forman membranas fenestradas (en paredes de arterias grandes). Al microscopio electrónico se observa que cada fibra elástica está compuesta por un núcleo central amorfo y una capa exterior de fibrillas. Dichas fibrillas están constituidas por una glucoproteína llamada fibrilina. Las fibras elásticas no presentan la estructura de bandas que se observan en los otros dos tipos de fibras. Las fibras elásticas están compuestas principalmente por una proteína llamada elastina que constituye el núcleo central amorfo. La elastina a su vez está formada por unidades más pequeñas denominadas tropoelastina. La elastina contiene un número elevado de aminoácidos valina y alanina. Un aminoácido que se encuentra exclusivamente en las fibras elásticas es la desmosina. Respecto a su comportamiento mecánico, las fibras elásticas pueden estirarse y volver a su estado original tras cesar el esfuerzo.. 2.1.2.. Células. En el tejido conectivo se encuentran varios tipos celulares, que se pueden agrupar en dos grandes categorías: Células que son componentes intrínsecos del tejido conectivo. Las células más importantes dentro de este grupo son los fibroblastos, aunque también se hallan las células mesenquimales no diferenciadas, las células pigmentarias y los adipocitos. Además, en algunos tejidos conectivos más especializados, se encuentran otros tipos celulares. Células que pertenecen al sistema inmunitario. Dentro de este grupo se clasifican los macrófagos, mastocitos, linfocitos, células plasmáticas, monocitos y eosinófilos. Fibroblastos Este tipo celular es el más numeroso y representativo del tejido conectivo. Se llaman fibroblastos porque están relacionados con la producción de fibras de colágeno. Además, intervienen en la formación de fibras reticulares y fibras elásticas. La cantidad de citoplasma y de orgánulos varía dependiendo de la actividad de la célula. En un fibroblasto inactivo (también denominado fibrocito) el citoplasma y los orgánulos son escasos, mientras que en un fibroblasto activo se da la situación contraria. La actividad de los fibroblastos depende de la necesidad de generar nuevas fibras. Por tanto, en situaciones extremas (como por ejemplo al reparar una herida), los fibroblastos están muy activos y generan nuevos fibroblastos por división celular.. 2.1.3.. Sustancia fundamental. La sustancia fundamental es una solución homogénea viscosa que rellena el espacio entre las fibras y las células. La sustancia fundamental compone, junto con las fibras, la matriz extracelular del tejido conjuntivo. Diversas técnicas de histología han determinado que el principal componente de la sustancia fundamental son los proteoglicanos. Se conocen varios tipos de proteoglicanos. Cada uno de ellos es un complejo formado por proteínas y largas cadenas de polisacáridos denominado glucosaminoglicano (GAG). Además de los proteoglicanos, la sustancia fundamental presenta glucoproteínas estructurales. Su función principal es facilitar la adhesión de distintos elementos dentro del tejido conectivo. 6.

(16) Capítulo 3. Paso A: Especificación del caso de estudio Como se ha indicado en el capítulo 1, el primer paso en un estudio de incertidumbre lo constituye la definición del problema que se quiere analizar. En nuestro caso, el modelo matemático que se va a utilizar es el presentado por Blanco et al. [6], que busca reproducir el comportamiento mecánico de un fibril de colágeno en un ensayo de tensión uniaxial. En este estudio, las variables de entrada del modelo son los parámetros mecánicos y geométricos de los elementos constituyentes del fibril, y las variables de salida son los parámetros mecánicos que definen el comportamiento mecánico de un fibril en un ensayo de tracción uniaxial: i.e. la tensión última elástica, la densidad de energía elástica almacenada al iniciarse el daño y la energía disipada por unidad de superficie al agotar la capacidad mecánica del fibril. En este trabajo se buscará determinar, para cada una de las variables de salida, el rango de sus valores posibles, el análisis de su dispersión central (esperanza y varianza) y, finalmente, la caracterización de su función de probabilidad. En las siguientes secciones se describirá cada uno de los componentes que forman el Paso A del análisis de incertidumbre.. 3.1.. Modelo mesoscópico del fibril. En esta sección se describirá el modelo matemático que permitirá obtener las expresiones de los parámetros mecánicos de interés del fibril. Se ha elegido una estructura jerárquica simplificada para el tejido blando que considera el tejido blando como un material compuesto reforzado por fibras y a su vez las fibras como materiales compuestos reforzados por fibriles. Los fibriles, compuestos por una estructura escalonada de moléculas de tropocolágeno, constituyen la escala más pequeña con la que se trabaja. Los pasos a seguir para caracterizar mecánicamente el comportamiento inelástico de los fibriles de colágeno son los siguientes. En primer lugar, se obtiene el umbral de estiramiento elástico de los fibriles de colágeno, suponiendo que su configuración de referencia es ondulada. A continuación, se estudia el comportamiento mesomecánico del fibril: se introduce el modelo bidimensional de Hodge-Petruska, se definen las propiedades mecánicas y geométricas de todos los constituyentes del fibril y, por último, se caracteriza el comportamiento mesomecánico elástico e inelástico del fibril en conjunto. Toda la información y las figuras de esta sección provienen del artículo “A regularised continuum damage model based on the mesoscopic scale for soft tissue” [6].. 7.

(17) 3.1.1.. Umbral de estiramiento elástico del fibril. La estructura ondulada de los fibriles de colágeno juega un papel muy importante a la hora de soportar esfuerzos mecánicos. Afecta a la rigidización de tracción y al valor del umbral de estiramiento elástico, suponiendo que el patrón ondulado de los fibriles es su configuración de referencia. Se considera que el fibril tiene una forma sinusoidal, caracterizado por el parámetro adimensional r (ver figura 3.1). La longitud total L queda expresada como: 2α p L= 1 + π2 r2 E π |. π2 r2 1 + π2 r2 {z. E(m). !. (3.1) }. donde E(m) es la integral elíptica completa de segunda especie. Se asume como hipótesis que el fibril comienza a sufrir daño cuando está completamente estirado y que el fibril y la fibra comparten el mismo umbral de estiramiento elástico λe . Teniendo esto en cuenta, se obtiene la siguiente expresión: L 2p λe = = 1 + π2 r2 E α π. π2 r2 1 + π2 r2. !. (3.2). Figura 3.1: Dependencia de λe con r. 3.1.2.. El modelo de Hodge-Petruska bidimensional. Se considera el modelo bidimensional de Hodge-Petruska ([28]) para caracterizar la estructura escalonada de las moléculas de tropocolágeno a lo largo de los fibriles. Un esquema del modelo se puede ver en la figura 3.2, y los valores sacados de la bibliografía quedan reflejados en la tabla 3.1 La cohesión molecular y, por tanto, la estabilidad geométrica de la cadena se logra gracias a la presencia de fuerzas intermoleculares adhesivas distribuidas a lo largo de las moléculas de tropocolágeno y los cross-links en los extremos de las moléculas. Las fuerzas intermoleculares adhesivas se distribuyen por la región solapada χl de la molécula, y los cross-links se encuentran. 8.

(18) Figura 3.2: Modelo de Hodge-Petruska bidimensional Parámetro D d l h η. Valor (en nm) 4-20 1.5 300 67 6. Cuadro 3.1: Valores aproximados de los parámetros del modelo (valores extraídos de [6]) en los extremos, en los últimos η = 60 Å de la molécula [8]. Estas uniones intermoleculares son las que proporcionan cohesión y estabilidad al fibril ante esfuerzos mecánicos.. 3.1.3.. Modelo mesomecánico del fibril en régimen elástico. Se asume como hipótesis que, ante un esfuerzo de tracción axial, todas las moléculas se cargan uniformemente. Simplificando, se puede considerar que la tensión soportada por el fibril de colágeno se transmite a través de las uniones adhesivas distribuidas a lo largo de la región solapada de la molécula y de los cross-links (ver figura 3.3).. Figura 3.3: Equilibrio unidimensional de la molécula de tropocolágeno En condiciones cuasi-estáticas, se puede considerar una disposición en serie de la molécula de tropocolágeno con una en paralelo de las uniones distribuidas y los cross-links (ver figura 3.4). Es necesario caracterizar por tanto el comportamiento mesomecánico de cada uno de los ingredientes que se introducen en el modelo (molécula de tropocolágeno, uniones intermoleculares distribuidas y cross-links). Si se asume un comportamiento mesoscópico lineal, sólo hay que definir tres parámetros para cada ingrediente: una constante de rigidez elástica, la tensión última y la energía disipada. Aquí se considera energía disipada al trabajo que hay que realizar para agotar la capacidad de carga del material.. 3.1.4.. Modos de rotura de los fibriles. Se asocia el comienzo de fenómenos inelásticos en el tejido al comienzo de la degradación de los componentes del fibril. Según el modelo idealizado, la pérdida de la capacidad de carga puede estar relacionada tanto con la rotura de la cadena de tropocolágeno como con la rotura de las 9.

(19) Figura 3.4: Esquema de fuerzas del fibril uniones adherentes presentes entre las distintas moléculas. Debido a la alta resistencia a tracción de las moléculas de tropocolágeno, se considera que la degradación del fibril está relacionada únicamente a la pérdida de las uniones adherentes de las moléculas de tropocolágeno. Se propone como hipótesis que hay dos mecanismos de rotura posibles: que cedan las uniones adherentes intermoleculares distribuidas o que cedan los cross-links. Por tanto, si los crosslinks proporcionan una fuerza de cohesión (ηβτu ) mayor que la que proporcionan las uniones adherentes intermoleculares distribuidas (χlτu ), aparecerá un plano de fractura en las uniones distribuidas (modo de rotura 1). En el caso contrario (más fuerza en las uniones distribuidas que en los cross-links), aparecerá un plano de fractura en los cross-links (modo de rotura 2). En la figura 3.5 se pueden ver estos dos modos de rotura. Los ángulos que forman esos planos de fractura con la dirección del fibril se pueden expresar como: tanΘ1 =. D l−h+s. tanΘ2 =. D h. Figura 3.5: Esquema de los dos modos de rotura. 10. (3.3).

(20) Se define una longitud crítica lcr como la longitud mínima de la molécula de tropocolágeno tal que la fuerza máxima ejercida por los cross-links es igual a la fuerza máxima ejercida por las uniones adherentes intermoleculares distribuidas: lcr =. ηβτu ηβ = χτu χ. (3.4). Este parámetro proporciona un criterio para identificar cuál es el modo de rotura predominante en el fibril. De manera que: si l < lcr predominará el modo de rotura 1, y viceversa, si l > lcr , predominará el modo de rotura 2.. 3.1.5.. Caracterización mesomecánica del comportamiento inelástico del fibril. El comienzo y la evolución de cada uno de los modos de rotura anteriormente comentados afectan a la tensión máxima en régimen elástico del fibril y a la cantidad de energía disipada disponible. A continuación se describirá la caracterización mecánica de ambos modos de rotura para después poder describir el comportamiento general del fibril, asumiendo que las longitudes de las moléculas de tropocolágeno siguen una distribución gaussiana. En primer lugar, se define la tensión máxima por unidad de área como: χlτu ηβτu ; σumodo 2 = (3.5) 2 D D2 donde D es la distancia de equilibrio entre dos moléculas de tropocolágeno. La densidad de energía disipada de superficie por unidad de área del fibril se expresa como: σumodo 1 =. 1 1 1 1 Gfmodo 1 = τu (χl)2 2 ; Gfmodo 2 = βτu η 2 2 (3.6) 2 D 2 D La longitud crítica lcr permite determinar qué modo de rotura es el que va a ocurrir en el fibril. Suponiendo que las longitudes de las distintas moléculas de tropocolágeno responden a una distribución gaussiana de media lm y varianza σ (ver figura 3.6), es posible calcular la proporción de roturas tipo 1 que ocurrirán en un fibril como: 1 lcr − lm √ D1 = [1 + erf ] 2 σ 2 . . Figura 3.6: Distribución normal de las longitudes de las moléculas de tropocolágeno. 11. (3.7).

(21) Estas ecuaciones permiten obtener dos primeras expresiones que caracterizan el comportamiento mesomecánico del fibril: σu = D1 σumodo 1 + (1 − D1 )σumodo 2. (3.8). Gf = D1 Gfmodo 1 + (1 − D1 )Gfmodo 2. (3.9). donde la ecuación (3.8) permite calcular el valor de la tensión máxima que se puede aplicar al material sin producir deformaciones permanentes, y la ecuación (3.9) permite calcular la energía por unidad de superficie mínima que hay que aportar para degradar totalmente el material. En ambas ecuaciones se considera que el comportamiento global del fibril es la media ponderada del comportamiento de los modos de rotura 1 y 2. La densidad de energía elástica almacenada por unidad de volumen en el comienzo del daño de la fibril tiene dos componentes: la energía elástica almacenada en la molécula de tropocolágeno y la energía elástica almacenada en las uniones intermoleculares. Debido a que estos componentes están en serie como se ha comentado anteriormente, están sometidos a la misma fuerza interna: u ffibril = σu D 2. (3.10). Asumiendo un comportamiento elástico lineal para cada componente, y usando los módulos elásticos ETC y Kdist para las moléculas de tropocolágeno y las uniones intermoleculares, respectivamente, se puede calcular la energía elástica almacenada en la molécula de tropocolágeno (ver figura 3.3) y en las uniones intermoleculares como: u (1 − χ)l 1 u ffibril 0 wtropocolágeno = ffibril ; 2 ETC d2. u 1 u ffibril 0 wuniones = ffibril 2 Kdist. (3.11). Estas expresiones permiten obtener la densidad de energía elástica por unidad de volumen del fibril: 1 0 (w0 + wuniones ) (3.12) lD2 tropocolágeno Las ecuaciones (3.8), (3.9) y (3.12) permiten caracterizar el comportamiento mecánico del fibril en la escala mesoscópica a partir de las propiedades mecánicas de sus principales componentes. W0 =. 3.2.. Variables de entrada y de salida del modelo. Como se ha indicado en la introducción de este capítulo, las variables de entrada se dividen en dos grupos: variables con incertidumbre y variables sin incertidumbre. En el capítulo 4 se presenta con detalle la caracterización de la incertidumbre de cada una de las variables de entrada del modelo, por lo que aquí solo presentamos la división que se ha considerado en la tabla 3.2. Nótese que el grupo de los parámetros sin incertidumbre lo comprenden las variables geométricas del modelo, debido a que están mejor definidas en la bibliografía y hay poca dispersión entre los valores que publican los distintos investigadores. Como también se ha introducido anteriormente, las variables de salida de interés son las que caracterizan el comportamiento mecánico de un ensayo de tracción uniaxial: i.e. la tensión última elástica, la densidad de energía elástica almacenada al iniciarse el daño y la energía disipada por unidad de superficie al agotar la capacidad mecánica del fibril. Estas variables, junto con la expresión del modelo correspondiente, se presentan en la tabla 3.3.. 12.

(22) Variable de entrada sin incertidumbre Longitud de las moléculas de TC Diámetro de las moléculas de TC Distancia longitudinal entre moléculas Distancia axial entre moléculas Longitud concentración cross-links Variable de entrada con incertidumbre Módulo elástico de las moléculas de TC Módulo elástico cross-links Tensión última uniones distribuidas Factor Beta. Símbolo l d s D η Símbolo ETC Kdist τu β. Cuadro 3.2: Tabla resumen de las variables de entrada del modelo Variable de salida (con incertidumbre) Tensión última elástica Energía elástica almacenada Energía de disipación. Símbolo σu W0 Gf. Ecuación (3.8) (3.12) (3.9). Cuadro 3.3: Tabla resumen de las variables de salida del modelo. 3.3.. Criterios del estudio de la incertidumbre. En primer lugar, y en un contexto puramente determinista, se determinará el rango de los i , yi valores posibles de las variables de interés. Buscamos el subconjunto [ymin max ] ∈ R en el cual i estamos seguros de encontrar la variable de interés yi . Posteriormente se utilizarán criterios probabilísticos para determinar las medidas de tendencia central y de dispersión de cada una de las variables de interés. Se calculará la esperanza µi y la varianza σi2 definidas como: µi = E(yi );. σi2 = E((yi − µi )2 ). (3.13). Estas magnitudes nos proporcionarán un “orden de magnitud” de la incertidumbre: la desviación estándar σi normalizada por el valor medio µi (para evitar efectos de escala) es un indicador de la dispersión de la variable de interés (valores distantes de la esperanza son más probables si la desviación estándar es grande). Finalmente, se buscará construir la función de distribución de probabilidad de las variables de interés mediante la técnica estadística del “kernel smoother” [40] a partir de los resultados proporcionados por el modelo matemático. Este estudio de la incertidumbre descrito se presenta en el capítulo 5, donde el análisis del rango de las variables de interés se describe en el apartado 5.1, el análisis de la dispersión central en la sección 5.2 y la construcción de la función de probabilidad en el apartado 5.3.. 13.

(23) Capítulo 4. Paso B: Caracterización de las fuentes de incertidumbre 4.1.. Introducción. En este capítulo se resume la caracterización estadística de los parámetros de entrada y de las variables de interés del modelo propuesto en el capítulo 3. Esta caracterización se ha llevado a cabo mediante una búsqueda bibliográfica de los distintos ensayos experimentales y mediciones publicados, tanto sobre el fibril de colágeno como sobre sus componentes constitutivos. Esta caracterización nos servirá para, utilizando el modelo numérico definido, llevar a cabo el estudio de la propagación de la incertidumbre sobre las variables de interés en los capítulos 5 y 6. Para cada uno de los parámetros de entrada del modelo se determinará si la incertidumbre asociada a su medición es significativa. Si ese es el caso, se intentará establecer una función de probabilidad que se ajuste a los valores de dichos parámetros. Por otro lado, las variables de interés también han sido caracterizadas usando datos experimentales publicados. Esta caracterización permitirá estudiar la bondad del modelo utilizado mediante la comparación de los resultados numéricos con los valores experimentales. Para determinar la función de probabilidad de un conjunto de valores se ha usado el Software libre OpenTURNS [1], que es una librería de Python desarrollada por Airbus destinada al tratamiento de la incertidumbre. Entre otras cosas, se puede determinar si se cumple la hipótesis de que una cierta muestra se ajusta a una determinada función de probabilidad. De esta forma, se han ensayado numerosas funciones (normal, triangular, exponencial, Beta, Gamma,...) y se ha escogido la distribución que ofrece el mayor p-valor en el contraste de hipótesis. La bondad del ajuste de los datos obtenidos de la bibliografía con una cierta función de distribución de probabilidad se ha realizado mediante el test de bondad del ajuste de Kolmogorov-Smirnov [23]. Este test utiliza la máxima diferencia entre la función de distribución acumulada de la muestra de valores (experimental) y la función de distribución acumulada de la función de distribución candidata. Aunque este método requiere un mínimo número de valores (de varias docenas según [2]) mayor del que se dispone, este estudio es interesante realizarlo porque proporciona, de todas las funciones de distribución ofrecidas por OpenTURNS, aquella que minimiza dicha diferencia. En este estudio se ha utilizado un coeficiente de significancia α = 0.8 y no se podrá rechazar la hipótesis de que la distribución corresponde a una función determinada si se obtiene un p-valor > α = 0.8. Para la validación de este ajuste también se ha utilizado el método gráfico QQ (cuantilcuantil), en el que se dibujan los cuantiles-α experimentales a partir de los datos ordenados de la muestra y los cuantiles-α a partir de la función de distribución de probabilidad candidata. La hipótesis de que la función de distribución elegida corresponde con la muestra experimental 14.

(24) será más plausible cuanto más se aproxime esta gráfica a la diagonal.. 4.2.. Parámetros de entrada del modelo. A continuación se resumen los parámetros del modelo reproduciendo la tabla 3.2.. 4.2.1.. Longitud de la molécula de tropocolágeno. La longitud de la molécula de tropocolágeno varía ligeramente en función del autor. Sin embargo, se encuentra que el valor que más aparece en la bibliografía es 300 nm (Bar-On y Wagner (2013) [3], Svensson et al. (2013) [35], Vesentini et al. (2013) [39], Starborg et al. (2013) [33], Gautieri et al. (2012)[15], Buehler (2008) [8], Toroian et al. (2007) [37], Kadler et al. (1996) [21], Sasaki y Odajima (1996) [30], Parry (1988) [27]). Cabe destacar que muchas veces la longitud de la molécula de tropocolágeno se expresa en función de la región de solapamiento (Modelo de Hodge-Petruska), y se ha visto que dicha región de solapamiento tiene una longitud que varía de 60 a 73 nm (Erickson et al. (2013) [13]).Por tanto, es inmediato deducir que la longitud total de la molécula depende de estas regiones de solapamiento. De esta forma, encontramos valores de longitud de la molécula de tropocolágeno de 298.8 nm (Gautieri et al. (2011) [34]), 295 nm (Liao et al. (2005) [22]), 280 nm (Buehler (2006) [7], Sasaki y Odajima (1996) [29]). Longitud (en nm) 300. 298.8 295 280. Referencias Bar-On y Wagner (2013) [3], Svensson et al. (2013) [35], Vesentini et al. (2013) [39], Starborg et al. (2013) [33], Gautieri et al. (2012)[15], Buehler (2008) [8], Toroian et al. (2007) [37], Kadler et al. (1996) [21], Sasaki y Odajima (1996) [30], Parry (1988) [27] Gautieri et al. (2011) [34] Liao et al. (2005) [22] Buehler (2006) [7], Sasaki y Odajima (1996) [29]. 280. 285. 290. 295. 300. (a) Histograma. 280. 285. 290. 295. 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30. 300. Cuadro 4.1: Longitud de las moléculas de tropocolágeno. (b) Diagrama de caja. Figura 4.1: Histograma y diagrama de caja de la longitud de las moléculas de TC. 15.

(25) Como se puede apreciar en el histograma 4.1a, la mayoría de los valores son 300 nm. Debido a esto, no hay una distribución de probabilidad que se ajuste de manera satisfactoria al conjunto de valores obtenidos a partir de la bibliografía. Además, en el diagrama de caja 4.1b, se puede observar que hay outliers o valores atípicos que se pueden desechar. La decisión que hemos tomado para caracterizar la longitud de las moléculas de tropocolágeno (debido a su poca dispersión) es asumir que este parámetro de entrada no tiene incertidumbre y realizar la media aritmética de todos los valores resumidos en la tabla 4.1, exceptuando los outliers, dando lugar a una longitud de las moléculas de tropocolágeno de 300 nm.. 4.2.2.. Diámetro de la molécula de tropocolágeno. Al igual que en el apartado anterior, se encuentran pocas discrepancias en los valores de diámetro de las moléculas de tropocolágeno que aportan los distintos autores. El valor más repetido es 1.5 nm (Gautieri et al. (2012)[15], Gautieri et al. (2011) [34], Buehler (2008) [8], Buehler (2006) [7], Kadler et al. (1996) [21], Liao et al. (2005) [22]). También se encuentran valores de 1.6 nm (Vesentini et al. (2013) [39]), 1.4 nm (Parry (1988) [27]), 1.25 nm (Bar-On y Wagner (2013) [3]), 1.1 nm (Gautieri et al. (2013) [14], Toroian et al. (2007) [37]) y 1.08 nm (Hulmes (1995) [17]). Diámetro Referencias (en nm) 1.5 Gautieri et al. (2012)[15], Gautieri et al. (2011) [34], Buehler (2008) [8], Buehler (2006) [7], Kadler et al. (1996) [21], Liao et al. (2005) [22] Vesentini et al. (2013) [39] Parry (1988) [27] Bar-On y Wagner (2013) [3] Gautieri et al. (2013) [14], Toroian et al. (2007) [37] Hulmes (1995) [17]. 1.6 1.4 1.25 1.1 1.08. 0. 1.1. 2. 1.2. 4. 1.3. 6. 1.4. 8. 1.5. 1.6. Cuadro 4.2: Diámetro de las moléculas de tropocolágeno. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. (a) Histograma. (b) Diagrama de caja. Figura 4.2: Histograma y diagrama de caja del diámetro de las moléculas de TC Al igual que en el apartado anterior, los datos realmente no son muy dispersos, como se 16.

(26) puede observar en el histograma y el diagrama de caja de la figura 4.2, por lo que el valor que se escoge para el diámetro de las moléculas de tropocolágeno es la media aritmética de los valores de la tabla 4.2, dando un valor para el diámetro de 1.38 nm, y se asume también que este parámetro de entrada no tiene incertidumbre asociada.. 4.2.3.. Distancia longitudinal entre moléculas de tropocolágeno. Esta longitud se suele dar en función del período de la estructura bandeada de los fibriles que, como se ha visto, es variable, aunque el valor que más veces aparece en las publicaciones es 67 nm. De esta forma, se ha visto que la distancia longitudinal entre dos moléculas de tropocolágeno se suele considerar como 40 nm (Bar-On y Wagner (2013) [3], Bhattacharjee (2005) [5], Liao et al. (2005) [22]), 36.2 nm (Vesentini et al. (2013) [39], Gautieri et al. (2011) [34]) o 35 nm (Toroian et al. (2007) [37], Parry (1988) [27]). Como es lógico, una buena determinación del período de los patrones bandeados de las moléculas es esencial para ajustar bien este parámetro. Además, esta distancia depende del estado del fibril: será mayor si el fibril está estirado y menor si este está contraído. Al igual que en apartados anteriores, debido a la poca dispersión de los datos encontrados en la bibliografía (ver figura 4.3), se considerará que este parámetro no tiene incertidumbre y se tomará como valor de la distancia longitudinal entre moléculas de tropocolágeno la media aritmética de los mismos, dando lugar a una distancia longitudinal entre moléculas de s = 37.58 nm. Distancia longitudinal (en nm) 40 36.2 35. Referencias Bar-On y Wagner (2013) [3], Bhattacharjee (2005) [5], Liao et al. (2005) [22] Vesentini et al. (2013) [39], Gautieri et al. (2011) [34] Toroian et al. (2007) [37], Parry (1988) [27]. 35. 36. 37. 38. 39. 35. 0.0. 36. 0.2. 37. 38. 0.4. 39. 0.6. 40. Cuadro 4.3: Distancia longitudinal entre moléculas de tropocolágeno. 40. (a) Histograma. (b) Diagrama de caja. Figura 4.3: Histograma y diagrama de caja de la distancia longitudinal entre moléculas de TC. 17.

(27) 4.2.4.. Distancia de equilibrio axial entre moléculas de tropocolágeno. Aunque en el capítulo 6 se estudiará la influencia relativa que tienen los parámetros de entrada del modelo sobre el mismo, se puede pensar que la distancia axial entre moléculas de tropocolágeno adyacentes es una de las propiedades cuya variación afectará en gran medida al resultado de las simulaciones, puesto que en las ecuaciones aparece elevada al cuadrado (ecuaciones (3.5), (3.6), (3.10) y (3.12)). De esta forma, se han encontrado los siguientes datos referentes a la separación entre moléculas (esta separación además depende en gran medida del estado de hidratación de las moléculas): 3.8 nm (Hulmes (2002) [16]), 1.8 nm (Toroian et al. (2007) [37]), 1.6 nm (Gautieri et al. (2013) [14], Gautieri et al. (2012) [15]), 1.545 nm (Hulmes (1995) [17]), 1.5 nm (Bar-On y Wagner (2013) [3]). Distancia axial (en nm) 3.8 1.8 1.6 1.545 1.5. Referencias Hulmes (2002) [16] Toroian et al. (2007) [37] Gautieri et al. (2013) [14], Gautieri et al. (2012) [15] Hulmes (1995) [17] Bar-On y Wagner (2013) [3]. 1.5. 0.0. 0.5. 2.0. 1.0. 2.5. 1.5. 3.0. 2.0. 2.5. 3.5. Cuadro 4.4: Distancia axial entre moléculas de tropocolágeno. 1.5. 2.0. 2.5. 3.0. 3.5. 4.0. (a) Histograma. (b) Diagrama de caja. Figura 4.4: Histograma y diagrama de caja de la distancia media axial entre moléculas de TC Para este parámetro no se ha encontrado ninguna distribución de probabilidad que se ajuste satisfactoriamente, por lo que se han descartado los outliers que se observan en el diagrama de caja 4.4b, se ha calculado la media aritmética del resto de valores, dando lugar a una distancia axial media entre moléculas de tropocolágeno de 1.61 nm, y se ha considerado que ese parámetro no tiene incertidumbre.. 4.2.5.. Longitud de concentración de cross-links. Este parámetro indica cuál es la longitud dentro de la molécula de tropocolágeno en la que hay un cross-link. Este es un parámetro del que apenas hay información en la bibliografía.. 18.

(28) Solamente se ha encontrado un autor que aporta un valor de esta magnitud: 6 nm (Buehler (2008) [8]). En este trabajo consideraremos que no hay incertidumbre asociada a este parámetro ya que asumimos que la variabilidad en la resistencia última de los cross-links entre moléculas de tropocolágeno viene dada por la incertidumbre asociada al parámetro β (ver ecuaciones (3.5) y (3.6)). Longitud de cross-links (nm) 6. Referencias Buehler (2008) [8]. Cuadro 4.5: Longitud de concentración de cross-links. 4.2.6.. Módulo elástico de la molécula de tropocolágeno. En este apartado se resumen las constantes elásticas de las moléculas de tropocolágeno que han obtenido los distintos autores. Cabe destacar que esto es una tarea difícil (cada molécula tiene una longitud aproximada de 300 nm), y se pueden usar diversas técnicas para ello, como la microscopía de fuerza atómica o los dispositivos MEMS (sistemas microelectromecánicos). Valores obtenidos: 4.6 ± 0.4 GPa (Vesentini et al. (2013) [39]), 4.8 ± 2 GPa (Gautieri et al. (2011) [34]), 4.8 ± 1 GPa (Lorenzo y Caffarena (2005) [25]), 7 GPa (Buehler (2006) [7]), 5 GPa (Bar-On y Wagner (2013) [3]), 6 GPa (Gautieri et al. (2013) [14]). Módulo elástico (GPa) 4,62 ± 0,41 4,8 ± 2 4,8 ± 1 7 5 6. Referencias Vesentini et al. (2013) [39] Gautieri et al. (2011) [34] Lorenzo y Caffarena (2005) [25] Buehler (2006) [7] Bar-On y Wagner (2013) [3] Gautieri et al. (2013) [14]. Cuadro 4.6: Módulos elásticos de las moléculas de tropocolágeno En primer lugar se ha comprobado cuál es la función de probabilidad que devuelve el mayor p-valor para ajustar este conjunto de datos, obteniendo una función de tipo Beta (figura 4.5a) que se extiende de 3.85 GPa a 5.83 GPa con media 4.8 GPa y varianza 1.02 GPa2 . Es importante señalar que para el ajuste de esta función se han descartado los valores de 7 GPa y 6 GPa, debido a que pertenecen a las referencias más antiguas y no permiten un correcto ajuste de los valores a una distribución de probabilidad. Aplicando el Test de Kolmogorov-Smirnov con esa función Beta se obtiene un p-valor de 0.88, que es mayor al nivel de significancia α que se ha establecido y por tanto no se puede rechazar la hipótesis de que esa muestra de datos se ajusta a la función anteriormente mencionada. El test también devuelve el gráfico QQ de la figura 4.5c. Nótese que, al disponer solamente de una muestra de 4 valores, el p-valor seguramente esté sobreestimado [2], pero esta es la mejor solución que se ha encontrado.. 4.2.7.. Módulo elástico de los cross-links. De este parámetro solo se ha encontrado un valor en la bibliografía. Buehler [7] obtuvo un valor de este parámetro de Kdist = 1,181 nN/Å usando una simulación de dinámica molecular. Disponiendo de solamente un valor para el módulo elástico de los cross-links, se ha definido una función de tipo Beta con valor medio µKdist = 11.8 N/m y desviación típica σKdist =0,1µKdist = 19.

(29) 7.0 6.5. 2.5. 6.0. 2.0 1.5. 5.5. 1.0. 5.0. 0.5 0.0. 4.2. 4.4. 4.6. 4.8. 5.0. 5.2. 5.4. (b) Diagrama de caja. Línea del Test Datos. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 5.0. (a) Distribución de probabilidad. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 5.0. (c) Gráfico QQ. Figura 4.5: Distribución de probabilidad, diagrama de caja y gráfico QQ del módulo elástico de las moléculas de TC min = 0.01µ max 1.18 N/m, comprendida entre los valores Kdist Kdist = 0.118 N/m y Kdist = 2µKdist − min Kdist = 23.48 N/m.. 4.2.8.. Tensión última de las uniones distribuidas. Este valor τu indica la rigidez que tienen los enlaces entre moléculas adyacentes que encontramos a lo largo de cada molécula. Al igual que en el apartado anterior, solo se ha conseguido obtener, usando dinámica molecular, un único valor de este parámetro, y del mismo autor, por lo que se debe seguir investigando en esta dirección para poder diseñar modelos más realistas. El valor que publicó el autor es τu = 5,55pN/Å (Buehler (2008) [8]). Para este parámetro se establece una distribución de probabilidad similar a la del módulo elástico de los cross-links, es decir, una función Beta (ver figura 4.7) con valor medio µτ u = 0.055 N/m, desviación típica στ u u u =0,1µτ u = 0.0055 N/m, comprendida entre los valores τmin = 0.01µτ u = 0.00055 N/m y τmax u = 2µτ u − τmin = 0.11 N/m.. 4.2.9.. Tensión última de los cross-links. Esta tensión se define como un factor β que multiplica a la tensión última de las uniones distribuidas. Este parámetro introducido por Buehler (ver [7] y [8]) describe el incremento de la. 20.

(30) 0.3 0.2 0.1 0.0. 8. 10. 12. 14. 16. 0. 20. 40. 60. 80. Figura 4.6: Distribución de probabilidad del módulo elástico de los cross-links. 0.04. 0.05. 0.06. 0.07. Figura 4.7: Distribución de probabilidad de la tensión última de las uniones distribuidas adhesión en los extremos de la molécula de colágeno debido a los cross-links (uniones covalentes de átomos de carbono). El autor considera que un valor β = 12,5 corresponde al caso en el que aproximadamente hay una unión covalente entre los extremos de moléculas de tropocolágeno. En este caso se desconoce si los valores de β presentan dispersión o no, por lo que se define una función Beta (ver figura 4.8) con valor medio µβ = 12.5, desviación típica σβ =0,1µβ = 1.25, comprendida entre los valores βmin = 0.01µβ = 0.125 y βmax = 2µβ − βmin = 24.875, que posteriormente se irá modificando para ajustar los resultados del modelo a las medidas experimentales que se han realizado con fibriles de colágeno (Liu et al. (2016) [24]).. 4.2.10.. Independencia de los parámetros de entrada mecánicos. Normalmente, en un estudio de estas características es necesario estudiar la posible dependencia entre las variables de entrada con incertidumbre y, en el caso de que esta dependencia exista, realizar un análisis multidimensional que no incluya un sesgo en los resultados mediante la definición de una matriz de cópula. Desafortunadamente no es posible caracterizar experimentalmente esta matriz de cópulas porque sólo se dispone de un solo dato de cada parámetro mecánico (beta, módulo elástico de los cross-links y tensión última de las uniones distribuidas), exceptuando el módulo elástico de las moléculas de tropocolágeno, por lo que se considerará que hay independencia entre ellos. Sin embargo, también se podría haber estimado una dependencia entre los parámetros mecánicos de los componentes del fibril utilizando el así llamado “criterio de experto”.. 21.

(31) 0.3 0.2 0.1 0.0. 8. 10. 12. 14. 16. Figura 4.8: Distribución de probabilidad de beta. 4.3.. Parámetros de salida del modelo. Los parámetros de salida del modelo explicado en el capítulo 3 de este trabajo son estos tres: tensión última elástica del fibril, densidad de energía elástica almacenada y densidad de energía de disipación por unidad de superficie. Para obtener los valores que se mostrarán a continuación se ha usado el artículo publicado recientemente por Liu, Ballarini y Eppel [24], donde se muestran ensayos de tracción usando la tecnología de MEMS en 12 fibriles de mamíferos (obtenidos a partir de ligamento rotuliano de rata). Para explicar cómo se obtienen las distintas variables de interés haremos uso de una curva de tensión-deformación típica y un esquema en el que aparecen los distintos parámetros de interés (figura 4.9).. 2 1. 3. (a). (b). Figura 4.9: Curva tensión-deformación típica ([24]) y esquema simplificado. Se ha denominado tensión última elástica (σu ) a la tensión ejercida sobre el fibril cuando este abandona el régimen elástico. Las curvas de tensión-deformación típicas de materiales como las fibras de colágeno presentan dos zonas diferenciadas: una zona lineal que equivale a un régimen elástico y una zona no lineal en la que consideraremos que se han iniciado los procesos inelásticos. Sin embargo, los valores que los autores suelen presentar en sus trabajos son de tensión de fractura, es decir, aquella tensión a la que el material se rompe. De esta forma, los valores de tensión última elástica que se están buscando se deben deducir a partir de las curvas tensión-deformación. Un dato que sí que aportan Liu et al. son los módulos elásticos E 22.

(32) en el régimen lineal. Entonces, estimando la deformación εlim a la que el comportamiento del fibril deja de ser lineal se puede calcular la tensión última elástica como σu = Eεlim . Les hemos pedido a los autores del artículo los datos de las curvas tensión-deformación de los distintos fibriles ensayados, y hemos estimado la deformación límite en la que se abandona el régimen lineal (figuras 4.11 y 4.12). Usando esa deformación y los módulos elásticos que aparecen en el artículo, se obtienen los valores de σu para cada fibril. Se define densidad de energía elástica almacenada (W0 ) como el área que hay bajo la curva tensión-deformación en régimen elástico, es decir, la integral de la curva desde el origen hasta εlim . Entonces, considerando el régimen lineal, se tiene que W 0 = 12 σu ·εlim = 21 E·ε2lim . Por último, llamamos densidad de energía de disipación por unidad de superficie (Gf ) a la energía necesaria para separar completamente las dos partes de una fibra fracturada.. Figura 4.10: Curva tensión-deformación para un fibril Si se observa la gráfica 4.10, la tenacidad, que es el trabajo que hay que aplicar para producir el fallo del material, es el área que hay bajo la curva desde el origen hasta la línea discontinua, mientras que la energía de disipación es el área completa que hay bajo la curva (nótese que la curva está modificada a mano, no es real). Sin embargo, los datos que proporcionan los autores son valores de tenacidad, por lo que hay que estimar la energía de disipación multiplicando la tenacidad por una cierta constante. Para una primera aproximación, se ha escogido el factor 1.2. Además, como se trata de energía por unidad de superficie, es necesario multiplicar la tenacidad (energía por unidad de volumen) por la longitud de cada fibril ensayado. La expresión resultante por tanto es la siguiente: Gf = 1,2 · T enacidad · lfibril. (4.1). En las siguientes figuras (4.11 y 4.12) se representan las curvas tensión-deformación de los 12 fibriles ensayados, en las que se diferencia la región lineal de la no lineal.. 23.

(33) 6e+07 4e+07 Strain. 0.0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. (b) Fibril 2. 8e+07 6e+07. Stress [Pa]. 4e+07. Strain 0.0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. 0e+00. 2e+07. 2e+07 0e+00. Strain 0.0. Stress [Pa]. 4e+07. 6e+07. (a) Fibril 1. (c) Fibril 3. Strain 0.0. 0.1. 0.3. 0.4. 0.5. 8e+07 6e+07 4e+07 2e+07 Strain 0.0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0e+00. 2e+07. 4e+07. 6e+07. 8e+07. 0.2. (d) Fibril 4. Stress [Pa]. Stress [Pa]. 0e+00. Stress [Pa]. 2e+07 0e+00. 0e+00. 2e+07. 4e+07. 6e+07. Stress [Pa]. (e) Fibril 5. Strain 0.0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. (f) Fibril 6. Figura 4.11: Curvas tensión deformación del artículo de Liu et al. [24]. 24. 0.5. 0.6.

(34) Stress [Pa]. 4e+07 2e+07 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. (b) Fibril 8 8e+07. Stress [Pa]. 6e+07 4e+07. 4e+07. 2e+07 0.0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0e+00. Strain. (c) Fibril 9. Strain 0.0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 0.6. 0.8. (d) Fibril 10. 1.2e+08. Stress [Pa]. Strain 0.0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.0e+00. 2e+07. 4.0e+07. 8.0e+07. 4e+07. Stress [Pa]. 0e+00. Strain 0.0. (a) Fibril 7. Stress [Pa]. 2e+07 0e+00. 0e+00. Strain 0.0. 6e+07. 8e+07. 0e+00. 4e+07. 8e+07. Stress [Pa]. Strain 0.0. (e) Fibril 11. 0.2. 0.4. (f) Fibril 12. Figura 4.12: Curvas tensión deformación del artículo de Liu et al. [24]. 4.3.1.. Tensión última elástica del fibril, σu. En la tabla 4.7 se recogen los valores de σu obtenidos usando los módulos elásticos publicados de cada fibril y la lim estimada a partir de las curvas 4.11 y 4.12. Con el conjunto de valores de la tabla 4.7 se ha realizado un test de ajuste, dando lugar a una función Gamma (4.13a) con media 39.3 MPa y varianza 18.3 MPa2 . El p-valor obtenido tras aplicar el Test de Kolmogorov-Smirnov es de 0.84, superior al nivel de significancia α establecido y, por tanto, no se puede rechazar la hipótesis estadística.. 25.

(35) Fibril 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. εlim 0.08 0.19 0.18 0.07 0.07 0.11 0.24 0.05 0.12 0.14 0.12 0.22. E (MPa) 391 185 160 459 520 266 287 329 467 315 190 341. σu (MPa) 31.3 35.2 28.8 32.1 33.8 29.3 68.9 14.8 56.0 44.1 22.8 75.0. 0.000. 20. 30. 0.010. 40. 0.020. 50. 0.030. 60. 70. Cuadro 4.7: Tensión última elástica para cada uno de los fibriles. Datos extraídos de Liu et al. ([24]). −20. 0. 20. 40. 60. 80. 100. (b) Diagrama de caja. Línea del Test Datos. 20. 40. 60. 80. (a) Distribución de probabilidad. 20. 40. 60. 80. (c) Gráfico QQ. Figura 4.13: Distribución de probabilidad, diagrama de caja y gráfico QQ para la tensión última elástica de los fibriles. 26.

(36) 4.3.2.. Densidad de energía elástica almacenada, W 0. En la siguiente tabla quedan reflejados los valores de W 0 obtenidos para cada fibril. εlim 0.08 0.19 0.18 0.07 0.07 0.11 0.24 0.05 0.12 0.14 0.12 0.22. Fibril 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. E (MPa) 391 185 160 459 520 266 287 329 467 315 190 341. W 0 x1000000 (J/m3 ) 1.25 3.34 2.59 1.12 1.10 1.61 8.27 3.33 3.36 3.09 1.37 8.25. Cuadro 4.8: Densidad de energía elástica almacenada para cada uno de los fibriles. Datos extraídos de Liu et al. ([24]). −2. 0. x10. 2. 1. 2. 0.0. 3. 0.1. 4. 0.2. 5. 0.3. 6. 0.4. 7. 0.5. 8. Energía Elástica Almacenada. 4. (a) Distribución de probabilidad. (b) Diagrama de caja. 0. 1. 2. 3. 4. Línea del test Datos. 0. 1. 2. 3. (c) Gráfico QQ. Figura 4.14: Distribución de probabilidad, diagrama de caja y gráfico QQ de la energía elástica almacenada de los fibriles. 27.