Primera prueba de Matem´
aticas II
Eliseo Mart´ınez
*16 de mayo de 2018
Resumen
Se entrega para cada est´andar definido en la r´ubrica un ejercicio que debe responder el estudiante de c´alculo diferencial e integral en el cu-rriculum de Ingenier´ıa Comercial. Cada ejercicio tiene dos valores en su respuesta: 0 si la respuesta es incorrecta o incompleta, 1 si la respuesta es correcta. De otra forma solo se puntualiza con un punto el ejercicio correcto. Y as´ı se sabr´a fehacientemente en que est´andar falla el alumno, y as´ı iniciar un proceso de correcci´on, por parte del alumno, en pr´oximas evaluciones de reparaci´on
1.
Primer est´
andar: Trigonometr´ıa
1. Debe reconocer que las proyecciones de un punto ubicado en la circunfe-rencia de radio 1 centrada en el origen es la base de toda la trigonometr´ıa. De la Figura 1 calcule el valor del coseno y la tangente del ´angulo α
2. Debe saber calcular las funciones trigonom´etricas de un tri´angulo rect´ angu-lo
De la Figura 2 calculetodaslas funciones trigonom´etricas que usted conozca para el ´angulo αyβ
3. Debe reconocer los dos tipos de mediciones en los ´angulo: radianes y grados sexagesimales, y saber la equivalencia entre ambos.
De la misma Figura 1 c´alcule el valor deα tanto en radianes como en grados sexagesimal (use su calculadora).
4. Debe resolver mediante calculadora (y sin ella cuando la ecuaci´on es sen-cilla) las ecuaciones del tiposen(a·x) =b,cos(a·x) =bytg(a·x) =b
Sisen(2α) = √22 calcule el valor deα
*Trabajo financiado por el Proyecto de Docencia: Hacer y corregir en los procesos de
2.
Segundo est´
andar: funci´
on cuadr´
atica
1. Debe leer inmediatamente toda la informaci´on obtenida en la forma est´andar de la par´abolay=k(x−a)2+b, y realizar un esbozo de gr´afica indicando
claramente todas las intersecciones con los ejes, su v´ertice y concavidad. Grafique o esboce la gr´afica indicando con precisi´on su v´ertice, su concavidad, la intersecci´on con el eje vertical, y las ra´ıces reales (si las tuviese) de la par´abolay= 2(x−1)2−8
2. Debe saber transformar a la forma est´andar la funci´on cuadr´aticaAx2+
Bx+C
La funci´on cuadr´atica 3x2+ 12x+ 17 ll´evela a su forma est´andar
3. Debe reconocer y calcular el v´erticeV de la par´abola obteniendo la infor-maci´on de la forma normalf(x) =Ax2+Bx+C, esto es
V = ( − B 2A, f ( − B 2A ))
Calcular el v´ertice de la par´abola f(x) = 3x2−12x+ 5
3.
Tercer est´
andar: aplicaciones de la
trigono-metr´ıa a los modelos lineales
1. Debe asociar que la pendiente de una recta es la tangente del ´angulo agudo formado por la recta y el eje horizontal en el semiplano cartesiano superior. Construya dos rectas, ambas que pasen por el punto (1,2) y una de ellas sea creciente y la otra decreciente.
2. Debe calcular la recta que pasa por los puntos (0, a) y (b,0), reconociendo el signo de la pendiente y determinando si es una funci´on lineal creciente y decreciente.
Construya la recta que pasa por los puntos (0,20) y (9,0)
3. Debe calcular la ecuaci´on de una recta en su forma est´andary=m·x+b
dado dos puntos de esta recta. (Y, posteriormente, asociar esta idea a los fundamentos del c´alculo de la Derivada)
4.
Cuarto est´
andar: Modelos lineales y cuadr´
ati-cos en econom´ıa
1. Debe modelar la relaci´on lineal entre precio y demanda de un produc-to, dado dos puntos (p1, q1) y (p2, q2), siendopi precios por unidad y qi
cantidad de art´ıculos demandados.
Suponga que la relaci´on entre precio de un producto (x) y la de-manda (cantidad de unidades dede-mandadas,y) es una relaci´on lineal negativa, esto es a mayor precio menor demanda y a menor precio mayor demanda. Suponga que la m´axima demanda es de 20 art´ıcu-los, esto es si el precio es practicamente 0 habr´ıa una demanda de 20 unidades, y para un precio igual o superior a 9$ la gente no compra por ser excesivamente caro, es decir la demanda es cero. Construya el modelo para esta situaci´on.
2. Debe saber modelar la relaci´on lineal entre el producto a elaborar y el costo de elaboraci´on, costo variable, y considerando adem´as un costo fijo. Suponga que para el mismo producto anterior el precio de costo para elaborar un producto es de 2$ por unidad, y a esto, independiente del n´umero de productos, existe un costo fijo de 3$. Construya un modelo lineal para la funci´on de costo en funci´on del precio de venta de cada productoc(x)
3. Debe saber calcular la funci´on de utilidad como la diferencia entre el in-greso por la venta del producto demandado y el costo de producci´on de los art´ıculos, y reconocer la funci´on cuadr´atica que modela a esta utilidad. Si la utilidad,U, es la diferencia entre el ingeso de venta y el costo de producci´on, construya la funci´on de utilidad en funci´on del precio de ventax
4. Debe asociar el c´alculo del precio ´optimo como el v´ertice de la par´abola que modela la utilidad, y de este modo utilizar el segundo est´andar.
Para la funci´on de utilidad anterior, calcule el precio ´optimo para obtener la m´axima utilidad. Le informamos que la funci´on de utilidad,
U(x) es U(x) =−20 9 x 2+220 9 x− 387 9
pero usted debe llegar a ella mediante razonamiento y manipulaci´on algebraica.
5.
Quinto est´
andar: C´
alculo de la derivada de
una funci´
on cuadr´
atica
1. Dada la funci´on cuadr´aticaf(x) =Ax2+Bx+Cdebe saber interpretar los
valores def(x+h),f(x+h)−f(x) y el valor de f(x+hh)−f(x)asoci´andolo al c´alculo de la tangente que pasa por los puntos (x, f(x)) y (x+h, f(x+h))
Para la funci´onf(x) = 4x2+ 5x−1 calcule
limh→0
f(2 +h)−f(2)
h
2. Debe calcular el valor de
limh→0
f(x+h)−f(x)
h
para cualquier funci´on cuadr´aticaf(x), y descubrir la f´ormula de regula-ridad que emerge.
Para la funci´onf(x) =Ax2+Bx+C calcule
limh→0
f(x+h)−f(x)
