a) 3 2x x + 3 = 0 b) 9 x 2 3 x = 0 c) 5 2x 6 5 x + 5 = 0 d) 4 x 5 2 x + 4 = 0 e) 9 x 2 3 x 3 = 0

Texto completo

(1)

Operaciones con expresiones fraccionarias. 1. Opera y simplifica: a) 2x x−1+ 3x+ 1 x−1 − 1−x x21 b) 4 1 +x+ x 1−x2 + x+ 1 x−1 c) 3 2x−4 + 1 x+ 2 − x+ 10 2x28 d) 1 +x 1−x+ 1−x 1 +x 3 4x− x 4 −x e) x+ x x−1 : x− x x−1

Resolución de ecuaciones de segundo grado

2. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 4(2x−1) + 15 = 6−2(−5 +x) b) 2x−2(x−2) + 3(x−1) = 4(2x−2) c) x(x+ 5)−8x= 0

d) 3(x21) + 5 =x2+ 2

e) 2(x−1) +x(x+ 1) =x2−1 3. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 5x+ 4 5x−4 + 5x−4 5x+ 4 = 13 6 b) x+ 1 x+ 2+ x−1 x−2 = 2x+ 1 x+ 1 c) 2 x29 = x2−16 72 d) x−2 x+ 2+ x+ 2 x−2 = 1 e) 2x+ 1 2x−1 + 2x−1 2x+ 1 = 4

4. Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales y comprueba las soluciones:

a) √x+ 4 = 7 b) x+ 3 =√15 +x

c) 4√x−2 =x+ 2 d) x−√169−x2= 17

e) x+√5x+ 10 = 8

Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

5. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) lnx−1 2ln 32 = 1 2ln x 2 b) 3 lnx=3 2ln(5x)−6 c) −lnx 2 + 2 lnx= ln 32 d) 2 lnx−ln(x−16) = 2 e) −lnx+ ln(2−x) = 0

6. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a) 32x+2−28·3x+ 3 = 0

b) 9x−2·3x+2+ 32 = 0 c) 52x−6·5x+ 5 = 0 d) 4x5·2x+ 4 = 0 e) 9x2·3x3 = 0

7. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) 12 1−e− x 100 ! = 1 b) 70 + 200e−x/2= 80 c) 20 + 15ex= 37 d) 200 + 50e−x/20= 230 e) 1−e− 3x 125 = 1 2

8. Obtener explícitamente la expresión deyen función det: a) 1 2ln(2y+ 1) =t 2+ 1 b) −ln(20 +y) = 3t−2 c) ln(2−3y) = 1 +t2 d) 1 3ln(1−y) = lnt e) ln(5−3y) =t−t2

9. Obtener explícitamente la expresión deyen función det: a) 1 2ln y 2−y =t+ 1 b) ln y 1−3y =t+ 2 c) 1 3ln y 3−2y = 2t−1 d) 1 10ln y 10−y = 3t−1 e) 2 ln y+ 2 y = 1−t

10. Obtener explícitamente la expresión deyen función det: a) 12t 1−e− y 100 = 1 b) t 70 + 200e−y/2 = 80 c) 20t+ 15ey= 30 d) 200 + 50e−y/20= 150t e) t 1−e−1253y =1 2

(2)

Determinación de parámetros

11. La temperatura de congelación del agua es 0◦C o 32◦F, mientras que su temperatura de ebullición es 100◦C o212◦F. Utiliza esta información para deter-minar una relación lineal entre la temperatura en◦F y la temperatura en ◦C. ¿Qué incremento de tem-peratura en ◦F corresponde con un incremento de temperatura de1◦C?

12. Se supone que el número de semillas que produ-ce una determinada planta depende linealmente de la temperatura media durante el mes de marzo. Se ha observado que cuando la temperatura media es

T = 15.3◦C la planta produce unas 215 semillas, y que cuando aquélla es T = 17.1◦C produce unas 278 semillas. Determina la función que proporciona el número de semillas en función de la temperatura media. ¿Qué número de semillas cabe esperar que produzca la planta un año en que la temperatura media sea deT = 16.6◦C?

13. Las ballenas azules recién nacidas miden aproxima-damente 73dm de largo. A los 7 meses, cuando se destetan, las ballenas jóvenes tienen una sorprenden-te longitud de162dm. SeaLla longitud (en dm) de una ballena de t meses de edad. Suponiendo que es lineal, determina la función que expresaLen función det. ¿Cuál es el incremento diario de la longitud? (1 mes= 30 días)

14. Se sabe que para un gas a presión constante, la rela-ción entre su volumenV (en cm3) y su temperatura

T (en ◦C) está dada por V =α+βT para ciertas constantesαyβ positivas. Determina los valores de

αyβsabiendo que a30◦C el volumen es de 111 cm3 y que a90◦C es de 133 cm3.

15. Los productos farmacéuticos deben especificar las dosis recomendadas para adultos y para niños. Pa-ra un determinado medicamento la dosis de adulto recomendada es de 100 mg. Determina (suponiendo que es lineal) una función que proporcione la dosis adecuada para un niño de edadt (en años), sabien-do que la sabien-dosis para un recién nacisabien-do es de 20mg y que para un niño de 16 años coincide con la de un adulto.

16. Según laley de Monod, la velocidad de crecimiento

R de un organismo depende de la concentración x

de determinado nutriente, según la relación

R(x) = ax

k+x

dondeaykson dos constantes positivas. Determina los valores deayksabiendo que la velocidad de cre-cimiento límite del organismo es l´ım

x→+∞R(x) = 3.5y

que, cuando la concentración del nutriente esx= 10, la velocidad de crecimiento es 2.

17. Se supone que el número de individuos de una po-blación viene dado por N(t) = at

k+t dondeay

k son constantes positivas y t es el tiempo medido en años. Se estima que el tamaño límite de la pobla-ción es l´ım

t→+∞N(t) = 1.24×10

6y que en el instante t = 5 el número de individuos de la población es la mitad del tamaño límite. Utiliza esta información para calcularayk.

18. El crecimiento de los peces se puede modelar me-diante la función L(x) = λ(1−e−px), x 0 donde L(x) es la longitud a la edad xy λ y pson dos constantes positivas características de cada es-pecie. Determina los valores de λypde una deter-minada especie sabiendo que la longitud límite es

l´ım

x→+∞L(x) = 18y que a la edadx= 1la longitud

de un pez de esa especie esL= 6.

19. Se sabe que el número de bacterias en una placa de Petri viene dada por B(t) =B0eλt dondet mi-de el número mi-de horas y B0 yλson dos constantes positivas. Si se estima que el número inicial de bac-terias es 100 y que transcurridas 24 horas el número es 10000, determina los valores deB0 yλ.

20. Se ha estimado que, en determinado lugar, la tempe-raturaT a lo largo de un día varía según la siguiente ley:

T(t) =a+t(t−b)(t−24), t∈[0,24] donde t es el tiempo medido en horas y a y b son constantes. Se sabe que la temperatura a las 0:00 horas era de 8◦C y que a las 7:00 horas era de5C.

Se pide determinar la función que da la temperatura en función de la hora.

Interpretación de gráficas

21. Se sabe que la concentración en sangre de un cierto tipo de anestesia viene dada por la gráfica siguiente:

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 20 40 60 80 100 Tiempo (min) Concentracion (mg/l)

a) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la va-riable dependiente?

b) ¿Cuál es la dosis inicial?

c) ¿Qué concentración hay aproximadamente al cabo de 10 minutos? ¿Y al cabo de una hora? d) A medida que pasa el tiempo, ¿la concentración

en sangre de la anestesia aumenta o disminuye? e) Si la concentración aceptable para operar al pa-ciente debe estar por encima de 15 mg/l ¿de cuánto tiempo se dispone para la operación?

(3)

22. Una embarazada se hace la curva de azúcar en el cuarto mes de gestación. La concentración de gluco-sa en gluco-sangre viene dada por la gráfica siguiente:

0 10 20 30 40 50 60 0 50 100 150 200 250 300 Minutos Glucosa (mg/l)

a) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la va-riable dependiente?

b) ¿Cuál es la concentración inicial?

c) ¿Qué concentración hay aproximadamente al cabo de 15 minutos? ¿Y al cabo de una hora? d) A medida que pasa el tiempo, ¿la concentración

aumenta o disminuye?

e) Se considera que debe aplicarse tratamiento si su concentración de glucosa está por encima de 120 mg/l al cabo de cuarenta minutos ¿se le de-be aplicar el tratamiento a esta embarazada? 23. La velocidad de crecimiento (cuánto cambia la

po-blación en un intervalo de tiempo pequeño) de un organismo respecto a la concentración de nutrientes viene dada por una función conocida como función de Monod, y su expresión es

r(N) = aN

k+N, N ≥0,

siendoaykconstantes positivas.

La figura siguiente muestra la velocidad de creci-miento del mosquito de la Malaria (a= 10,k= 5).

0 100 200 300 400 500 600 0 2 4 6 8 10 12 Concentracion de nutrientes Velocidad de crecimiento

a) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la va-riable dependiente?

b) ¿Cuál es la velocidad de crecimiento límite? ¿Se alcanza? A este valor se le conoce como veloci-dad de saturación.

c) ¿Se incrementa la velocidad de crecimiento con la concentración de nutriente?

d) Si doblamos la concentración de nutriente, ¿dónde tiene un efecto mayor, para valores pe-queños deN o para valores grandes?

e) ¿Para qué valor de N la velocidad r(N) es la mitad de la velocidad de saturación? (Este valor se conoce como constante de semisaturación).

24. El volumen de agua en un lago sigue la siguiente gráfica

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tiempo (meses) Volumen de agua (hm 3)

a) ¿Qué mes tiene el lago más cantidad de agua? b) Una determinada especie de microorganismo

sólo puede vivir en ese lago si el volumen de agua es superior a 0.4 hm3, ¿entre qué meses

del año se puede encontrar dicha especie? c) ¿Hay peligro de que el lago se seque? ¿Por qué? 25. La cantidad de lobos en un monte de la Sierra de Gredos sigue la siguiente gráfica en función del nú-mero de conejos 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 20 40 60 80 100 120 140 Conejos Lobos

a) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la va-riable dependiente?

b) ¿Para qué número de conejos se alcanza el mí-nimo?

c) ¿Hay peligro de que la especie desaparezca? d) ¿A qué cantidad de lobos tiende la población

cuando hay muchos conejos?

26. La gráfica de una función viene dada por

−1 −0.5 0 0.5 1 −20 −10 0 10 20 X Y

a) ¿Cuántas soluciones tiene f(x) = 0 y cuáles son?

b) ¿Dónde es la función positiva y dónde negativa? c) ¿Hay máximo y mínimo? ¿Son absolutos? d) ¿Dónde crece y dónde decrece la función? e) ¿Tiene solución la ecuación f(x)=8?

(4)

27. La gráfica de una función viene dada por −6 −4 −2 0 2 4 6 −2 −1 0 1 2 3 4 X Y

a) ¿Cuántas soluciones tiene f(x) = 0 y cuáles son?

b) ¿Dónde es la función positiva y dónde negativa? c) ¿Hay máximo y mínimo? ¿Son absolutos? d) ¿Dónde crece y dónde decrece la función? e) ¿Tiene solución la ecuación f(x)=-1?

28. La gráfica de una función viene dada por

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 X Y

a) ¿Cuántas soluciones tiene f(x) = 0 y cuáles son?

b) ¿Dónde es la función positiva y dónde negativa? c) ¿Hay máximo y mínimo? ¿Son absolutos? d) ¿Dónde crece y dónde decrece la función? e) ¿Tiene solución la ecuación f(x)=20?

29. La gráfica de una función viene dada por

−6 −4 −2 0 2 4 6 0 2 4 6 8 10 X Y

a) ¿Cuántas soluciones tiene f(x) = 0 y cuáles son?

b) ¿Dónde es la función positiva y dónde negativa? c) ¿Hay máximo y mínimo? ¿Son absolutos? d) ¿Dónde crece y dónde decrece la función? e) ¿Tiene solución la ecuación f(x)=3?

30. La gráfica de una función viene dada por

−6 −4 −2 0 2 4 6 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 X Y

a) ¿Cuántas soluciones tiene f(x) = 0 y cuáles son?

b) ¿Dónde es la función positiva y dónde negativa? c) ¿Hay máximo y mínimo? ¿Son absolutos? d) ¿Dónde crece y dónde decrece la función? e) ¿Tiene solución la ecuación f(x)=-2?

31. Construye una gráfica que describa la distancia a la que se encuentra Eva de su casa, según el siguiente enunciado:

Esta mañana, Eva fue a visitar a su amiga Leticia y tardó 20 minutos en llegar a su casa, que se encuen-tra a 800 metros de distancia. Estuvo allí durante media hora y regresó a su casa, tardando en el ca-mino de vuelta lo mismo que tardó en el de ida. 32. Construye una gráfica que represente la evolución del

caudal de un río durante un año, según los siguientes datos:

Al comienzo de enero el caudal era de 40 hm3y fue

aumentando hasta mediados del mes de abril, en que era de 60 hm3, el máximo del año. A partir de este

momento, el caudal fue disminuyendo hasta que a fi-nal de agosto alcanzó su mínimo, 10 hm3. Desde ese momento hasta finales de año, el caudal fue aumen-tando, volviendo a ser, aproximadamente, el mismo que cuando comenzó el año.

33. Construye una gráfica que describa la distancia reco-rrida por Pablo, según el siguiente enunciado (expre-sa el tiempo en horas y la distancia en Kilómetros): Esta mañana Pablo salió a hacer una ruta en bici-cleta. Tardó media hora en llegar al primer punto de descanso, que se encontraba a 25 Km de casa. Estuvo parado durante 30 minutos. Tardó 1 hora en recorrer los siguientes 10 Km y tardó otra hora en recorrer los 20 Km que faltaban para llegar a su destino. 34. Construye una gráfica que describa la audiencia de

una determinada cadena de televisión durante un día, sabiendo que:

A las 0 horas había aproximadamente 0.5 millones de espectadores. Este número se mantuvo práctica-mente igual hasta las 6 de la mañana. A las 7 de la mañana alcanzó la cifra de 1.5 millones de espectado-res. La audiencia descendió de nuevo hasta que a las 13 horas había 1 millón de espectadores. Fue aumen-tando hasta las 21 horas, momento en el que alcanzó el máximo: 6.5 millones de espectadores. A partir de

(5)

ese momento, la audiencia fue descendiendo hasta las 0 horas, que vuelve a haber, aproximadamente, 0.5 millones de espectadores.

35. Construye una gráfica que describa la distancia a la que se encuentra Lorena de su casa, según los si-guientes datos:

Esta mañana Lorena salió de su casa a comprar el periódico, tardando 10 minutos en llegar al quiosco, que está a 400 m de su casa. Allí estuvo durante 5 minutos y se encontró con su amiga Elvira, a la que acompañó a su casa (la casa de Elvira está a 200 m del quiosco y tardaron 10 minutos en llegar). Es-tuvieron durante 15 minutos en la casa de Elvira y después Lorena regresó a su casa por el mismo ca-mino sin detenerse, tardando 10 minutos en llegar.

Cálculo diferencial y aplicaciones

36. Determina el dominio de definición de las funciones: a) f(x) = r 1−x 1 +x b) f(x) =p(x+ 2)(x−1) c) f(x) = p x(x−1) x−2 d) f(x) = 1 x√x21 e) f(x) = p x−1 (x2+ 1)(x3)

37. Determina el dominio de definición de las funciones: a) f(x) = 1 ex1 b) f(x) =√ex1 c) f(x) = √ 1 e2x1 d) f(x) = x−2 (2x4)x e) f(x) =e √ 1−x2

38. Determina el dominio de definición de las funciones: a) f(x) = ln(x(2−x)(x+ 3)) b) f(x) = √ x ln(x−1) c) f(x) = 1 ln(2x2+x) d) f(x) = ln x2 x21 e) f(x) = 2 ln(x2)3 ln x+ 1

39. Estudia las asíntotas de las siguientes funciones:

a) y= 1 x21 b) y= x 1−x2 c) y= 2x 28 x216 d) y= 2x 2−x2 e) y= x 21 x3

40. Estudia las asíntotas de las siguientes funciones:

a) y= x 3 1−x2 b) y= x 3 2x28 c) y= x(x 24) x21 d) y= x 22x8 x e) y= 3x 2x+ 4 2(x−1)

41. Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

a) f(x) =√3−x2 b) f(x) = ln(x2x+ 1) c) f(x) = cosx 2 sen(x) d) f(x) = r 1−x x e) f(x) =e−x2+3

42. Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

a) f(x) = sen2 x+ 2 x+ 1 b) f(x) = sen(1−x) cos3(x) c) f(x) =pcos3(x2) d) f(x) =p1−cos(x3) e) f(x) =p3 sen2(5x)

(6)

43. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) f(x) =esen(x2) b) f(x) = e x 1−ex c) f(x) =e1+x1−x d) f(x) =etg(x2) e) f(x) =e √ 1−x2

44. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) f(x) = 2x3−3x2 b) f(x) = 5xx5 c) f(x) = 2x(x2+x) d) f(x) = 3 √ 1−x e) f(x) = cos 2x+1

45. Estudia los intervalos de crecimiento / decrecimien-to y de concavidad / convexidad de las siguientes funciones: a) f(x) = x 3 x2+ 3 b) f(x) = x 22 x2+ 1 c) f(x) = ln(x2+ 1) d) f(x) = 1 ex+ 1 e) f(x) =x2ex

46. Estudia los intervalos de crecimiento / decrecimien-to y de concavidad / convexidad de las siguientes funciones: a) f(x) = x 3 x23 b) f(x) = x 2+ 2 x21 c) f(x) = ln(x24) d) f(x) = 1 ex2 e) f(x) = ln(x) x2

47. Estudia los máximos y mínimos de las siguientes fun-ciones en sus dominios de definición:

a) f(x) = x+ 1 x2+ 3 b) f(x) =x3ex c) f(x) = lnx x3 d) f(x) =x2e−x e) f(x) = x−2 x2+ 5

48. Estudia los máximos y mínimos de las siguientes fun-ciones en el intervalo que se indica en cada caso:

a) f(x) = x+ 1 x2+ 3 en[−5,0] b) f(x) =x3exen[4,1] c) f(x) = lnx x3 en[1/2,3] d) f(x) =x2e−x en[1,3] e) f(x) = x−2 x2+ 5 en[0,10]

49. Representa gráficamente las siguientes funciones, es-tudiando previamente su dominio de definición, asín-totas, intervalos de crecimiento/decrecimiento y de convexidad/concavidad, máximos, mínimos y pun-tos de inflexión: a) y= 1 x21 b) y= x 1−x2 c) y= 2x 28 x216 d) y= 2x 2−x2 e) y= x 21 x3

50. Representa gráficamente las siguientes funciones, es-tudiando previamente su dominio de definición, asín-totas, intervalos de crecimiento/decrecimiento y de convexidad/concavidad, máximos, mínimos y pun-tos de inflexión: a) y= x 3 1−x2 b) y= x 3 2x28 c) y= x(x 24) x21 d) y= x 22x8 x e) y= 3x 2x+ 4 2(x−1)

51. Representa gráficamente las siguientes funciones, es-tudiando previamente su dominio de definición, asín-totas, intervalos de crecimiento/decrecimiento y de convexidad/concavidad, máximos, mínimos y pun-tos de inflexión: a) y= ln(x2+ 4) b) y= ln(x2−1) c) y=x2ex d) y= lnx x e) y= e x 1 +x

(7)

52. Se supone que una determinada población de peces sigue la siguiente ley:

N(t) = e t/a

t+ 1, t≥0,

dondeN(t)es el número de peces en el instantet(en meses) yaes una constante positiva. Calcula el valor dea sabiendo que pasados 2 meses dicha población es mínima.

53. Se supone que una determinada población de peces sigue la siguiente ley:

N(t) =te−t/a, t≥0,

dondeN(t)es el número de peces en el instantet(en meses) yaes una constante positiva. Calcula el valor dea sabiendo que pasados 3 meses dicha población es máxima.

54. El número de bacterias presentes en un recipiente viene dado por

B(t) =ate−t/90, t≥0,

donde t es el tiempo medido en horas y a es una constante positiva. Determina el valor deasabiendo que el número máximo de bacterias es800.

55. La población de una determinada especie sigue la siguiente ley:

N(t) = t+ 8

t2+b,

dondetse mide en años ybes una constante positi-va. Calcula el valor de bsabiendo que el número de individuos de dicha especie es máximo transcurridos 2 años.

56. El número de individuos de una determinada pobla-ción viene dado por

N(t) = t

t2+a,

dondetse mide en años,N(t)se mide en millones y

aes una constante positiva. Determina el valor dea

si el número máximo de individuos es 5 millones. 57. Se considera la reacción química

A + B −→ AB

en la que dos reactivos moleculares,A yB, dan lu-gar a otro producto molecular,AB. La velocidad de esta reacción,R, se puede expresar como la función

R(x) =k(a−x)(b−x)

dondexes la concentración del productoAB,ayb

son las concentraciones iniciales de A yB respecti-vamente yk es una constante de proporcionalidad. Obsérvese quexvaría en[0,m´ın(a, b)], ya que cuan-do se termina uno de los cuan-dos reactivos se detiene la reacción. Supongamos quek= 2,a= 9yb= 7.

a) ¿Para qué valores de la concentración,x, la ve-locidad es creciente? ¿y decreciente?

b) ¿Para qué valores de la concentración,x, alcan-za la velocidad el máximo? ¿Cuánto vale ese máximo?

58. La desintegración del carbono14,C14, sigue la ley W(t) =W0e−λt, t≥0,

siendoW(t)la cantidad deC14 en el instantet,W0

la cantidad inicial y λ > 0 la velocidad de desinte-gración. Supongamos queW0= 2 yλ= 0.01.

a) Comprueba queW es una función decreciente. b) ¿Qué le ocurre a la cantidad deC14cuando

pa-sa mucho tiempo?

c) ¿En qué momento,ˆt, esW(ˆt) = 1?

59. El númeroN de bacterias en un determinado culti-vo viene dado, en función del tiempotexpresado en minutos por la función

N(t) = 500 + 50t−t2 parat∈[0,35] ¿En qué instante el número de bacterias es máximo? ¿Y mínimo? Esbozar la gráfica de la función N(t). 60. La virulencia de cierta bacteria se puede medir en

una escala de 0 a 50 y viene dada por la siguiente función

V(t) = 40 + 15t−9t2+t3

dondet es el tiempo, medido en horas, transcurrido desde el comienzo del estudio. Analizar los períodos de tiempo en los que la virulencia crece o decrece. Calcular los instantes, en las 6 primeras horas, en que la virulencia es máxima y mínima. Esbozar la gráfica de la función en el intervalo[0,6].

61. La velocidad de crecimiento de un cierto organismo depende de la concentraciónxde un nutriente según la función

R(x) = 5x 1 +x.

a) ¿Para qué concentraciónxla velocidad de cre-cimiento vale 4?

b) ¿Para qué valores de x la velocidad de creci-miento es creciente? ¿y decreciente?

c) Según esta ley, ¿qué le ocurre a la velocidad de crecimiento cuando hay abundancia de nutrien-tes?

62. La velocidad de crecimiento de una población se pue-de expresar como

f(N) =N 1−

N

K

2!

donde N es el tamaño de la población, K es una constante positiva que indica la capacidad de aloja-miento del ecosistema. Calcular para qué tamaño de la población es máxima la velocidad de crecimiento.

(8)

63. Los gusanos de yema de abeto son una plaga impor-tante que desfolia los pinos de Canadá. Sus depreda-dores son los pájaros. Un modelo que da la velocidad de depredación es

f(x) = ax

k+x2

siendoxla densidad de gusanos, yaykdos constan-tes positivas que dependen de las circunstancias de cada caso. ¿Para qué cantidad de gusanos es máxima la velocidad de depredación?

64. Seaf(N)la cosecha de una explotación agrícola de maíz en función del nivel de nitrógeno en el suelo,

N. Una posibilidad viene dada por

f(N) = N 1 +N2.

Calcula el nivel de nitrógeno que maximiza la cose-cha.

65. En un terreno semicircular de radio 1 se desea colo-car una zona rectangular de juegos. ¿Qué dimensio-nes debe tener para que el área de recreo sea máxi-ma?

66. Un biólogo de campo desea cercar un campo de estu-dio rectangular, limitado en uno de sus lados por un río. Dispone para ello de 500 metros de cerca. ¿Qué dimensiones tendrá el campo de estudio de área má-xima que puede vallar? (No es necesario cercar el lado que forma la orilla del río).

67. Si el mismo biólogo del ejercicio anterior quisiera cer-car una superficie de 8000 m2, ¿qué dimensiones de-bería tener el campo para utilizar la mínima canti-dad posible de cerca?

68. Calcular la longitud que deben tener los lados de un triángulo isósceles de 24 cm de perímetro para que el área de dicho triángulo sea máxima.

69. Se ha estudiado que ciertos animales efectúan sus desplazamientos tratando de minimizar su gasto de energía. Para un cierto tipo de peces migratorios que nadan a contracorriente, se tiene la siguiente expre-sión para la energía necesaria para recorrer una dis-tanciaden función de su velocidad de desplazamien-to:

E(v) = dv

3

v−u

dondeues la velocidad de la corriente y se considera constante. Encontrar el valor dev que hace mínima la energía consumida en el desplazamiento. Esbozar la gráfica deE(v)parav > u.

70. Un productor dispone de 600 hectáreas para sem-brar y sabe que la ganancia total G(en euros) que obtendrá de su producción depende del númeroxde hectáreas sembradas, viniendo dada por la siguiente expresión:

G(x) = 2000x−2x2

Calcula cuántas hectáreas debería sembrar para ob-tener la máxima ganancia posible. ¿Cuánto ganaría si sembrara las 600 hectáreas de las que dispone? 71. La población de una especie sigue la siguiente

fun-ción

P(t) =a+t+ 1

et/3 , t≥0

donde P(t)es el número de individuos de la pobla-ción (medida en miles) y t el tiempo (medido en meses).

a) Calcular a sabiendo que inicialmente había 3000 individuos.

b) ¿En qué momento alcanza la población un má-ximo? ¿Cuánto es el valor de dicho mámá-ximo? c) ¿A qué tiende la población en el futuro? d) Esbozar la gráfica de la función.

72. Un lago es repoblado con 100000alevines de cierta especie de peces, con el objeto de restaurar la fau-na autóctofau-na. Es conocido que la evolución de ufau-na población de dicha especie en tal hábitat viene dada por una función de la forma

P(t) =A+ (t−10)e−t/40

donde P(t)es el número de individuos de la pobla-ción (en miles) en el instantet(medido en meses) y

Aes una constante.

a) Calcular razonadamente el valor que debe te-ner la constanteAsi antes de la repoblación la especie estaba extinguida en el lago.

b) Calcular razonadamente si la población alcan-za un valor máximo y en caso positivo, en qué instante lo hace.

c) ¿En algún momento el número de individuos de la población desciende por debajo del número de individuos con que se repobló el lago? Razó-nese la respuesta.

d) Esbozar la gráfica de la función.

73. La población de cierta especie que habita en una isla sigue la siguiente función

P(t) =a+ t

t2+ 1, t≥0

donde P(t)es el número de individuos de la pobla-ción (medido en miles) y y t el tiempo (medido en meses).

a) Calcular a sabiendo que inicialmente había 1000individuos.

b) ¿En qué momento alcanza la población un má-ximo? ¿Cuál es el valor de dicho mámá-ximo? c) ¿A qué tiende la población en el futuro? d) ¿En algún momento la población decrece por

debajo de la población inicial? e) Esbozar la gráfica de la función.

(9)

74. Es conocido que, durante una cierta epidemia, el nú-mero de personas (medido en miles) que contrajeron la enfermedad viene dado por

P(t) = 2

3e−0.8t+ 1, t≥0 dondet es el tiempo (medido en semanas).

a) ¿Cuántas personas tenían la enfermedad al principio?

b) ¿Cuántas personas habían contraído la enfer-medad al final de la segunda semana?

c) ¿Crece o decrece el número de personas conta-giadas?

d) Cuántas personas contraerán en el futuro la en-fermedad?

e) Esbozar la gráfica de la función.

75. La población de cierta especie que habita en un par-que protegido sigue la siguiente función

P(t) =A+ 2ln(t+ 1)

t+ 1 , t≥0

donde P(t)es el número de individuos de la pobla-ción (medida en miles) y t el tiempo (medido en meses).

a) Calcular A sabiendo que inicialmente había 3000individuos.

b) ¿En qué momento alcanza la población un má-ximo?

c) ¿A qué tiende la población en el futuro? d) Esbozar la gráfica de la función.

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